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河北省保定市明大高级中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷
1．（2025高一上·保定期中）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·保定期中）已知，则（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025高一上·保定期中）不等式的解集是（　　）
A．或 B．
C． D．
4．（2025高一上·保定期中）函数的单调递增区间为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025高一上·保定期中）已知且，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高一上·保定期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025高一上·保定期中）已知关于的不等式的解集中不含有整数，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高一上·保定期中）函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025高一上·保定期中）下列代数式，最小值为2的有（　　）
A．当时， B．当时，
C． D．
10．（2025高一上·保定期中）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．
11．（2025高一上·保定期中）定义 ，若函数，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．若直线与的图象有2个交点，则
C．在区间上单调递增
D．在区间上的值域为，则的最大值为，最小值为
12．（2025高一上·保定期中）已知函数满足，则　 　.
13．（2025高一上·保定期中）命题，命题若命题 一真一假，则实数的取值范围为　 　.
14．（2025高一上·保定期中）设，若恒成立，则的最大值为　 　.
15．（2025高一上·保定期中）设集合，已知．
（1）求集合；
（2）写出集合的所有子集：
（3）设集合，若，求实数的取值范围．
16．（2025高一上·保定期中）已知函数，定义域为．
（1）试判断函数在上的单调性，并用定义法证明．
（2）求函数的值域；
（3）若，求实数的取值范围．
17．（2025高一上·保定期中）已知函数.
（1）若不等式的解集为，求的取值范围；
（2）解关于的不等式.
18．（2025高一上·保定期中）某县将“双招双引”作为战略性先导工程，以精细化服务优化营商环境，多举措多维度引进相应企业，已知某企业生产一款测绘仪器，生产该仪器全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部仪器的售价为0.7万元，且所生产的仪器当年能全部销售完.
（1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润＝销售额-成本）；
（2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
19．（2025高一上·保定期中）已知定义在上的函数，对任意的，恒有，且时，．
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性并证明；
（3）解不等式：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意得，，
则.
故答案为：C.
【分析】用绝对值不等式的解法求得集合元素，再根据交集概念判定集合的交集.
2．【答案】D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：因为，，
所以.
故答案为：D.
【分析】采用配凑法的技巧对原式整理，即可顺利解答.
3．【答案】D
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为，整理可得，
等价于，解得，
所以不等式的解集是.
故答案为：D.
【分析】第一步对已知式子进行整理变形，第二步通过去分母将分式不等式化为整式不等式，最后按照一元二次不等式的解法计算得出结果.
4．【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间；复合函数的单调性
【解析】【解答】解：令，则在上单调递增；
，因式分解得，解得定义域为或，即.
是开口向上的二次函数，对称轴为，
因此，在上单调递减；在上单调递增.
结合复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为.
故答案为：B
【分析】依托复合函数单调性的判断方法进行分析，即可完成本题解答.
5．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、取，满足且，但该选项错误，不合题意；
B、因为，，所以由不等式的性质得，该选项正确，符合题意；
C、当时，，不满足，该选项错误，不合题意；
D、取，则，不满足，该选项错误，不合题意
故答案为 ：B
【分析】 对选项A、C、D选项采用特殊值法代入可判断；对B选项，由不等式的性质通可判断 .
6．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：由函数的定义域是及有意义，
得，解得，且，
所以函数的定义域为.
故答案为：C
【分析】第一步明确函数有意义的约束条件，第二步结合抽象函数的定义要求列不等式，进而求解得出函数的定义域.
7．【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由.
若即，不等式的解为，因为解集中不含整数，所以，所以满足题意；
若即，不等式的解集为，此时解集中不含整数，所以满足题意；
若即，不等式的解为，因为解集中不含整数，所以，所以满足题意.
综上实数的取值范围为.
故答案为：C
【分析】第一步按参数的不同取值情况分类，求解对应的不等式解集；第二步依据解集不含整数的要求，分析并确定参数的取值范围.
8．【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：因为对任意，都有成立，
可得在上是单调递减，
则，解得.
故答案为：B.
【分析】第一步利用函数单调性的变形式分析判断出函数的增减性；第二步结合分段函数的定义域、解析式特征等性质，逐步推导得出结果..
