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浙江省杭州市西湖区之江中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025高二上·浙江期末）直线经过，，其倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：因为直线经过，，
所以直线的斜率为：，
设直线的倾斜角为，则，
又因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据直线经过，结合两点求斜率公式，从而得出直线的斜率，再利用直线的倾斜角与直线的斜率的关系式以及直线的倾斜角的取值范围，从而得出直线的倾斜角.
2．（2025高二上·浙江期末）圆的圆心坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：圆的标准方程为，
则圆心坐标为.
故答案为：D.
【分析】化圆的一般方程化为标准方程即可得到圆心坐标.
3．（2025高二上·浙江期末）已知双曲线C：的离心率为2，则C的渐近线方程为（　　）.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线C：的离心率为2，
所以，焦点，
又因为双曲线的焦点在y轴上，
所以双曲线C的渐近线方程为.
故答案为：A.
【分析】根据得到的值，再结合双曲线焦点位置得出双曲线C的渐近线方程.
4．（2025高二上·浙江期末）如图，在正方体中，，分别为棱和的中点，则和所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：在正方体中，设正方体棱长为2，
以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，，，，，
则，
即和所成角的余弦值为.
故答案为：B.
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可．
5．（2025高二上·浙江期末）设为数列的前n项和，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：当时，；
当时，，
因为适合上式，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用数列的前n项和与数列的通项公式之间的关系式，再分类讨论结合检验法，从而得出数列的通项公式.
6．（2025高二上·浙江期末）已知椭圆的两个焦点为，，，点为上一点，若，，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由椭圆的定义，
可得：，
又因为，
所以，，
在中，，
所以，
解得，
又因为，
所以离心率.
故答案为：C.
【分析】由椭圆定义和，从而可知，，再由余弦定理得出的值，再利用焦距公式得出c的值，从而可得椭圆C的离心率.
7．（2025高二上·浙江期末）直线，点，，若与线段AB相交，则的范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：由题设，则，可得，所以直线过定点，则，，
由图可知直线的斜率的取值范围为：或，又，所以或，即或，又时直线的方程为，仍与线段相交，所以的取值范围为.
故答案为：C
【分析】确定直线所过的定点，再求出该定点与线段两端点连线的斜率，通过分析直线斜率的取值范围，进而得到的取值范围.
8．（2025高二上·浙江期末）已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：对于任意都有，
知数列为递减数列，
则只需满足，
解得.
故答案为：C.
【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组，从而求解得出实数a的取值范围.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．（2025高二上·浙江期末）已知直线，，则下列说法正确的是（　　）
A．当时，直线的倾斜角为
B．当时，
C．若，则
D．直线始终过定点
【答案】A,B,D
【知识点】直线的倾斜角；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：对于A，当时，直线，斜率，
则直线的倾斜角为，故A正确；
对于B，因为等价于，
解得，故B正确；
对于C，若，
则且，
所以，故C错误；
对于D，因为直线，当时，，
所以直线恒过，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由直线的方程得出直线的斜率，从而得出直线的倾斜角，则可判断选项A；根据两直线垂直或平行的条件，从而得出a的值，则可判断选项B和选项C；把方程作为参数的恒等式，从而求解得出定点坐标，则可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
10．（2025高二上·浙江期末）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（　　）
A．当时，曲线C是椭圆
B．当或时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则
【答案】B,D
【知识点】椭圆的定义；双曲线的定义
【解析】【解答】解：对于A，当时，曲线为，此时表示圆，故A错误；
对于B，当时，，此时曲线表示焦点在上的双曲线；
当时，，此时曲线表示焦点在上的双曲线，
则当或时，曲线C是双曲线，故B正确；
对于C， 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，
则满足，
解得，故C错误；
对于D，因为曲线C是焦点在y轴上的双曲线，
所以，
则，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据双曲线的定义和椭圆的定义以及双曲线焦点的位置和椭圆焦点的位置，从而判断出t的取值范围，进而逐项判断找出结论正确的选项.
