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浙江省杭州市上城区杭九中2024-2025学年高二上学期期末数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二上·上城期末）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为(　　).
A． B． C． D．
2．（2025高二上·上城期末）已知圆关于直线对称，则实数（　　）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
3．（2025高二上·上城期末）设不同直线，，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025高二上·上城期末）记等比数列的前项和为，若，，则（　　）
A．12 B．18 C．21 D．27
5．（2025高二上·上城期末）已知空间直角坐标系中的点，，，则点P到直线AB的距离为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高二上·上城期末）已知抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线的方程是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高二上·上城期末）空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面的方程为，经过点的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高二上·上城期末），分别是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线的渐近线方程是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．（2025高二上·上城期末）已知数列的前项和，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．为中的最大项
C．
D．
10．（2025高二上·上城期末）在直三棱柱中，，，，分别为棱和的中点，为棱上的动点，则（　　）
A．
B．该三棱柱的体积为4
C．过，，三点截该三棱柱的截面面积为
D．直线与平面所成角的正切值的最大值为
11．（2025高二上·上城期末）已知椭圆的右焦点为，抛物线以为焦点，过的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．，直线的倾斜角为或
C．若为抛物线上一点，则的最小值为
D．的最小值为9
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高二上·上城期末）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若 ，则S5=　 　.
13．（2025高二上·上城期末）已知向量，，，若向量，，共面，则实数的值为　 　．
14．（2025高二上·上城期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线上，且满足，倾斜角为锐角的渐近线与线段交于点，且，则的值为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15．（2025高二上·上城期末）已知圆C：．
（1）过点向圆C作切线l，求切线l的方程；
（2）若Q为直线m：上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求的最小值．
16．（2025高二上·上城期末）数列满足，，．
（1）设，证明是等差数列；
（2）求的通项公式．
17．（2025高二上·上城期末）图1是由矩形ADEB、和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中，，，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面平面BCGE；
（2）求图2中的平面BCG与平面ACG所成角的大小.
18．（2025高二上·上城期末）已知数列的首项为，且满足，数列满足，且．
（1）求，的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求．
19．（2025高二上·上城期末）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（a，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础．已知椭圆（）的离心率为，且右顶点A与上顶点B的距离．
（1）求椭圆C的面积；
（2）若直线l交椭圆C于P，Q两点，
（ⅰ）求的面积的最大值（O为坐标原点）；
（ⅱ）若以P，Q为直径的圆过点A，，D为垂足．是否存在定点T，使得为定值？若存在，求点T的坐标；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式
【解析】【解答】截：设直线的倾斜角为，，
则，
.
故答案为：B.
【分析】设出直线的倾斜角，从而求出直线的正切值，则得出直线的斜率，再利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而得出直线的倾斜角.
2．【答案】D
【知识点】图形的对称性
【解析】【解答】解：将化成标准方程为，
所以，圆心为，半径为，
因为圆关于直线对称，
所以，圆心在直线上，即，
解得.
故答案为：D.
【分析】根据圆关于直线对称，即圆心在直线上，再利用已知条件得出实数m的值.
3．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；用斜率判定两直线平行
【解析】【解答】解：当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l1∥l2时，显然m≠0，从而有＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立，故选C.
故答案为：C.
【分析】本题考查直线与直线平行的判定.根两条直线平行斜率相等可列出方程：＝m－1，解方程可求出m＝2或m＝－1，将m的值反代入直线方程进行检验，可确定m的值，再根据充分条件和必要条件的定义可判断出答案.
4．【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】因为为等比数列的前项和，且，，易知等比数列的公比，
所以成等比数列
所以，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】根据题意由等比数列的前n项和公式结合题意计算出q的取值，再由等比数列的项的性质即可得出为等比数列，结合等比数列的项的性质计算出Sn的取值即可。
5．【答案】D
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】，0，，，1，，，
，，，
在上的投影为，
则点到直线的距离为.
故答案为：D．
【分析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.
6．【答案】B
【知识点】直线的点斜式方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：设，由题意可得
两式相减可得，即，
因为直线经过点，所以直线方程为.
故答案为：B.
【分析】设，利用点差法求得弦所在直线的斜率，再根据点斜式求直线方程．
7．【答案】A
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：由题意知：
平面的法向量，直线的方向向量，且平面与直线相交于，
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：A.
【分析】根据题意确定平面的法向量和直线的方向向量，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出直线与平面所成角的正弦值.
