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2025-2026学年北师大版数学七年级上册期末测试模拟题三
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025七上·长兴期末）下列运算正确的是（　　）
A．3x－2x＝1 B．2a＋3b＝5ab
C．2ab＋ab＝3ab D．2（x＋1）＝2x＋1
2．（2025七上·金湾期末）下列运用等式性质进行的变形，不正确的是（　　）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
3．（2025七上·东源期中）某几何体从前面、左面、上面看到的图形如图所示，则该几何体为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七上·深圳期末）在“世界无烟日”来临之际，小明和他的同学为了解某街道大约有多少成年人吸烟，于是随机调查了该街道个成年人，结果有个成年人吸烟．对于这个数据的收集与处理过程，下列说法正确的是（　　）
A．调查的方式是普查 B．该街道约有的成年人吸烟
C．该街道只有个成年人不吸烟 D．样本是个吸烟的成年人
5．（2024七上·香洲期末）如图，OB是的平分线，OD是的平分线．若，则是（　　）度．
A．40 B．60 C．70 D．80
6．（2024七上·天河期末）对于任意四个有理数a，b，c，d，定义新运算：．已知，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．
7．（2024七上·惠来期末）某中学对学生最喜欢的课外体育项目进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项，根据得到的数据，绘制的不完整统计图如图所示，则下列说法中不正确的是（　　）
A．这次调查的样本容量是200
B．全校1600名学生中，估计最喜欢排球的大约有240人
C．扇形统计图中，跳绳所对应的圆心角是45
D．被调查的学生中，最喜欢羽毛球的有60人
8．（2025七上·澄海期末）两根木条，一根长，另一根长，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为（ ）
A． B． C．或 D．或
9．（2025七上·龙岗期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：＂庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．＂其大意是：＂孩童们在庭院玩要，不知有多少人和梨子．每人分4梨，多12梨；每人分6梨，恰好分完．＂设孩童有名，则可列方程为（　　）．
A． B． C． D．
10．（2025七上·南海期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，折叠后点，在同一直线上，已知，的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024七上·信宜期末）如图，是一个正在绘制的扇形统计图，整个圆表示八年级全体同学参加拓展课的总人数，那么表示参加“生活数学”拓展课的人数占总人数的的扇形是　 　．（填“”“”“”或“”）
12．（2025七上·龙岗期末）如图所示为哥哥与弟弟的聊天记录，则哥哥想买的平板电脑的原价为　 　元．
13．（2024七上·广州月考）方程是一元一次方程，则　 　.
14．（2024七上·湛江期末）如图，已知，平分，平分．若，则的度数是　 　 °．
15．（2025七上·花都期末）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行，例如：取，则，其中第1次，第2次，．若，则第2025次“”运算的结果是　 　．
16．（2024七上·广州月考）如图，数轴上线段，，点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是16，若线段以6个单位长度/s的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/s的速度向左匀速运动.当点B运动到线段上时，P是线段上一点，且有关系式成立，则线段的长为　 　.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024七上·揭阳期末）解方程：
（1）；
（2）
18．（2025七上·惠东期末）先化简，再求值：，其中，．
19．（2024七上·龙华期末）（空气质量指数）描述了空气清洁或者污染的程度，以及对健康的影响．环保局根据将空气质量分为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染6个类别．小华根据环保局提供的数据绘制了某市2023年4月份和11月份每天的空气质量情况的相关统计图表（这两个月均为30天），请你根据以下信息回答问题：
4月份的空气质量情况
11月份的空气质量情况
空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
天数 16 11 1 2 a b
【整理与表示】
（1）请你在图中补全4月份空气质量情况的条形统计图；
（2）如果将4月份的空气质量情况制作成扇形统计图，则严重污染的天数所在扇形的圆心角度数为　 　°；
（3）由上表填空：　 　．
（4）【分析与判断】
请你结合上述信息，比较分析4月份和11月份的空气质量状况，并说明理由．
20．如图所示，点C在线段AB上，AC=8cm，CB=6cm，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）求线段MN的长．
（2）若C为线段AB上任意一点，满足AC+CB=acm，其他条件不变，你能猜想出MN的长度吗？并说明理由．
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣CB=bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想出MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
21．（2024七上·坪山期末）如图，和共顶点，为直角，是的角平分线，．
（1）求的度数；
（2）若，求的度数．
22．（2024七上·罗定期末）某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多25件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：
