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云南省丽江市华坪县第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试
高二数学试卷
满分150分，考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
注意事项:
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效.
单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.关于x的不等式的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4.函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到，则的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
5.某袋中有编号为的个小球（小球除编号外完全相同），甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是（ ）
A. B. C. D.
6.在空间直角坐标系中，点关于y轴的对称点为（ ）
A. B. C. D.
7.已知数列的前项和为，且，，则（ ）
A. 200 B. 210 C. 400 D. 410
8.设函数在R上存在导数，对任意的，有，且时，．若，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二.多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.在中，，这个三角形的周长可能等于( )
A. B. C. D.
10.设函数，则（ ）
A. 函数在上单调递增 B. 函数有三个零点
C. 函数有两个极值点 D. 点是曲线的对称中心
11.已知函数有2个极值点，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三.填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.若复数满足，则的最小值是__________.
13.已知抛物线则抛物线的准线方程为___________．
14.A，两名乒乓球选手进行决赛，根据赛前两位选手的统计数据，在一局比赛中获胜的概率是，若采用“五局三胜制”，则选手获胜的概率为_______________.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
（1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）
（2）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，若表示抽到的精品果的数量，求的分布列.
16.已知双曲线的左，右焦点分别为.
（1）若的实轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程；
（2）已知是双曲线的左支上一点，）.当周长最小时，求的面积.
17.在平面图形（如图1）中，已知，，，，将沿着折起到的位置，使得，连接、，得到四棱锥，如图2所示.
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的正弦值.
18.已知函数的最小正周期为．
（1）求的值；
（2）求的单调区间；
（3）求在区间上的取值范围．
19.已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）已知函数，求的单调区间；
（3）若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数a的取值范围．
一、单选题
1. A【解析】．
故选：A．
2. A【解析】将不等式因式分解为.
方程的两根为，.
因为是正数，所以，此时不等式的解集为.
要使解集中整数有且只有个，则这个整数为，，，所以.
故正数的取值范围是.
故选：A.
3. D【解析】函数的定义域为，关于原点对称．
且，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，排除A、B．
又，排除C．
所以选D．
4. D【解析】的图象向右平移个单位长度，
得到．
化简．
故选：D．
5. A【解析】甲从个小球中摸球，有种结果；
因为甲摸出球后放回，乙再摸球时，同样有种结果.
根据分步乘法计数原理，甲、乙摸球的基本事件总数种.
甲摸出一个球后，乙摸球时要与甲编号不同，此时乙有种选择.
由于甲有种摸球情况，
所以甲、乙两人所摸出球编号不同的事件数种.
所以甲、乙两人所摸出球编号不同的概率.
故选：A
6. A【解析】设点关于轴对称的点为，
根据空间直角坐标系中关于轴对称的点的坐标变换规律：，，.
对于点，，，，则其关于轴的对称点为.
7. B【解析】 已知，，当时，，解得.
当时，，与相减得.
当为奇数时，；
当为偶数时，.
所以，.
8. A【解析】设，则.
因为，所以，为偶函数.
对求导，.
当时，已知，即.
所以在上是增函数.
由，变形可得，
即.
因为是偶函数，所以.
又因为在上递增，所以.
两边平方得，展开，
化简得，解得.
所以实数的取值范围是.
答案选A.
二、多选题
9. AB【解析】由题意，由余弦定理有，即，
化简得，解得或，
经检验或均满足三角形三边关系，
所以这个三角形的周长可能为或.
故选：AB.
10. ACD【解析】函数，.
选项A：当时，，函数在上单调递增，A正确.
选项B：令，即，即，解得或，函数有个零点，B错误.
选项C：令，解得，由二次函数性质知是的变号零点，函数有两个极值点，C正确.
选项D：令，，
为奇函数，图象关于原点对称.
图象由图象向下平移个单位得到，所以点是曲线的对称中心，D正确.
11. BC【解析】由题意得的导函数有两个不同的实数根(要检查是否为两个异号零点)，
由，得,因为,所以恒成立，A错误；
由，得，令，得(经检查是两个异号零点)，B正确；
由，得，令，得，得(经检查是两个异号零点),C正确；
由，得，令，得，只有一个零点,D错误．
故选：BC.
三、填空题
12. 【解析】设复数对应的点为，由可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图.
表示点到原点的距离，则圆上与原点距离最小的点到原点的距离为圆心到原点的距离减去半径.
圆心到原点的距离为，则的最小值为.
13. 【解析】将抛物线化为，可得，
则.
抛物线准线方程为.
14. 【解析】若比赛进行局获胜，概率为.
若比赛进行局获胜，概率为.
若比赛进行局获胜，概率为.
则选手获胜的概率为.
四、解答题
15. 解：（1）依题意，记“从这100个水果中随机抽取1个，其为礼品果”为事件，则，
因为要有放回地随机抽取4个，所以每次抽到礼品果的概率不变，
设抽到礼品果的个数为，则，
所以恰好有2个水果是礼品果的概率为.
（2）依题意，要用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，所以抽出精品果有4个，非精品果有6个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，则精品果的数量服从超几何分布，的可能取值为0，1，2，3，所以.
故的分布列为
16. 解：（1）设双曲线的半焦距为.
已知双曲线实轴长，则；
焦距，则.
根据，可得.
双曲线渐近线方程为，将代入，
得渐近线方程为.
（2）对于双曲线，，，，
则左、右焦点，.
由双曲线的定义知，即.
的周长.
，
为定值.
要使最小，则需最小，当、、三点共线时，最小，
其值为.
直线的方程，根据截距式（，）可得，
变形为.
将代入双曲线方程得：
解得或（因为在轴上方，舍去）.
把代入，得，
所以.
.
，
.
所以.
17. （1）证明：由，，
得，故.
取中点，连、，
则，
又，四边形为平行四边形，且.
由，，
得，即.
因，，、平面，
故平面，平面，
则.
又，，、平面，
所以平面，平面，
故.
（2）解：以为原点，、、为、、轴建系，
得、、、、.
，，，.
设平面法向量，
由，令，得.
设平面法向量，
由，令，得.
，
则.
所以平面与平面夹角的正弦值为.
18. 解：（1）
.
因为最小正周期，由，解得.
（2）由（1）知.
令，
解得.
令，
解得.
所以递增区间是，递减区间是.
（3）当时，.
则，
所以.
即在区间上取值范围是.
19. 解：（1）对函数求导得，且，
所以在点处的切线方程为．
（2），，
，
令，解得，所以在上单调递减，
令，解得，所以在上单调递增，
所以的单调减区间为，单调增区间为．
（3）由题可知，由，等价于，，
构造函数，
则，
令，解得，所以在单调递减，
令，解得，所以在单调递增，
又，即，
所以．

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