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广东省中山市中山纪念中学2025-2026学年高二上学期第一次段考数学试题
1．（2025高二上·中山月考）直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高二上·中山月考）某商场有四类食品，其中粮食类 植物油类 动物性食品类以及果蔬类分别有40种 10种 30种 20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2025高二上·中山月考）已知实数满足，则的最小值是（　　）
A． B． C．1 D．
4．（2025高二上·中山月考）如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为
A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576
5．（2025高二上·中山月考）过点作圆的切线，则切线方程为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高二上·中山月考）如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025高二上·中山月考）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025高二上·中山月考）在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高等于（　　）
A．26 B．13 C．2 D．1
9．（2025高二上·中山月考）下列说法中正确的是（　　）
A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体被抽到的概率是
B．从装有个红球，个白球的袋中任意摸出个球，事件“至少有个红球”，事件“都是白球”，则事件与事件是对立事件
C．数据的第70百分位数是23.5
D．若样本数据的标准差为1，则数据的标准差为9
10．（2025高二上·中山月考）下列说法正确的是（　　）
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为
C．经过点且平行于过和点两点的直线方程为
D．已知点，则线段的中垂线方程为
11．（2025高二上·中山月考）如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．直线与平面所成角的正弦值为
B．点到平面的距离为2
C．直线与是异面直线
D．平面截正方体所得的截面面积为
12．（2025高二上·中山月考）若以连续两次掷均匀骰子得到的点数，作为点的横、纵坐标，则点在直线上的概率为　 　
13．（2025高二上·中山月考）直线过点且在两坐标轴的截距相等，则直线的方程为　 　
14．（2025高二上·中山月考）在平行六面体中，，则　 　
15．（2025高二上·中山月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，为的中点，为的中点，解答以下问题：
（1）证明：直线平面；
（2）求直线与平面的距离．
16．（2025高二上·中山月考）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数；
（2）在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？
（3）若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差．
参考公式：其中为总样本平均数．
17．（2025高二上·中山月考）甲、乙两名射击运动员在进行射击训练，已知甲命中10环，9环，8环的概率分别是，乙命中10环，9环，8环的概率分别是，任意两次射击相互独立．现在甲、乙两人进行射击比赛，每一轮比赛两人各射击一次，环数高于对方为胜，环数低于对方为负，环数相等为平局，规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者，比赛结束，则
（1）求在每轮比赛中甲获胜的概率；
（2）求恰好进行3轮射击后，比赛结束的概率．
18．（2025高二上·中山月考）已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程；
（3）已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值.
19．（2025高二上·中山月考）在四棱锥中，侧面平面，四边形为直角梯形，，，，为等边三角形，点，分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值；
（3）点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的一般式方程
【解析】【解答】解：直线的斜率为，
设直线倾斜角为，则，且.
所以.
故答案为：C
【分析】先利用直线的一般式方程求出斜率，再利用即可求解.
2．【答案】C
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：按照分层抽样的定义有，粮食类：植物油类：动物性食品类：果蔬类=4：1：3：2，
抽20个出来，则抽取的比例为，
则粮食类8个，植物油类2个，动物性食品类6个，果蔬类4个，
则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是6个.
故答案为：C.
【分析】利用分层抽样各层按相同的比例抽取即可求解.
3．【答案】A
【知识点】平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：当取最小值时，
即为点到直线的距离；
故答案为：A
【分析】先利用两点间距离公式将问题转化为点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式即可求解.
4．【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A1、A2同时不能工作的概率为0.2×0.2＝0.04，
所以A1、A2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，
所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故答案为：B.
【分析】利用相互独立事件的概率公式和对立事件的概率公式即可求解.
5．【答案】D
【知识点】直线的斜截式方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆的标准方程为，圆心为，
因为，所以，点在圆上，则，
所求切线与轴垂直，故所求切线的方程为.
故答案为：D.
【分析】先判断点在圆上，且，再利用点斜式方程即可求解.
6．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：因为分别为的中点，所以.
因为为的重心，所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】先利用空间向量的线性运算可得，再将用表示即可求解.