（注：获利=售价进价）
　 甲 乙
进价（元/件） 20 30
售价（元/件） 26 40
（1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
（3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？
23．（2023七上·中山期末）将连续的自然数1到150按图1的方式排列成一个方阵：
（1）在图1中，第6行的第3个数是　 　，第20行的最后一个数是　 　；
（2）如图2，用一个正方形在该方阵中任意框出9个数，请用代数方法说明这9个数之和一定是9的倍数；
（3）如图3，若用如图所示的长方形在该方阵中任意框出6个数，这6个数之和能等于156吗？如果能，请求出这6个数；如果不能，请说明理由．
24．（2024七上·湘桥期末）如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．（注：本题旋转角度最多．）
（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后，　 　度（用含的式子表示），若恰好平分，则　 　秒（直接写结果）．
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过秒后， ▲ 度（用含的式子表示）若平分，求为多少秒？
（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒平分？（直接写结果）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】整式的加减运算；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、3x－2x＝x，故本选项错误，不合题意；
B、2a＋3b不能合并计算，故本选项错误，不合题意；
C、2ab＋ab＝3ab，故本选项正确，符合题意；
D、2（x＋1）＝2x＋2，故本选项错误，不符合题意；
故选择：C．
【分析】利用合并同类项的法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，可对A、B、C作出判断；再利用括号外面的数要与括号里的每一项相乘，可对D作出判断.
2．【答案】B
【知识点】等式的基本性质；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：A、如果，那么，正确，不符合题意；
B、如果，那么，故原选项错误，符合题意；
C、如果，那么，正确，不符合题意；
D、如果，那么，正确，不符合题意；
故选：B ．
【分析】本题考查了等式的性质，其中等式两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍成立；等式两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式仍成立，结合等式的性质，逐项分析判断，即可求解.
3．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得该几何体下半部分是圆柱，上半部分是圆锥，
故答案为：D
【分析】先根据三视图得到该几何体下半部分是圆柱，上半部分是圆锥，进而即可得到其组合体。
4．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：A、根据题意，随机调查1000个成年人，不代表该街道只有1000人，所以属于抽样调查，A选项错误；
B、用样本估计总体，所以本地区约有18%的成年人吸烟是对的，B选项正确；
C、这1000个人中有180人吸烟不代表该街道只有180个成年人吸烟，820个成年人不吸烟，C选项错误；
D、样本是1000个成年人的吸烟情况，D选项错误.
故答案为：B.
【分析】普查的结果比较准确，但这个调查的数量太大费时费力且不必要，故选用抽查，再用样本估计总体即可.
5．【答案】C
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：解：∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，
∴∠COD＝∠COE，∠BOC=∠AOC，
∵∠AOB＝40°，∠COE＝60°，
∴∠BOC＝40°，∠COD＝30°，
∴∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝40°＋30°＝70°．
故答案为：C.
【分析】先利用角平分线的定义可得∠COD＝∠COE，∠BOC=∠AOC，再；利用角的运算和等量代换可得∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝40°＋30°＝70°．
6．【答案】C
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：，，
，
化简得：，
移项、合并同类项，得，
解得：．
故选：C．
【分析】本题考查了定义新运算，以及解一元一次方程，根据新运算的定义：，将变换成，结合一元一次方程的解法，求得x的值，即可得到答案．
7．【答案】C
【知识点】扇形统计图；折线统计图
【解析】【解答】解：∵70÷35%=200
∴这次调查的样本容量是200，A正确
喜欢羽毛球的有200×30%=60人，D正确
喜欢跳绳的有30人，喜欢其他的有10人
∴喜欢排球的有200-70-60-30-10=30人
∴全校1600名学生中，估计最喜欢排球的大约有人，B正确
∴跳绳所对的圆心角为，C错误
故答案为：C
【分析】根据题意逐项进行判断即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】线段上的两点间的距离；线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：设较长的木条为，较短的木条为，
，，
分别为的中点，
，，
①在上时，如图，
，
②在延长线上时，如图，
，
故答案为：D ．
【分析】
本题考查了两点间的距离，分两种情况讨论计算是解题关键．
设较长的木条为AB，较短的木条为BC，根据中点的定义可知：，，再根据两根木条一端重合（设重合点为A与C重合)，分以下两种摆放情况：两根木条同向摆放即：在上时，，②两根木条反向摆放，即不在上时，，分别代入数值计算即可得到答案．
9．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解： 设孩童有名，根据题意，有.