11．（2025高二上·浙江期末）如图，已知棱长为2的正方体，动点是内部一点（含边界），则下列选项正确的是（　　）
A．动点在运动的过程中，三棱锥的体积是定值
B．对于任意，平面
C．动点到直线的距离最小值为
D．满足的的轨迹长度为
【答案】A,C,D
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；空间向量的夹角与距离求解公式；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、易知平面平面，则动点在运动的过程中，到平面的距离为定值，即三棱锥的体积是定值，故A正确；
B、当运动到点时，易知不垂直于，则不垂直于平面，故B错误；
C、以点为坐标原点，建立如图1所示的空间直角坐标系，
，，，，，
设，，则，即，设动点到直线的距离为，过作平面，过作于，连接，则，则，当，时，取最小值，且最小值为2，则动点到直线的距离最小值为，故C正确；
D、设到平面的距离为，由等体积法得，
则，解得．
如图2所示：
取的中点，连接，作平面，垂足为，易知点在的延长线上，
由选项C，可设平面内点，，
又，，则解得则，
取的中点，连接，，延长，，交于点，作于点，作交于点，如图2，则，即，则，
又，即，则，则，即，则，
所以（，由已知，点的轨迹为以为圆心的圆弧，不妨设该圆弧的半径为，
则，则，
则以为圆心的圆弧所对圆心角，即轨迹长为，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】易知平面平面，则点到平面的距离为定值据此即可判断A；由点运动到点时不垂直于即可判断B；以点为坐标原点，建立如图1所示的空间直角坐标系，设动点到直线的距离为，求出关于的表达式，再求的最小值即可判断C；利用到平面的距离确定平面内的位置，可得点的轨迹圆弧的半径即可判断D．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2025高二上·浙江期末）直线，，当时，直线与之间的距离为　 　.
【答案】
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：因为直线，，，
所以，
解得或，
当时，直线，，两直线重合，不满足要求，
当时，直线，，两直线平行，满足要求，
则当时，直线与之间的距离为.
故答案为：.
【分析】由两直线平行斜率相等、纵截距不等，从而列方程求出的值，再根据平行直线间的距离公式得出直线与直线之间的距离.
13．（2025高二上·浙江期末）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为　 　.
【答案】
【知识点】等比数列概念与表示；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：数列满足，则，
因为，所以数列是公比为2的等比数列，
则，即.
故答案为：.
【分析】将变形为，可得数列是公比为2的等比数列，据此求数列的通项公式即可.
14．（2025高二上·浙江期末）已知抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：设，
由抛物线方程，
得焦点，准线，
因为点为准线与轴的交点，作于点，
则．，
则
，当且仅当时，即当时取等号，
则的最大值为.
故答案为：.
【分析】设，由两点间距离公式和抛物线定义，从而可得关于y的表达式，再由基本不等式求最值的方法，从而得出的最大值.
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15．（2025高二上·浙江期末）已知直线.
（1）若直线过点，且，求直线的方程；
（2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.
【答案】（1）解：因为直线的方程为，
所以直线的斜率为，
又因为，
所以直线的斜率为，
因为直线过点，
所以直线的方程为，即.
（2）解：因为直线，可设直线的方程为，
又因为直线与直线之间的距离为，
所以，
解得或，
所以，直线的方程为或.
【知识点】直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【分析】（1）根据两直线垂直斜率之积为，从而得出直线的斜率，再由直线的点斜式方程得出直线的方程.
（2）先根据两直线平行斜率相等，纵截距不等，从而设出直线的方程为，再根据两平行直线的距离公式得出m的值，从而得出直线的方程．
（1）因为直线的方程为，所以直线的斜率为.
因为，所以直线的斜率为.
因为直线过点，所以直线的方程为，即.
