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浙江省杭州市上城区杭九中2024-2025学年高一上学期期末数学试题
一、单选题：每题5分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高一上·上城期末）（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·上城期末）命题： ， 的否定为（　　）
A． ， B．不存在 ，
C． ， D． ，
3．（2025高一上·上城期末）设角 的始边为 轴的非负半轴，则“角 的终边在第二象限”是“ ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025高一上·上城期末）托马斯说：“函数是近代数学思想之花”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025高一上·上城期末）已知 ， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高一上·上城期末）方程 的解所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高一上·上城期末）将函数（其中>0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则的最小值是
A． B．1 C． D．2
8．（2025高一上·上城期末）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比 从1000提升至8000，则C大约增加了( )（　　）
A．10% B．30% C．60% D．90%
二、多选题：本题共3小题，每题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．（2025高一上·上城期末）(多选)若，则下列结论正确的是（　　）
A．f(x)在上单调递增
B．与y＝的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象过点
D．f(x)的值域为
10．（2025高一上·上城期末）下列结论正确的是（　　）
A． 是第二象限角
B．若 为锐角，则 为钝角
C．若 ，则
D．若圆心角为 的扇形的弧长为 ，则该扇形的面积为
11．（2025高一上·上城期末）已知函数，若存在不相等的实数满足且，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高一上·上城期末）已知幂函数的图象经过点，则　 　．
13．（2025高一上·上城期末）若函数 是奇函数，且 ，则 　 　．
14．（2025高一上·上城期末）如图，一块边长为1的正方形区域，在处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，记探照灯照射在正方形内部区域（阴影部分）的面积为．若设，，则的最大值为　 　．
四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（2025高一上·上城期末）已知关于的不等式的解集是.
（1）若，求解集；
（2）若解关于的不等式.
16．（2025高一上·上城期末）已知锐角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点．
（1）求的值；
（2）若锐角满足，求的值．
17．（2025高一上·上城期末）经过长期发展，我国的脱贫攻坚成功走出了一条中国特色的扶贫开发道路．某个农村地区因地制宜，致力于建设“特色生态水果基地”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施肥量（单位：千克）满足函数关系：，且单株水果树的肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）为元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）．
（1）求的函数关系式；
（2）当单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
18．（2025高一上·上城期末）已知函数的部分图像如图所示，且，的面积等于.
（1）求函数的解析式；
（2）将图像上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图像，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值.
19．（2025高一上·上城期末）已知，函数和函数．
（1）若函数图象的过点，求满足不等式的t的最小整数值；
（2）当时，对任意的实数，若总存在实数使得成立，求正实数m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和诱导公式，从而化简求值.
2．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题： ， 的否定为： ， ．
故答案为：D．
【分析】利用含有量词命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，即可求出答案。
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；象限角、轴线角
【解析】【解答】解：已知角 的始边为 轴非负半轴，
若角 的终边在第二象限，则 ；
若 ，则角 的终边在第二、三象限或者在 轴负半轴上，
故“角 的终边在第二象限”是“ ”的充分不必要条件，
故答案为：A．
【分析】 角a的始边为x轴非负半轴，通过“角a的终边在第二象限”判断cosa的正负；再通过cosa < 0判断角a的终边的位置，根据充分条件、必要条件的定义，从而可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】解：对于A，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，
故A不是函数；
对于B，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，故B不是函数；
对于C，集合中的每个元素按对应关系，在集合中都有唯一元素与之对应，故C是函数；
对于D，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，故D不是函数.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和函数的定义，从而逐项判断找出对应关系是集合到集合的函数.
5．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解： ， ， ，故 .
故答案为：B.
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性进行比较，可得答案。
6．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令 ，则 为连续函数，
又因为 ， ， ，
所以方程的解所在区间为 ， ，
故答案为：B．
【分析】令 ，则 为连续函数，根据函数零点的判定定理，可得答案。
7．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度，
所得函数的解析式为，
因为它的图象经过点，
所以，
则，
又因为，
所以的最小值是.
故答案为：D.
【分析】由正弦型函数的图象变换和代入法，从而得出，再利用，从而得出的最小值.
8．【答案】B
【知识点】换底公式及其推论；函数模型的选择与应用
【解析】【解答】解：当 时， ，当 时， ，
∴ ，∴ 约增加了30%。
故答案为：B
【分析】利用实际问题的已知条件结合换底公式，从而求出C大约增加了的百分数。
9．【答案】A,B
【知识点】指数型复合函数的性质及应用；指数函数的图象与性质；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：函数的定义域为，且为增函数，
A、由分析可知：函数在上单调递增，故A正确；
B、与y＝的图象关于y轴对称，故B正确；
C、易知，则函数的图象过点，故C错误；
D、因为，所以f(x)>1，则函数的值域为，故D错误．
故答案为：AB.