故答案为：A.
【分析】由“每人分4梨，多12梨”可知，梨的总数可表示为4x+12，而又由“ 每人分6梨，恰好分完 ”可知，梨的总数也可表示为6x. 因为梨的总数不变，所以可建立方程 .
10．【答案】B
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：由题意知，，
则，，
所以，
∵，
∴．
∴；
故答案为：B．
【分析】
根据折叠的性质得到，，再由角平分线的定义得到，，在进行角度的和差运算即可解答．
11．【答案】M
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：参加“生活数学”拓展课的人数占总人数的35%，对应的扇形圆心角度数为360°×35%=126°，对应扇形圆心角比Q更大，故对应的扇形应该是M.
故答案为：M.
【分析】用360°乘以参加“生活数学”拓展课的人数所占的百分比可得参加“生活数学”拓展课的人数扇形的圆心角的度数，再将其与Q扇形圆心角度数比较即可得到答案.
12．【答案】2000
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设平板电脑的原价为x元，
由题意得，，
解得：．
则哥哥想买的平板电脑的原价为元，
故答案为：．
【分析】设平板电脑的原价为x元，利用“ 原价的折出售可比预算便宜100元 ”列出方程，再求解即可.
13．【答案】1
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵是一元一次方程，
∴且.
∴.
【分析】根据一元一次方程的定义，方程的次数必须为1，且未知数的系数不能为0. 因此需要满足两个条件且，而确定k的值.
14．【答案】52
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵平分，平分，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴=
∴．
故答案为：.
【分析】先利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换可得，再结合，将数据代入求出即可．
15．【答案】4
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：由题意知，当时，第1次，，
第2次，，
第3次，，
第4次，，
第5次，，
……
∴从第2次开始，每两次运算为一个循环，结果分别为1，4，
∴，
∴第次“”运算的结果是4，
故答案为：4．
【分析】根据题意求出前5次的运算结果，总结规律，结合有理数的混合运算即可求出答案.
16．【答案】或
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；线段的和、差、倍、分的简单计算；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：设线段未运动时点表示的数为，点运动时间为.
则秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为.
∴，
，
，
.
∵ ，
∴.
即：.
①当点在点右侧时，
.
∴.
∴；
②当点在点左侧时，
.
∴.
∴.
故答案为：或.
【分析】随着点的运动，分别讨论当当点在点右侧及左侧时的情况. 至于点与点重合的情况不需要讨论，因为原题条件 表明.
17．【答案】（1）解：2（y+2）﹣3（4y﹣1）＝9（1﹣y），
2y+4﹣12y+3＝9﹣9y，
2y﹣12y+9y＝9﹣3﹣4，
﹣y＝2，
y＝﹣2；
（2）解：5（2x+1）＝15﹣3（x﹣1），
10x+5＝15﹣3x+3，
10x+3x＝15+3﹣5，
13x＝13，
x＝1．
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）先根据去括号法则把括号去掉，再移项，合并同类项，把系数化为1即可求出方程的解.
（2）先找到分母的最小公倍数，再把方程两边的每一项都乘以这个数，进而把分母去掉；然后利用去括号法则把括号去掉；然后再移项、合并同类项、系数化为1，进而求出方程的解.
18．【答案】解：
，
当，时，原式．
【知识点】利用整式的加减运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】去括号，合并同类项化简，再将a，b值代入即可求出答案.