（2）因为直线，所以可设直线的方程为，
直线与直线之间的距离为，
所以，解得或.
故直线的方程为或.
16．（2025高二上·浙江期末）已知圆 的方程： ．
（1）求 的取值范围；
（2）若圆 与直线 ： 相交于 ， 两点，且 ，求 的值．
【答案】（1）解：方程 可化为 ，
∵此方程表示圆，
∴ ，即 ．
（2）解：∵圆的方程化为 ，
∴圆心 ，半径 ，
则圆心 到直线 ： 的距离为
，
由于 ，则 ，
∵ ，
∴ ，得 ．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；二元二次方程表示圆的条件；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）先配方，整理为标准形式 ，当 时是圆，即求得 的范围；
（2）先求出圆心到直线的距离，然后利用勾股定理得出半径，进而求出 的值.
17．（2025高二上·浙江期末）已知公差为的等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和.
【答案】（1）解：是等差数列，
，
又，
，是方程的两根，
则，
得或，
又，
，
，，
，，
.
（2）解：由（1）得，
所以，
则，
两式相减，
得
，
.

【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等差数列的性质得到，是方程的两根，从而解方程得出的值，再利用等差数列的通项公式，从而得出公差的值和首项的值，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）利用（1）中数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合错位相减法得出数列的前项和.
（1）是等差数列，，
又，，是方程的两根，
解，得或，
又，，，，
，，.
（2）由（1）得，
所以，
则，
两式相减，得
，
.
18．（2025高二上·浙江期末）如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，．
（1）证明：；
（2）若点在上，当时，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
在直四棱柱中，平面，
因为平面，所以，
在中，，，，
由余弦定理得，即，
因为，所以，
又因为，，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为底面为平行四边形，所以，所以；
（2）解：由（1）得两两垂直，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立的空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，则 ，即，
令，则，，可得，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，可得，
则，
由图可知二面角为钝角，则二面角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，由题意可得，在中，利用余弦定理求得，可得，可证得平面，则，进而证明；
（2）由（1）可得，两两垂直， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立的空间直角坐标系， 并写出所需点的坐标，利用空间向量法求解即可.
（1）连接，在直四棱柱中，平面，
因为平面，所以，
在中，，，，
由余弦定理得
，
则，
因为，所以．
又，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又底面为平行四边形，所以，所以．
（2）由（1）得两两垂直，故以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，．
设平面的一个法向量为，
则 ，即，
令，则，，
故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，
故平面的一个法向量为，
则，
由图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．
19．（2025高二上·浙江期末）已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.
（i）求证：为定值；
（ii）求面积的最大值.
【答案】（1）解：由题意可得椭圆焦点在x轴上，且，解得，
则椭圆的方程为；
（2）（i）证明：由题意可知直线斜率存在，
当直线斜率为0时，显然，；
当直线斜率不为0时，设直线方程为，联立，消元整理可得，
则，
设，由韦达定理可得：，
则，
因为，所以，
综上，为定值0；
（ii）由（i）可得，
，
则，
当且仅当，即时等号成立，
故面积的最大值为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意列出关于的方程组，求出即可得椭圆方程；
（2）（i）分直线斜率为0和直线斜率不为0两种情况讨论，当斜率不为零时，设直线方程为，联立直线与椭圆方程，消元整理，结合韦达定理计算分析即可求证；
（ii）由（i）先求出，再由面积公式结合基本不等式求解即可.
（1）由题意可得椭圆焦点在x轴上，且，
所以椭圆的方程为.
（2）（i）证明：由题意可知直线斜率存在，
当直线斜率为0时，显然，所以；
当直线斜率不为0时，设直线方程为，
联立，
则，
设，则，
所以，
因为，
所以.
综上，为定值0.
（ii）由（i）可得，
所以，
所以，当且仅当即时等号成立，
所以面积的最大值为.