【分析】根据指数函数的性质逐项分析判断即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】象限角、轴线角；扇形的弧长与面积；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：对于 ：因为 所以 与 的终边相同，而 为第二象限角，所以 为第二象限角，故A正确；
对于 ：若 为锐角，则 为锐角、直角或钝角，故B错误；
对于 ：若 ，则 ，故C正确；
对于 ：若圆心角为 的扇形的弧长为 ，利用 ，解得 ，
故该扇形的面积为 ，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】直接利用象限角的定义、三角函数关系式、扇形面积公式的应用，逐项进行判断，可得答案。
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的图象；对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、同一坐标系中，作出与的图象，如图所示：
由图可知：，则，故A正确；
B、由对称性可知，故B错误；
C、令，解得，则，由，
可得，则，故C正确；
D、，其中，
令，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】同一坐标系中作出与的图象，数形结合可得即可判断A；由对称性可得即可判断B；令，求得x，可求得，即可判断C；可得，结合对勾函数的性质求得取值范围即可判断D.
12．【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：设幂函数，因为函数图象过点，
所以，解得，
则.
故答案为：.
【分析】由题意，设函数，利用待定系数法求解即可.
13．【答案】
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】因为函数 是奇函数，所以 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
故答案为： .
【分析】根据题意由奇函数的定义代入数值整理化简，即可得出的值，由此即可求出答案。
14．【答案】
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，所以，
令，因为，，所以，
则
，当且仅当时取等号，
则S的最大值为.
故答案为：.
【分析】由题意可得，令，，利用表示探照灯照射在正方形内部区域的面积，再利用基本不等式求面积的最大值即可．
15．【答案】解：（1）当时，不等式，即，解得，
则；
（2）若，则2是的根，则，解得，
不等式，即，即，等价于，
则不等式的解集为.
【知识点】一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）将代入，解一元二次不等式即可得解集；
（2）根据求出，将分式不等式转化为整式不等式求解即可.
16．【答案】解：（1）由题意可得：，
则；
（2）因为锐角满足，所以，
则.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义求得，再利用诱导公式，结合余弦的二倍角公式求解即可；
（2）由题意，根据同角三角函数基本关系求得，再由，结合两角差的正弦公式求解即可.
17．【答案】解：（1）由题意可得：，
则；
（2）当时，，当时，取最大值为元；
当时，，
，当且仅当，即时等号成立，
则元，
综上，当单株施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是720元．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由题意，根据该水果树的单株利润为市场售价单株产量肥料成本其它成本，求函数的解析式即可；
（2）由（1）的解析式，利用二次函数的性质，以及基本不等式分别求函数的最大值，最后比较两个最大值即可得结论．
18．【答案】（1）解：由图可得，
，，由解得，则，
因为函数的图像过点，所以，又因为，所以，
则；
（2）解：由题意可得，
设
，当时，恒成立，
即恒成立，即恒成立，即在区间上单调递减，
令，解得，
因为，所以，则，故，解得，
故最大值为.
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）由图可得，根据的面积求出，即，结合周期公式求的值，再根据函数图象过点，求出，即可得函数的解析式；
（2）根据三角函数图象的平移变换求出解析式，设，化简函数解析式，由题意可得函数在区间上单调递减，利用正弦型函数的单调性求的最大值即可.
（1）由题意可得，
，
所以，由解得，所以，
图像过点，则，又因为，所以，
所以，
（2）由题意可得，
设
，当时，恒成立，
即恒成立，即恒成立，
在区间上单调递减，
令，解得，
因为，所以，则，
故，解得，
所以最大值为.
19．【答案】（1）解：因为函数图象过点，所以，解得，
则，即，
不等式等价于，即，
因为，所以，
故满足不等式的的最小整数为2；
（2）解：当时，函数，
因为，所以的值域是，
由题意知，对任意的实数，若总存在实数使得成立，
则的值域是在上的值域的子集，而且，所以在上不能单调递增，
且只需在上的最小值小于等于，
则，
或（舍去），
即正实数m的取值范围为.
【知识点】函数的值域；函数的最大（小）值；指数函数的图象与性质；对数的性质与运算法则；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）由题意可得，解出的值，再将分式不等式转化为整式不等式求解即可；
（2）将代入，分离常数化简函数，求出的值域，由条件可得的值域是在上的值域的子集，再分、两种情况讨论求解即可.
（1）因为函数图象过点，
则，解得，
所以，即，
于是等价于，即，
又，解得，
故满足不等式的的最小整数为2.
（2）当时，，
因为，
所以的值域是.
依题意知，对任意的实数，若总存在实数使得成立，
则的值域是在上的值域的子集，
而且，所以在上不能单调递增，
且只需在上的最小值小于等于，
故，
或（舍去），
即正实数m的取值范围为.
