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广西壮族自治区柳州市柳州地区民族高级中学2025-2026学年高一上学期10月期中数学试题
1．（2025高一上·柳江期中）已知集合，集合，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，
且集合，
所以.
故答案为：A.
【分析】先利用列举法表示集合A，再解一元二次不等式化简集合，最后利用交集的定义即可求解.
2．（2025高一上·柳江期中）命题“”的否定是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：因为命题“”属于全称量词命题，
所以命题“”的否定为“”.
故答案为：D.
【分析】利用全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解.
3．（2025高一上·柳江期中）函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由题意可得，解得且，
即函数的定义域为.
故答案为：D
【分析】利用函数有意义列出不等式组，解不等式组再用区间表示即可求解.
4．（2025高一上·柳江期中）设， 则“”是 的（　　）条件.
A．充分而不必要 B．必要而不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由题意或，因为是的真子集；
所以“”是的充分而不必要条件.
故答案为：A.
【分析】先解一元二次不等式可得的充要条件，再利用两个集合的关系与充要条件的关系即可求解.
5．（2025高一上·柳江期中）已知，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：依题意，，而幂函数在上单调递减，
又，
因此，
所以的大小关系为.
故答案为：C
【分析】先利用幂函数的单调性可得c>a，再利用指数函数的单调性可得，即可求解.
6．（2025高一上·柳江期中）已知函数的值域为，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为，且，
当时，解得，由二次函数的图象与性质得的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】先求出二次函数的对称轴，再利用二次函数的单调性和对称性即可求解.
7．（2025高一上·柳江期中）已知函数，对任意，当时，，则a的取值范围是（　　）
A．； B．； C．； D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：当时，，所以在上是增函数，
则在上单调递增；在上单调递增，
且当时，，
所以，
解得，
所以的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】根据函数单调性定义判断出函数f(x)的单调性，再利用函数的单调性，从而得出实数a的取值范围.
8．（2025高一上·柳江期中）已知函数为偶函数，且在上单调递减，则的解集为　　
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：为偶函数，所以，即，
，
由在上单调递减，所以，
，可化为，即，
解得或
故答案为：．
【分析】先利用函数为偶函数，可得；再利用函数在上递减可得；再化，最后解一元二次不等式即可求解．
9．（2025高一上·柳江期中）下列结论正确的是（　　）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B,C,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、举例，，则，故A错误；
B、，因为，则，则，即，故B正确；
C、若，则，
则，故C正确；
D、已知，由不等式的基本性质知，故D正确．
故答案为：BCD．
【分析】举反例即可判断A，利用作差法结合不等式的性质即可判断B和C；不等式性质即可判断D.
10．（2025高一上·柳江期中）下列命题中，正确的有（　　）
A．函数与函数表示同一函数
B．已知函数，若，则
C．若函数，则
D．若函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】B,C
【知识点】命题的真假判断与应用；同一函数的判定；函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【解答】解：因为的定义域是，
的定义域是或，
因为两函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误；
因为函数，
若，则
所以，故B正确；
若函数，
则，故C正确；
若函数的定义域为，
则函数中，，
所以，
则函数的定义域为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用两函数的定义域不同，则两函数不是同一函数，从而判断出选项A；解方程组，则判断出选项B；利用配凑法求出，则判断出选项C；利用函数定义域和不等式的基本性质，从而得出函数的定义域为，则判断出选项D，从而找出真命题的选项.
11．（2025高一上·柳江期中）表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．函数的值域为
【答案】B,D
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用；函数的值域
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以恒成立，故A错误；
对于B，令，则，故B正确；
对于C，如，则，故C错误；
对于D，根据题中定义可知，，
所以函数的值域为，故D正确．
故答案为：BD.
【分析】利用“取整函数”定义和不等式恒成立问题求解方法，则判断选项A；利用“取整函数”定义和函数求值域的方法，则判断出选项D；取特例判断选项B和选项C，从而找出真命题的选项.
12．（2025高一上·柳江期中）若函数是幂函数，则实数的值为　 　.
【答案】3或0
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：因为是幂函数，
所以，
解得或.
故答案为：3或0.
【分析】根据幂函数的定义，从而解一元二次方程得出实数m的值.
13．（2025高一上·柳江期中）已知且，则的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：由题意可得：，
则
，
当且仅当，即，时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
【分析】由题意可得，再利用基本不等式求最值即可.
14．（2025高一上·柳江期中）给定函数，用表示中的较大者，记为.例如，当时，，则不等式的解集为　 　.
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：由，即，解得或；由，得，
因此，
不等式，化为或，解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：
【分析】先利用给定定义求出函数，再利用分段解解不等式即可求解.