1 / 1浙江省杭州市西湖区之江中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025高二上·浙江期末）直线经过，，其倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高二上·浙江期末）圆的圆心坐标为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高二上·浙江期末）已知双曲线C：的离心率为2，则C的渐近线方程为（　　）.
A． B． C． D．
4．（2025高二上·浙江期末）如图，在正方体中，，分别为棱和的中点，则和所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高二上·浙江期末）设为数列的前n项和，若，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高二上·浙江期末）已知椭圆的两个焦点为，，，点为上一点，若，，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高二上·浙江期末）直线，点，，若与线段AB相交，则的范围为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025高二上·浙江期末）已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．（2025高二上·浙江期末）已知直线，，则下列说法正确的是（　　）
A．当时，直线的倾斜角为
B．当时，
C．若，则
D．直线始终过定点
10．（2025高二上·浙江期末）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（　　）
A．当时，曲线C是椭圆
B．当或时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则
11．（2025高二上·浙江期末）如图，已知棱长为2的正方体，动点是内部一点（含边界），则下列选项正确的是（　　）
A．动点在运动的过程中，三棱锥的体积是定值
B．对于任意，平面
C．动点到直线的距离最小值为
D．满足的的轨迹长度为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2025高二上·浙江期末）直线，，当时，直线与之间的距离为　 　.
13．（2025高二上·浙江期末）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为　 　.
14．（2025高二上·浙江期末）已知抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值为　 　．
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15．（2025高二上·浙江期末）已知直线.
（1）若直线过点，且，求直线的方程；
（2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.
16．（2025高二上·浙江期末）已知圆 的方程： ．
（1）求 的取值范围；
（2）若圆 与直线 ： 相交于 ， 两点，且 ，求 的值．
17．（2025高二上·浙江期末）已知公差为的等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和.
18．（2025高二上·浙江期末）如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，．
（1）证明：；
（2）若点在上，当时，求二面角的余弦值．
19．（2025高二上·浙江期末）已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.
（i）求证：为定值；
（ii）求面积的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：因为直线经过，，
所以直线的斜率为：，
设直线的倾斜角为，则，
又因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据直线经过，结合两点求斜率公式，从而得出直线的斜率，再利用直线的倾斜角与直线的斜率的关系式以及直线的倾斜角的取值范围，从而得出直线的倾斜角.
2．【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：圆的标准方程为，
则圆心坐标为.
故答案为：D.
【分析】化圆的一般方程化为标准方程即可得到圆心坐标.
3．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线C：的离心率为2，
所以，焦点，
又因为双曲线的焦点在y轴上，
所以双曲线C的渐近线方程为.
故答案为：A.
【分析】根据得到的值，再结合双曲线焦点位置得出双曲线C的渐近线方程.
4．【答案】B
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：在正方体中，设正方体棱长为2，
以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，，，，，
则，
即和所成角的余弦值为.
故答案为：B.
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可．
5．【答案】A
【知识点】通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：当时，；
当时，，
因为适合上式，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用数列的前n项和与数列的通项公式之间的关系式，再分类讨论结合检验法，从而得出数列的通项公式.
6．【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由椭圆的定义，
可得：，
又因为，
所以，，
在中，，
所以，
解得，
又因为，
所以离心率.
故答案为：C.
【分析】由椭圆定义和，从而可知，，再由余弦定理得出的值，再利用焦距公式得出c的值，从而可得椭圆C的离心率.
7．【答案】C
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：由题设，则，可得，所以直线过定点，则，，
由图可知直线的斜率的取值范围为：或，又，所以或，即或，又时直线的方程为，仍与线段相交，所以的取值范围为.
故答案为：C
【分析】确定直线所过的定点，再求出该定点与线段两端点连线的斜率，通过分析直线斜率的取值范围，进而得到的取值范围.
8．【答案】C
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：对于任意都有，
知数列为递减数列，
则只需满足，
解得.
故答案为：C.
【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组，从而求解得出实数a的取值范围.