1 / 1浙江省杭州市上城区杭九中2024-2025学年高一上学期期末数学试题
一、单选题：每题5分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高一上·上城期末）（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和诱导公式，从而化简求值.
2．（2025高一上·上城期末）命题： ， 的否定为（　　）
A． ， B．不存在 ，
C． ， D． ，
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题： ， 的否定为： ， ．
故答案为：D．
【分析】利用含有量词命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，即可求出答案。
3．（2025高一上·上城期末）设角 的始边为 轴的非负半轴，则“角 的终边在第二象限”是“ ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；象限角、轴线角
【解析】【解答】解：已知角 的始边为 轴非负半轴，
若角 的终边在第二象限，则 ；
若 ，则角 的终边在第二、三象限或者在 轴负半轴上，
故“角 的终边在第二象限”是“ ”的充分不必要条件，
故答案为：A．
【分析】 角a的始边为x轴非负半轴，通过“角a的终边在第二象限”判断cosa的正负；再通过cosa < 0判断角a的终边的位置，根据充分条件、必要条件的定义，从而可得出答案.
4．（2025高一上·上城期末）托马斯说：“函数是近代数学思想之花”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】解：对于A，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，
故A不是函数；
对于B，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，故B不是函数；
对于C，集合中的每个元素按对应关系，在集合中都有唯一元素与之对应，故C是函数；
对于D，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，故D不是函数.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和函数的定义，从而逐项判断找出对应关系是集合到集合的函数.
5．（2025高一上·上城期末）已知 ， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解： ， ， ，故 .
故答案为：B.
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性进行比较，可得答案。
6．（2025高一上·上城期末）方程 的解所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令 ，则 为连续函数，
又因为 ， ， ，
所以方程的解所在区间为 ， ，
故答案为：B．
【分析】令 ，则 为连续函数，根据函数零点的判定定理，可得答案。
7．（2025高一上·上城期末）将函数（其中>0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则的最小值是
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度，
所得函数的解析式为，
因为它的图象经过点，
所以，
则，
又因为，
所以的最小值是.
故答案为：D.
【分析】由正弦型函数的图象变换和代入法，从而得出，再利用，从而得出的最小值.
8．（2025高一上·上城期末）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比 从1000提升至8000，则C大约增加了( )（　　）
A．10% B．30% C．60% D．90%
【答案】B
【知识点】换底公式及其推论；函数模型的选择与应用
【解析】【解答】解：当 时， ，当 时， ，
∴ ，∴ 约增加了30%。
故答案为：B
【分析】利用实际问题的已知条件结合换底公式，从而求出C大约增加了的百分数。
二、多选题：本题共3小题，每题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．（2025高一上·上城期末）(多选)若，则下列结论正确的是（　　）
A．f(x)在上单调递增
B．与y＝的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象过点
D．f(x)的值域为
【答案】A,B
【知识点】指数型复合函数的性质及应用；指数函数的图象与性质；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：函数的定义域为，且为增函数，
A、由分析可知：函数在上单调递增，故A正确；
B、与y＝的图象关于y轴对称，故B正确；
C、易知，则函数的图象过点，故C错误；
D、因为，所以f(x)>1，则函数的值域为，故D错误．
故答案为：AB.
【分析】根据指数函数的性质逐项分析判断即可.
10．（2025高一上·上城期末）下列结论正确的是（　　）
A． 是第二象限角
B．若 为锐角，则 为钝角
C．若 ，则
D．若圆心角为 的扇形的弧长为 ，则该扇形的面积为
【答案】A,C,D
【知识点】象限角、轴线角；扇形的弧长与面积；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：对于 ：因为 所以 与 的终边相同，而 为第二象限角，所以 为第二象限角，故A正确；
对于 ：若 为锐角，则 为锐角、直角或钝角，故B错误；
对于 ：若 ，则 ，故C正确；
对于 ：若圆心角为 的扇形的弧长为 ，利用 ，解得 ，
故该扇形的面积为 ，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】直接利用象限角的定义、三角函数关系式、扇形面积公式的应用，逐项进行判断，可得答案。
11．（2025高一上·上城期末）已知函数，若存在不相等的实数满足且，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．的取值范围为
【答案】A,C,D
【知识点】函数的图象；对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、同一坐标系中，作出与的图象，如图所示：
由图可知：，则，故A正确；
B、由对称性可知，故B错误；
C、令，解得，则，由，
可得，则，故C正确；
D、，其中，
令，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】同一坐标系中作出与的图象，数形结合可得即可判断A；由对称性可得即可判断B；令，求得x，可求得，即可判断C；可得，结合对勾函数的性质求得取值范围即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高一上·上城期末）已知幂函数的图象经过点，则　 　．
【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：设幂函数，因为函数图象过点，
所以，解得，
则.
故答案为：.
