资源简介

四川省绵阳市安州中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题
1．（2025高三上·安州期中）已知全集，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为全集，
又因为，，
所以，
则.
故答案为：A.
【分析】根据交集的运算法则和补集的运算法则，从而得出集合.
2．（2025高三上·安州期中）已知，则（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：已知，则.
故答案为：A.
【分析】利用复数代数形式的四则运算化简即可求解.
3．（2025高三上·安州期中）设向量，则下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，
A、，，故A错误；
B、，则，∴，故B正确；
C、坐标间不存在倍数关系，不平行，故C错误；
D、，故D错误．
故答案为：B．
【分析】利用向量求模公式即可判断A；先计算，再利用向量的数量积公式可得即可判断B； 利用向量平行的定义即可判断C；利用向量数量积的坐标运算即可判断D．
4．（2025高三上·安州期中）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，，则
【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对于A，若，，
则或，故A错误；
对于B，若，，，
则或与异面，故B错误；
对于C，若，，
由直线与平面垂直的性质，可得，故C正确；
对于D，若，，，
则与的关系为平行、相交或异面，故D错误.
故答案为：C.
【分析】举出反例判断出选项A、选项B和选项D；再根据直线与平面垂直的性质定理和线线平行，从而证出线面垂直，则判断出选项C，从而找出真命题的选项.
5．（2025高三上·安州期中）已知直线，，则“”是“直线与相交”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意，可得直线与相交，
则
当时，满足，
则“”是“直线与相交”的充分条件；
当直线与相交时，
不一定有，比如也满足，
则“”是“直线与相交”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据点到直线的距离公式结合直线与圆的位置关系，再利用充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
6．（2025高三上·安州期中）式子可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】组合及组合数公式；组合数公式的推导
【解析】【解答】解：.
故答案为：D
【分析】利用组合数的运算公式的阶乘式化简，结合组合数的性质即可求解.
7．（2025高三上·安州期中）已知数列满足，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：已知，则，
因为，所以数列为首项，公差为3的等差数列，
所以，所以.
故答案为：D
【分析】先利用递推公式可得，再利用等差数列的定义结合通项公式即可求解.
8．（2025高三上·安州期中）点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：不妨设，定义域为：
对求导，可得：
令，
解得：（其中舍去），
当时，，
则此时该点到直线的距离为最小，
根据点到直线的距离公式，可得：，
解得：.
故答案为：A.
【分析】利用动点在曲线，则找出曲线上某点的斜率与直线的斜率相等的点为距离最小的点，再利用导数的几何意义和点到直线的距离公式，从而得出点A到直线的最小距离.
9．（2025高三上·安州期中）已知函数，则下列说法中正确的是（　　）
A．的最大值为2 B．的最小正周期为
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称
【答案】A,B,C
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；辅助角公式；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：，
所以的最大值为2，故A正确.
最小正周期是，故B正确.
将代入，可得，则其图象关于直线对称，故C正确.
当时，，所以的图象关于点对称．故D错误.
故答案为： ABC.
【分析】先利用二倍角和辅助角公式化简，再结合正弦函数的性质逐项判断即可求解.
10．（2025高三上·安州期中）若方程 所表示的曲线为C，则下面四个说法中错误的是（　　）
A．若 ，则C为椭圆
B．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则
C．曲线C可能是圆
D．若C为双曲线，则
【答案】A,D
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：对于A选项，当 时，曲线为C表示圆，故不正确；
对于B选项，当曲线C为焦点在 轴上的椭圆时，则 ，解得 ，故正确；
对于C选项，当 时，曲线为C表示圆的方程，故正确；
对于D选项，当曲线C为双曲线时，则 ，解得 或 ，故错误；
综上，错误的是AD.
故答案为：AD.
【分析】根据题意依次讨论各选项即可得答案.
11．（2025高三上·安州期中）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．1225既是三角形数，又是正方形数
C．若，则数列的前100项和为
D．
【答案】B,C,D
【知识点】数列的函数特性；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：三角形数构成数列：1，3，6，10，…，
则有，
利用累加法，得，得到，时也成立；
正方形数构成数列：1，4，9，16，…，
则有，
利用累加法，得，得到，时也成立.
A、由，可得，故A错误；
B、令，解得；
令，解得；故B正确；
C、当n为偶数时：设，
则
，
代入可得数列的前100项和为，故C正确；
D、，
所以，故D正确；
故答案为：BCD.