8．【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，设，，，其中，
满足，则为直角三角形，
因为，，所以，
所以，所以，所以，所以，，
又因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，
则渐近线方程为．
故答案为：B．
【分析】由题意设，，，判断为直角三角形，结合双曲线的定义可求得，得，则，，再利用勾股定理结合可求出，即可得双曲线的渐近线方程.
9．【答案】A,C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；等差数列的性质；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：A、 数列的前项和，
当时，；当时，，
经检验，当时，满足上式，则，故A正确；
B、令，解得，
当时，，则和为中的最大项，故B错误；
C、，故C正确；
D、
，故D错误．
故答案为：AC.
【分析】根据与的关系求通项公式即可判断A；令求得，即可判断B；根据等差数列求和结合等差数列的性质求解即可判断CD.
10．【答案】A,B,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图建立空间直角坐标系，
则.
对于A，因为，
又因为，
，
可得，
因为，且两直线在平面内，
则平面，又因为点为棱上的动点，
所以，故A正确；
对于B，由题意，则该三棱柱的体积为，故B正确；
对于C，如图，设经过，，三点的截面交于点，连接，
因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
则截面为梯形.
因为，，
设梯形的高为，则，解得，
则故C错误；
对于D，如图，
因为平面，平面，则，
又因为，，且两直线在平面内，
所以平面，则可取平面的法向量为，
又因为为棱上的动点，可设，，则，
设直线与平面所成角为，
则，
因为，故当且仅当时，取得最小值为5，此时取得最大值为，
又因为，而正弦函数和正切函数在上均为增函数，
则此时取得最大值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用题意建系，通过两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，再根据线面垂直的定义证出，则判断出选项A；利用直棱柱体积公式计算判断出选项B；先利用线面平行的性质定理作出截面，再根据勾股定理和梯形面积公式，则判断出选项C；设点，利用数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出关于的函数式，再利用函数求最值的方法和正弦函数和正切函数在上的单调性，从而得出直线与平面所成角的正切值的最大值，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，由题意，得，故抛物线方程为，
由抛物线定义，得，故A正确；
对于B，因为直线的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，舍去，
设直线，联立，
得，
设，
因为，所以
由韦达定理，得，
则，
解得，
所以直线的斜率为，倾斜角不为或，故B错误；
对于C，由题意得，准线方程为，过点作垂直于直线于点，
由抛物线定义，得，
故，
要想得出的最小值，
则过点作垂直于直线于点，
故的最小值为，最小值为，故C错误；
对于D，由题意，得，
因为，所以，
则，
因为，
由基本不等式，得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为9，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用椭圆方程和焦点位置得出a，b的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式得到焦点和抛物线方程，再由焦半径公式得到的值，则判断出选项A；设直线，联立，从而得到两根之和，两根之积，再根据，从而得到直线的斜率，则判断出选项B；根据焦半径公式转化为，再利用数形结合得到的最小值，则判断出选项C；在选项B的基础上得到，再由基本不等式求最值的方法，从而得到的最小值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】设等比数列的公比为 ，由已知 ，所以 又 ，
所以 所以 ．
【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到 ．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
13．【答案】1
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：要使向量，，共面，则存在实数，使得，
即，即，解得．
故答案为：.
【分析】根据向量共面定理求解即可.
14．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设双曲线C的半焦距为c，则，
因为，
所以，
则直线与双曲线C交于点P，且点P在第一象限，
由，得，
由，，
得，
代入，得：，则，
不妨设，则，
所以，
则，
因此.
故答案为：.
【分析】由双曲线C的半焦距为c和已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系以及联立直线方程与双曲线方程的方法，从而求出点P的坐标和点Q的坐标，再由点Q在渐近线上求出a，b的关系式，再结合双曲线定义得出的值.
15．【答案】（1）解：若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为．
若切线l的斜率存在，设切线l的方程为，即．
因为直线l与圆C相切，所以圆心到l的距离为2，即，解得，
所以切线l的方程为，即．
综上，切线l的方程为或．
（2）解：圆心到直线的距离为，直线m与圆C相离，
因为，所以当最小时，有最小值．
当时，最小，最小值为，
所以的最小值为．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的切线方程
【解析】【分析】（1） 若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为； 若切线l的斜率存在，设切线l的方程为 ，利用切线的性质、点到直线的距离公式即可求出，从而得到切线的方程；
（2）当时，最小，利用点到直线的距离公式可得最小值为，利用勾股定理可得的最小值.
16．【答案】（1）证明：由，得，即，
因为，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列；
（2）解：　由（1）得，即，
于是，所以，即，
又因为，所以，经检验，此式对n=1亦成立，
则数列的通项公式为.