【分析】由题意，设函数，利用待定系数法求解即可.
13．（2025高一上·上城期末）若函数 是奇函数，且 ，则 　 　．
【答案】
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】因为函数 是奇函数，所以 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
故答案为： .
【分析】根据题意由奇函数的定义代入数值整理化简，即可得出的值，由此即可求出答案。
14．（2025高一上·上城期末）如图，一块边长为1的正方形区域，在处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，记探照灯照射在正方形内部区域（阴影部分）的面积为．若设，，则的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，所以，
令，因为，，所以，
则
，当且仅当时取等号，
则S的最大值为.
故答案为：.
【分析】由题意可得，令，，利用表示探照灯照射在正方形内部区域的面积，再利用基本不等式求面积的最大值即可．
四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（2025高一上·上城期末）已知关于的不等式的解集是.
（1）若，求解集；
（2）若解关于的不等式.
【答案】解：（1）当时，不等式，即，解得，
则；
（2）若，则2是的根，则，解得，
不等式，即，即，等价于，
则不等式的解集为.
【知识点】一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）将代入，解一元二次不等式即可得解集；
（2）根据求出，将分式不等式转化为整式不等式求解即可.
16．（2025高一上·上城期末）已知锐角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点．
（1）求的值；
（2）若锐角满足，求的值．
【答案】解：（1）由题意可得：，
则；
（2）因为锐角满足，所以，
则.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义求得，再利用诱导公式，结合余弦的二倍角公式求解即可；
（2）由题意，根据同角三角函数基本关系求得，再由，结合两角差的正弦公式求解即可.
17．（2025高一上·上城期末）经过长期发展，我国的脱贫攻坚成功走出了一条中国特色的扶贫开发道路．某个农村地区因地制宜，致力于建设“特色生态水果基地”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施肥量（单位：千克）满足函数关系：，且单株水果树的肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）为元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）．
（1）求的函数关系式；
（2）当单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】解：（1）由题意可得：，
则；
（2）当时，，当时，取最大值为元；
当时，，
，当且仅当，即时等号成立，
则元，
综上，当单株施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是720元．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由题意，根据该水果树的单株利润为市场售价单株产量肥料成本其它成本，求函数的解析式即可；
（2）由（1）的解析式，利用二次函数的性质，以及基本不等式分别求函数的最大值，最后比较两个最大值即可得结论．
18．（2025高一上·上城期末）已知函数的部分图像如图所示，且，的面积等于.
（1）求函数的解析式；
（2）将图像上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图像，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值.
【答案】（1）解：由图可得，
，，由解得，则，
因为函数的图像过点，所以，又因为，所以，
则；
（2）解：由题意可得，
设
，当时，恒成立，
即恒成立，即恒成立，即在区间上单调递减，
令，解得，
因为，所以，则，故，解得，
故最大值为.
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）由图可得，根据的面积求出，即，结合周期公式求的值，再根据函数图象过点，求出，即可得函数的解析式；
（2）根据三角函数图象的平移变换求出解析式，设，化简函数解析式，由题意可得函数在区间上单调递减，利用正弦型函数的单调性求的最大值即可.
（1）由题意可得，
，
所以，由解得，所以，
图像过点，则，又因为，所以，
所以，
（2）由题意可得，
设
，当时，恒成立，
即恒成立，即恒成立，
在区间上单调递减，
令，解得，
因为，所以，则，
故，解得，
所以最大值为.
19．（2025高一上·上城期末）已知，函数和函数．
（1）若函数图象的过点，求满足不等式的t的最小整数值；
（2）当时，对任意的实数，若总存在实数使得成立，求正实数m的取值范围．
【答案】（1）解：因为函数图象过点，所以，解得，
则，即，
不等式等价于，即，
因为，所以，
故满足不等式的的最小整数为2；
（2）解：当时，函数，
因为，所以的值域是，
由题意知，对任意的实数，若总存在实数使得成立，
则的值域是在上的值域的子集，而且，所以在上不能单调递增，
且只需在上的最小值小于等于，
则，
或（舍去），
即正实数m的取值范围为.
【知识点】函数的值域；函数的最大（小）值；指数函数的图象与性质；对数的性质与运算法则；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）由题意可得，解出的值，再将分式不等式转化为整式不等式求解即可；
（2）将代入，分离常数化简函数，求出的值域，由条件可得的值域是在上的值域的子集，再分、两种情况讨论求解即可.
（1）因为函数图象过点，
则，解得，
所以，即，
于是等价于，即，
又，解得，
故满足不等式的的最小整数为2.
（2）当时，，
因为，
所以的值域是.
依题意知，对任意的实数，若总存在实数使得成立，
则的值域是在上的值域的子集，
而且，所以在上不能单调递增，
且只需在上的最小值小于等于，
故，
或（舍去），
即正实数m的取值范围为.
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