【分析】利用三角形数可得即可判断A；利用正方形数可得，分别令和，看有无正整数解即可判断B；设，结合等差数列的求和公式即可判断C；将放缩后用裂项相消求和即可判断D；
12．（2025高三上·安州期中）记为等差数列的前n项和．若，则　 　．
【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：是等差数列，且，，
设等差数列的公差，
根据等差数列通项公式：，
可得，
则，
整理可得：，
解得：，
根据等差数列前项和公式，得：，
可得：，
.
故答案为：.
【分析】利用数列是等差数列，再根据已知条件结合等差数列的通项公式，从而求出公差，再根据等差数列前项和得出的值.
13．（2025高三上·安州期中）已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(x)＝2xf'(e)＋ln x，则f(e)＝　 　.
【答案】
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：求导得，把代入可得，
解得，∴，故答案为.
【分析】先求导可得，把代入导函数可得到关于，再将代入解析式即可求解.
14．（2025高三上·安州期中）游乐场某游戏设备是一个圆盘，圆盘被分成红色和绿色两个区域，圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针，且指针受电子程序控制，前后两次停在相同区域的概率为，停在不同区域的概率为，某游客连续转动指针三次，记指针停在绿色区域的次数为，若开始时指针停在红色区域，则　 　.
【答案】
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：该游客转动指针三次的结果的树形图如下：
则的分布列如下：
0 1 2 3
故.
故答案为：
【分析】先利用题意画出数形图，分别求出各自的概率，求出的分布列，利用离散型随机变量的数学期望公式即可求解.
15．（2025高三上·安州期中）已知数列{}中，=1，前n项和．
（Ⅰ）求
(Ⅱ)求{}的通项公式．
【答案】解：（Ⅰ）已知，则，解得，
同理，解得，
(Ⅱ)当时，，
整理得，
所以，
综上，数列{}的通项公式为.
【知识点】数列的递推公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）利用，分别令n=2，n=3即可求解；
(Ⅱ)利用可得，再利用累乘即可求解.
16．（2025高三上·安州期中）如图所示的几何体是一个半圆柱，点P是半圆弧上一动点（点P与点B，C不重合），E为弧的中点，.
（1）证明：；
（2）若平面与平面所成的锐二面角的平面角为，求此时点D到平面的距离.
【答案】（1）证明：连接BP，在半圆柱中，因为平面，平面，
所以，又因为BC是直径，所以，
又平面，，所以平面，
又平面，所以.
（2）解：依题意可知，以线段BC的中点O为坐标原点，以为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系如图所示：
则，连接OP，
设，则，
所以，
设平面的一个法向量为，
所以，则，令，则，
所以，
设为平面的一个法向量，
则，，
所以，令，则，
所以，
因为平面PCA与平面所成的锐二面角的平面角为，
所以，
令，则，平方化简得，
即，又由，可解得或（舍去），
所以，所以平面PCA的一个法向量，且，
所以点D到平面PCA的距离.
【知识点】直线与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先利用平面可得，再利用直径对的三角形为直角三角形可得，结合线面垂直的判定定理可证明平面，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，设，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，再利用锐二面角公式可得，最后利用点到平面距离的向量公式即可求解.
（1）连接BP，在半圆柱中，因为平面，平面，
所以，又因为BC是直径，所以，
又平面，，所以平面，
又平面，所以.
（2）依题意可知，以线段BC的中点O为坐标原点，
以为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，连接OP，
设，则，
所以，
设平面的一个法向量为，
所以，则，令，则，
所以，
设为平面的一个法向量，
则，，
所以，令，则，
所以，
因为平面PCA与平面所成的锐二面角的平面角为，
所以，
令，则，平方化简得，
即，又由，可解得或（舍去），
所以，所以平面PCA的一个法向量，且，
所以点D到平面PCA的距离.
17．（2025高三上·安州期中）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，.
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.
附：若随机变量Z服从正态分布，则，，.
【答案】解：（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，
从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，
故.
因此.
的数学期望为.
（2）（i）如果生产状态正常，
一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，
一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件
概率只有0.0408，发生的概率很小.
因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程
可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，
可见上述监控生产过程的方法是合理的.