19．【答案】（1）见解析；（2）24；（3）0；（4）11月份的空气质量比4月份的空气质量好；理由见解析
（1）解：4月份的天数有30天，
则4月份的空气质量为优的天数为：（天）；
补全统计图，如图所示：
（2）24
（3）0
（4）解：11月份的空气质量比4月份的好；理由如下：
因为11月份空气质量为优的天数比4月份多，且11月份空气质量为重度污染和严重污染的天数为0，而4月份空气质量为重度污染的天数为2天，严重污染的天数为2天，所以11月份的空气质量比4月份的空气质量好．
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】（2）解：由题意可得，严重污染的天数为2天；
则严重污染的天数所在扇形的圆心角度数为：；
故答案为：24；
（3）解：11月份有30天，根据题意可得
；
故答案为：0；
【分析】（1）根据4月份的总天数，再减去剩余类别的天数，即可求出4月份的空气质量为优的天数，然后再补全条形统计图即可；
（2）先求出严重污染的天数所占总天数的百分比，再乘以，即可求解；
（3）根据11月份天数以及11月份的空气质量表格，求出的值即可；
（4）根据统计图和统计表中的信息，从空气类别为优、重度污染和严重污染天数等类别进行讨论，分析求解即可．
20．【答案】解：（1）∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=AC=×8cm=4cm，NC=BC=×6cm=3cm，
∴MN=MC+NC=4cm+3cm=7cm；
（2）MN=acm．理由如下：
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=AC，NC=BC，
∴MN=MC+NC=AC+BC=AB=acm；
（3）解：如图，
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=AC，NC=BC，
∴MN=MC﹣NC=AC﹣BC=（AC﹣BC）=bcm．
【知识点】线段上的两点间的距离
【解析】【分析】（1）根据线段中点的定义得到MC=AC=4cm，NC=BC=3cm，然后利用MN=MC+NC进行计算；
（2）根据线段中点的定义得到MC=AC，NC=BC，然后利用MN=MC+NC得到MN=acm；
（3）先画图，再根据线段中点的定义得MC=AC，NC=BC，然后利用MN=MC﹣NC得到MN=bcm．
21．【答案】（1）解：如图，
∵为直角，是的角平分线，
∴，
∴.
（2）解：如图，
∵，，
∴，
∴或
∴的度数为或．
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据为直角，是的角平分线，得，再根据即可求解.
（2）根据，得，再由或，求解即可.
（1）解：∵为直角，是的角平分线，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴或，
∴的度数为或．
22．【答案】（1）解：设购进甲商品x件，则购进乙商品件，，
解得：，
∴，
答：购进甲商品150件，购进乙商品100件；
（2）解：根据题意可得：
（元），
答：可获利1900元；
（3）解：第二次购进甲商品件，
第二次购进乙商品（件），
设第二次乙商品是按原价打y折销售，
，
解得：，
答：第二次乙商品是按原价打9折销售．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【分析】（1）设购进甲商品x件，得到购进乙商品件，结合“用6000元购进甲、乙两种商品”，列出方程，即可求解；
（2）根据“总利润=甲的利润+乙的利润”，列出算式，即可求解；
（3）先得出第二次购进甲商品件，乙商品300件，设第二次乙商品是按原价打y折销售，根据“第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元”，列出方程，即可求解．
23．【答案】（1）33；120
（2）解：设任意框出的9个数中的第一个数为x，则剩下的8个数分别为、、、、、、、，
∴，
∴这9个数之和一定是9的倍数；
（3）解：由题意可分①当框出的6个数都在一排时，则设第一个数为m，则剩下的5个数为、、、、，
∴
解得：，
∴不存在6个数的和为156；
②当框出的6个数分为上下两排时，则设第一个数为m，则剩下的5个数为、、、、，
∴
解得：，
∴当这6个数为22、23、24、28、29、30时，它们的和能为156；
③当框出的6个数分为三排时，则设第一个数为m，则剩下的5个数为、、、、，
∴
解得：，
∴不存在6个数的和为156；
综上所述：当这6个数为22、23、24、28、29、30时，它们的和能为156．
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】（1）解：由方阵的特征可知：每一行的开头数字为6n-5，最后一个数字是6n，
∴第6行的第3个数是，第20行的最后一个数是；
故答案为33；120；
【分析】（1）结合图1中的数据排列求解即可；
（2）设任意框出的9个数中的第一个数为x，再将所有数据相加可得，再根据结果判断即可；
（3）分类讨论，再分别列出方程求解即可。
24．【答案】（1）；5
（2）45°；
解：∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，
∴设∠AON=3t，∠AOC=30+6t，
∵∠AOC-∠AON=∠CON，
∴30+6t-3t=45，
解得t=5，
∴经过5秒OC平分∠MON．
（3）解：如图：
∵，
由题可设为，为
∴
∵
解得：秒
答：经过秒平分．
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：(1) ∵三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，
∴经过秒后， (度)，
∵∠AOC=30°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=150°，
∵OM平分∠BOC，
，
∠AON=180°-90°-75°=15°，
（s），
故答案为：3t，5；
(2) ∵OC平分∠MON，∠MON=90°，
∴∠CON=∠COM=45°，
故答案为：45°；
【分析】（1）根据角平分线的定义计算即可；
（2）设∠AON=3t，∠AOC=30+6t，根据∠AOC-∠AON=∠CON，构建方程即可解决问题；
（3）根据平分，列出关于t的方程求解.