9．【答案】B,C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：A、当时，满足，但此时，故最小值不为2，故A错误；
B、因为，所以同号，则，
所以，当且仅当，即等号成立，
所以的最小值为2，故B正确；
C、，
所以当时，的最小值为2，故C正确；
D、因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
但此时显然不成立，所以的最小值不为2，故D错误；
故答案为：BC
【分析】第一步采用特殊值代入法，验证选项 A 的正确性；第二步运用基本不等式的性质，分别判断选项 B、D 的正误；第三步利用配方法对相关式子进行变形，结合变形结果分析并确定选项 C 的对错，最终整合判断结果得到答案.
10．【答案】A,C
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：由关于的一元二次不等式的解集为或，
得是方程的根，且，则，即，
A、，该选项正确，符合题意；
B、不等式，化为，解得，该选项错误，不合题意；
C、不等式，化为，即，解得或，该选项正确，符合题意；
D、，该选项错误，不合题意.
故答案为：AC
【分析】第一步将一元二次不等式的解集用对应参数表示出来；第二步针对每个选项逐一求解分析，进而判断其是否成立.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的图象
【解析】【解答】解：注意到或，.
则，即.
A、，该选项正确，符合题意.
B、画出函数的图象，如图：
由图可知：若直线与的图象有2个交点，则或，该选项错误，不合题意；
C、由图可知，函数在和上单调递增，在上单调递减，该选项正确，符合题意；
D、令，解得；令，解得，
由图象可知：当时，取到最大值为，
当时，取到最小值为，该选项正确，符合题意.
故答案为：ACD
【分析】第一步根据题目给出的条件得出相关关系式，代入数值计算后判断选项 A 是否成立；第二步画出对应图象，通过图象的直观特征判断选项 C 的正误；第三步采用数形结合法分析推导，从而确定选项 B、D 的对错.
12．【答案】8
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【解答】解：令，得，则.
故答案为：8
【分析】第一步通过换元法设，推导得出；第二步将代换后的式子代入原表达式，通过计算得出最终结果.
13．【答案】
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：若命题为真命题，
所以方程在上有解，
则满足，
解得，
若命题为真命题，
所以不等式在上恒成立，
则满足，
解得，
当命题为真命题且为假命题时，则满足；
当命题为假命题且为真命题时，则满足，
所以命题 一真一假时，
可得或，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据题意分别求出命题和为真命题时的实数的取值范围，再分类讨论得出实数m的取值范围.
14．【答案】
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，，
（当且仅当，即时取等号），
，即的最大值为.
故答案为：.
【分析】第一步明确已知条件分母中两个式子m，1-2m满足2m+(1-2m)=1，第二步运用基本不等式的定理进行变形与推导，进而计算得出所求结果由，利用基本不等式即可求得结果.
15．【答案】（1）解：由，所以，得，
则，解得或，
所以.
（2）解：由，
所以集合的子集为：，，，.
（3）解：由，由集合的子集为：，，，.
当时，即，解得；
当时，则，解得；
当时，则，解得；
当时，则，无解；
综上：实数的取值范围为.
【知识点】元素与集合的关系；子集与真子集；集合间关系的判断；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）第一步根据题目给出的，将3代入A中方程可得；
（2）第一步依据（1）的计算结果确定目标集合；第二步按照子集的定义，列出该集合的所有相应子集；
（3）明确题设中的结合（2）所得的所有子集，分不同情况逐一分析讨论，再根据讨论结果整合得出最终答案.
（1）由，所以，得，
则，解得或，
所以.
（2）由，
所以集合的子集为：，，，.
（3）由，由集合的子集为：，，，.
当时，即，解得；
当时，则，解得；
当时，则，解得；
当时，则，无解；
综上：实数的取值范围为.
16．【答案】（1）证明：设，则，
化简得：，
因为，所以，，，那么，即，
所以函数在上单调递增；
（2）解：因为，即，则，可得，
所以，
因此函数在区间上的值域为.
（3）解：因为在上单调递增，且，所以可得，
解，，；
解，，；
解，即，因式分解得，
则或，
时，，取；
时，，取；
综合可得或.
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【分析】（1）第一步对任意两个自变量的函数值作差，第二步对差式变形、定号，由此判断函数值的大小关系；（2）先明确函数的单调性，再结合函数的定义域，分析得出函数的取值范围；
（3）解不等式的核心是利用单调性去掉函数符号，将函数值的不等关系转化为自变量的不等式，再求解.
（1）设，则，
化简得：，
因为，所以，，，那么，即，
所以函数在上单调递增；
（2）因为，即，则，可得，
所以，
因此函数在区间上的值域为.
（3）因为在上单调递增，且，所以可得，
解，，；
解，，；
解，即，因式分解得，
则或，
时，，取；
时，，取；
综合可得或.