（ii）由，
得的估计值为，的估计值为，
由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，
因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除之外的数据，
剩下数据的平均数为，
因此的估计值为.
，
剔除之外的数据，
剩下数据的样本方差为，
因此的估计值为.
【知识点】正态分布的期望与方差；3σ原则
【解析】【分析】（1）依题知一个零件的尺寸在之内的概率，可知尺寸在之外的概率为0.0026，利用正态分布的性质即可求解；
（2）（i）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率是大还是小，若小即合理；
（ii）计算，剔除之外的数据，算出剩下数据的平均数，即为的估计值，剔除之外的数据，剩下数据的样本方差0.008，即为的估计值.
18．（2025高三上·安州期中）已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，已知，
（1）求抛物线的方程及的值；
（2）当在第一象限时，为坐标原点，是抛物线上一点，且的面积为1，求点的坐标；
（3）满足第（2）问的条件下的点中，设平行于的两个点分别记为，问抛物线的准线上是否存在一点使得，.
【答案】（1）解：由抛物线定义可得：，解得，则抛物线的方程为；
因为点在抛物线上，所以，解得；
（2）解：已知如图所示：
设点的坐标为边上的高为，的面积为，
即，解得，
直线的方程是，由点到直线的距离公式可得：，
化简得，因为点在抛物线上，所以，
代入条件可得，
则或，
解得或，
代入拋物线方程求得或或
综上所述，点的坐标有三个可能的值：；
（3）解：不存在，理由如下：
因为由（1）（2）知点，则的斜率为，
所以平行于的两个点分别记为，其斜率，
所以可得
则的中点，
若，则点在以为圆心，为半径的圆上，
到准线的距离等于，因为，所以以为圆心为半径的圆与准线相离，故不存在点满足题设条件.
【知识点】直线与圆的位置关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，根据抛物线定义求出抛物线方程；再根据点在抛物线上，代入求值即可；
（2）设点的坐标为，根据的面积为1，得出边上的高为，利用点到直线的距离公式可得，再把点的坐标代入抛物线方程求解即可；
（3）将转化为以为直径的圆与准线的位置关系判断即可.
（1）由题意，解得，因此抛物线的方程为
点在抛物线上可得，故
（2）设点的坐标为边上的高为，我们知道的面积是：，
所以，，
直线的方程是，利用到直线的距离公式可得：，
化简得：，由于点在抛物线上，即，
代入条件可得：，
可以得到或，
解这个方程可以得到或，
代入拋物线方程可以得到：或或
综上所述，点的坐标有三个可能的值：
（3）不存在，理由如下：
因为由（1）（2）知点，则的斜率为，
所以平行于的两个点分别记为，其斜率，
所以可得
则的中点，
若，则点在以为圆心，为半径的圆上，
到准线的距离等于，因为
所以，以为圆心为半径的圆与准线相离，故不存在点满足题设条件.
19．（2025高三上·安州期中）已知函数，．
（1）设，请判断是否存在极值 若存在，求出极值；若不存在，说明理由；
（2）当时，若对于任意，不等式恒成立，求k的取值范围．
【答案】（1）解：由，
得，
令，
则，
当时，即当时，，此时单调递减；
当时，即当时，，此时单调递增，
所以，
则对任意，都有，
所以在上单调递增，
则不存在极值.
（2）解：当时，，
对于任意，不等式恒成立，
等价于对于任意，不等式恒成立，
等价于函数在上单调递增，
等价于导函数在上恒成立，
等价于对于任意，不等式恒成立，
令，
则，
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减，
所以，
则，
所以，的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）对求导可得，再求导可得，再分类讨论当、时的单调性，从而判断出函数的单调性，进而不存在函数的极值.
（3）将原问题转化为在上单调递增，则在上恒成立，从而等价于对于任意不等式恒成立，再利用导数求出和不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数k的取值范围.
（1）由，
则，
令，
则，
当即时，，此时单调递减；
当即时，，此时单调递增，
所以，即对任意，都有，
所以在上单调递增，即不存在极值.
（2）当时，，
对于任意，不等式恒成立，
等价于对于任意，不等式恒成立，
等价于函数在上单调递增，
等价于导函数在上恒成立，
等价于对于任意，不等式恒成立，
令，则，
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减，
所以，即，
即的取值范围为.