7．【答案】A
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】解：设，又与点所连线段中点为，则，
因为点在圆上运动，则，
所以，故点轨迹方程为.
故答案为：A
【分析】设，利用中点坐标公式可得，再把点P代入圆的方程即可求解.
8．【答案】D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：设平面的法向量，则，
令，得，
所以这个四棱锥的高.
故答案为：D
【分析】先求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式即可求解.
9．【答案】A,C
【知识点】简单随机抽样；极差、方差与标准差；互斥事件与对立事件；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于A，用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，
则个体被抽到的概率为，故选项A正确；
对于B，从装有个红球，个白球的袋中任意摸出个球，有3个都是红球，1个红球2个白球，
2个红球1个白球，3个都是白球，共4种情况，
显然事件“至少有个红球”，事件“都是白球”，为互斥事件而非对立事件，故选项B错误；
对于C，从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，
因为，
所以选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，
则，所以第70百分位数是23.5，故选项C正确；
对于D，若样本数据，，，的标准差为1，
则，，，的方差为1，
设，，，的平均数为，
则，
所以，
又因为，
所以，
则的标准差为，故D错误．
故答案为：AC．
【分析】用简单随机抽样的方法求解判断出选项A；根据对立事件的概念判断出选项B；先对数据从小到大排序，再根据百分位数定义计算，则判断出选项C；先得到，，，的方差，再通过计算的方差，从而得到其标准差，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项．
10．【答案】A,C,D
【知识点】直线的斜截式方程；直线的两点式方程；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：A、由直线方程，可得，
由直线的点斜式方程，可得直线必过定点，故A正确；
B、由直线方程，令，可得，
所以直线在轴上的截距为，故B错误；
C、由点和点，可得，
所以过点且平行于的直线方程为，即，故C正确；
D、由点，可得的中点为，且，
则与垂直的直线的斜率为，
所以线段的中垂线方程为，即，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】化简直线方程为即可判定A；令，求得，即可判定B；利用斜率公式可得，再利用点斜式方程即可判定C；利用两直线的位置关系，求得垂直的直线的斜率，再结合点斜式方程即可判定D.
11．【答案】B,D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与直线的位置关系
【解析】【解答】解：以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
所以，
A、，由正方体性质可知平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角为，
则，故A错误；
B、，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以是平面的一个法向量，
则点到平面的距离，故B正确；
C、因为，，
所以，即共面，
所以与不是异面直线，故C错误；
D、由选项C的判断可知四边形是平面截正方体所得截面，
因为，，所以四边形是等腰梯形，
由已知可知，如图，过点作于，
因为，，
所以，
所以，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】建系，可得，平面的一个法向量，再利用线面夹角公式即可判断A；平面的法向量为，利用点到直线的距离公式即可判断B；利用即可判断C；先判断截面为梯形，再利用梯形面积公式计算即可判断D.
12．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：试验发生所包含的基本事件的个数为个，
满足条件的是点在直线上有，共有个，
所以点在直线上的概率为.
故答案为：
【分析】先确定所有基本事件的个数36个，再确定点在直线上的点的个数5个，再利用古典概型的概率公式即可求解.
13．【答案】或
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】解：当直线过原点时：设，
因为直线过点，
所以，解得，
所以，即；
当直线不过原点时：设，
因为直线过点，
所以，解得，
所以，即.
故答案为：或.
【分析】当直线过坐标原点可设直线方程为，当直线不过坐标原点时设直线方程，再把点代入即可求解.
14．【答案】
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
，
，
，
所以，
故答案为：
【分析】先利用空间向量的线性运算可得，再利用向量的求模公式结合数量积的运算即可求解.
15．【答案】（1）证明：因为四棱锥中，底面，底面，且底面是正方形，
所以两两垂直，以为原点，分别为轴建立如图所示坐标系如图所示：
则由题意可得，，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
则，取可得平面的一个法向量，
因为，又平面，
所以直线平面.
（2）解：由于平面，所以直线与平面的距离等于点到平面的距离.