17．【答案】（1）解：因为的解集为，
若，得，符合题意；
若时，则，解得；
综上所述：实数的取值范围是.
（2）由不等式，化简得，
即，其对应方程的两根为，
当，即时，不等式的解集为或；
当，即时，解集为R；
当，即时，不等式的解集为或；
综上所述：当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为R；
当时，不等式的解集为或.
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【分析】（1）分和两种情况讨论，结合一元二次不等式恒成立问题求解得答案；
（2）将不等式转化为，分，，三种情况讨论求解.
（1）因为的解集为，
若，得，符合题意；
若时，则，解得；
综上所述：实数的取值范围是.
（2）由不等式，化简得，
即，其对应方程的两根为，
当，即时，不等式的解集为或；
当，即时，解集为R；
当，即时，不等式的解集为或；
综上所述：当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为R；
当时，不等式的解集为或.
18．【答案】（1）解：由题意，销售额为，
当时，；
当时，，
所以.
（2）解：当时，；
当时，万元，
当时，当且仅当时，即当时等号成立，万元，
则当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用收入减去投入成本和固定成本，从而得出利润函数.
（2）利用分类讨论的方法和二次函数求最值的方法、基本不等式求最值的方法，从而比较得出当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元.
（1）由题意有销售额为，
所以当时，，
当时，，
所以；
（2）（2）当时，，
当时，万元，
当时，，当且仅当，
即时等号成立，万元，
即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元.
19．【答案】（1）解：令，则，故；
（2）证明：在上为减函数，理由如下：
设，
则，
因为，
所以，
所以，即在上为减函数；
（3）解：，所以，
因此
因此，解得，
所以，不等式的解集为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；抽象函数及其应用
【解析】【分析】（1）第一步设定代换变量，第二步将该变量代入函数表达式，通过计算得到对应结果；
（2）第一步明确函数单调性的定义判定步骤，第二步结合题目给出的完成取值、作差、变形、定号的推导，进而证明单调性；
（3）第一步梳理题设中，第二步借助（2）的单调性结论将问题转化为自变量的不等关系，第三步列出不等式组并求解.
（1）令，则，故；
（2）在上为减函数，理由如下：
设，
则，
因为，
所以，
所以，即在上为减函数；
（3），所以，
因此
因此，解得，
所以，不等式的解集为.
1 / 1河北省保定市明大高级中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷
1．（2025高一上·保定期中）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意得，，
则.
故答案为：C.
【分析】用绝对值不等式的解法求得集合元素，再根据交集概念判定集合的交集.
2．（2025高一上·保定期中）已知，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：因为，，
所以.
故答案为：D.
【分析】采用配凑法的技巧对原式整理，即可顺利解答.
3．（2025高一上·保定期中）不等式的解集是（　　）
A．或 B．
C． D．
【答案】D
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为，整理可得，
等价于，解得，
所以不等式的解集是.
故答案为：D.
【分析】第一步对已知式子进行整理变形，第二步通过去分母将分式不等式化为整式不等式，最后按照一元二次不等式的解法计算得出结果.
4．（2025高一上·保定期中）函数的单调递增区间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间；复合函数的单调性
【解析】【解答】解：令，则在上单调递增；
，因式分解得，解得定义域为或，即.
是开口向上的二次函数，对称轴为，
因此，在上单调递减；在上单调递增.
结合复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为.
故答案为：B
【分析】依托复合函数单调性的判断方法进行分析，即可完成本题解答.
5．（2025高一上·保定期中）已知且，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、取，满足且，但该选项错误，不合题意；
B、因为，，所以由不等式的性质得，该选项正确，符合题意；
C、当时，，不满足，该选项错误，不合题意；
D、取，则，不满足，该选项错误，不合题意
故答案为 ：B
【分析】 对选项A、C、D选项采用特殊值法代入可判断；对B选项，由不等式的性质通可判断 .
6．（2025高一上·保定期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：由函数的定义域是及有意义，
得，解得，且，
所以函数的定义域为.
故答案为：C
【分析】第一步明确函数有意义的约束条件，第二步结合抽象函数的定义要求列不等式，进而求解得出函数的定义域.
7．（2025高一上·保定期中）已知关于的不等式的解集中不含有整数，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由.
若即，不等式的解为，因为解集中不含整数，所以，所以满足题意；
若即，不等式的解集为，此时解集中不含整数，所以满足题意；
若即，不等式的解为，因为解集中不含整数，所以，所以满足题意.
