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第18章《分式》期末单元复习题
题型1 分式有无意义/值为0的条件
1．当x 时，分式有意义．当 时，分式的值为0．
2．若有意义，则x的取值范围为 ．
3．（1）若分式有意义，则分母 0，则a应满足 ；
（2）若分式没有意义，则分母 0，则x应满足 ．
4．取何值时，下列分式的值是零？
(1)； (2)．
题型2 分式的基本性质
5．若，则下列分式化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．缩小为原来的 B．不变
C．扩大为原来的6倍 D．扩大为原来的3倍
7．不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数，结果为（ ）．
A． B． C． D．
8．若成立，则的取值范围是 ．
9．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号：
(1)； (2)； (3)； (4)．
题型3 最简分式与最简公分母的识别
10．下列分式中，不是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
11．分式中，最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．有下列分式：①；②；③；④；⑤．其中是最简分式的有 ．（填序号）
13．下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式．
(1)； (2)．
14．分式与的最简公分母是(　　)
A． B． C． D．
15．分式，，的最简公分母是（　　）
A． B． C． D．
16．的最简公分母是( )
A． B．
C． D．
题型4 约分与通分
17．计算．
(1)约分： ； (2)通分：，．
18．（1）通分：和；（2）约分：
19．约分：
(1)； (2)； (3)．
20．（1）化简分式：． （2）通分：，．
21．通分：
(1)，，； (2)，，．
题型5 分式的混合运算
22．以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式① ② ③ … 解：
(1)上面的运算过程中第__________步出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
23．计算：
(1)； (2)．
24．计算：
(1) (2)
25（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）计算：
(1) ； (2)
26．计算：
(1)； (2)； (3)．
题型6 分式的化简求值问题
27．先化简，再求值：，其中．
28．先化简，再求值：，其中．
29．先化简，再求值：，请从、、0、3中选取合适的的值代入．
30．已知，求代数式的值．
31．【阅读理解】
阅读下面的解题过程：已知：，求的值；
解：由知， ，即①
②，故的值为．
（）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示）
【类比探究】
（）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知：，求的值．
【拓展延伸】
（）已知：，，．求的值．
32．用数学的眼光观察：
同学们，在学习中，你会发现“”与“”有着紧密的联系，请你认真观察等式：，．
用数学的思维思考并解决如下问题：
(1)填空：______；
(2)计算：
①若，求的值；
②若，求的值；
③已知，求的值．
题型7 零指数幂与负指数幂
33．比较大小： ．（选填＞，＝，＜）
34．若x满足，则整数x的值为 ．
35．已知实数a，b满足，则 ．
36．已知的三边分别为3，，7，且a为偶数，则代数式的值为 ．
题型8 用科学记数法表示较小的数
37．2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步. 已知28nm为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
38．《三体》一书中，三体人计划通过智子的多维展开来限制地球人的科学技术发展，已知智子的直径是0.00000000000016厘米，用科学计数法表示这个数（ ）
A．米 B．米 C．厘米 D．厘米
39．用科学记数法表示的数，用小数表示为 ．
40．纳秒是非常小的时间单位，，北斗全球导航系统的授时精度优于，用科学记数法表示是 ．
41．新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元本、10元本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元．
(1)用含m，n的代数式表示Q；
(2)若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示Q的值；
(3)在（2）的条件下，若，求的值．（结果用科学记数法表示）
题型9 解分式方程
42．解方程：
(1)； (2)．
43．解方程．
44．用你发现的规律解答下列问题．，，
(1)计算_______．
(2)探究_______．（用含有n的式子表示）
(3)若的值为，求n的值．
(4)解方程：
45．换元法解方程：．
46．小红计算和小明解方程的过程如下：
小红计算： 解：原式 ． 小明解方程： 解：方程两边同乘 得 化简得 经检验，是原方程的解．
(1)在上述两位同学的解答中，有一位同学有错误，这位同学是 （填写“小红”或“小明”)；
