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四川省彭州中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题
1．（2025高三上·彭州期中）已知集合，，且，则（　　）
A．0 B．3 C． D．3或0
2．（2025高三上·彭州期中）设，则=
A．2 B． C． D．1
3．（2025高三上·彭州期中）已知向量满足，，则
A．4 B．3 C．2 D．0
4．（2025高三上·彭州期中）已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025高三上·彭州期中）如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高三上·彭州期中）已知点，到同一直线的距离分别为2和3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高三上·彭州期中）在等差数列中，其前项和为，若，，则中最大的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高三上·彭州期中）已知，若对任意两个不等的正实数、都有成立，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
9．（2025高三上·彭州期中）下列说法中正确的是（　　）
A．函数是偶函数
B．存在实数，使
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．若，都是第一象限角，且，则
10．（2025高三上·彭州期中）设椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，点是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（　　）
A．离心率
B．面积的最大值为1
C．以线段为直径的圆与直线相切
D．为定值
11．（2025高三上·彭州期中）已知数列的前项和为，，数列的前项和为，，则下列选项正确的是（　　）
A． B． C． D．
12．（2025高三上·彭州期中）已知直线与曲线相切，则=　 　.
13．（2025高三上·彭州期中）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是　 　结果用最简分数表示．
14．（2025高三上·彭州期中）如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则　 　.
15．（2025高三上·彭州期中）（1）已知，求的值.
（2）已知，求的值.
16．（2025高三上·彭州期中）如图，在直三棱柱中，AB⊥AC，，点E，F分别为棱AB、的中点．
（1）求直线与直线AF的夹角的余弦值；
（2）求点F到平面的距离．
17．（2025高三上·彭州期中）随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：
笔试成绩X
人数 5 15 35 30 10 5
（1）假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率；
（2）由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布，其中近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数（结果四舍五入精确到个位）；
（3）考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得3分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分．已知考生甲答对前两题的概率都是，答对最后一题的概率为，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分Y的分布列及数学期望．（参考数据：；若，则，，．）
18．（2025高三上·彭州期中）已知直线相交于点M，且它们的斜率之积是点M的轨迹记为
（1）求轨迹C的方程；
（2）设是线段AB的从左至右的两个三等分点.
（）试比较与的大小，并说明理由；
（）若直线分别与曲线C相交于另一点E和F，直线与C交于另一点G，求证：直线经过一定点.
19．（2025高三上·彭州期中）已知函数（，）.
（1）当时，求证：；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，，求a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】集合相等
【解析】【解答】解：由，得，
解得或，
当时，，不满足元素的互异性，舍去；
当时，成立.
故答案为：A.
【分析】根据集合相等列出方程，从而解方程结合元素的互异性，从而得出满足要求的m的值.
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：，则.故答案为：C．
【分析】先根据复数代数形式的除法运算化简复数，再求即可.
3．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为
故答案为：B.
【分析】根据向量的数量积公式计算可得答案.
4．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：根据题意，数是定义在上的偶函数，
则，
解得，
所以，函数是开口向下的二次函数，在区间上为减函数，
又因为，函数的对称轴为，且在上为减函数，
所以，
则.
故答案为：D.
【分析】根据题意结合偶函数的定义域关于原点对称，从而求出的值，再由二次函数的单调性和对称性，从而判断出函数的对称性和单调性，进而比较出的大小关系.
5．【答案】B
【知识点】异面直线所成的角；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：连接，取的中点，连接，，
由题意知，，
则异面直线与所成角为（或其补角），
在中，，
则，
所以，异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，连接，取的中点，连接，，再利用线线平行作出异面直线所成的角，再结合余弦定理得出 异面直线与所成角的余弦值.
6．【答案】C
【知识点】圆的标准方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：以为圆心，2为半径的圆标准方程为，
以为圆心，3为半径的圆标准方程为，
由题意可得：两圆相交，因为，所以，
即，即，解得，
故的取值范围为 .
故答案为：C.
【分析】先求分别以点， 为圆心，2和3为半径的圆的标准方程，由题意可得两圆相交，根据两圆相交半径和圆心距的关系列式求得的范围.
7．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
由，可得，即，因为，所以，
则，，当时有最大值，即中最大.
故答案为：C.
【分析】设等差数列的公差为，根据求得数列的首项和公差的关系，再根据等差数列的求和公式，结合二次函数的性质求解即可.