由，，
，平面的一个法向量，
所以点到平面的距离.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，可得和平面的法向量，再利用空间向量可得，结合线面平行的判断定理即可证明；
（2）由（1）可得，再利用点到面距离的向量公式即可求解.
（1）因为四棱锥中，底面，底面，且底面是正方形，
所以两两垂直，
以为原点，分别为轴建立如图所示坐标系，
则由题意可得，，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
则，取可得平面的一个法向量，
因为，又平面，
所以直线平面.
（2）由于平面，所以直线与平面的距离等于点到平面的距离.
由，，
，平面的一个法向量，
所以点到平面的距离.
16．【答案】（1）解：由频率之和为结合频率分布直方图可得：，解得，
样本成绩的平均数约为，
区间，，的频率分别为，
因为，的频率为，则中位数位于内，
设中位数为x，则，解得x＝75，即中位数为75；
（2）解：由频率分布直方图知，样本答卷成绩在，，的三组市民有（人），其中样本答卷成绩在的市民人数为，
用分层抽样的方法应从答卷成绩在的市民中抽取（人）；
（3）解：由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
则总平均数，
总方差.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积之和为，列式求出，再根据平均数、中位数的计算公式计算即可；
（2）根据频率分布直方图求出成绩为，，的市民人数，再根据分层抽样的概念求解即可；
（3）根据频率分布直方图求出和的市民人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可.
（1）由频率之和为结合频率分布直方图可得，
解得，
样本成绩的平均数约为．
区间，，的频率分别为．
因为，
的频率为，故中位数位于内
设中位数为x，则，
解得x＝75；
（2）由频率分布直方图知，样本答卷成绩在，，的三组市民有（人），
其中样本答卷成绩在的市民人数为，
用分层抽样的方法应从答卷成绩在的市民中抽取（人）．
（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
所以总平均数，
总方差.
17．【答案】（1）解：记表示甲在第轮胜利，甲获得胜利的情况：甲射击10环且乙射击不为10环；甲射击9环且乙射击为8环，
所以；
（2）解：记表示甲在第轮平局，表示甲在第轮失败，则
甲获平局的情况：甲、乙射击均为10环，9环和8环，即；
甲失败的情况为．
①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮，第3轮甲连续胜利，且第1轮甲没有获得胜利，其概率为；
②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮，第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，其概率为；
所以经过3轮比赛结束的概率.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）记表示甲在第轮胜利，利用相互独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式即可求解；
（2）记表示甲在第轮平局，表示甲在第轮失败，①当甲获得最终胜利时，由第2轮、第3轮甲连续胜利，第一轮甲没有获得胜利，算出其概率；②当乙获得最终胜利时，则第2轮、第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，其概率，两情形概率之和即为所求.
（1）记表示甲在第轮胜利，甲获得胜利的情况：甲射击10环且乙射击不为10环；甲射击9环且乙射击为8环，
所以；
（2）记表示甲在第轮平局，表示甲在第轮失败，则
甲获平局的情况：甲、乙射击均为10环，9环和8环，即；
甲失败的情况为．
①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮，第3轮甲连续胜利，且第1轮甲没有获得胜利，其概率为；
②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮，第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，其概率为；
所以经过3轮比赛结束的概率.
18．【答案】（1）解：设，因为点且，
所以，即，
所以的轨迹方程为.
（2）解：由（1）知，圆心为，半径为，
因为，设圆心到的距离，可得，解得，
当斜率不存在时，方程：，此时，满足题意；
当斜率存在时，设方程：，即，
则，解得，此时.
综上可得，直线的方程为或.
（3）证明：已知如图所示：
当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意，
所以斜率存在，设直线的斜率为，则，且
联立方程组，
整理得，
令，解得，
且，所以，
又由，解得，所以，
因为均在直线上，且
所以.
【知识点】轨迹方程；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设，利用数量积的定义结合，可得即可求解；
（2）设圆心到的距离，利用圆的弦长公式，可得，再分斜率不存在和斜率存在，两种情况讨论，利用直线与圆的位置关系的判断即可求解；
（3）设直线的斜率为，则，联立方程组可得，利用和根与系数关系可得和，再利用均在直线上，利用，即可求解.