【知识点】等差数列概念与表示；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）化简，结合等差数列的定义证明即可；
（2）　由（1）得，即，利用累加法求通项公式即可.
17．【答案】（1）证明：因为，所以，则确定一个平面，
即四点共面，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：作，垂足为，
因为平面，平面平面，且交线为，所以平面，
由菱形的边长为2，，可得，，
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，
设平面的一个法向量，则，取，可得，
平面的一个法向量为，
则，
即平面BCG与平面ACG所成角的大小为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意，根据线线平行即可求证四点共面，再根据线线垂直得线面垂直，即可证面面垂直；
（2）作，垂足为，根据线面垂直的判定可得平面，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求解即可．
（1）由已知得，
所以，故确定一个平面，
从而四点共面．
由已知得，平面，
故平面，
又因为平面，所以平面平面．
（2）作，垂足为，
平面，平面平面，且交线为，
平面，
由已知，菱形的边长为2，，
，，
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系，
则，，，
则，，
设平面的一个法向量，
则，取，得，
又平面的一个法向量为，
，
平面BCG与平面ACG所成角的大小为.
18．【答案】（1）证明：因为，所以，则，
，
当时，上式成立，故，
又因为，，所以，
则数列是以2为首项，公差为3的等差数列，，即；
（2）解：由（1），，
，①
，②
①②得：
所以．
【知识点】等差数列概念与表示；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由题意，利用累乘法可求数列的通项公式，再利用等差数列的定义求的通项公式即可；
（2）由（1），，利用错位相减法求和即可.
（1）证明：∵，∴，∴，
∴，
当时，上式成立，∴
又因为，，
所以，
所以数列是以2为首项，公差为3的等差数列，
所以，
所以．
（2）由（1），，
所以，①
，②
所以①②得，
所以．
19．【答案】（1）解：由题意，得，
解得，
所以，椭圆C的方程为，
则椭圆C的面积为.
（2）解：（ⅰ）当直线l的斜率不存在时，
设直线l的方程为（，且），
则，
所以
当且仅当时，即当时，等号成立，
此时的面积的最大值为1；
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为，，
联立，得，
则，
，
则
，
因为点到直线l的距离为，
所以
，
当且仅当时，即当时等号成立，
此时的面积的最大值为1，
综上所述，的面积的最大值为1.
（ⅱ）因为点在以P，Q为直径的圆上，
所以，
又因为，，
所以，
则，
当直线l的斜率存在时，
由（i）知，
，
所以，
整理得：，
则，
所以或，
当时，直线l的方程为，过点，不符合题意；
当时，直线l的方程为，恒过点，
当直线l的斜率不存在时，，，，
由（i）知，，则，
由，得，
解得或（舍去），
所以直线l的方程为，过点，
综上所述，直线l恒过点，
因为，D为垂足，为定值，
所以点D在以A，M为直径的圆上，
取的中点，则，
所以存在定点，使得为定值.

【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意结合椭圆中a，b，c三者的关系式、椭圆的离心率公式和两点距离公式，从而可得，进而解出的值，则得出椭圆C的标准方程，再利用椭圆的面积公式得出椭圆C的面积.
（2）（ⅰ）分直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在两种情况，再结合韦达定理和基本不等式求最值的方法以及三角形的面积公式，从而得出的面积的最大值.
（ⅱ）由题意可得，从而得到，分直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在两种情况，再结合（ⅰ）可得直线l恒过点，再结合题意确定点D在以A，M为直径的圆上，则取的中点，从而求解得出存在定点，使得为定值.
（1）由题意，，解得，
所以椭圆C的方程为，则椭圆C的面积为.
（2）（ⅰ）当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为（，且），
则，
即，
当且仅当，即时，等号成立，
此时的面积的最大值为1；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，
联立，得，
则，
，
则
，
又点到直线l的距离为，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
此时的面积的最大值为1.
综上所述，的面积的最大值为1.
（ⅱ）因为点在以P，Q为直径的圆上，所以，
因为，，
所以，
则，
当直线l的斜率存在时，由（i）知，
，
所以，
整理得，，
即，即或，
当时，直线l的方程为，过点，不符合题意；
当时，直线l的方程为，恒过点.
当直线l的斜率不存在时，，，，
由（i）知，，则，
由，得，解得或（舍去），
所以直线l的方程为，过点.
综上所述，直线l恒过点.