8．【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：假设，对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，
则，即对于任意成立，
令，在单调递增，则在上恒成立，
即，故实数a的取值范围是.
故答案为：A．
【分析】假设，由题意可得，构造函数，易知函数在单调递增，求导，导数大于等于零恒成立，问题转化为求解，即可求出的范围．
9．【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；二倍角的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、，显然是偶函数，故A正确；
B、，则不存在实数，使，故B错误；
C、当时，，则直线是函数图象的一条对称轴，故C正确；
D、若，，满足，都是第一象限角，且，但，，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用诱导公式结合函数的奇偶性即可判断A；利用正弦的二倍角公式化简函数，结合正弦函数的性质求解即可判断B；求时，函数的函数值即可判断C；取特殊值即可判断D.
10．【答案】B,D
【知识点】直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：A、易知，，则，故A错误；
B、要使△的面积最大，底边上的高最大，高的最大值即为，
则△的面积最大值为，故B正确；
C、以线段为直径的圆的方程为，圆心到直线的距离为，
则以线段为直径的圆与直线相交，故C错误；
D、设点，则，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由椭圆方程可得，，代入椭圆离心率公式求解即可判断A；将看成△的底，高的最大值即为，即可求出△面积的最大值即可判断B；先求以线段为直径的圆方程，利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离即可判定直线和圆的位置关系即可判断C；设点，利用斜率公式求即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：A、由，可得，故A正确；
B、由，可得，故B错误；
，，所以时，，，
所以时，，
令，，
时，，
，时，
所以时，，故CD正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，根据数列与之间的关系求即可判断A；求即可判断B；利用裂项相消求和即可判断CD.
12．【答案】3
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜率
【解析】【解答】解：设切点为（x0，y0），
由题意，可得：曲线的方程为y＝ln（x+），
所以y＝．
则k切＝＝1且y0＝x0+2，y0＝ln（x0+），
解得：y0＝0，x0＝﹣2，
则＝3．
故答案为3．
【分析】设切点为（x0，y0），先求出函数y＝ln（x+）的导数为y＝，从而得出k切＝＝1且y0＝x0+2，y0＝ln（x0+），进而求出的值．
13．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，
从中随机选取三个，所有的事件总数为：，
这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两种情况，
所以，这三个砝码的总质量为9克的概率是：.
故答案为：．
【分析】先求出所有事件的总数，再求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，再利用古典概率公式和组合数公式，从而得出这三个砝码的总质量为9克的概率．
14．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；空间向量基本定理；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：因为二面角的大小为，
所以与的夹角为，
又因为，
所以
，
则.
故答案为：.
【分析】根据二面角的大小为得出与的夹角，再利用空间向量基本定理，从而得到，再根据结合数量积的运算律和数量积的定义，从而得出AB的长.
15．【答案】解：（1）原式=
（2）
两边平方得
.
∴
【知识点】有理数指数幂的运算性质；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的基本关系，从而可得原式，再代值得出的值.
（2）将两边平方可得，从而可得，再利用平方差公式得出，从而得出的值.
16．【答案】（1）解：因为丄平面ABC，AB⊥AC，
以点A为坐标原点，AB、AC、所在直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，
所以A(0，0，0)、、E(1，0，0)、F(1，0，2)，
则，，
所以，
则直线与直线AF的夹角的余弦值为．
（2）解：易知，，，
设平面的法向量为，
则，
取x=2，可得，
所以平面的一个法向量为，且，
则点F到平面的距离为．
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；异面直线所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）以点A为坐标原点，AB、AC、所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出直线与直线AF的夹角的余弦值.
（2）利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积求出点F到平面的距离.
