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河南省信阳市固始县一高二高2024-2025学年高二上学期1月期末
数学试题
一、单选题
1．已知向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．椭圆的两个焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长是（ ）
A．10 B．12 C．16 D．20
3．已知双曲线的左 右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段与轴的交点恰为的中点，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
4．已知直线l：的倾斜角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
5．已知在四面体中，，，，，为BC的中点，若.则（ ）

A． B． C． D．3
6．已知点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．年月我校组织年校庆活动，有甲、乙、丙名志愿者负责、、、等个任务．每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责任务的分配方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
8．过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（ ）

A．2 B． C． D．
二、多选题
9．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C．曲线与曲线恰有三条公切线，则
D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点
10．已知曲线：，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则是两条直线
B．若，则是圆，其半径为
C．若，则是椭圆
D．若，则是椭圆，其焦点在轴上
11．在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，点在棱上
B．当时，点到平面的距离为定值
C．当时，点在以的中点为端点的线段上
D．当时，平面
三、填空题
12．已知实数满足，则的最小值是 ．
13．已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则三角形的面积为 .
14．已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为 .
四、解答题
15．（1）计算： ；
（2） 若 ，则x的值为_____；
（3） 若 ，求正整数n．
16．已知直线与直线．
(1)若，求m的值；
(2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程．
17．椭圆的左、右焦点分别为，，经过右焦点且斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点．
(1)写出椭圆C的焦点坐标和离心率；
(2)求的面积．
18．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线与抛物线相切，且切点为，点为抛物线C上的点．
(1)求直线的方程；
(2)若直线不与轴垂直，点在轴上，轴，．若直线QP与抛物线和直线分别交于M，N两点，求证：．
19．如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，，，，，，为的中点.
(1)求证：；
(2)求点到平面的距离；
(3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．C
【详解】解：因为向量，且，所以存在实数，使得，即，所以，解得，所以
故选：C
2．D
【详解】由题意得，
由椭圆定义可知，，
所以的周长为.
故选：D
3．D
【详解】由于线段与轴的交点恰为的中点，且是的中点，
所以，由解得，
则，而，所以，
，
两边除以得，解得或（舍去）.
故选：D

4．C
【详解】因为直线l的倾斜角为，所以斜率，
所以，解得.
故选：C
5．B
【详解】因为，为BC的中点，
所以，
又，则，，，
所以.
故选：B.
6．B
【详解】因为
表示到点和的距离之和.
又在直线上，关于的对称点为，
所以，三点共线时等号成立，
所以，所求最小值为：.
故选：B
7．C
【详解】因任务有个，人只有三个，结合题意可知有人负责两个任务.
若甲负责两个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法，
则此时的分配方法共有种；
若甲负责个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法，
则此时的分配方法共有种；
综上，满足题意的分配方法共有种.
故选：C.
8．D
【详解】由题意得，，渐近线方程为.
因为，所以直线的方程为.
由得，即，
由得，即，
所以，
，
因为，所以，整理得，
所以双曲线的离心率.
故选：D.
9．BCD
【详解】由，得，
联立，解得，
直线恒过定点，故A错误；
圆心到直线的距离等于1，直线与圆相交，而圆的半径为2，
故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，
因此圆上有三个点到直线的距离等于1，故B正确；
两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线化为标准式，
曲线化为标准式，
圆心距为，解得，故C正确；
设点的坐标为，，以为直径的圆的方程为，
两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，，
令，，解得，，故直线经过定点，，故D正确．
故选：BCD
10．AD
【详解】对于A：若，，则曲线：，即，表示两条平行于轴的直线，故A正确；
对于B：若，方程化为，则是圆，其半径为，故B错误；
对于C：当，时满足，但是曲线：表示焦点在轴的双曲线，故C错误；
对于D：若，则可化为，
因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故D正确；
故选：AD
11．BCD
【详解】对于A，当时，，
又，所以即，又，
所以三点共线，故点在上，故A错误；
对于B，当时，，
又，所以即，又，
所以三点共线，故点在棱上，
由三棱柱性质可得平面，所以点到平面的距离为定值，故B正确；
对于C，当时，取的中点的中点，
所以且，，即，
所以即，又，
所以三点共线，故在线段上，故C正确；
对于D，当时，点为的中点，连接，
由题为正三角形，所以，又由正三棱柱性质可知，
因为，平面，所以平面，
又平面，所以，
因为，所以，又，
所以，所以，
所以，
设与相交于点O，则，即，
又，平面，
所以平面，因为平面，
所以，由正方形性质可知，
又，平面，
所以平面，故D正确.
故选：BCD.
12．
【详解】方程可化为，
所以是以为圆心，半径为的圆上的点，
与的距离是，
所以的最小值是.
故答案为：

13．4
4.
【详解】根据椭圆定义可知，
由勾股定理可得，
所以可得，
因此可得三角形的面积为.
故答案为：4
14．
【详解】设，，则，，
又，两式相减，
得，
即，整理得，
直线的方程为，
化简得，
故答案为：.
15．（1） ；（2）；（3） ．
【详解】（1）.
（2）依题意，，则，，
整理得：，而，所以.
（3）
，
因此，即，所以.
16．(1)
(2)或
【详解】（1）因为，所以，且，
由，得，解得或（舍去）
所以.
（2）因为点在直线上，
所以，得，所以点的坐标为，
所以设直线的方程为（），
令，则，令，则，
因为直线在两坐标轴上的截距之和为0，
所以，解得或，
所以直线的方程为或.
17．(1)，；
(2).
【详解】（1）椭圆的长半轴长，短半轴长，则半焦距，
所以，离心率.
（2）由（1）知，直线的方程为，

由消去得：，解得，
所以的面积.
18．(1)或
(2)证明见解析；
【详解】（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为2，则，所以抛物线的方程为，
当斜率存在时，设过点的直线的方程为，因为直线与抛物线相切，则联立得，，由解得，，
所以直线的方程为.
当直线斜率不存在时，满足过点的直线与抛物线相切，故过点与抛物线相切的直线方程为或
（2）因为直线不与轴垂直，则直线的方程为，根据题意如图所示：

由得，因为点为抛物线C上的点，设，
由，则为的中点，则，因为轴，且直线QP与抛物线和直线分别交于M，N两点，则
得，由得，
由，所以为的中点，即.
19．(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【详解】（1）证明：在中，因为，，，
所以，
所以，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以.
（2）由（1）可得，，又，所以，，两两垂直，以，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，
所以，，.
设平面的一个法向量，则，即，
令，则，，所以，
所以点到平面的距离.
（3）假设存在，设，则，
所以，
设平面DHP的一个法向量，因为，
所以，即，
令，则，，
所以，
设平面的一个法向量，因为，，
所以，即，
令，则，，所以，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得或（舍），
所以存在点，使得满足要求，此时，即.

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