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江苏省盐城市七校联盟2025-2026学年高三上学期1月第三次学情检测数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数z满足，则在复平面内z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
4．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．1 B．3 C． D．
5．目前你手头上做的这份数学试卷含有多选题的考查，多选题一般有多个选项正确，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.现已知一道多选题有四个选项，其中有三个选项是正确的，且得分细则为选对2个得4分.小丁不会做这道题，若他决定随机选择两个选项作答，则他最后该题得4分的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．展开式的二项式系数和64，则展开式中的有理项个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
8．已知双曲线与平行于轴的动直线交于，两点，点在点左侧，为双曲线的左焦点，延长至点，使，连接交轴于点，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
二、多选题
9．在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（ ）
A．1 B． C． D．4
10．通常把半径相等的圆称为等圆.在平面上过同一点有个等圆，其中任何两个圆都有两个不同的交点，但任何三个圆除点外无其他公共点，记这个等圆共有个交点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．任意且，都有
D．存在，使得
11．在平面直角坐标系中，已知曲线，点P在曲线C上，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C关于原点对称
B．直线与曲线C有2个公共点
C．点P的纵坐标的取值范围是
D．的最大值为3
三、填空题
12．已知随机变量满足，且，则 .
13．小林体检后，遵照医嘱：在疗程内每天需要饮水.若小林用的水杯近似为正四棱台，尺寸为：上口边长为，底部边长为，高为，厚度忽略不计，则小林在疗程内每天需要饮水的杯数至少是 .（结果向上取整）
14．若函数在上有且仅有四个零点，则实数的范围为 .
四、解答题
15．随着新能源产业的发展，某地区近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究充电桩建设的情况，相关部门收集到了2021年到2025年充电桩数量（单位：万个），为方便研究，年份代码用表示（如：表示2021年），具体参考数据如下表：
55 70.4 19
(1)请根据表中数据，建立关于的回归直线方程；
(2)假设该地区现有12个充电桩，其中一半为快充桩，现对该地区现有的12个充电桩进行检查，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为，求的分布列及均值.
（参考公式：，.）
16．已知直线恒过椭圆的一个焦点，且的短轴长为2，圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴圆”.
(1)求椭圆和其“伴圆”的方程；
(2)点为“伴圆”与轴正半轴的交点，过点作椭圆的切线，，求证：.
17．如图，正方形中，，分别是，的中点，现沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角平面角的正切值.
18．已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足.
(1)若，，且，求；
(2)若数列也是公差为的等差数列.
①求数列的通项公式；②求数列的前项和.
19．已知函数，.
(1)求函数的单调区间；
(2)若在上的最大值为，求实数的值；
(3)若，的图象上是否存在两点，，（其中），使得的斜率等于曲线在其上一点（点的横坐标等于中点的横坐标）处的切线的斜率，如果存在，求出、的坐标；如果不存在，请说明理由.
参考答案
1．B
【详解】因为集合，，
所以.
故选：B.
2．A
【详解】由，得，
所以在复平面内z对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
3．A
【详解】充分性证明：由不平行，则可作为所在平面内的一组基底，
由，则必定共面，所以充分性成立；
必要性证明：由共面，且不平行，当共线时，，
则不存在两个非零常数，使得，所以必要性不成立.
综上，该条件是充分非必要条件.
故选：A.
4．C
【详解】因函数是定义在上的奇函数，当时，
则，解得，则当时，，
故.
故选：C.
5．B
【详解】由题意四个选项中有三个选项正确，小丁最后该题得4分，
故小丁随机选两个且都正确，其概率.
故选：B
6．D
【详解】解：二项系数和为，则，所以的通项为：，其中，
则展开式中的有理项满足，故，共3项.
故选：D.
7．C
【详解】因为，所以，所以.
那么.
因为，所以.
所以根据基本不等式的性质得，
当且仅当，即时等号成立.
此时取最小值为1.
故选：C.
8．D
【详解】
根据题意设，其中，
则，，，
直线平行于轴，，
，
，
即
，
点在双曲线上，，
.
故选：D.