（1）因为丄平面ABC，AB⊥AC，以点A为坐标原点，AB、AC、所在直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，则A(0，0，0)、、E(1，0，0)、F(1，0，2)，
所以，，，
，
所以，直线与直线AF的夹角的余弦值为．
（2）易知，，，
设平面的法向量为，
则，取x=2，可得，
所以平面的一个法向量为，
且，所以，点F到平面的距离为．
17．【答案】（1）解：由频数分布表可知：样本中笔试成绩不低于80分的考生共有15人，其中成绩优秀的10人，
故至少有1人笔试成绩为优秀的概率为；
（2）解：由表格中的数据可知，，
由，可得，
则，
由此可估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数为10000×0.15865≈1587人；
（3）解：由题意可知：考生甲的总得分Y的所有可能取值为0，3，4，6，7，10，
则， ， ，
， ， ，
故Y的分布列为：
Y 0 3 4 6 7 10
P
则．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1） 由频数分布表可知：样本中笔试成绩不低于80分的和成绩优秀的人数，根据古典概型概率公式计算即可；
（2）由表中数据求平均数，根据正态分布曲线的对称性和求，据此估计成绩不低于82.4的人数即可；
（3）由题意可知：考生甲的总得分Y的所有可能取值为0，3，4，6，7，10，根据独立事件概率的计算方法求概率，并列分布列，在根据数学期望公式求数学期望即可.
（1）由已知，样本中笔试成绩不低于80分的考生共有15人，其中成绩优秀的10人．
故至少有1人笔试成绩为优秀的概率为.
（2）由表格中的数据可知，，
又，即，
∴，
由此可估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数为10000×0.15865≈1587人.
（3）考生甲的总得分Y的所有可能取值为0，3，4，6，7，10，
则， ， ，
， ， ，
故Y的分布列为：
Y 0 3 4 6 7 10
P
∴．
18．【答案】（1）解：设
因为直线AM，BM的斜率之积是
所以
化简得.
（2）解：因为P，Q是线段AB的从左至右的两个三等分点，
所以
设的焦点坐标为
所以
则
所以为C的焦点.
因为
所以
则.
设
①当斜率存在时，不妨令直线
联立
化简得
因为与C的另一个交点为E，
所以
又因为
所以式可以化为则
所以，点
同理可得点
当轴，即当时
所以直线EG过x轴上点.
下证：三点共线，
因为
同理可得
又因为三点共线，
所以所以
则三点共线，
所以直线经过一定点；
②当轴时，则
所以此时
联立
解得，
所以直线交C于
则
综上所述，直线经过定点
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；斜率的计算公式；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件中直线斜率之积的关系，设点的坐标，再利用两点求斜率公式列出等式，再化简得到轨迹C的方程.
（2）（）先根据已知点的坐标确定线段三等分点坐标，再由椭圆方程求出焦点坐标，从俄判断出相关点与焦点的关系，再利用均值不等式求最值的方法，从而比较出与的大小.
（）设点的坐标和直线方程，再联立直线方程和椭圆方程，从而得出交点坐标，再利用斜率证出三点共线，从而证出直线经过一定点.
（1）设因为直线AM，BM的斜率之积是
所以
化简得
（2）因为P，Q是线段AB的从左至右的两个三等分点，
所以
设的焦点坐标为所以即
所以为C的焦点，
因为所以
所以；
设
①当斜率存在时，不妨令直线
联立化简得
因为与C的另一个交点为E，
所以
因为
所以式可以化为
所以所以点同理点
当轴，即时
所以直线EG过x轴上点
下证：三点共线，
因为
同理
因为三点共线，所以所以
即三点共线，所以直线经过一定点
②当轴时，即所以
此时联立解得
所以直线交C于所以
综上，直线经过定点
19．【答案】（1）证明：当时，
设，
所以单调递增，
则当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以，
则，
所以.
（2）解：因为函数的定义域为，
求导，得：，
当时，，，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，，
令，
解得，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
当时，，
令，解得，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
当时，，
令，解得，
当时，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递增.
（3）解：当时，符合题意；
当时，，
则等价于恒成立，
令，
则，
由（1）知，
所以，，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
则，
因为恒成立，
所以，
则，
所以，实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）构造函数结合函数单调性，从而得出函数最小值，进而证出不等式成立.
（2）先求出导函数，再分，，，四种情况，在根据导数的正负判断并讨论出函数的单调性.
（2）利用参变分离得到，再构造函数，再求导判断函数的单调性，从而得出函数的最大值，进而得出实数a的取值范围.
（1）当时，设，
所以单调递增，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减；
所以，所以，
所以；
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，，
当时，单调递增；当时，单调递减；
当时，，
令，解得，
当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；
当时，，
令，解得，
当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；
当时，，
令，解得，
当时，单调递增；
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递增；
（3）当时，符合题意；
当时，，则等价于恒成立，
令，
，
由（1）知，所以，，
当时，单调递减；当时，单调递增；
则，
因为恒成立，所以，
所以，
实数的取值范围为.