1 / 1四川省绵阳市安州中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题
1．（2025高三上·安州期中）已知全集，，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高三上·安州期中）已知，则（　　）
A． B． C． D．1
3．（2025高三上·安州期中）设向量，则下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025高三上·安州期中）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，，则
5．（2025高三上·安州期中）已知直线，，则“”是“直线与相交”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2025高三上·安州期中）式子可表示为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025高三上·安州期中）已知数列满足，，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高三上·安州期中）点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025高三上·安州期中）已知函数，则下列说法中正确的是（　　）
A．的最大值为2 B．的最小正周期为
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称
10．（2025高三上·安州期中）若方程 所表示的曲线为C，则下面四个说法中错误的是（　　）
A．若 ，则C为椭圆
B．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则
C．曲线C可能是圆
D．若C为双曲线，则
11．（2025高三上·安州期中）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．1225既是三角形数，又是正方形数
C．若，则数列的前100项和为
D．
12．（2025高三上·安州期中）记为等差数列的前n项和．若，则　 　．
13．（2025高三上·安州期中）已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(x)＝2xf'(e)＋ln x，则f(e)＝　 　.
14．（2025高三上·安州期中）游乐场某游戏设备是一个圆盘，圆盘被分成红色和绿色两个区域，圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针，且指针受电子程序控制，前后两次停在相同区域的概率为，停在不同区域的概率为，某游客连续转动指针三次，记指针停在绿色区域的次数为，若开始时指针停在红色区域，则　 　.
15．（2025高三上·安州期中）已知数列{}中，=1，前n项和．
（Ⅰ）求
(Ⅱ)求{}的通项公式．
16．（2025高三上·安州期中）如图所示的几何体是一个半圆柱，点P是半圆弧上一动点（点P与点B，C不重合），E为弧的中点，.
（1）证明：；
（2）若平面与平面所成的锐二面角的平面角为，求此时点D到平面的距离.
17．（2025高三上·安州期中）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，.
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.
附：若随机变量Z服从正态分布，则，，.
18．（2025高三上·安州期中）已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，已知，
（1）求抛物线的方程及的值；
（2）当在第一象限时，为坐标原点，是抛物线上一点，且的面积为1，求点的坐标；
（3）满足第（2）问的条件下的点中，设平行于的两个点分别记为，问抛物线的准线上是否存在一点使得，.
19．（2025高三上·安州期中）已知函数，．
（1）设，请判断是否存在极值 若存在，求出极值；若不存在，说明理由；
（2）当时，若对于任意，不等式恒成立，求k的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为全集，
又因为，，
所以，
则.
故答案为：A.
【分析】根据交集的运算法则和补集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：已知，则.
故答案为：A.
【分析】利用复数代数形式的四则运算化简即可求解.
3．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，
A、，，故A错误；
B、，则，∴，故B正确；
C、坐标间不存在倍数关系，不平行，故C错误；
D、，故D错误．
故答案为：B．
【分析】利用向量求模公式即可判断A；先计算，再利用向量的数量积公式可得即可判断B； 利用向量平行的定义即可判断C；利用向量数量积的坐标运算即可判断D．
4．【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对于A，若，，
则或，故A错误；
对于B，若，，，
则或与异面，故B错误；
对于C，若，，
由直线与平面垂直的性质，可得，故C正确；
对于D，若，，，
则与的关系为平行、相交或异面，故D错误.
故答案为：C.
【分析】举出反例判断出选项A、选项B和选项D；再根据直线与平面垂直的性质定理和线线平行，从而证出线面垂直，则判断出选项C，从而找出真命题的选项.
5．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意，可得直线与相交，
则
当时，满足，
则“”是“直线与相交”的充分条件；
当直线与相交时，
不一定有，比如也满足，
则“”是“直线与相交”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据点到直线的距离公式结合直线与圆的位置关系，再利用充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
6．【答案】D
【知识点】组合及组合数公式；组合数公式的推导
【解析】【解答】解：.
故答案为：D
【分析】利用组合数的运算公式的阶乘式化简，结合组合数的性质即可求解.
7．【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：已知，则，
因为，所以数列为首项，公差为3的等差数列，
所以，所以.
故答案为：D
【分析】先利用递推公式可得，再利用等差数列的定义结合通项公式即可求解.