9．【答案】A,B,D
【知识点】直线的倾斜角；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：对于A，当时，直线，斜率，
则直线的倾斜角为，故A正确；
对于B，因为等价于，
解得，故B正确；
对于C，若，
则且，
所以，故C错误；
对于D，因为直线，当时，，
所以直线恒过，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由直线的方程得出直线的斜率，从而得出直线的倾斜角，则可判断选项A；根据两直线垂直或平行的条件，从而得出a的值，则可判断选项B和选项C；把方程作为参数的恒等式，从而求解得出定点坐标，则可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】B,D
【知识点】椭圆的定义；双曲线的定义
【解析】【解答】解：对于A，当时，曲线为，此时表示圆，故A错误；
对于B，当时，，此时曲线表示焦点在上的双曲线；
当时，，此时曲线表示焦点在上的双曲线，
则当或时，曲线C是双曲线，故B正确；
对于C， 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，
则满足，
解得，故C错误；
对于D，因为曲线C是焦点在y轴上的双曲线，
所以，
则，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据双曲线的定义和椭圆的定义以及双曲线焦点的位置和椭圆焦点的位置，从而判断出t的取值范围，进而逐项判断找出结论正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；空间向量的夹角与距离求解公式；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、易知平面平面，则动点在运动的过程中，到平面的距离为定值，即三棱锥的体积是定值，故A正确；
B、当运动到点时，易知不垂直于，则不垂直于平面，故B错误；
C、以点为坐标原点，建立如图1所示的空间直角坐标系，
，，，，，
设，，则，即，设动点到直线的距离为，过作平面，过作于，连接，则，则，当，时，取最小值，且最小值为2，则动点到直线的距离最小值为，故C正确；
D、设到平面的距离为，由等体积法得，
则，解得．
如图2所示：
取的中点，连接，作平面，垂足为，易知点在的延长线上，
由选项C，可设平面内点，，
又，，则解得则，
取的中点，连接，，延长，，交于点，作于点，作交于点，如图2，则，即，则，
又，即，则，则，即，则，
所以（，由已知，点的轨迹为以为圆心的圆弧，不妨设该圆弧的半径为，
则，则，
则以为圆心的圆弧所对圆心角，即轨迹长为，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】易知平面平面，则点到平面的距离为定值据此即可判断A；由点运动到点时不垂直于即可判断B；以点为坐标原点，建立如图1所示的空间直角坐标系，设动点到直线的距离为，求出关于的表达式，再求的最小值即可判断C；利用到平面的距离确定平面内的位置，可得点的轨迹圆弧的半径即可判断D．
12．【答案】
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：因为直线，，，
所以，
解得或，
当时，直线，，两直线重合，不满足要求，
当时，直线，，两直线平行，满足要求，
则当时，直线与之间的距离为.
故答案为：.
【分析】由两直线平行斜率相等、纵截距不等，从而列方程求出的值，再根据平行直线间的距离公式得出直线与直线之间的距离.
13．【答案】
【知识点】等比数列概念与表示；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：数列满足，则，
因为，所以数列是公比为2的等比数列，
则，即.
故答案为：.
【分析】将变形为，可得数列是公比为2的等比数列，据此求数列的通项公式即可.
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：设，
由抛物线方程，
得焦点，准线，
因为点为准线与轴的交点，作于点，
则．，
则
，当且仅当时，即当时取等号，
则的最大值为.
故答案为：.
【分析】设，由两点间距离公式和抛物线定义，从而可得关于y的表达式，再由基本不等式求最值的方法，从而得出的最大值.
15．【答案】（1）解：因为直线的方程为，
所以直线的斜率为，
又因为，
所以直线的斜率为，
因为直线过点，
所以直线的方程为，即.
（2）解：因为直线，可设直线的方程为，
又因为直线与直线之间的距离为，
所以，
解得或，
所以，直线的方程为或.