1 / 12025-2026学年北师大版数学七年级上册期末测试模拟题三
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025七上·长兴期末）下列运算正确的是（　　）
A．3x－2x＝1 B．2a＋3b＝5ab
C．2ab＋ab＝3ab D．2（x＋1）＝2x＋1
【答案】C
【知识点】整式的加减运算；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、3x－2x＝x，故本选项错误，不合题意；
B、2a＋3b不能合并计算，故本选项错误，不合题意；
C、2ab＋ab＝3ab，故本选项正确，符合题意；
D、2（x＋1）＝2x＋2，故本选项错误，不符合题意；
故选择：C．
【分析】利用合并同类项的法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，可对A、B、C作出判断；再利用括号外面的数要与括号里的每一项相乘，可对D作出判断.
2．（2025七上·金湾期末）下列运用等式性质进行的变形，不正确的是（　　）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】B
【知识点】等式的基本性质；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：A、如果，那么，正确，不符合题意；
B、如果，那么，故原选项错误，符合题意；
C、如果，那么，正确，不符合题意；
D、如果，那么，正确，不符合题意；
故选：B ．
【分析】本题考查了等式的性质，其中等式两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍成立；等式两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式仍成立，结合等式的性质，逐项分析判断，即可求解.
3．（2025七上·东源期中）某几何体从前面、左面、上面看到的图形如图所示，则该几何体为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得该几何体下半部分是圆柱，上半部分是圆锥，
故答案为：D
【分析】先根据三视图得到该几何体下半部分是圆柱，上半部分是圆锥，进而即可得到其组合体。
4．（2024七上·深圳期末）在“世界无烟日”来临之际，小明和他的同学为了解某街道大约有多少成年人吸烟，于是随机调查了该街道个成年人，结果有个成年人吸烟．对于这个数据的收集与处理过程，下列说法正确的是（　　）
A．调查的方式是普查 B．该街道约有的成年人吸烟
C．该街道只有个成年人不吸烟 D．样本是个吸烟的成年人
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：A、根据题意，随机调查1000个成年人，不代表该街道只有1000人，所以属于抽样调查，A选项错误；
B、用样本估计总体，所以本地区约有18%的成年人吸烟是对的，B选项正确；
C、这1000个人中有180人吸烟不代表该街道只有180个成年人吸烟，820个成年人不吸烟，C选项错误；
D、样本是1000个成年人的吸烟情况，D选项错误.
故答案为：B.
【分析】普查的结果比较准确，但这个调查的数量太大费时费力且不必要，故选用抽查，再用样本估计总体即可.
5．（2024七上·香洲期末）如图，OB是的平分线，OD是的平分线．若，则是（　　）度．
A．40 B．60 C．70 D．80
【答案】C
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：解：∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，
∴∠COD＝∠COE，∠BOC=∠AOC，
∵∠AOB＝40°，∠COE＝60°，
∴∠BOC＝40°，∠COD＝30°，
∴∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝40°＋30°＝70°．
故答案为：C.
【分析】先利用角平分线的定义可得∠COD＝∠COE，∠BOC=∠AOC，再；利用角的运算和等量代换可得∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝40°＋30°＝70°．
6．（2024七上·天河期末）对于任意四个有理数a，b，c，d，定义新运算：．已知，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：，，
，
化简得：，
移项、合并同类项，得，
解得：．
故选：C．
【分析】本题考查了定义新运算，以及解一元一次方程，根据新运算的定义：，将变换成，结合一元一次方程的解法，求得x的值，即可得到答案．
7．（2024七上·惠来期末）某中学对学生最喜欢的课外体育项目进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项，根据得到的数据，绘制的不完整统计图如图所示，则下列说法中不正确的是（　　）
A．这次调查的样本容量是200
B．全校1600名学生中，估计最喜欢排球的大约有240人
C．扇形统计图中，跳绳所对应的圆心角是45
D．被调查的学生中，最喜欢羽毛球的有60人
【答案】C
【知识点】扇形统计图；折线统计图
【解析】【解答】解：∵70÷35%=200
∴这次调查的样本容量是200，A正确
喜欢羽毛球的有200×30%=60人，D正确
喜欢跳绳的有30人，喜欢其他的有10人
∴喜欢排球的有200-70-60-30-10=30人
∴全校1600名学生中，估计最喜欢排球的大约有人，B正确
∴跳绳所对的圆心角为，C错误
故答案为：C
【分析】根据题意逐项进行判断即可求出答案.