1 / 1四川省彭州中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题
1．（2025高三上·彭州期中）已知集合，，且，则（　　）
A．0 B．3 C． D．3或0
【答案】A
【知识点】集合相等
【解析】【解答】解：由，得，
解得或，
当时，，不满足元素的互异性，舍去；
当时，成立.
故答案为：A.
【分析】根据集合相等列出方程，从而解方程结合元素的互异性，从而得出满足要求的m的值.
2．（2025高三上·彭州期中）设，则=
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：，则.故答案为：C．
【分析】先根据复数代数形式的除法运算化简复数，再求即可.
3．（2025高三上·彭州期中）已知向量满足，，则
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为
故答案为：B.
【分析】根据向量的数量积公式计算可得答案.
4．（2025高三上·彭州期中）已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：根据题意，数是定义在上的偶函数，
则，
解得，
所以，函数是开口向下的二次函数，在区间上为减函数，
又因为，函数的对称轴为，且在上为减函数，
所以，
则.
故答案为：D.
【分析】根据题意结合偶函数的定义域关于原点对称，从而求出的值，再由二次函数的单调性和对称性，从而判断出函数的对称性和单调性，进而比较出的大小关系.
5．（2025高三上·彭州期中）如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异面直线所成的角；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：连接，取的中点，连接，，
由题意知，，
则异面直线与所成角为（或其补角），
在中，，
则，
所以，异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，连接，取的中点，连接，，再利用线线平行作出异面直线所成的角，再结合余弦定理得出 异面直线与所成角的余弦值.
6．（2025高三上·彭州期中）已知点，到同一直线的距离分别为2和3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆的标准方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：以为圆心，2为半径的圆标准方程为，
以为圆心，3为半径的圆标准方程为，
由题意可得：两圆相交，因为，所以，
即，即，解得，
故的取值范围为 .
故答案为：C.
【分析】先求分别以点， 为圆心，2和3为半径的圆的标准方程，由题意可得两圆相交，根据两圆相交半径和圆心距的关系列式求得的范围.
7．（2025高三上·彭州期中）在等差数列中，其前项和为，若，，则中最大的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
由，可得，即，因为，所以，
则，，当时有最大值，即中最大.
故答案为：C.
【分析】设等差数列的公差为，根据求得数列的首项和公差的关系，再根据等差数列的求和公式，结合二次函数的性质求解即可.
8．（2025高三上·彭州期中）已知，若对任意两个不等的正实数、都有成立，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：假设，对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，
则，即对于任意成立，
令，在单调递增，则在上恒成立，
即，故实数a的取值范围是.
故答案为：A．
【分析】假设，由题意可得，构造函数，易知函数在单调递增，求导，导数大于等于零恒成立，问题转化为求解，即可求出的范围．
9．（2025高三上·彭州期中）下列说法中正确的是（　　）
A．函数是偶函数
B．存在实数，使
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．若，都是第一象限角，且，则
【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；二倍角的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、，显然是偶函数，故A正确；
B、，则不存在实数，使，故B错误；
C、当时，，则直线是函数图象的一条对称轴，故C正确；
D、若，，满足，都是第一象限角，且，但，，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用诱导公式结合函数的奇偶性即可判断A；利用正弦的二倍角公式化简函数，结合正弦函数的性质求解即可判断B；求时，函数的函数值即可判断C；取特殊值即可判断D.
10．（2025高三上·彭州期中）设椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，点是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（　　）
A．离心率
B．面积的最大值为1
C．以线段为直径的圆与直线相切
D．为定值
【答案】B,D
【知识点】直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：A、易知，，则，故A错误；
B、要使△的面积最大，底边上的高最大，高的最大值即为，
则△的面积最大值为，故B正确；
C、以线段为直径的圆的方程为，圆心到直线的距离为，
则以线段为直径的圆与直线相交，故C错误；
D、设点，则，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由椭圆方程可得，，代入椭圆离心率公式求解即可判断A；将看成△的底，高的最大值即为，即可求出△面积的最大值即可判断B；先求以线段为直径的圆方程，利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离即可判定直线和圆的位置关系即可判断C；设点，利用斜率公式求即可判断D.
