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河北省石家庄市正定县2024-2025学年七年级上学期1月期末数学试题
1．（2025七上·正定期末） 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动米记作米，则向南运动米可记作（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．（2025七上·正定期末）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025七上·正定期末）下列单项式中，的同类项是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025七上·正定期末）若的运算结果为正数，则内的数字可以为（　　）
A．2 B．1 C．0 D．
5．（2025七上·正定期末）已知方程（m﹣1）x|m|=6是关于x的一元一次方程，则m的值是（　　）
A．±1 B．1 C．0或1 D．﹣1
6．（2025七上·正定期末）用代数式表示“a与b和的平方的一半”正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025七上·正定期末）下列去括号正确的是（　　）
A．a-(b+c)=a-b+c B．a-(b-c)=a-b-c
C．a-(b+c)=a+b-c D．a-(-b-c)=a+b+c
8．（2025七上·正定期末）下列说法中正确的是（　　）
A．2是单项式 B．的系数是3
C．的次数是1 D．多项式的次数是4
9．（2025七上·正定期末）已知∠α＝27'，∠β＝0.45°，则∠α与∠β的大小关系是（　　）
A．∠α＝∠β B．∠α＞∠β C．∠α＜∠β D．无法确定
10．（2025七上·正定期末）某班级举行元旦联欢会，有m位师生，购买了n个苹果．若每人发3个，则还剩5个苹果，若每人发4个，则最后还缺30个苹果．下列四个方程：
①3m+5=4m-30；②3m-5=4m+30； ③=；④=．
其中符合题意的是（　　）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
11．（2025七上·正定期末）如图，C是线段上一点，M是的中点，N是的中点，若，，则的长度为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．（2025七上·正定期末）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，错误的是（　　）
A．“2”上边的数是8 B．“20”右边的“□”表示4
C．运算结果可以是9225 D．“5”右边的“□”表示5
13．（2025七上·正定期末）若，则　 　．
14．（2025七上·正定期末） 若，则　 　．
15．（2025七上·正定期末）已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，若，则∠BOD的度数为　 　．
16．（2025七上·正定期末）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，……按此规律，则第⑥个图案中，菱形的个数是　 　；第n个图案中，菱形的个数是　 　．
17．（2025七上·正定期末）（1）计算：；
（2）解方程：．
18．（2025七上·正定期末）阅读以下材料，完成相关的填空和计算：
（1）若，则______．
（2）计算：．
（3）根据以上信息可知：______．
19．（2025七上·正定期末）嘉淇准备完成题目：化简：，发现系数“□”印刷不清楚．
（1）他把“□”猜成1，化简：；
（2）老师对嘉淇说：“如果这个问题的标准答案是常数，你能求出“□”的值吗？”
20．（2025七上·正定期末）如图所示，已知线段，点O为中点，点P是线段外一点．
（1）按要求尺规作图，并保留作图痕迹：
①作射线，作直线；
②延长线段至点C，使得；
（2）在（1）的条件下，若线段，求线段的长度．
21．（2025七上·正定期末）【发现】如果一个整数的个位数字能被2整除，那么这个整数就能被2整除．
【验证】如：∵，
又∵100和10都能被2整除，2能被2整除，
∴能被2整除，
即：542能被2整除．
请你照着上面的例子验证345不能被2整除；
【迁移】把一个百位是a、十位是b、个位是c的三位数记为．请证明：当能被3整除时，能被3整除．
22．（2025七上·正定期末）如图1，将一个边长为a厘米的正方形纸片剪去两个完全相同的小长方形，得到图2，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图3所示．
（1）图3中新的长方形的长为______厘米，宽为______厘米；
（2）求图3中新的长方形的周长；
（3）如果正方形纸片的边长为11厘米，剪去的小长方形的宽为1厘米，求图3的周长．
23．（2025七上·正定期末）正定县某学校分两次共邮购了200本纪念册作为某项活动的奖品．纪念册单价为10元，
其中邮费和优惠方式如下表所示：
邮购数量 100以上（含100）
邮寄费用 总价的 免费邮寄
纪念册价格 不优惠 打九折
若两次邮购纪念册共花费1900元，求两次邮购的纪念册各多少本？
24．（2025七上·正定期末）将长方形纸片沿，折叠成平面图形，折叠后，点A落在点，点B落在点，连接、．
（1）如图1，当点在上时，判断与的关系，并说明理由；
（2）如图2，当点在的内部时，若，．
①若，，求的度数；
②直接写出： ▲ ．（用α和β的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵向北运动米记作米，
∴向南运动米可记作米 ，
故答案为：B
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量结合题意即可求解。
2．【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：由五日气温为得到，，
∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．
故答案为：A．
【分析】利用正、负数定义及表示相反意义的量的方法及书写格式分析求解即可.
3．【答案】A
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：A．是同类项，此选项符合题意；
B．字母a的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意；
C．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意；
D．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据同类项的概念，需要满足两个条件：1. 所含字母相同；2. 相同字母的指数相同。通过这两个条件逐项进行判断即可得出答案。
4．【答案】D
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：，，，，
四个算式的运算结果中，只有3是正数，
故选：D．
【分析】根据有理数的乘法逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵方程（m﹣1）x|m|=6是关于x的一元一次方程，
∴ ，
解得：m=-1
故答案为：D.