8．（2025七上·澄海期末）两根木条，一根长，另一根长，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】线段上的两点间的距离；线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：设较长的木条为，较短的木条为，
，，
分别为的中点，
，，
①在上时，如图，
，
②在延长线上时，如图，
，
故答案为：D ．
【分析】
本题考查了两点间的距离，分两种情况讨论计算是解题关键．
设较长的木条为AB，较短的木条为BC，根据中点的定义可知：，，再根据两根木条一端重合（设重合点为A与C重合)，分以下两种摆放情况：两根木条同向摆放即：在上时，，②两根木条反向摆放，即不在上时，，分别代入数值计算即可得到答案．
9．（2025七上·龙岗期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：＂庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．＂其大意是：＂孩童们在庭院玩要，不知有多少人和梨子．每人分4梨，多12梨；每人分6梨，恰好分完．＂设孩童有名，则可列方程为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解： 设孩童有名，根据题意，有.
故答案为：A.
【分析】由“每人分4梨，多12梨”可知，梨的总数可表示为4x+12，而又由“ 每人分6梨，恰好分完 ”可知，梨的总数也可表示为6x. 因为梨的总数不变，所以可建立方程 .
10．（2025七上·南海期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，折叠后点，在同一直线上，已知，的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：由题意知，，
则，，
所以，
∵，
∴．
∴；
故答案为：B．
【分析】
根据折叠的性质得到，，再由角平分线的定义得到，，在进行角度的和差运算即可解答．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024七上·信宜期末）如图，是一个正在绘制的扇形统计图，整个圆表示八年级全体同学参加拓展课的总人数，那么表示参加“生活数学”拓展课的人数占总人数的的扇形是　 　．（填“”“”“”或“”）
【答案】M
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：参加“生活数学”拓展课的人数占总人数的35%，对应的扇形圆心角度数为360°×35%=126°，对应扇形圆心角比Q更大，故对应的扇形应该是M.
故答案为：M.
【分析】用360°乘以参加“生活数学”拓展课的人数所占的百分比可得参加“生活数学”拓展课的人数扇形的圆心角的度数，再将其与Q扇形圆心角度数比较即可得到答案.
12．（2025七上·龙岗期末）如图所示为哥哥与弟弟的聊天记录，则哥哥想买的平板电脑的原价为　 　元．
【答案】2000
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设平板电脑的原价为x元，
由题意得，，
解得：．
则哥哥想买的平板电脑的原价为元，
故答案为：．
【分析】设平板电脑的原价为x元，利用“ 原价的折出售可比预算便宜100元 ”列出方程，再求解即可.
13．（2024七上·广州月考）方程是一元一次方程，则　 　.
【答案】1
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵是一元一次方程，
∴且.
∴.
【分析】根据一元一次方程的定义，方程的次数必须为1，且未知数的系数不能为0. 因此需要满足两个条件且，而确定k的值.
14．（2024七上·湛江期末）如图，已知，平分，平分．若，则的度数是　 　 °．
【答案】52
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵平分，平分，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴=
∴．
故答案为：.
【分析】先利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换可得，再结合，将数据代入求出即可．
15．（2025七上·花都期末）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行，例如：取，则，其中第1次，第2次，．若，则第2025次“”运算的结果是　 　．
【答案】4
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：由题意知，当时，第1次，，
第2次，，
第3次，，
第4次，，
第5次，，
……
∴从第2次开始，每两次运算为一个循环，结果分别为1，4，
∴，
∴第次“”运算的结果是4，
故答案为：4．
【分析】根据题意求出前5次的运算结果，总结规律，结合有理数的混合运算即可求出答案.
16．（2024七上·广州月考）如图，数轴上线段，，点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是16，若线段以6个单位长度/s的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/s的速度向左匀速运动.当点B运动到线段上时，P是线段上一点，且有关系式成立，则线段的长为　 　.
【答案】或
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；线段的和、差、倍、分的简单计算；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：设线段未运动时点表示的数为，点运动时间为.
则秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为.
∴，
，
，
.
∵ ，
∴.