11．（2025高三上·彭州期中）已知数列的前项和为，，数列的前项和为，，则下列选项正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：A、由，可得，故A正确；
B、由，可得，故B错误；
，，所以时，，，
所以时，，
令，，
时，，
，时，
所以时，，故CD正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，根据数列与之间的关系求即可判断A；求即可判断B；利用裂项相消求和即可判断CD.
12．（2025高三上·彭州期中）已知直线与曲线相切，则=　 　.
【答案】3
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜率
【解析】【解答】解：设切点为（x0，y0），
由题意，可得：曲线的方程为y＝ln（x+），
所以y＝．
则k切＝＝1且y0＝x0+2，y0＝ln（x0+），
解得：y0＝0，x0＝﹣2，
则＝3．
故答案为3．
【分析】设切点为（x0，y0），先求出函数y＝ln（x+）的导数为y＝，从而得出k切＝＝1且y0＝x0+2，y0＝ln（x0+），进而求出的值．
13．（2025高三上·彭州期中）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是　 　结果用最简分数表示．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，
从中随机选取三个，所有的事件总数为：，
这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两种情况，
所以，这三个砝码的总质量为9克的概率是：.
故答案为：．
【分析】先求出所有事件的总数，再求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，再利用古典概率公式和组合数公式，从而得出这三个砝码的总质量为9克的概率．
14．（2025高三上·彭州期中）如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则　 　.
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；空间向量基本定理；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：因为二面角的大小为，
所以与的夹角为，
又因为，
所以
，
则.
故答案为：.
【分析】根据二面角的大小为得出与的夹角，再利用空间向量基本定理，从而得到，再根据结合数量积的运算律和数量积的定义，从而得出AB的长.
15．（2025高三上·彭州期中）（1）已知，求的值.
（2）已知，求的值.
【答案】解：（1）原式=
（2）
两边平方得
.
∴
【知识点】有理数指数幂的运算性质；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的基本关系，从而可得原式，再代值得出的值.
（2）将两边平方可得，从而可得，再利用平方差公式得出，从而得出的值.
16．（2025高三上·彭州期中）如图，在直三棱柱中，AB⊥AC，，点E，F分别为棱AB、的中点．
（1）求直线与直线AF的夹角的余弦值；
（2）求点F到平面的距离．
【答案】（1）解：因为丄平面ABC，AB⊥AC，
以点A为坐标原点，AB、AC、所在直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，
所以A(0，0，0)、、E(1，0，0)、F(1，0，2)，
则，，
所以，
则直线与直线AF的夹角的余弦值为．
（2）解：易知，，，
设平面的法向量为，
则，
取x=2，可得，
所以平面的一个法向量为，且，
则点F到平面的距离为．
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；异面直线所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）以点A为坐标原点，AB、AC、所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出直线与直线AF的夹角的余弦值.
（2）利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积求出点F到平面的距离.
（1）因为丄平面ABC，AB⊥AC，以点A为坐标原点，AB、AC、所在直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，则A(0，0，0)、、E(1，0，0)、F(1，0，2)，
所以，，，
，
所以，直线与直线AF的夹角的余弦值为．
（2）易知，，，
设平面的法向量为，
则，取x=2，可得，
所以平面的一个法向量为，
且，所以，点F到平面的距离为．
17．（2025高三上·彭州期中）随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：
笔试成绩X
人数 5 15 35 30 10 5
（1）假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率；
（2）由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布，其中近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数（结果四舍五入精确到个位）；
（3）考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得3分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分．已知考生甲答对前两题的概率都是，答对最后一题的概率为，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分Y的分布列及数学期望．（参考数据：；若，则，，．）
【答案】（1）解：由频数分布表可知：样本中笔试成绩不低于80分的考生共有15人，其中成绩优秀的10人，
故至少有1人笔试成绩为优秀的概率为；
（2）解：由表格中的数据可知，，
由，可得，
则，
由此可估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数为10000×0.15865≈1587人；
（3）解：由题意可知：考生甲的总得分Y的所有可能取值为0，3，4，6，7，10，
则， ， ，
， ， ，
故Y的分布列为：
Y 0 3 4 6 7 10
P
则．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1） 由频数分布表可知：样本中笔试成绩不低于80分的和成绩优秀的人数，根据古典概型概率公式计算即可；
（2）由表中数据求平均数，根据正态分布曲线的对称性和求，据此估计成绩不低于82.4的人数即可；
（3）由题意可知：考生甲的总得分Y的所有可能取值为0，3，4，6，7，10，根据独立事件概率的计算方法求概率，并列分布列，在根据数学期望公式求数学期望即可.