（1）解：设，因为点且，
所以，即，
所以的轨迹方程为.
（2）解：由（1）知，圆心为，半径为，
因为，设圆心到的距离，可得，解得，
当斜率不存在时，方程：，此时，满足题意；
当斜率存在时，设方程：，即，
则，解得，此时.
综上可得，直线的方程为或.
（3）解：当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意，
所以斜率存在，设直线的斜率为，则，且
联立方程组，
整理得，
令，解得，
且，所以，
又由，解得，所以，
因为均在直线上，且
所以.
19．【答案】（1）证明：连接，因为点，分别为的中点，所以，
因为四边形为直角梯形，，，，
所以，，
在中，由余弦定理可得，
所以，所以，所以，
又因为为等边三角形，点为的中点，所以，
又因为侧面平面，侧面平面，
所以平面，又平面，所以，
又因为，平面，所以平面；
（2）解：取的中点，连接，可得，
又平面，又平面，所以，
以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
，令，则，
则平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
则，
所以平面与平面所成角的余弦值为；
（3）解：设，则，
又，
又平面的一个法向量为，
设平面与平面所成的夹角为，
则，
令，，
则，
令，可得，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，利用余弦定理可得，再利用勾股定理可得，，利用面面垂直的性质可得，再利用线面垂直的判断定理即可得证；
（2）取的中点，连接，可证，，以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，再利用向量法可求得平面与平面所成角的余弦值公式即可求解；
（3）设，设平面与平面所成的夹角为，
可得，利用换元法，结合二次函数的性质，可求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
（1）连接，因为点，分别为的中点，所以，
因为四边形为直角梯形，，，，
所以，，
在中，由余弦定理可得，
所以，所以，所以，
又因为为等边三角形，点为的中点，所以，
又因为侧面平面，侧面平面，
所以平面，又平面，所以，
又因为，平面，所以平面；
（2）取的中点，连接，可得，
又平面，又平面，所以，
以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
，令，则，
则平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
则，
所以平面与平面所成角的余弦值为；
（3）设，则，
又，
又平面的一个法向量为，
设平面与平面所成的夹角为，
则，
令，，
则，
令，可得，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．
1 / 1广东省中山市中山纪念中学2025-2026学年高二上学期第一次段考数学试题
1．（2025高二上·中山月考）直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的一般式方程
【解析】【解答】解：直线的斜率为，
设直线倾斜角为，则，且.
所以.
故答案为：C
【分析】先利用直线的一般式方程求出斜率，再利用即可求解.
2．（2025高二上·中山月考）某商场有四类食品，其中粮食类 植物油类 动物性食品类以及果蔬类分别有40种 10种 30种 20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：按照分层抽样的定义有，粮食类：植物油类：动物性食品类：果蔬类=4：1：3：2，
抽20个出来，则抽取的比例为，
则粮食类8个，植物油类2个，动物性食品类6个，果蔬类4个，
则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是6个.
故答案为：C.
【分析】利用分层抽样各层按相同的比例抽取即可求解.
3．（2025高二上·中山月考）已知实数满足，则的最小值是（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：当取最小值时，
即为点到直线的距离；
故答案为：A
【分析】先利用两点间距离公式将问题转化为点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式即可求解.
4．（2025高二上·中山月考）如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为
A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576
【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A1、A2同时不能工作的概率为0.2×0.2＝0.04，
所以A1、A2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，
所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故答案为：B.
【分析】利用相互独立事件的概率公式和对立事件的概率公式即可求解.
5．（2025高二上·中山月考）过点作圆的切线，则切线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线的斜截式方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆的标准方程为，圆心为，
因为，所以，点在圆上，则，
所求切线与轴垂直，故所求切线的方程为.
故答案为：D.
【分析】先判断点在圆上，且，再利用点斜式方程即可求解.
6．（2025高二上·中山月考）如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：因为分别为的中点，所以.
因为为的重心，所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】先利用空间向量的线性运算可得，再将用表示即可求解.
7．（2025高二上·中山月考）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】解：设，又与点所连线段中点为，则，
因为点在圆上运动，则，
所以，故点轨迹方程为.