综上实数的取值范围为.
故答案为：C
【分析】第一步按参数的不同取值情况分类，求解对应的不等式解集；第二步依据解集不含整数的要求，分析并确定参数的取值范围.
8．（2025高一上·保定期中）函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：因为对任意，都有成立，
可得在上是单调递减，
则，解得.
故答案为：B.
【分析】第一步利用函数单调性的变形式分析判断出函数的增减性；第二步结合分段函数的定义域、解析式特征等性质，逐步推导得出结果..
9．（2025高一上·保定期中）下列代数式，最小值为2的有（　　）
A．当时， B．当时，
C． D．
【答案】B,C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：A、当时，满足，但此时，故最小值不为2，故A错误；
B、因为，所以同号，则，
所以，当且仅当，即等号成立，
所以的最小值为2，故B正确；
C、，
所以当时，的最小值为2，故C正确；
D、因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
但此时显然不成立，所以的最小值不为2，故D错误；
故答案为：BC
【分析】第一步采用特殊值代入法，验证选项 A 的正确性；第二步运用基本不等式的性质，分别判断选项 B、D 的正误；第三步利用配方法对相关式子进行变形，结合变形结果分析并确定选项 C 的对错，最终整合判断结果得到答案.
10．（2025高一上·保定期中）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．
【答案】A,C
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：由关于的一元二次不等式的解集为或，
得是方程的根，且，则，即，
A、，该选项正确，符合题意；
B、不等式，化为，解得，该选项错误，不合题意；
C、不等式，化为，即，解得或，该选项正确，符合题意；
D、，该选项错误，不合题意.
故答案为：AC
【分析】第一步将一元二次不等式的解集用对应参数表示出来；第二步针对每个选项逐一求解分析，进而判断其是否成立.
11．（2025高一上·保定期中）定义 ，若函数，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．若直线与的图象有2个交点，则
C．在区间上单调递增
D．在区间上的值域为，则的最大值为，最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的图象
【解析】【解答】解：注意到或，.
则，即.
A、，该选项正确，符合题意.
B、画出函数的图象，如图：
由图可知：若直线与的图象有2个交点，则或，该选项错误，不合题意；
C、由图可知，函数在和上单调递增，在上单调递减，该选项正确，符合题意；
D、令，解得；令，解得，
由图象可知：当时，取到最大值为，
当时，取到最小值为，该选项正确，符合题意.
故答案为：ACD
【分析】第一步根据题目给出的条件得出相关关系式，代入数值计算后判断选项 A 是否成立；第二步画出对应图象，通过图象的直观特征判断选项 C 的正误；第三步采用数形结合法分析推导，从而确定选项 B、D 的对错.
12．（2025高一上·保定期中）已知函数满足，则　 　.
【答案】8
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【解答】解：令，得，则.
故答案为：8
【分析】第一步通过换元法设，推导得出；第二步将代换后的式子代入原表达式，通过计算得出最终结果.
13．（2025高一上·保定期中）命题，命题若命题 一真一假，则实数的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：若命题为真命题，
所以方程在上有解，
则满足，
解得，
若命题为真命题，
所以不等式在上恒成立，
则满足，
解得，
当命题为真命题且为假命题时，则满足；
当命题为假命题且为真命题时，则满足，
所以命题 一真一假时，
可得或，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据题意分别求出命题和为真命题时的实数的取值范围，再分类讨论得出实数m的取值范围.
14．（2025高一上·保定期中）设，若恒成立，则的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，，
（当且仅当，即时取等号），
，即的最大值为.
故答案为：.
【分析】第一步明确已知条件分母中两个式子m，1-2m满足2m+(1-2m)=1，第二步运用基本不等式的定理进行变形与推导，进而计算得出所求结果由，利用基本不等式即可求得结果.
15．（2025高一上·保定期中）设集合，已知．
（1）求集合；
（2）写出集合的所有子集：
（3）设集合，若，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由，所以，得，
则，解得或，
所以.
（2）解：由，
所以集合的子集为：，，，.
（3）解：由，由集合的子集为：，，，.
当时，即，解得；
当时，则，解得；
当时，则，解得；
当时，则，无解；
综上：实数的取值范围为.
【知识点】元素与集合的关系；子集与真子集；集合间关系的判断；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）第一步根据题目给出的，将3代入A中方程可得；
（2）第一步依据（1）的计算结果确定目标集合；第二步按照子集的定义，列出该集合的所有相应子集；
（3）明确题设中的结合（2）所得的所有子集，分不同情况逐一分析讨论，再根据讨论结果整合得出最终答案.