15．（2025高一上·柳江期中）已知全集，，，求：
（1），；
（2），．
【答案】（1）解：由题意，，
又，
所以，；
（2）解：由题意，因为，，则，
又由（1）得，
所以；
由，得，
所以．
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）先解一次不等式可得，再利用集合的交集、并集运算即可求解；
（2）先利用补集的运算可得，，再集合的交集、并集运算，即可求解.
（1）由题意，，
又，
所以，；
（2）由题意，因为，，则，
又由（1）得，
所以；
由，得，
所以．
16．（2025高一上·柳江期中）某人自主创业，制作销售一种小工艺品，每天的固定成本为80元，根据一段时间的制作销售发现，每生产件该工艺品，需另投入成本万元，且假设每件工艺品的售价定为200元，且每天生产的工艺品能全部销售完.
（1）求出每天的利润（元）关于日产量（件）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；
（2）当日产量为多少件时，这个人每天所获利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：当时，，
当时，，
所以.
（2）解：当时，，
当时，，
若时，则，
当且仅当，即时，等号成立，此时.
因为，所以当日产量为5件时，这个人每天所获利润最大，最大利润是270元.
【知识点】基本不等式；二次函数模型
【解析】【分析】（1）利用，再利用利润等于销售量减去成本即可求解，
（2）由（1）可得，二次函数的最大值为270，再利用基本不等式可得最大值260，比较大小即可求解.
（1）当时，，
当时，，
所以.
（2）当时，，
当时，，
若时，则，
当且仅当，即时，等号成立，此时.
因为，所以当日产量为5件时，这个人每天所获利润最大，最大利润是270元.
17．（2025高一上·柳江期中）设函数．
（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；
（2）若，解关于的不等式：．
【答案】（1）解：由题意知，0和是方程的根，且，
所以，解得，.
（2）解：不等式，可化为，
故，
因为，所以原不等式可化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为或；
③当时，，不等式的解集为或.
综上所述，当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为或.
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用0和是方程的根，且，再利用根与系数关系列出方程组即可求解；
（2）由条件原不等式可化为，再分，，讨论，结合一元二次不等式解法求解即可.
（1）由题意知，0和是方程的根，且，
所以，解得，.
（2）不等式，可化为，
故，
因为，所以原不等式可化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为或；
③当时，，不等式的解集为或.
综上所述，当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为或.
18．（2025高一上·柳江期中）已知函数的定义域为， 满足，且.
（1）求函数的解析式；
（2）证明在上是增函数；
（3）解不等式.
【答案】解：(1)由题意知，为奇函数；∴，则；
又；
∴；
(2)设，则：
又；
∴，，；故
∴；
即；
∴在上是增函数；
(3)由得；
由(2)知在上是增函数，则
解得
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】(1)先利用代入可知可得，再联立可得即可求解；
(2)设，再利用单调性的定义证明即可求解；
(3)利用(1)(2)问中的奇偶性与单调性和定义域列出解不等式组即可求解.
19．（2025高一上·柳江期中）教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.也即：若，则有，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题：
（1）若，求的最小值；
（2）若，求的最大值，并求取得最大值时的的值；
（3）对任意，判断与的大小关系并加以严格证明.
【答案】（1）解：因为，
由三阶基本不等式，
可得：，
当且仅当时，即当时取等号，
所以的最小值为.
（2）解：当时，
由四阶基本不等式，可得：
当且仅当时，即当时取等号，
因此的最大值为.
（3）解：大小关系为，.
证明如下：由已知条件可知：当时，，
当时，左边，右边，
因为左边右边，所以不等式成立；
当，时，由阶基本不等式，
可知：不等式左边
又因为，
所以上式的不等号取不到等号，
则，
综上所述，原不等式得证.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据三阶基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
（2）由结合四阶基本不等式求最值的方法，从而得出的最大值，并求出取得最大值时的的值.
（3）先猜测，成立，再验证不等式成立，再结合推广公式证出结论成立.
（1）因为，所以由三阶基本不等式可得：，
当且仅当即时取等号，
因此的最小值为；
（2）当时，由四阶基本不等式可得：
，
当且仅当即时取等号，
因此的最大值为；
（3）大小关系为，，
证明如下：
由条件可知：时，，
当时，左边，右边，左边右边，不等式成立；
当，时，由阶基本不等式，可知：
不等式左边
而，因此上式的不等号取不到等号，
于是，
综上，原不等式得证.