(2)请你写出正确的解答过程．
题型10 含参问题
47．若关于x的分式方程无解，求m的值．
48．已知关于x的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求b为何值时分式方程无解；
(3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值．
49．已知关于的分式方程
(1)若分式方程的根是，求的值
(2)若分式方程有增根，求的值
(3)若分式方程有无解，求的值
50．已知关于的方程的解是正数，求的取值范围．
51．关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是多少？
52．已知关于x的分式方程的解是非负数，求m的取值范围．
53．已知关于x的分式方程只有一个实数解，求k值．
题型11 分式方程与实际问题
54．某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知地到地的路程为300千米，乘坐型车比乘坐型车少用2小时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求型车的平均速度．
55．某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的倍，结果甲比乙早到，求乙同学骑自行车的速度．
56.某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏型节能灯每年的用电量．
57．随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人．甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？
58．某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务．
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
题型12新定义问题
59．我们定义，如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，那么称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．
例如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2．
(1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请求C关于D的“雅中值”；
(2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，请求出E所代表的代数式．
60．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”．
(1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”）
(2)已知分式是分式A的“友好分式”．
①求分式A的表达式；
②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值；
(3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值．
61．对定义一种新运算，规定，这里等式右边是通常的四则运算，例如：，如果，求实数的值；
62．观察下列方程及其解的特征：
①的解为，；
②的解为，；
③的解为，；
……
解答下列问题：
(1)第4个方程的解为________．
(2)请猜想第个方程为_______；第个方程的解为_______．
(3)请根据方程的解的定义验证（2）中猜想的方程的解的正确性．
63．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与为“3阶分式”．
(1)当满足条件______时，分式与为“5阶分式”；
(2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与为“2阶分式”；
(3)若分式与为“1阶分式”（其中a，b为正数），求的值．
64．定义新运算：对于任意实数a，b（其中），都有，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如．
(1)求的值；
(2)若，求x的值．
65．新定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”．
(1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”．若不是，打“”．
①（ ）；
②（ ）．
(2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值．
(3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值．
培优02 分式章末12种题型归类
参考答案
题型1 分式有无意义/值为0的条件
1．
解：（1）依题意得：，
解得．
（2）依题意得：，且，
∴，且，
解得．
故答案为：，．
2．且
要使有意义，
则需满足，解得且，
故答案为：且．
3．
解：∵有意义，
∴，
解得；
∵没有意义，
∴，
解得.
故答案为：；；=，.
4．（1）解：的值是零，
，，
，，，
；
（2）解：的值是零，
，，
，，，
．
题型2 分式的基本性质
5．D
∵a≠b，
∴，选项A错误；
，选项B错误；
，选项C错误；
，选项D正确；
故选：D．
6．B