即：.
①当点在点右侧时，
.
∴.
∴；
②当点在点左侧时，
.
∴.
∴.
故答案为：或.
【分析】随着点的运动，分别讨论当当点在点右侧及左侧时的情况. 至于点与点重合的情况不需要讨论，因为原题条件 表明.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024七上·揭阳期末）解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：2（y+2）﹣3（4y﹣1）＝9（1﹣y），
2y+4﹣12y+3＝9﹣9y，
2y﹣12y+9y＝9﹣3﹣4，
﹣y＝2，
y＝﹣2；
（2）解：5（2x+1）＝15﹣3（x﹣1），
10x+5＝15﹣3x+3，
10x+3x＝15+3﹣5，
13x＝13，
x＝1．
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）先根据去括号法则把括号去掉，再移项，合并同类项，把系数化为1即可求出方程的解.
（2）先找到分母的最小公倍数，再把方程两边的每一项都乘以这个数，进而把分母去掉；然后利用去括号法则把括号去掉；然后再移项、合并同类项、系数化为1，进而求出方程的解.
18．（2025七上·惠东期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
，
当，时，原式．
【知识点】利用整式的加减运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】去括号，合并同类项化简，再将a，b值代入即可求出答案.
19．（2024七上·龙华期末）（空气质量指数）描述了空气清洁或者污染的程度，以及对健康的影响．环保局根据将空气质量分为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染6个类别．小华根据环保局提供的数据绘制了某市2023年4月份和11月份每天的空气质量情况的相关统计图表（这两个月均为30天），请你根据以下信息回答问题：
4月份的空气质量情况
11月份的空气质量情况
空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
天数 16 11 1 2 a b
【整理与表示】
（1）请你在图中补全4月份空气质量情况的条形统计图；
（2）如果将4月份的空气质量情况制作成扇形统计图，则严重污染的天数所在扇形的圆心角度数为　 　°；
（3）由上表填空：　 　．
（4）【分析与判断】
请你结合上述信息，比较分析4月份和11月份的空气质量状况，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）24；（3）0；（4）11月份的空气质量比4月份的空气质量好；理由见解析
（1）解：4月份的天数有30天，
则4月份的空气质量为优的天数为：（天）；
补全统计图，如图所示：
（2）24
（3）0
（4）解：11月份的空气质量比4月份的好；理由如下：
因为11月份空气质量为优的天数比4月份多，且11月份空气质量为重度污染和严重污染的天数为0，而4月份空气质量为重度污染的天数为2天，严重污染的天数为2天，所以11月份的空气质量比4月份的空气质量好．
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】（2）解：由题意可得，严重污染的天数为2天；
则严重污染的天数所在扇形的圆心角度数为：；
故答案为：24；
（3）解：11月份有30天，根据题意可得
；
故答案为：0；
【分析】（1）根据4月份的总天数，再减去剩余类别的天数，即可求出4月份的空气质量为优的天数，然后再补全条形统计图即可；
（2）先求出严重污染的天数所占总天数的百分比，再乘以，即可求解；
（3）根据11月份天数以及11月份的空气质量表格，求出的值即可；
（4）根据统计图和统计表中的信息，从空气类别为优、重度污染和严重污染天数等类别进行讨论，分析求解即可．
20．如图所示，点C在线段AB上，AC=8cm，CB=6cm，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）求线段MN的长．
（2）若C为线段AB上任意一点，满足AC+CB=acm，其他条件不变，你能猜想出MN的长度吗？并说明理由．
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣CB=bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想出MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
【答案】解：（1）∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=AC=×8cm=4cm，NC=BC=×6cm=3cm，
∴MN=MC+NC=4cm+3cm=7cm；
（2）MN=acm．理由如下：
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=AC，NC=BC，
∴MN=MC+NC=AC+BC=AB=acm；
（3）解：如图，
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=AC，NC=BC，
∴MN=MC﹣NC=AC﹣BC=（AC﹣BC）=bcm．
【知识点】线段上的两点间的距离
【解析】【分析】（1）根据线段中点的定义得到MC=AC=4cm，NC=BC=3cm，然后利用MN=MC+NC进行计算；
（2）根据线段中点的定义得到MC=AC，NC=BC，然后利用MN=MC+NC得到MN=acm；
（3）先画图，再根据线段中点的定义得MC=AC，NC=BC，然后利用MN=MC﹣NC得到MN=bcm．
21．（2024七上·坪山期末）如图，和共顶点，为直角，是的角平分线，．
（1）求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：如图，
∵为直角，是的角平分线，
∴，
∴.