（1）由已知，样本中笔试成绩不低于80分的考生共有15人，其中成绩优秀的10人．
故至少有1人笔试成绩为优秀的概率为.
（2）由表格中的数据可知，，
又，即，
∴，
由此可估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数为10000×0.15865≈1587人.
（3）考生甲的总得分Y的所有可能取值为0，3，4，6，7，10，
则， ， ，
， ， ，
故Y的分布列为：
Y 0 3 4 6 7 10
P
∴．
18．（2025高三上·彭州期中）已知直线相交于点M，且它们的斜率之积是点M的轨迹记为
（1）求轨迹C的方程；
（2）设是线段AB的从左至右的两个三等分点.
（）试比较与的大小，并说明理由；
（）若直线分别与曲线C相交于另一点E和F，直线与C交于另一点G，求证：直线经过一定点.
【答案】（1）解：设
因为直线AM，BM的斜率之积是
所以
化简得.
（2）解：因为P，Q是线段AB的从左至右的两个三等分点，
所以
设的焦点坐标为
所以
则
所以为C的焦点.
因为
所以
则.
设
①当斜率存在时，不妨令直线
联立
化简得
因为与C的另一个交点为E，
所以
又因为
所以式可以化为则
所以，点
同理可得点
当轴，即当时
所以直线EG过x轴上点.
下证：三点共线，
因为
同理可得
又因为三点共线，
所以所以
则三点共线，
所以直线经过一定点；
②当轴时，则
所以此时
联立
解得，
所以直线交C于
则
综上所述，直线经过定点
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；斜率的计算公式；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件中直线斜率之积的关系，设点的坐标，再利用两点求斜率公式列出等式，再化简得到轨迹C的方程.
（2）（）先根据已知点的坐标确定线段三等分点坐标，再由椭圆方程求出焦点坐标，从俄判断出相关点与焦点的关系，再利用均值不等式求最值的方法，从而比较出与的大小.
（）设点的坐标和直线方程，再联立直线方程和椭圆方程，从而得出交点坐标，再利用斜率证出三点共线，从而证出直线经过一定点.
（1）设因为直线AM，BM的斜率之积是
所以
化简得
（2）因为P，Q是线段AB的从左至右的两个三等分点，
所以
设的焦点坐标为所以即
所以为C的焦点，
因为所以
所以；
设
①当斜率存在时，不妨令直线
联立化简得
因为与C的另一个交点为E，
所以
因为
所以式可以化为
所以所以点同理点
当轴，即时
所以直线EG过x轴上点
下证：三点共线，
因为
同理
因为三点共线，所以所以
即三点共线，所以直线经过一定点
②当轴时，即所以
此时联立解得
所以直线交C于所以
综上，直线经过定点
19．（2025高三上·彭州期中）已知函数（，）.
（1）当时，求证：；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，，求a的取值范围.
【答案】（1）证明：当时，
设，
所以单调递增，
则当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以，
则，
所以.
（2）解：因为函数的定义域为，
求导，得：，
当时，，，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，，
令，
解得，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
当时，，
令，解得，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
当时，，
令，解得，
当时，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递增.
（3）解：当时，符合题意；
当时，，
则等价于恒成立，
令，
则，
由（1）知，
所以，，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
则，
因为恒成立，
所以，
则，
所以，实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）构造函数结合函数单调性，从而得出函数最小值，进而证出不等式成立.
（2）先求出导函数，再分，，，四种情况，在根据导数的正负判断并讨论出函数的单调性.
（2）利用参变分离得到，再构造函数，再求导判断函数的单调性，从而得出函数的最大值，进而得出实数a的取值范围.
（1）当时，设，
所以单调递增，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减；
所以，所以，
所以；
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，，
当时，单调递增；当时，单调递减；
当时，，
令，解得，
当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；
当时，，
令，解得，
当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；
当时，，
令，解得，
当时，单调递增；
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递增；
（3）当时，符合题意；
当时，，则等价于恒成立，
令，
，
由（1）知，所以，，
当时，单调递减；当时，单调递增；
则，
因为恒成立，所以，
所以，
实数的取值范围为.
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