8．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：不妨设，定义域为：
对求导，可得：
令，
解得：（其中舍去），
当时，，
则此时该点到直线的距离为最小，
根据点到直线的距离公式，可得：，
解得：.
故答案为：A.
【分析】利用动点在曲线，则找出曲线上某点的斜率与直线的斜率相等的点为距离最小的点，再利用导数的几何意义和点到直线的距离公式，从而得出点A到直线的最小距离.
9．【答案】A,B,C
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；辅助角公式；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：，
所以的最大值为2，故A正确.
最小正周期是，故B正确.
将代入，可得，则其图象关于直线对称，故C正确.
当时，，所以的图象关于点对称．故D错误.
故答案为： ABC.
【分析】先利用二倍角和辅助角公式化简，再结合正弦函数的性质逐项判断即可求解.
10．【答案】A,D
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：对于A选项，当 时，曲线为C表示圆，故不正确；
对于B选项，当曲线C为焦点在 轴上的椭圆时，则 ，解得 ，故正确；
对于C选项，当 时，曲线为C表示圆的方程，故正确；
对于D选项，当曲线C为双曲线时，则 ，解得 或 ，故错误；
综上，错误的是AD.
故答案为：AD.
【分析】根据题意依次讨论各选项即可得答案.
11．【答案】B,C,D
【知识点】数列的函数特性；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：三角形数构成数列：1，3，6，10，…，
则有，
利用累加法，得，得到，时也成立；
正方形数构成数列：1，4，9，16，…，
则有，
利用累加法，得，得到，时也成立.
A、由，可得，故A错误；
B、令，解得；
令，解得；故B正确；
C、当n为偶数时：设，
则
，
代入可得数列的前100项和为，故C正确；
D、，
所以，故D正确；
故答案为：BCD.
【分析】利用三角形数可得即可判断A；利用正方形数可得，分别令和，看有无正整数解即可判断B；设，结合等差数列的求和公式即可判断C；将放缩后用裂项相消求和即可判断D；
12．【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：是等差数列，且，，
设等差数列的公差，
根据等差数列通项公式：，
可得，
则，
整理可得：，
解得：，
根据等差数列前项和公式，得：，
可得：，
.
故答案为：.
【分析】利用数列是等差数列，再根据已知条件结合等差数列的通项公式，从而求出公差，再根据等差数列前项和得出的值.
13．【答案】
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：求导得，把代入可得，
解得，∴，故答案为.
【分析】先求导可得，把代入导函数可得到关于，再将代入解析式即可求解.
14．【答案】
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：该游客转动指针三次的结果的树形图如下：
则的分布列如下：
0 1 2 3
故.
故答案为：
【分析】先利用题意画出数形图，分别求出各自的概率，求出的分布列，利用离散型随机变量的数学期望公式即可求解.
15．【答案】解：（Ⅰ）已知，则，解得，
同理，解得，
(Ⅱ)当时，，
整理得，
所以，
综上，数列{}的通项公式为.
【知识点】数列的递推公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）利用，分别令n=2，n=3即可求解；
(Ⅱ)利用可得，再利用累乘即可求解.
16．【答案】（1）证明：连接BP，在半圆柱中，因为平面，平面，
所以，又因为BC是直径，所以，
又平面，，所以平面，
又平面，所以.
（2）解：依题意可知，以线段BC的中点O为坐标原点，以为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系如图所示：
则，连接OP，
设，则，
所以，
设平面的一个法向量为，
所以，则，令，则，
所以，
设为平面的一个法向量，
则，，
所以，令，则，
所以，
因为平面PCA与平面所成的锐二面角的平面角为，
所以，
令，则，平方化简得，
即，又由，可解得或（舍去），
所以，所以平面PCA的一个法向量，且，
所以点D到平面PCA的距离.
【知识点】直线与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先利用平面可得，再利用直径对的三角形为直角三角形可得，结合线面垂直的判定定理可证明平面，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，设，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，再利用锐二面角公式可得，最后利用点到平面距离的向量公式即可求解.
（1）连接BP，在半圆柱中，因为平面，平面，
所以，又因为BC是直径，所以，
又平面，，所以平面，
又平面，所以.