（2）解：如图，
∵，，
∴，
∴或
∴的度数为或．
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据为直角，是的角平分线，得，再根据即可求解.
（2）根据，得，再由或，求解即可.
（1）解：∵为直角，是的角平分线，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴或，
∴的度数为或．
22．（2024七上·罗定期末）某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多25件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：
（注：获利=售价进价）
　 甲 乙
进价（元/件） 20 30
售价（元/件） 26 40
（1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
（3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？
【答案】（1）解：设购进甲商品x件，则购进乙商品件，，
解得：，
∴，
答：购进甲商品150件，购进乙商品100件；
（2）解：根据题意可得：
（元），
答：可获利1900元；
（3）解：第二次购进甲商品件，
第二次购进乙商品（件），
设第二次乙商品是按原价打y折销售，
，
解得：，
答：第二次乙商品是按原价打9折销售．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【分析】（1）设购进甲商品x件，得到购进乙商品件，结合“用6000元购进甲、乙两种商品”，列出方程，即可求解；
（2）根据“总利润=甲的利润+乙的利润”，列出算式，即可求解；
（3）先得出第二次购进甲商品件，乙商品300件，设第二次乙商品是按原价打y折销售，根据“第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元”，列出方程，即可求解．
23．（2023七上·中山期末）将连续的自然数1到150按图1的方式排列成一个方阵：
（1）在图1中，第6行的第3个数是　 　，第20行的最后一个数是　 　；
（2）如图2，用一个正方形在该方阵中任意框出9个数，请用代数方法说明这9个数之和一定是9的倍数；
（3）如图3，若用如图所示的长方形在该方阵中任意框出6个数，这6个数之和能等于156吗？如果能，请求出这6个数；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）33；120
（2）解：设任意框出的9个数中的第一个数为x，则剩下的8个数分别为、、、、、、、，
∴，
∴这9个数之和一定是9的倍数；
（3）解：由题意可分①当框出的6个数都在一排时，则设第一个数为m，则剩下的5个数为、、、、，
∴
解得：，
∴不存在6个数的和为156；
②当框出的6个数分为上下两排时，则设第一个数为m，则剩下的5个数为、、、、，
∴
解得：，
∴当这6个数为22、23、24、28、29、30时，它们的和能为156；
③当框出的6个数分为三排时，则设第一个数为m，则剩下的5个数为、、、、，
∴
解得：，
∴不存在6个数的和为156；
综上所述：当这6个数为22、23、24、28、29、30时，它们的和能为156．
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】（1）解：由方阵的特征可知：每一行的开头数字为6n-5，最后一个数字是6n，
∴第6行的第3个数是，第20行的最后一个数是；
故答案为33；120；
【分析】（1）结合图1中的数据排列求解即可；
（2）设任意框出的9个数中的第一个数为x，再将所有数据相加可得，再根据结果判断即可；
（3）分类讨论，再分别列出方程求解即可。
24．（2024七上·湘桥期末）如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．（注：本题旋转角度最多．）
（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后，　 　度（用含的式子表示），若恰好平分，则　 　秒（直接写结果）．
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过秒后， ▲ 度（用含的式子表示）若平分，求为多少秒？
（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒平分？（直接写结果）
【答案】（1）；5
（2）45°；
解：∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，
∴设∠AON=3t，∠AOC=30+6t，
∵∠AOC-∠AON=∠CON，
∴30+6t-3t=45，
解得t=5，
∴经过5秒OC平分∠MON．
（3）解：如图：
∵，
由题可设为，为
∴
∵
解得：秒
答：经过秒平分．
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：(1) ∵三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，
∴经过秒后， (度)，
∵∠AOC=30°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=150°，
∵OM平分∠BOC，
，
∠AON=180°-90°-75°=15°，
（s），
故答案为：3t，5；
(2) ∵OC平分∠MON，∠MON=90°，
∴∠CON=∠COM=45°，
故答案为：45°；
【分析】（1）根据角平分线的定义计算即可；
（2）设∠AON=3t，∠AOC=30+6t，根据∠AOC-∠AON=∠CON，构建方程即可解决问题；
（3）根据平分，列出关于t的方程求解.
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