1 / 1广西壮族自治区柳州市柳州地区民族高级中学2025-2026学年高一上学期10月期中数学试题
1．（2025高一上·柳江期中）已知集合，集合，则等于（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·柳江期中）命题“”的否定是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025高一上·柳江期中）函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025高一上·柳江期中）设， 则“”是 的（　　）条件.
A．充分而不必要 B．必要而不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
5．（2025高一上·柳江期中）已知，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高一上·柳江期中）已知函数的值域为，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高一上·柳江期中）已知函数，对任意，当时，，则a的取值范围是（　　）
A．； B．； C．； D．
8．（2025高一上·柳江期中）已知函数为偶函数，且在上单调递减，则的解集为　　
A． B．
C． D．
9．（2025高一上·柳江期中）下列结论正确的是（　　）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2025高一上·柳江期中）下列命题中，正确的有（　　）
A．函数与函数表示同一函数
B．已知函数，若，则
C．若函数，则
D．若函数的定义域为，则函数的定义域为
11．（2025高一上·柳江期中）表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．函数的值域为
12．（2025高一上·柳江期中）若函数是幂函数，则实数的值为　 　.
13．（2025高一上·柳江期中）已知且，则的最小值为　 　.
14．（2025高一上·柳江期中）给定函数，用表示中的较大者，记为.例如，当时，，则不等式的解集为　 　.
15．（2025高一上·柳江期中）已知全集，，，求：
（1），；
（2），．
16．（2025高一上·柳江期中）某人自主创业，制作销售一种小工艺品，每天的固定成本为80元，根据一段时间的制作销售发现，每生产件该工艺品，需另投入成本万元，且假设每件工艺品的售价定为200元，且每天生产的工艺品能全部销售完.
（1）求出每天的利润（元）关于日产量（件）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；
（2）当日产量为多少件时，这个人每天所获利润最大？最大利润是多少元？
17．（2025高一上·柳江期中）设函数．
（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；
（2）若，解关于的不等式：．
18．（2025高一上·柳江期中）已知函数的定义域为， 满足，且.
（1）求函数的解析式；
（2）证明在上是增函数；
（3）解不等式.
19．（2025高一上·柳江期中）教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.也即：若，则有，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题：
（1）若，求的最小值；
（2）若，求的最大值，并求取得最大值时的的值；
（3）对任意，判断与的大小关系并加以严格证明.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，
且集合，
所以.
故答案为：A.
【分析】先利用列举法表示集合A，再解一元二次不等式化简集合，最后利用交集的定义即可求解.
2．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：因为命题“”属于全称量词命题，
所以命题“”的否定为“”.
故答案为：D.
【分析】利用全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解.
3．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由题意可得，解得且，
即函数的定义域为.
故答案为：D
【分析】利用函数有意义列出不等式组，解不等式组再用区间表示即可求解.
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由题意或，因为是的真子集；
所以“”是的充分而不必要条件.
故答案为：A.
【分析】先解一元二次不等式可得的充要条件，再利用两个集合的关系与充要条件的关系即可求解.
5．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：依题意，，而幂函数在上单调递减，
又，
因此，
所以的大小关系为.
故答案为：C
【分析】先利用幂函数的单调性可得c>a，再利用指数函数的单调性可得，即可求解.
6．【答案】B
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为，且，
当时，解得，由二次函数的图象与性质得的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】先求出二次函数的对称轴，再利用二次函数的单调性和对称性即可求解.
7．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：当时，，所以在上是增函数，
则在上单调递增；在上单调递增，
且当时，，
所以，
解得，
所以的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】根据函数单调性定义判断出函数f(x)的单调性，再利用函数的单调性，从而得出实数a的取值范围.
8．【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：为偶函数，所以，即，
，
由在上单调递减，所以，
，可化为，即，
解得或
故答案为：．
【分析】先利用函数为偶函数，可得；再利用函数在上递减可得；再化，最后解一元二次不等式即可求解．
9．【答案】B,C,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、举例，，则，故A错误；
B、，因为，则，则，即，故B正确；
C、若，则，
则，故C正确；
D、已知，由不等式的基本性质知，故D正确．
故答案为：BCD．
【分析】举反例即可判断A，利用作差法结合不等式的性质即可判断B和C；不等式性质即可判断D.
10．【答案】B,C
【知识点】命题的真假判断与应用；同一函数的判定；函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【解答】解：因为的定义域是，
的定义域是或，
因为两函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误；
因为函数，
若，则
所以，故B正确；
若函数，
则，故C正确；
若函数的定义域为，
则函数中，，
所以，
则函数的定义域为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用两函数的定义域不同，则两函数不是同一函数，从而判断出选项A；解方程组，则判断出选项B；利用配凑法求出，则判断出选项C；利用函数定义域和不等式的基本性质，从而得出函数的定义域为，则判断出选项D，从而找出真命题的选项.