故答案为：A
【分析】设，利用中点坐标公式可得，再把点P代入圆的方程即可求解.
8．（2025高二上·中山月考）在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高等于（　　）
A．26 B．13 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：设平面的法向量，则，
令，得，
所以这个四棱锥的高.
故答案为：D
【分析】先求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式即可求解.
9．（2025高二上·中山月考）下列说法中正确的是（　　）
A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体被抽到的概率是
B．从装有个红球，个白球的袋中任意摸出个球，事件“至少有个红球”，事件“都是白球”，则事件与事件是对立事件
C．数据的第70百分位数是23.5
D．若样本数据的标准差为1，则数据的标准差为9
【答案】A,C
【知识点】简单随机抽样；极差、方差与标准差；互斥事件与对立事件；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于A，用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，
则个体被抽到的概率为，故选项A正确；
对于B，从装有个红球，个白球的袋中任意摸出个球，有3个都是红球，1个红球2个白球，
2个红球1个白球，3个都是白球，共4种情况，
显然事件“至少有个红球”，事件“都是白球”，为互斥事件而非对立事件，故选项B错误；
对于C，从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，
因为，
所以选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，
则，所以第70百分位数是23.5，故选项C正确；
对于D，若样本数据，，，的标准差为1，
则，，，的方差为1，
设，，，的平均数为，
则，
所以，
又因为，
所以，
则的标准差为，故D错误．
故答案为：AC．
【分析】用简单随机抽样的方法求解判断出选项A；根据对立事件的概念判断出选项B；先对数据从小到大排序，再根据百分位数定义计算，则判断出选项C；先得到，，，的方差，再通过计算的方差，从而得到其标准差，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项．
10．（2025高二上·中山月考）下列说法正确的是（　　）
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为
C．经过点且平行于过和点两点的直线方程为
D．已知点，则线段的中垂线方程为
【答案】A,C,D
【知识点】直线的斜截式方程；直线的两点式方程；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：A、由直线方程，可得，
由直线的点斜式方程，可得直线必过定点，故A正确；
B、由直线方程，令，可得，
所以直线在轴上的截距为，故B错误；
C、由点和点，可得，
所以过点且平行于的直线方程为，即，故C正确；
D、由点，可得的中点为，且，
则与垂直的直线的斜率为，
所以线段的中垂线方程为，即，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】化简直线方程为即可判定A；令，求得，即可判定B；利用斜率公式可得，再利用点斜式方程即可判定C；利用两直线的位置关系，求得垂直的直线的斜率，再结合点斜式方程即可判定D.
11．（2025高二上·中山月考）如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．直线与平面所成角的正弦值为
B．点到平面的距离为2
C．直线与是异面直线
D．平面截正方体所得的截面面积为
【答案】B,D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与直线的位置关系
【解析】【解答】解：以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
所以，
A、，由正方体性质可知平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角为，
则，故A错误；
B、，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以是平面的一个法向量，
则点到平面的距离，故B正确；
C、因为，，
所以，即共面，
所以与不是异面直线，故C错误；
D、由选项C的判断可知四边形是平面截正方体所得截面，
因为，，所以四边形是等腰梯形，
由已知可知，如图，过点作于，
因为，，
所以，
所以，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】建系，可得，平面的一个法向量，再利用线面夹角公式即可判断A；平面的法向量为，利用点到直线的距离公式即可判断B；利用即可判断C；先判断截面为梯形，再利用梯形面积公式计算即可判断D.
12．（2025高二上·中山月考）若以连续两次掷均匀骰子得到的点数，作为点的横、纵坐标，则点在直线上的概率为　 　
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：试验发生所包含的基本事件的个数为个，
满足条件的是点在直线上有，共有个，
所以点在直线上的概率为.
故答案为：
【分析】先确定所有基本事件的个数36个，再确定点在直线上的点的个数5个，再利用古典概型的概率公式即可求解.
13．（2025高二上·中山月考）直线过点且在两坐标轴的截距相等，则直线的方程为　 　
【答案】或
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】解：当直线过原点时：设，
因为直线过点，
所以，解得，
所以，即；
当直线不过原点时：设，
因为直线过点，
所以，解得，
所以，即.