因为，D为垂足，为定值，
所以点D在以A，M为直径的圆上，
取的中点，则，
所以存在定点，使得为定值.
1 / 1浙江省杭州市上城区杭九中2024-2025学年高二上学期期末数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二上·上城期末）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为(　　).
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式
【解析】【解答】截：设直线的倾斜角为，，
则，
.
故答案为：B.
【分析】设出直线的倾斜角，从而求出直线的正切值，则得出直线的斜率，再利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而得出直线的倾斜角.
2．（2025高二上·上城期末）已知圆关于直线对称，则实数（　　）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】图形的对称性
【解析】【解答】解：将化成标准方程为，
所以，圆心为，半径为，
因为圆关于直线对称，
所以，圆心在直线上，即，
解得.
故答案为：D.
【分析】根据圆关于直线对称，即圆心在直线上，再利用已知条件得出实数m的值.
3．（2025高二上·上城期末）设不同直线，，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；用斜率判定两直线平行
【解析】【解答】解：当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l1∥l2时，显然m≠0，从而有＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立，故选C.
故答案为：C.
【分析】本题考查直线与直线平行的判定.根两条直线平行斜率相等可列出方程：＝m－1，解方程可求出m＝2或m＝－1，将m的值反代入直线方程进行检验，可确定m的值，再根据充分条件和必要条件的定义可判断出答案.
4．（2025高二上·上城期末）记等比数列的前项和为，若，，则（　　）
A．12 B．18 C．21 D．27
【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】因为为等比数列的前项和，且，，易知等比数列的公比，
所以成等比数列
所以，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】根据题意由等比数列的前n项和公式结合题意计算出q的取值，再由等比数列的项的性质即可得出为等比数列，结合等比数列的项的性质计算出Sn的取值即可。
5．（2025高二上·上城期末）已知空间直角坐标系中的点，，，则点P到直线AB的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】，0，，，1，，，
，，，
在上的投影为，
则点到直线的距离为.
故答案为：D．
【分析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.
6．（2025高二上·上城期末）已知抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线的方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的点斜式方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：设，由题意可得
两式相减可得，即，
因为直线经过点，所以直线方程为.
故答案为：B.
【分析】设，利用点差法求得弦所在直线的斜率，再根据点斜式求直线方程．
7．（2025高二上·上城期末）空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面的方程为，经过点的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：由题意知：
平面的法向量，直线的方向向量，且平面与直线相交于，
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：A.
【分析】根据题意确定平面的法向量和直线的方向向量，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出直线与平面所成角的正弦值.
8．（2025高二上·上城期末），分别是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线的渐近线方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，设，，，其中，
满足，则为直角三角形，
因为，，所以，
所以，所以，所以，所以，，
又因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，
则渐近线方程为．
故答案为：B．
【分析】由题意设，，，判断为直角三角形，结合双曲线的定义可求得，得，则，，再利用勾股定理结合可求出，即可得双曲线的渐近线方程.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．（2025高二上·上城期末）已知数列的前项和，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．为中的最大项
C．
D．
【答案】A,C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；等差数列的性质；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：A、 数列的前项和，
当时，；当时，，
经检验，当时，满足上式，则，故A正确；
B、令，解得，
当时，，则和为中的最大项，故B错误；
C、，故C正确；
D、
，故D错误．
故答案为：AC.
【分析】根据与的关系求通项公式即可判断A；令求得，即可判断B；根据等差数列求和结合等差数列的性质求解即可判断CD.
10．（2025高二上·上城期末）在直三棱柱中，，，，分别为棱和的中点，为棱上的动点，则（　　）
A．
B．该三棱柱的体积为4
C．过，，三点截该三棱柱的截面面积为
D．直线与平面所成角的正切值的最大值为
【答案】A,B,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图建立空间直角坐标系，
则.
对于A，因为，
又因为，
，
可得，
因为，且两直线在平面内，
则平面，又因为点为棱上的动点，
所以，故A正确；
对于B，由题意，则该三棱柱的体积为，故B正确；
对于C，如图，设经过，，三点的截面交于点，连接，
因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
则截面为梯形.