9．ABD
【详解】在中，当已知边和锐角，判断三角形的个数时，若，有且只有一个解；
当时，有两个解；当时，有且只有一个解；当时，无解.
因为.
由，即，解得，故D正确；
由，可得，选项中，满足此条件，故A，B正确；
对于C，，此时三角形无解， 故C错误.
故选：ABD
10．AC
【详解】过同一点有个等圆，当增加第个圆时，第个圆与前个圆，
各有一个除外的交点，因此递推关系为：，
即任意且，都有，C选项正确；
当时，三个等圆过同一点，每两个圆有2个交点，但是公共点，
因此除外，每两个圆有1个交点，因此，A选项正确；
由递推关系式可得：，，，
将这些式子累加得，
因此，
，因此B选项错误；
令，则，化简得．
判别式为，因为，不是整数，因此不是整数，因此D选项错误．
故选：AC．
11．ACD
【详解】对于A，结合曲线，将代入，
方程不变，即曲线的图象关于原点对称，A正确；
对于B，由消去并化简得，
解得或，所以直线与曲线有3个公共点，B错误.
对于C，由整理得，
令，则有非负根，
而其对称轴，
所以，
则，解得， C正确.
对于D，令，则，代入，
化简得，设.
由于的开口向上，对称轴为，
所以在上单调递增，
由解得（负根舍去），所以的最大值为，
所以的最大值为，D正确.
故选：ACD
12．/
【详解】因为，所以，
又因为，所以.
故答案为：.
13．7
【详解】由题意，正四棱台水杯的体积为，
因在疗程内每天需要饮水，则小林在疗程内每天需要饮水的杯数在之间，
取近似值，即每天需要饮水的杯数至少是7杯（结果向上取整）.
故答案为：7.
14．
【详解】
，
当时，则，
因为在上有且仅有四个零点，故，
解得.
故答案为：.
15．(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1），，
，，
所以，回归直线方程为.
（2）的可能取值为，则：
，，
，，
所以分布列为：
故均值.
16．(1)椭圆的方程为，其“伴圆”的方程为．
(2)证明见解析
【详解】（1）因为直线恒过定点，且过椭圆的一个焦点，
所以，又，即，所以，
故椭圆的方程为，
其“伴圆”的方程为．
（2）证明：因为“伴圆” 与轴正半轴的交点为，
所以设过点且与椭圆相切的直线方程为，
将代入，整理得，
则，解得，
即直线的斜率分别为，，
因为，所以．

17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）折后所得四面体如图，
在折前正方形中，
，
折成四面体后，，
不妨设正方形的边长为，则，，
所以，所以，，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）设二面角平面角为，
因为平面，所以在平面上的射影为，
在折前正方形中，，
折成四面体后，，
所以，
,
所以，故，
所以.
18．(1)
(2)①，②
【详解】（1）由题意知为等差数列且公差为，
所以由等差数列公式可得，又因，，
所以可得，为的前项和，
所以，而，
所以，
若，则可得，解不等式可得，
所以可得
（2）①因数列也是公差为的等差数列，所以可设，
又因，
所以可得，
两边同时平方可得对于任意的都成立，
所以可得且，解之可得，
所以
②由①知，所以，
当,即为偶数时，
，
当，即为奇数时，
，
综上可得，即
19．(1)当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时， 的单调递增区间为，单调递减区间是；
(2)
(3)答案见解析
【详解】（1）函数的定义域为，，
当时，对于，，，
所以在上单调递增；
当时，令，因为，
所以，解得或（舍），
当时，，，所以单调递增；
当时，，，所以单调递减；
因此，当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时， 的单调递增区间为，单调递减区间是；
（2）当时， 由（1）知在上单调递增，所以，
令，不满足，舍去.
当时，由（1）可知在单调递增，在单调递减.
若，即时，在上单调递增，
，令，不满足，舍去.
若，即时，
在上单调递增，在单调递减，
，
化简后得，即，解得，
满足，因此，实数的值为.
（3）当时，，，
已知，，，中点的横坐标为，
则，
，
化简得，
进一步化简得，即，
令，则，即，整理得，
令，对求导得，
所以在上单调递增，，
即，所以不存在满足条件的、两点.

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