【知识点】直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【分析】（1）根据两直线垂直斜率之积为，从而得出直线的斜率，再由直线的点斜式方程得出直线的方程.
（2）先根据两直线平行斜率相等，纵截距不等，从而设出直线的方程为，再根据两平行直线的距离公式得出m的值，从而得出直线的方程．
（1）因为直线的方程为，所以直线的斜率为.
因为，所以直线的斜率为.
因为直线过点，所以直线的方程为，即.
（2）因为直线，所以可设直线的方程为，
直线与直线之间的距离为，
所以，解得或.
故直线的方程为或.
16．【答案】（1）解：方程 可化为 ，
∵此方程表示圆，
∴ ，即 ．
（2）解：∵圆的方程化为 ，
∴圆心 ，半径 ，
则圆心 到直线 ： 的距离为
，
由于 ，则 ，
∵ ，
∴ ，得 ．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；二元二次方程表示圆的条件；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）先配方，整理为标准形式 ，当 时是圆，即求得 的范围；
（2）先求出圆心到直线的距离，然后利用勾股定理得出半径，进而求出 的值.
17．【答案】（1）解：是等差数列，
，
又，
，是方程的两根，
则，
得或，
又，
，
，，
，，
.
（2）解：由（1）得，
所以，
则，
两式相减，
得
，
.

【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等差数列的性质得到，是方程的两根，从而解方程得出的值，再利用等差数列的通项公式，从而得出公差的值和首项的值，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）利用（1）中数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合错位相减法得出数列的前项和.
（1）是等差数列，，
又，，是方程的两根，
解，得或，
又，，，，
，，.
（2）由（1）得，
所以，
则，
两式相减，得
，
.
18．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
在直四棱柱中，平面，
因为平面，所以，
在中，，，，
由余弦定理得，即，
因为，所以，
又因为，，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为底面为平行四边形，所以，所以；
（2）解：由（1）得两两垂直，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立的空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，则 ，即，
令，则，，可得，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，可得，
则，
由图可知二面角为钝角，则二面角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，由题意可得，在中，利用余弦定理求得，可得，可证得平面，则，进而证明；
（2）由（1）可得，两两垂直， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立的空间直角坐标系， 并写出所需点的坐标，利用空间向量法求解即可.
（1）连接，在直四棱柱中，平面，
因为平面，所以，
在中，，，，
由余弦定理得
，
则，
因为，所以．
又，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又底面为平行四边形，所以，所以．
（2）由（1）得两两垂直，故以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，．
设平面的一个法向量为，
则 ，即，
令，则，，
故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，
故平面的一个法向量为，
则，
由图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．
19．【答案】（1）解：由题意可得椭圆焦点在x轴上，且，解得，
则椭圆的方程为；
（2）（i）证明：由题意可知直线斜率存在，
当直线斜率为0时，显然，；
当直线斜率不为0时，设直线方程为，联立，消元整理可得，
则，
设，由韦达定理可得：，
则，
因为，所以，
综上，为定值0；
（ii）由（i）可得，
，
则，
当且仅当，即时等号成立，
故面积的最大值为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意列出关于的方程组，求出即可得椭圆方程；
（2）（i）分直线斜率为0和直线斜率不为0两种情况讨论，当斜率不为零时，设直线方程为，联立直线与椭圆方程，消元整理，结合韦达定理计算分析即可求证；
（ii）由（i）先求出，再由面积公式结合基本不等式求解即可.
（1）由题意可得椭圆焦点在x轴上，且，
所以椭圆的方程为.
（2）（i）证明：由题意可知直线斜率存在，
当直线斜率为0时，显然，所以；
当直线斜率不为0时，设直线方程为，
联立，
则，
设，则，
所以，
因为，
所以.
综上，为定值0.
（ii）由（i）可得，
所以，
所以，当且仅当即时等号成立，
所以面积的最大值为.
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