因为，，
设梯形的高为，则，解得，
则故C错误；
对于D，如图，
因为平面，平面，则，
又因为，，且两直线在平面内，
所以平面，则可取平面的法向量为，
又因为为棱上的动点，可设，，则，
设直线与平面所成角为，
则，
因为，故当且仅当时，取得最小值为5，此时取得最大值为，
又因为，而正弦函数和正切函数在上均为增函数，
则此时取得最大值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用题意建系，通过两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，再根据线面垂直的定义证出，则判断出选项A；利用直棱柱体积公式计算判断出选项B；先利用线面平行的性质定理作出截面，再根据勾股定理和梯形面积公式，则判断出选项C；设点，利用数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出关于的函数式，再利用函数求最值的方法和正弦函数和正切函数在上的单调性，从而得出直线与平面所成角的正切值的最大值，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．（2025高二上·上城期末）已知椭圆的右焦点为，抛物线以为焦点，过的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．，直线的倾斜角为或
C．若为抛物线上一点，则的最小值为
D．的最小值为9
【答案】A,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，由题意，得，故抛物线方程为，
由抛物线定义，得，故A正确；
对于B，因为直线的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，舍去，
设直线，联立，
得，
设，
因为，所以
由韦达定理，得，
则，
解得，
所以直线的斜率为，倾斜角不为或，故B错误；
对于C，由题意得，准线方程为，过点作垂直于直线于点，
由抛物线定义，得，
故，
要想得出的最小值，
则过点作垂直于直线于点，
故的最小值为，最小值为，故C错误；
对于D，由题意，得，
因为，所以，
则，
因为，
由基本不等式，得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为9，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用椭圆方程和焦点位置得出a，b的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式得到焦点和抛物线方程，再由焦半径公式得到的值，则判断出选项A；设直线，联立，从而得到两根之和，两根之积，再根据，从而得到直线的斜率，则判断出选项B；根据焦半径公式转化为，再利用数形结合得到的最小值，则判断出选项C；在选项B的基础上得到，再由基本不等式求最值的方法，从而得到的最小值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高二上·上城期末）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若 ，则S5=　 　.
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】设等比数列的公比为 ，由已知 ，所以 又 ，
所以 所以 ．
【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到 ．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
13．（2025高二上·上城期末）已知向量，，，若向量，，共面，则实数的值为　 　．
【答案】1
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：要使向量，，共面，则存在实数，使得，
即，即，解得．
故答案为：.
【分析】根据向量共面定理求解即可.
14．（2025高二上·上城期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线上，且满足，倾斜角为锐角的渐近线与线段交于点，且，则的值为　 　.
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设双曲线C的半焦距为c，则，
因为，
所以，
则直线与双曲线C交于点P，且点P在第一象限，
由，得，
由，，
得，
代入，得：，则，
不妨设，则，
所以，
则，
因此.
故答案为：.
【分析】由双曲线C的半焦距为c和已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系以及联立直线方程与双曲线方程的方法，从而求出点P的坐标和点Q的坐标，再由点Q在渐近线上求出a，b的关系式，再结合双曲线定义得出的值.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15．（2025高二上·上城期末）已知圆C：．
（1）过点向圆C作切线l，求切线l的方程；
（2）若Q为直线m：上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求的最小值．
【答案】（1）解：若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为．
若切线l的斜率存在，设切线l的方程为，即．
因为直线l与圆C相切，所以圆心到l的距离为2，即，解得，
所以切线l的方程为，即．
综上，切线l的方程为或．
（2）解：圆心到直线的距离为，直线m与圆C相离，
因为，所以当最小时，有最小值．
当时，最小，最小值为，
所以的最小值为．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的切线方程
【解析】【分析】（1） 若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为； 若切线l的斜率存在，设切线l的方程为 ，利用切线的性质、点到直线的距离公式即可求出，从而得到切线的方程；
（2）当时，最小，利用点到直线的距离公式可得最小值为，利用勾股定理可得的最小值.
16．（2025高二上·上城期末）数列满足，，．
（1）设，证明是等差数列；
（2）求的通项公式．
【答案】（1）证明：由，得，即，
因为，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列；
（2）解：　由（1）得，即，
于是，所以，即，
又因为，所以，经检验，此式对n=1亦成立，
则数列的通项公式为.
【知识点】等差数列概念与表示；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）化简，结合等差数列的定义证明即可；
（2）　由（1）得，即，利用累加法求通项公式即可.
17．（2025高二上·上城期末）图1是由矩形ADEB、和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中，，，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面平面BCGE；
（2）求图2中的平面BCG与平面ACG所成角的大小.