故答案为：或.
【分析】当直线过坐标原点可设直线方程为，当直线不过坐标原点时设直线方程，再把点代入即可求解.
14．（2025高二上·中山月考）在平行六面体中，，则　 　
【答案】
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
，
，
，
所以，
故答案为：
【分析】先利用空间向量的线性运算可得，再利用向量的求模公式结合数量积的运算即可求解.
15．（2025高二上·中山月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，为的中点，为的中点，解答以下问题：
（1）证明：直线平面；
（2）求直线与平面的距离．
【答案】（1）证明：因为四棱锥中，底面，底面，且底面是正方形，
所以两两垂直，以为原点，分别为轴建立如图所示坐标系如图所示：
则由题意可得，，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
则，取可得平面的一个法向量，
因为，又平面，
所以直线平面.
（2）解：由于平面，所以直线与平面的距离等于点到平面的距离.
由，，
，平面的一个法向量，
所以点到平面的距离.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，可得和平面的法向量，再利用空间向量可得，结合线面平行的判断定理即可证明；
（2）由（1）可得，再利用点到面距离的向量公式即可求解.
（1）因为四棱锥中，底面，底面，且底面是正方形，
所以两两垂直，
以为原点，分别为轴建立如图所示坐标系，
则由题意可得，，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
则，取可得平面的一个法向量，
因为，又平面，
所以直线平面.
（2）由于平面，所以直线与平面的距离等于点到平面的距离.
由，，
，平面的一个法向量，
所以点到平面的距离.
16．（2025高二上·中山月考）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数；
（2）在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？
（3）若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差．
参考公式：其中为总样本平均数．
【答案】（1）解：由频率之和为结合频率分布直方图可得：，解得，
样本成绩的平均数约为，
区间，，的频率分别为，
因为，的频率为，则中位数位于内，
设中位数为x，则，解得x＝75，即中位数为75；
（2）解：由频率分布直方图知，样本答卷成绩在，，的三组市民有（人），其中样本答卷成绩在的市民人数为，
用分层抽样的方法应从答卷成绩在的市民中抽取（人）；
（3）解：由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
则总平均数，
总方差.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积之和为，列式求出，再根据平均数、中位数的计算公式计算即可；
（2）根据频率分布直方图求出成绩为，，的市民人数，再根据分层抽样的概念求解即可；
（3）根据频率分布直方图求出和的市民人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可.
（1）由频率之和为结合频率分布直方图可得，
解得，
样本成绩的平均数约为．
区间，，的频率分别为．
因为，
的频率为，故中位数位于内
设中位数为x，则，
解得x＝75；
（2）由频率分布直方图知，样本答卷成绩在，，的三组市民有（人），
其中样本答卷成绩在的市民人数为，
用分层抽样的方法应从答卷成绩在的市民中抽取（人）．
（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
所以总平均数，
总方差.
17．（2025高二上·中山月考）甲、乙两名射击运动员在进行射击训练，已知甲命中10环，9环，8环的概率分别是，乙命中10环，9环，8环的概率分别是，任意两次射击相互独立．现在甲、乙两人进行射击比赛，每一轮比赛两人各射击一次，环数高于对方为胜，环数低于对方为负，环数相等为平局，规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者，比赛结束，则
（1）求在每轮比赛中甲获胜的概率；
（2）求恰好进行3轮射击后，比赛结束的概率．
【答案】（1）解：记表示甲在第轮胜利，甲获得胜利的情况：甲射击10环且乙射击不为10环；甲射击9环且乙射击为8环，
所以；
（2）解：记表示甲在第轮平局，表示甲在第轮失败，则
甲获平局的情况：甲、乙射击均为10环，9环和8环，即；
甲失败的情况为．
①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮，第3轮甲连续胜利，且第1轮甲没有获得胜利，其概率为；
②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮，第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，其概率为；
所以经过3轮比赛结束的概率.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）记表示甲在第轮胜利，利用相互独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式即可求解；
（2）记表示甲在第轮平局，表示甲在第轮失败，①当甲获得最终胜利时，由第2轮、第3轮甲连续胜利，第一轮甲没有获得胜利，算出其概率；②当乙获得最终胜利时，则第2轮、第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，其概率，两情形概率之和即为所求.