解：分式中的，的值都扩大为原来的3倍得，，
∴分式的值不变，
故选：B．
7．B
解：，
故选：B ．
8．
解：由题意得：当时，即时，
，
故答案为：．
9．（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式；
题型3 最简分式与最简公分母的识别
10．D
解：A、是最简分式，不符合题意；
B、是最简分式．不符合题意；
C、是最简分式，不符合题意；
D、，不是最简分式，符合题意；
故选：D．
11．A
解：∵，∴不是最简分式；
∵，∴是最简分式；
∵，∴不是最简分式；
∵，∴不是最简分式．
∴最简分式有1个．
故选：Ａ．
12．④⑤
解：①，原式不是最简分式；
②，原式不是最简分式；
③，原式不是最简分式；
④，原式是最简分式；
⑤是最简分式；
综上分析可知，最简分式有④⑤．
故答案为：④⑤．
13．（1）解：；
则不是最简分式；
（2）解：．
则不是最简分式．
14．D
解：两个分式可化为：
，
最简公分母：，
故选：D．
15．C
解：分式，，的分母分别是，，，
故最简公分母是：，
故选：C．
16．D
解：的最简公分母为：．
故选：D．
题型4 约分与通分
17．（1）
；
（2），
，
，
18．解：（1）；
（2）原式．
19．（1）．
（2）．
（3）．
20．解：（1）．
（2）最简公分母为，
，
．
21．（1）解：∵，
，
∴，，的最简公分母为：，
∴三个分式通分为：，，．
（2）解：∵，
，
，
∴分式，，的最简公分母为：，
三个分式通分为：，，．
题型5 分式的混合运算
22．（1）第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，
故答案为：③；
（2）解：原式＝
23．（1）解：
；
（2）解：
．
24．（1）解：
；
（2）解：
．
25．（1）解：原式
（2）原式
．
26．（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
题型6 分式的化简求值问题
27．解：原式
；
∵，
∴原式．
28．解：原式
当时，原式，
故答案是： ．
29．解：
，
要使原分式有意义，则x应满足
，即且且，
∴当时，原式．
30．解：原式
，
∵，
∴，
∴原式．
31．解：（）第②步运用了公式：，
故答案为：；
（）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（）∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
32．（1）解：
；
故答案为：4．
（2）解：①∵，
∴．
②将两边都除以，得．
∴，
∴．
③当时，此时，则，得，
∵，
∴．
∵，
∴；
∴，
当时，此时，则，得，
∵，故舍去．
综上，的值为．
题型7 零指数幂与负指数幂
33．<
解：，，
∵，
∴，
故答案为：<．
34．或3或1
解：由题意得：
①，，
解得：；
②，
解得：；
③，为偶数，
解得：，
故答案为：或3或1．
35．
解：∵，
∴且，
解得：，；
∴；
故答案为：．
36．或
解：根据题意，得，
解得．
又因为是偶数，
所以的值为8或10．
当时，；
当时，．
综上所述，代数式的值为或．
故答案为：或．
题型8 用科学记数法表示较小的数
37．B
解：依题意，，
故选：B．
38．D
解：依题意，
故选：D
39．
解：．
故答案为：
40．s．
∵，
∴=20×10-9s，
用科学记数法表示得s，
故答案为：s．
41．（1）解：根据题意可得：
；
（2）解：当，时，
；
（3）解：，，
．
题型9 解分式方程
42．（1）解：，
，
，
，
检验， 当时，最简公分母，
∴是原方程的解．
（2）解：，
，
，
，
，
检验，当时，最简公分母，
∴是原方程的增根，舍去，
∴原方程无解．
43．解：，
，
，
，
，
，
，
，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为．
44．（1）解：
（2）解：
（3）解：
∴，
解得：
经检验：为原方程的解；
（4）解：
∴，即，
∴，
∴，
经检验：为原方程的解．
45．解：设，
原方程可化为，
方程两边同时乘以得，
解得，
经检验都是的解，
当时，有，解得：，
当时，有，解得：，
经检验：或都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为或．
46．（1）由题干中的解题步骤可得小红同学的解答错误，
故答案为：小红；
（2）解：
题型10 含参问题
47．解：，
方程两边乘，得，
整理，得．
当，即时，分式方程无解．
当时，，分式方程无解．
把代入整式方程，得，解得．
综上，m的值为1或．
48．（1）解：把，代入原分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
解得：，
检验：把代入，
∴原分式方程的解为：；
（2）解：把代入原分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
①当即时，原分式方程无解；
②当时，得，
Ⅰ.时，原分式方程无解，
即，此时b不存在；
Ⅱ.时，原分式方程无解，
即时，
此时；
综上所述，或时，分式方程无解；
（3）解：把代入分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
整理得，
解得：，
∵b为正整数，x为非负整数，
∴必为40的因数，，
∴或或或，
对应地，方程的解或2或12或32，
又为分式方程的增根，故应舍去，
对应地，b只可以取1或4或5，
∴满足条件的b可取1或4或5这三个数．
49．（1）解：把代入得，
，
解得；
（2），
两边都乘以得，