【答案】（1）证明：因为，所以，则确定一个平面，
即四点共面，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：作，垂足为，
因为平面，平面平面，且交线为，所以平面，
由菱形的边长为2，，可得，，
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，
设平面的一个法向量，则，取，可得，
平面的一个法向量为，
则，
即平面BCG与平面ACG所成角的大小为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意，根据线线平行即可求证四点共面，再根据线线垂直得线面垂直，即可证面面垂直；
（2）作，垂足为，根据线面垂直的判定可得平面，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求解即可．
（1）由已知得，
所以，故确定一个平面，
从而四点共面．
由已知得，平面，
故平面，
又因为平面，所以平面平面．
（2）作，垂足为，
平面，平面平面，且交线为，
平面，
由已知，菱形的边长为2，，
，，
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系，
则，，，
则，，
设平面的一个法向量，
则，取，得，
又平面的一个法向量为，
，
平面BCG与平面ACG所成角的大小为.
18．（2025高二上·上城期末）已知数列的首项为，且满足，数列满足，且．
（1）求，的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求．
【答案】（1）证明：因为，所以，则，
，
当时，上式成立，故，
又因为，，所以，
则数列是以2为首项，公差为3的等差数列，，即；
（2）解：由（1），，
，①
，②
①②得：
所以．
【知识点】等差数列概念与表示；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由题意，利用累乘法可求数列的通项公式，再利用等差数列的定义求的通项公式即可；
（2）由（1），，利用错位相减法求和即可.
（1）证明：∵，∴，∴，
∴，
当时，上式成立，∴
又因为，，
所以，
所以数列是以2为首项，公差为3的等差数列，
所以，
所以．
（2）由（1），，
所以，①
，②
所以①②得，
所以．
19．（2025高二上·上城期末）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（a，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础．已知椭圆（）的离心率为，且右顶点A与上顶点B的距离．
（1）求椭圆C的面积；
（2）若直线l交椭圆C于P，Q两点，
（ⅰ）求的面积的最大值（O为坐标原点）；
（ⅱ）若以P，Q为直径的圆过点A，，D为垂足．是否存在定点T，使得为定值？若存在，求点T的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：由题意，得，
解得，
所以，椭圆C的方程为，
则椭圆C的面积为.
（2）解：（ⅰ）当直线l的斜率不存在时，
设直线l的方程为（，且），
则，
所以
当且仅当时，即当时，等号成立，
此时的面积的最大值为1；
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为，，
联立，得，
则，
，
则
，
因为点到直线l的距离为，
所以
，
当且仅当时，即当时等号成立，
此时的面积的最大值为1，
综上所述，的面积的最大值为1.
（ⅱ）因为点在以P，Q为直径的圆上，
所以，
又因为，，
所以，
则，
当直线l的斜率存在时，
由（i）知，
，
所以，
整理得：，
则，
所以或，
当时，直线l的方程为，过点，不符合题意；
当时，直线l的方程为，恒过点，
当直线l的斜率不存在时，，，，
由（i）知，，则，
由，得，
解得或（舍去），
所以直线l的方程为，过点，
综上所述，直线l恒过点，
因为，D为垂足，为定值，
所以点D在以A，M为直径的圆上，
取的中点，则，
所以存在定点，使得为定值.

【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意结合椭圆中a，b，c三者的关系式、椭圆的离心率公式和两点距离公式，从而可得，进而解出的值，则得出椭圆C的标准方程，再利用椭圆的面积公式得出椭圆C的面积.
（2）（ⅰ）分直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在两种情况，再结合韦达定理和基本不等式求最值的方法以及三角形的面积公式，从而得出的面积的最大值.
（ⅱ）由题意可得，从而得到，分直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在两种情况，再结合（ⅰ）可得直线l恒过点，再结合题意确定点D在以A，M为直径的圆上，则取的中点，从而求解得出存在定点，使得为定值.
（1）由题意，，解得，
所以椭圆C的方程为，则椭圆C的面积为.
（2）（ⅰ）当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为（，且），
则，
即，
当且仅当，即时，等号成立，
此时的面积的最大值为1；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，
联立，得，
则，
，
则
，
又点到直线l的距离为，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
此时的面积的最大值为1.
综上所述，的面积的最大值为1.
（ⅱ）因为点在以P，Q为直径的圆上，所以，
因为，，
所以，
则，
当直线l的斜率存在时，由（i）知，
，
所以，
整理得，，
即，即或，
当时，直线l的方程为，过点，不符合题意；
当时，直线l的方程为，恒过点.
当直线l的斜率不存在时，，，，
由（i）知，，则，
由，得，解得或（舍去），
所以直线l的方程为，过点.
综上所述，直线l恒过点.
因为，D为垂足，为定值，
所以点D在以A，M为直径的圆上，
取的中点，则，
所以存在定点，使得为定值.
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