（1）由，所以，得，
则，解得或，
所以.
（2）由，
所以集合的子集为：，，，.
（3）由，由集合的子集为：，，，.
当时，即，解得；
当时，则，解得；
当时，则，解得；
当时，则，无解；
综上：实数的取值范围为.
16．（2025高一上·保定期中）已知函数，定义域为．
（1）试判断函数在上的单调性，并用定义法证明．
（2）求函数的值域；
（3）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明：设，则，
化简得：，
因为，所以，，，那么，即，
所以函数在上单调递增；
（2）解：因为，即，则，可得，
所以，
因此函数在区间上的值域为.
（3）解：因为在上单调递增，且，所以可得，
解，，；
解，，；
解，即，因式分解得，
则或，
时，，取；
时，，取；
综合可得或.
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【分析】（1）第一步对任意两个自变量的函数值作差，第二步对差式变形、定号，由此判断函数值的大小关系；（2）先明确函数的单调性，再结合函数的定义域，分析得出函数的取值范围；
（3）解不等式的核心是利用单调性去掉函数符号，将函数值的不等关系转化为自变量的不等式，再求解.
（1）设，则，
化简得：，
因为，所以，，，那么，即，
所以函数在上单调递增；
（2）因为，即，则，可得，
所以，
因此函数在区间上的值域为.
（3）因为在上单调递增，且，所以可得，
解，，；
解，，；
解，即，因式分解得，
则或，
时，，取；
时，，取；
综合可得或.
17．（2025高一上·保定期中）已知函数.
（1）若不等式的解集为，求的取值范围；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）解：因为的解集为，
若，得，符合题意；
若时，则，解得；
综上所述：实数的取值范围是.
（2）由不等式，化简得，
即，其对应方程的两根为，
当，即时，不等式的解集为或；
当，即时，解集为R；
当，即时，不等式的解集为或；
综上所述：当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为R；
当时，不等式的解集为或.
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【分析】（1）分和两种情况讨论，结合一元二次不等式恒成立问题求解得答案；
（2）将不等式转化为，分，，三种情况讨论求解.
（1）因为的解集为，
若，得，符合题意；
若时，则，解得；
综上所述：实数的取值范围是.
（2）由不等式，化简得，
即，其对应方程的两根为，
当，即时，不等式的解集为或；
当，即时，解集为R；
当，即时，不等式的解集为或；
综上所述：当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为R；
当时，不等式的解集为或.
18．（2025高一上·保定期中）某县将“双招双引”作为战略性先导工程，以精细化服务优化营商环境，多举措多维度引进相应企业，已知某企业生产一款测绘仪器，生产该仪器全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部仪器的售价为0.7万元，且所生产的仪器当年能全部销售完.
（1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润＝销售额-成本）；
（2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：由题意，销售额为，
当时，；
当时，，
所以.
（2）解：当时，；
当时，万元，
当时，当且仅当时，即当时等号成立，万元，
则当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用收入减去投入成本和固定成本，从而得出利润函数.
（2）利用分类讨论的方法和二次函数求最值的方法、基本不等式求最值的方法，从而比较得出当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元.
（1）由题意有销售额为，
所以当时，，
当时，，
所以；
（2）（2）当时，，
当时，万元，
当时，，当且仅当，
即时等号成立，万元，
即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元.
19．（2025高一上·保定期中）已知定义在上的函数，对任意的，恒有，且时，．
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性并证明；
（3）解不等式：．
【答案】（1）解：令，则，故；
（2）证明：在上为减函数，理由如下：
设，
则，
因为，
所以，
所以，即在上为减函数；
（3）解：，所以，
因此
因此，解得，
所以，不等式的解集为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；抽象函数及其应用
【解析】【分析】（1）第一步设定代换变量，第二步将该变量代入函数表达式，通过计算得到对应结果；
（2）第一步明确函数单调性的定义判定步骤，第二步结合题目给出的完成取值、作差、变形、定号的推导，进而证明单调性；
（3）第一步梳理题设中，第二步借助（2）的单调性结论将问题转化为自变量的不等关系，第三步列出不等式组并求解.
（1）令，则，故；
（2）在上为减函数，理由如下：
设，
则，
因为，
所以，
所以，即在上为减函数；
（3），所以，
因此
因此，解得，
所以，不等式的解集为.
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