（1）记表示甲在第轮胜利，甲获得胜利的情况：甲射击10环且乙射击不为10环；甲射击9环且乙射击为8环，
所以；
（2）记表示甲在第轮平局，表示甲在第轮失败，则
甲获平局的情况：甲、乙射击均为10环，9环和8环，即；
甲失败的情况为．
①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮，第3轮甲连续胜利，且第1轮甲没有获得胜利，其概率为；
②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮，第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，其概率为；
所以经过3轮比赛结束的概率.
18．（2025高二上·中山月考）已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程；
（3）已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值.
【答案】（1）解：设，因为点且，
所以，即，
所以的轨迹方程为.
（2）解：由（1）知，圆心为，半径为，
因为，设圆心到的距离，可得，解得，
当斜率不存在时，方程：，此时，满足题意；
当斜率存在时，设方程：，即，
则，解得，此时.
综上可得，直线的方程为或.
（3）证明：已知如图所示：
当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意，
所以斜率存在，设直线的斜率为，则，且
联立方程组，
整理得，
令，解得，
且，所以，
又由，解得，所以，
因为均在直线上，且
所以.
【知识点】轨迹方程；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设，利用数量积的定义结合，可得即可求解；
（2）设圆心到的距离，利用圆的弦长公式，可得，再分斜率不存在和斜率存在，两种情况讨论，利用直线与圆的位置关系的判断即可求解；
（3）设直线的斜率为，则，联立方程组可得，利用和根与系数关系可得和，再利用均在直线上，利用，即可求解.
（1）解：设，因为点且，
所以，即，
所以的轨迹方程为.
（2）解：由（1）知，圆心为，半径为，
因为，设圆心到的距离，可得，解得，
当斜率不存在时，方程：，此时，满足题意；
当斜率存在时，设方程：，即，
则，解得，此时.
综上可得，直线的方程为或.
（3）解：当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意，
所以斜率存在，设直线的斜率为，则，且
联立方程组，
整理得，
令，解得，
且，所以，
又由，解得，所以，
因为均在直线上，且
所以.
19．（2025高二上·中山月考）在四棱锥中，侧面平面，四边形为直角梯形，，，，为等边三角形，点，分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值；
（3）点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
【答案】（1）证明：连接，因为点，分别为的中点，所以，
因为四边形为直角梯形，，，，
所以，，
在中，由余弦定理可得，
所以，所以，所以，
又因为为等边三角形，点为的中点，所以，
又因为侧面平面，侧面平面，
所以平面，又平面，所以，
又因为，平面，所以平面；
（2）解：取的中点，连接，可得，
又平面，又平面，所以，
以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
，令，则，
则平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
则，
所以平面与平面所成角的余弦值为；
（3）解：设，则，
又，
又平面的一个法向量为，
设平面与平面所成的夹角为，
则，
令，，
则，
令，可得，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，利用余弦定理可得，再利用勾股定理可得，，利用面面垂直的性质可得，再利用线面垂直的判断定理即可得证；
（2）取的中点，连接，可证，，以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，再利用向量法可求得平面与平面所成角的余弦值公式即可求解；
（3）设，设平面与平面所成的夹角为，
可得，利用换元法，结合二次函数的性质，可求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
（1）连接，因为点，分别为的中点，所以，
因为四边形为直角梯形，，，，
所以，，
在中，由余弦定理可得，
所以，所以，所以，
又因为为等边三角形，点为的中点，所以，
又因为侧面平面，侧面平面，
所以平面，又平面，所以，
又因为，平面，所以平面；
（2）取的中点，连接，可得，
又平面，又平面，所以，
以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
，令，则，
则平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
则，
所以平面与平面所成角的余弦值为；
（3）设，则，
又，
又平面的一个法向量为，
设平面与平面所成的夹角为，
则，
令，，
则，
令，可得，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．
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