（2）依题意可知，以线段BC的中点O为坐标原点，
以为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，连接OP，
设，则，
所以，
设平面的一个法向量为，
所以，则，令，则，
所以，
设为平面的一个法向量，
则，，
所以，令，则，
所以，
因为平面PCA与平面所成的锐二面角的平面角为，
所以，
令，则，平方化简得，
即，又由，可解得或（舍去），
所以，所以平面PCA的一个法向量，且，
所以点D到平面PCA的距离.
17．【答案】解：（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，
从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，
故.
因此.
的数学期望为.
（2）（i）如果生产状态正常，
一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，
一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件
概率只有0.0408，发生的概率很小.
因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程
可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，
可见上述监控生产过程的方法是合理的.
（ii）由，
得的估计值为，的估计值为，
由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，
因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除之外的数据，
剩下数据的平均数为，
因此的估计值为.
，
剔除之外的数据，
剩下数据的样本方差为，
因此的估计值为.
【知识点】正态分布的期望与方差；3σ原则
【解析】【分析】（1）依题知一个零件的尺寸在之内的概率，可知尺寸在之外的概率为0.0026，利用正态分布的性质即可求解；
（2）（i）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率是大还是小，若小即合理；
（ii）计算，剔除之外的数据，算出剩下数据的平均数，即为的估计值，剔除之外的数据，剩下数据的样本方差0.008，即为的估计值.
18．【答案】（1）解：由抛物线定义可得：，解得，则抛物线的方程为；
因为点在抛物线上，所以，解得；
（2）解：已知如图所示：
设点的坐标为边上的高为，的面积为，
即，解得，
直线的方程是，由点到直线的距离公式可得：，
化简得，因为点在抛物线上，所以，
代入条件可得，
则或，
解得或，
代入拋物线方程求得或或
综上所述，点的坐标有三个可能的值：；
（3）解：不存在，理由如下：
因为由（1）（2）知点，则的斜率为，
所以平行于的两个点分别记为，其斜率，
所以可得
则的中点，
若，则点在以为圆心，为半径的圆上，
到准线的距离等于，因为，所以以为圆心为半径的圆与准线相离，故不存在点满足题设条件.
【知识点】直线与圆的位置关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，根据抛物线定义求出抛物线方程；再根据点在抛物线上，代入求值即可；
（2）设点的坐标为，根据的面积为1，得出边上的高为，利用点到直线的距离公式可得，再把点的坐标代入抛物线方程求解即可；
（3）将转化为以为直径的圆与准线的位置关系判断即可.
（1）由题意，解得，因此抛物线的方程为
点在抛物线上可得，故
（2）设点的坐标为边上的高为，我们知道的面积是：，
所以，，
直线的方程是，利用到直线的距离公式可得：，
化简得：，由于点在抛物线上，即，
代入条件可得：，
可以得到或，
解这个方程可以得到或，
代入拋物线方程可以得到：或或
综上所述，点的坐标有三个可能的值：
（3）不存在，理由如下：
因为由（1）（2）知点，则的斜率为，
所以平行于的两个点分别记为，其斜率，
所以可得
则的中点，
若，则点在以为圆心，为半径的圆上，
到准线的距离等于，因为
所以，以为圆心为半径的圆与准线相离，故不存在点满足题设条件.
19．【答案】（1）解：由，
得，
令，
则，
当时，即当时，，此时单调递减；
当时，即当时，，此时单调递增，
所以，
则对任意，都有，
所以在上单调递增，
则不存在极值.
（2）解：当时，，
对于任意，不等式恒成立，
等价于对于任意，不等式恒成立，
等价于函数在上单调递增，
等价于导函数在上恒成立，
等价于对于任意，不等式恒成立，
令，
则，
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减，
所以，
则，
所以，的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）对求导可得，再求导可得，再分类讨论当、时的单调性，从而判断出函数的单调性，进而不存在函数的极值.
（3）将原问题转化为在上单调递增，则在上恒成立，从而等价于对于任意不等式恒成立，再利用导数求出和不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数k的取值范围.
（1）由，
则，
令，
则，
当即时，，此时单调递减；
当即时，，此时单调递增，
所以，即对任意，都有，
所以在上单调递增，即不存在极值.
（2）当时，，
对于任意，不等式恒成立，
等价于对于任意，不等式恒成立，
等价于函数在上单调递增，
等价于导函数在上恒成立，
等价于对于任意，不等式恒成立，
令，则，
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减，
所以，即，
即的取值范围为.
1 / 1

展开更多......

收起↑