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黑龙江省哈尔滨市2025-2026学年八年级（上）期末模拟数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列体育图标，其中是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列计算结果正确的是( )
A. B.
C. D.
3.在中，三边长分别为，，，且，分别为大于的整数，则( )
A. B. C. D.
4.如图所示是生活中常见的晾衣架，其形状可以近似看成图的等腰三角形，其中若，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，连接则的度数为( )
A. B. C. D.
6.如图，与相交于点，，，不添加辅助线，判定≌的依据是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图所示，，，，，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
8.某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度．设慢车的速度是，所列方程正确的是( )
A. B. C. D.
9.已知一张三角形纸片如图甲，其中将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为如图乙再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为如图丙原三角形纸片中，的大小为( )
A. B. C. D.
10.如图，为等边三角形，为的平分线，交于，，垂足为，若，则的长度为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.某种细胞的直径约为米，若将这个数字用科学记数法表示，可表示为，这里的值为 ．
12.若分式有意义，则的取值范围是 ．
13.在平面直角坐标系中，点的坐标是，若点与点关于轴对称，则点的坐标是 ．
14.分解因式： ．
15.若，，则 ．
16.如图，有三种正方形或长方形卡片，其中卡片张，卡片张，卡片张，用这张卡片可以拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长是 用含、的代数式表示．
17.如图，在中，点在边上，连接，，，，点是边上的动点，连接，则的最小值为 ．
18.如图，已知，点，，在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长是 ．
19.如图，在中，，，，点为中点，，为上一动点，连接，，则的最小值为 ．
20.如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持若点的运动时间为，则当 秒时，与全等．
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
先化简，再求值：，其中．
22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，的坐标分别为，，与关于轴对称，点，，的对称点分别为，，．
请在图中画出，并写出点，，的坐标；
若点是内的一点，其关于轴的对称点为，求，的值．
23.本小题分
将幂的运算利用逆向思维可以得到，，，为正整数在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
求的值．
若，求的值．
比较大小：若，，，，则，，，的大小关系是______．
提示：，为正整数，那么
24.本小题分
已知：中，，平分，连接、，延长交于点，
如图，求证：；
如图，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有底角为的等腰三角形．
25.本小题分
批发门市销售两种商品，甲种商品每件售价为元，乙种商品每件售价为元，五一来临之际，该门市为促销制定了两种优惠方案顾客只能选择其中一种方案：
方案一：卖一件甲种商品就赠送一件乙种商品；
方案二：按购买金额打八折付款．
某公司为奖励员工，购买了甲种商品件，乙种商品件．
分别写出优惠方案一购买费用元、优惠方案二购买费用元与乙种商品件之间的函数关系式；
当时，该公司选择哪一种方案更省钱？
26.本小题分
已知和都是等腰直角三角形，是直线上的一动点点不与点，重合，连接．
如图，当点在边上时，求证：；
如图，当点在边的延长线上时，直接写出，，之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系；
如图，当点在边的反向延长线上时，直接写出，，之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系．
27.本小题分
某校八年级数学兴趣小组开展了“测量风筝的垂直高度”数学实践活动小组成员利用课余时间完成了实地测量，并利用皮尺等工具采集了如下实验数据．
【数据采集】甲、乙两名同学手持风筝，小组成员在操场上进行了测量，并记录以下数据：
测量项目 同学甲的数据单位： 同学乙的数据单位：
高度
到风筝的水平距离
已放风筝线的长度根据手中剩余风筝线长度得出
风筝的垂直高度 待测 待测
【问题解决】
图是同学甲测量的示意图已知点、、在同一条直线上，于点，于点，于点，，求此时风筝的垂直高度；
如图，若同学甲站在点不动，风筝沿竖直方向从点的位置上升到点的位置，，则还需要放出风筝线多少米？
直接写出同学乙所放风筝的垂直高度是______，在的前提下，两名同学______填甲或乙的风筝更高．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.．
19.．
20.或或．
21.，．
解：
，
当时，原式．
22.解：关于轴对称的，如图即为所求；
由图可知，点，，；
由题意得：，
解得：．
23.解：原式
；
，
，
，
解得：；
，，，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
24.证明：平分，
，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
；
，平分，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
和和是底角为的等腰三角形．
25.解：方案一：卖一件甲种商品就赠送一件乙种商品；
方案二：按购买金额打八折付款．
根据题意得：优惠方案一购买费用，
优惠方案二购买费用．
当时，优惠方案一购买费用元，
优惠方案二购买费用元，
，
该公司选择方案二更省钱．
26.解：证明：和都是等腰直角三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
；；理由如下：
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
；
，；理由如下：
同得：≌，
，，
，
，
，
又是等腰直角三角形，
，
，
．
27.解：于点．
在中，，，
，
，
，
即此时风筝的高度是；
由知，
，
，
在中，，，
，
；
即则还需要放出风筝线米．
由题意得，，，，
，
同学乙所放风筝的垂直高度是，
，，
乙的风筝更高，
故答案为：，乙．

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