11．【答案】B,D
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用；函数的值域
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以恒成立，故A错误；
对于B，令，则，故B正确；
对于C，如，则，故C错误；
对于D，根据题中定义可知，，
所以函数的值域为，故D正确．
故答案为：BD.
【分析】利用“取整函数”定义和不等式恒成立问题求解方法，则判断选项A；利用“取整函数”定义和函数求值域的方法，则判断出选项D；取特例判断选项B和选项C，从而找出真命题的选项.
12．【答案】3或0
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：因为是幂函数，
所以，
解得或.
故答案为：3或0.
【分析】根据幂函数的定义，从而解一元二次方程得出实数m的值.
13．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：由题意可得：，
则
，
当且仅当，即，时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
【分析】由题意可得，再利用基本不等式求最值即可.
14．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：由，即，解得或；由，得，
因此，
不等式，化为或，解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：
【分析】先利用给定定义求出函数，再利用分段解解不等式即可求解.
15．【答案】（1）解：由题意，，
又，
所以，；
（2）解：由题意，因为，，则，
又由（1）得，
所以；
由，得，
所以．
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）先解一次不等式可得，再利用集合的交集、并集运算即可求解；
（2）先利用补集的运算可得，，再集合的交集、并集运算，即可求解.
（1）由题意，，
又，
所以，；
（2）由题意，因为，，则，
又由（1）得，
所以；
由，得，
所以．
16．【答案】（1）解：当时，，
当时，，
所以.
（2）解：当时，，
当时，，
若时，则，
当且仅当，即时，等号成立，此时.
因为，所以当日产量为5件时，这个人每天所获利润最大，最大利润是270元.
【知识点】基本不等式；二次函数模型
【解析】【分析】（1）利用，再利用利润等于销售量减去成本即可求解，
（2）由（1）可得，二次函数的最大值为270，再利用基本不等式可得最大值260，比较大小即可求解.
（1）当时，，
当时，，
所以.
（2）当时，，
当时，，
若时，则，
当且仅当，即时，等号成立，此时.
因为，所以当日产量为5件时，这个人每天所获利润最大，最大利润是270元.
17．【答案】（1）解：由题意知，0和是方程的根，且，
所以，解得，.
（2）解：不等式，可化为，
故，
因为，所以原不等式可化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为或；
③当时，，不等式的解集为或.
综上所述，当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为或.
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用0和是方程的根，且，再利用根与系数关系列出方程组即可求解；
（2）由条件原不等式可化为，再分，，讨论，结合一元二次不等式解法求解即可.
（1）由题意知，0和是方程的根，且，
所以，解得，.
（2）不等式，可化为，
故，
因为，所以原不等式可化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为或；
③当时，，不等式的解集为或.
综上所述，当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为或.
18．【答案】解：(1)由题意知，为奇函数；∴，则；
又；
∴；
(2)设，则：
又；
∴，，；故
∴；
即；
∴在上是增函数；
(3)由得；
由(2)知在上是增函数，则
解得
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】(1)先利用代入可知可得，再联立可得即可求解；
(2)设，再利用单调性的定义证明即可求解；
(3)利用(1)(2)问中的奇偶性与单调性和定义域列出解不等式组即可求解.
19．【答案】（1）解：因为，
由三阶基本不等式，
可得：，
当且仅当时，即当时取等号，
所以的最小值为.
（2）解：当时，
由四阶基本不等式，可得：
当且仅当时，即当时取等号，
因此的最大值为.
（3）解：大小关系为，.
证明如下：由已知条件可知：当时，，
当时，左边，右边，
因为左边右边，所以不等式成立；
当，时，由阶基本不等式，
可知：不等式左边
又因为，
所以上式的不等号取不到等号，
则，
综上所述，原不等式得证.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据三阶基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
（2）由结合四阶基本不等式求最值的方法，从而得出的最大值，并求出取得最大值时的的值.
（3）先猜测，成立，再验证不等式成立，再结合推广公式证出结论成立.
（1）因为，所以由三阶基本不等式可得：，
当且仅当即时取等号，
因此的最小值为；
（2）当时，由四阶基本不等式可得：
，
当且仅当即时取等号，
因此的最大值为；
（3）大小关系为，，
证明如下：
由条件可知：时，，
当时，左边，右边，左边右边，不等式成立；
当，时，由阶基本不等式，可知：
不等式左边
而，因此上式的不等号取不到等号，
于是，
综上，原不等式得证.
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