，
整理得，，
由分式有增根，则，
∴或，
把代入，a的值不存在，
把代入，解得，
综上可知，；
（3）由（2）可知，，
当时，方程无解，即，
当时，要使方程无解，则分式方程有增根，由（2）知，
综上可知，或．
50．解：∵方程两边乘，得，
∴．
∵方程的解为正数，
∴，即，解得．
又，即，解得，
∴且．
51．解：关于的分式方程化为整式方程是：，
解得：，
关于的分式方程的解为正数，
，
，
关于的分式方程可能会产生增根2，
，
，
解关于的一元一次不等式组得：，
关于的一元一次不等式组有解，
，
，
综上，且，
为整数，
或或0或1或2，
满足条件的整数的值之和是：．
52．解：将分式方程两边同乘以，得，
解得：．
∵方程的解是非负数，
∴，
解得；
又∵，即，
∴，
综上m的取值范围为且．
53．解：将方程两边同时乘以．
得
整理得①
当时，有
∴
将代入① 中，得
∴．经检验：是分式方程的解；
当时，有
∴
若是方程的增根，
则将代入①中
得
即时，①可化为
∴ (是增根，舍去)．
故原分式方程只有一个实数解．
当是方程的增根，
则将代入①中，
求得．
即时，①可化为
∴ (是增根，舍去)
故原分式方程只有一个实数解．
综上所述，当时，这个实数解为；
当时，这个实数解为；
当时，这个实数解为．
题型11 分式方程与实际问题
54．解：设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，
根据题意可得，，
整理得，，
解得，
经检验是该方程的解，
答：型车的平均速度为．
55．解：设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为千米/分钟，
根据题意得：，
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：乙同学骑自行车的速度为千米/分钟．
56．解：设一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时，
则一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时
整理得
解得
经检验：是原分式方程的解．
答：一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时.
57．解：设甲组有名工人，则乙组有名工人．
根据题意得：，
解答：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：甲组有名工人，乙组有名工人．
58．（1）解：设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道米，
根据题意得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，且符合题意，
∴，
则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米；
（2）解：设该公司原计划应安排y名工人施工，（天），
根据题意得：，
解得：，
∴不等式的最大整数解为8，
则该公司原计划最多应安排8名工人施工．
题型12新定义问题
59．（1）解：∵，，
∴
，
∴不是D的“雅中式”；
（2）解：∵分式，，P是Q的“雅中式”，
且P关于Q的“雅中值”是2，
∴
．
60．（1）解：∵，
，
∴，
∴分式是分式的“友好分式”；
故答案为：不是．
（2）解：①∵分式是分式A的“友好分式”，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
．
②∵，
∵整数x使得分式A的值是正整数，
∴，，2，
当时，，
当时，，
当时，，
综上分析可知：A的值为1或3或4．
（3）解：设M是关于的分式的“友好分式”，则：
，
∴
，
∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，
∴，
整理得：，
解得：，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴
即的最小值为．
61．解：由题意知，，
∵，
∴，
解得，
经检验：是原分式方程的解．
∴实数的值为．
62．（1）解：的解为：，，
故答案为：，；
（2）解：∵①的解为，；
②的解为，；
③的解为，；
……
∴第个方程为的解为，，
故答案为，，；
（3）证明：当时，左边右边；
当时，左边右边；
∴，均为方程的解．
63．（1）解：∵分式与为“5阶分式”，
∴，
∴，
∴，
即当满足，时，分式与为“5阶分式”；
（2）解：∵正数互为倒数，
，
，
∴分式与互为“2 阶分式”；
（3）解：∵分式与互为“1 阶分式”，
，
去分母，得，
则，
，
，
∴，
∵为正数，
，
解得：．
64．（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，即，
解得：，
经检验，符合题意，
∴．
65．（1）解：当，时，
分式方程，解得，
，
①的答案是；
当，时，
分式方程，解得，
，
②的答案是；
故答案为：；；
（2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”，
，，
，解得，
，
，
解得；
（3）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”，
，，
，，
，，
，
，
当时，解得，
将化简得：，
解得，
关于的方程有整数解，且为整数，
或，
即或或或，
解得或或（不是整数，舍去）或（不是整数，舍去），
，
．

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