【分析】根据一元一次方程的定义“一元一次方程是指只有一个未知数且未知数的最高次数是1的整式方程”可得关于m的方程和不等式，解之即可求解.
6．【答案】B
【知识点】用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：a与b的和为，平方为，一半为，
故答案为：B．
【分析】需要明确题目描述中的运算顺序：首先计算两个数的和，然后对结果进行平方运算，最后再将平方后的结果除以2，即可得出答案。
7．【答案】D
【知识点】去括号法则及应用
【解析】【解答】解：A、a－(b＋c)＝a－b－c，故此选项错误；
B、a－(b－c)＝a－b＋c，故此选项错误；
C、a－(b＋c)＝a－b－c，故此选项错误；
D、a－(－b－c)＝a＋b＋c，故此选项正确．
故答案为：D．
【分析】根据去括号和合并同类项法则，进行整式的运算，即可得出答案。
8．【答案】A
【知识点】单项式的概念；单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：A.2是单项式，选项正确，符合题意；
B.3πr2的系数是3π，选项错误，不符合题意；
C.的次数是3，选项错误，不符合题意；
D．多项式5a2﹣6ab+12是二次三项式，选项错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据单项式和多项式的定义逐项进行判断即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】常用角的度量单位及换算；角的大小比较
【解析】【解答】解：因为0.45°=0.45×60'=27'，所以∠α＝∠β，
故选A．
【分析】本题考查了角的度数大小比较，根据1°=60'，将0.45°化为分，再和27'比较，即可求解．
10．【答案】C
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：若以苹果总数不变为等量关系，则可列方程为3m+5=4m-30；
若以学生数不变为等量关系则可列方程为；
故选C.
【分析】分情况讨：若以苹果总数不变为等量关系，若以学生数不变为等量关系，分别建立方程即可求出答案.
11．【答案】A
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：是的中点，是的中点，
，，
，
故答案为：A．
【分析】根据题目描述，点M是线段AC的中点，因此可以得到。同时，题目中给出。根据线段的和差关系，线段MN的长度等于MC加上NC，即。将已知数值代入计算，最终求得MN的长度。
12．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；单项式乘单项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：设一个三位数与一个两位数分别为和如图：
则由题意得：
，
∴，即，
∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍；
当时，则，如图：
，
∴A、“2”上边的数是，故本选项不符合题意；
B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；
C、上面的数应为，如图：
∴运算结果可以表示为：，
∴当时，，
∴C选项不符合题意，
D、“5”右边的“□”表示1，故该选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】设一个三位数为，一个两位数为。根据题意可得以下关系式：
，，，。由和可得。当时，，此时，，。根据题意可判断选项A、B、D。进一步分析，运算结果可表示为：。将代入，即可验证选项C的正确性。
13．【答案】1
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的乘方法则；偶次方的非负性；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴
解得：
∴
故答案为：1．
【分析】首先根据偶次方的非负性和绝对值的非负性，确定和的数值。然后运用有理数的乘方运算规则进行计算，最终得出结果。
14．【答案】11
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a2-2a-5=0，
∴a2-2a=5，
∴2a2-4a+1=2(a2-2a)+1=2×5+1=11.
故答案为：11.
【分析】由已知等式得a2-2a=5，然后将待求式子含字母的项逆用乘法分配律变形后整体代入计算可得答案.
15．【答案】36°
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据题意得2x+3x＝180°，解得x＝36°，
∴∠EOC＝2x＝72°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC∠EOC72°＝36°，
∴∠BOD＝∠AOC＝36°．
故答案为：36°
【分析】设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据平角建立方程，解方程可得x＝36°，根据角平分线定义可得∠AOC，再根据对顶角相等即可求出答案.
16．【答案】17；
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第①个图案中有个菱形，
第②个图案中有个菱形，
第③个图案中有个菱形，
第④个图案中有个菱形，
第⑤个图案中有个菱形，
第⑥个图案中有个菱形，，
∴第个图案中有个菱形，
故答案为：17，．
【分析】通过观察图形可以得出其中蕴含的规律 ：第个图案中有个菱形， ，进而求解问题．
17．【答案】解：（1）原式
；
（2）去分母，得
去括号，得
移项得
合并同类项得
把系数化为1，得．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）运算顺序：首先进行乘方运算，接着进行乘除运算，最后完成加减运算；（2）解方程步骤：先去分母，然后去括号，再进行移项和合并同类项操作，最后将系数化为1求得解
18．【答案】（1）
（2）解：
；
（3）
【知识点】有理数的倒数；有理数的乘法运算律；有理数的除法法则
【解析】 【解答】解：（1）∵，
∴，
故答案为：；
（3）由上知，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）利用倒数定义求解：若两数乘积为1，则互为倒数，即可得出答案为；（2）首先除法可转化为乘倒数运算，再根据乘法分配律求解即可。
（3）根据（2）的计算结果，结合倒数定义，可得出答案为：-13的倒数，即为．
（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：由上知，
∴，
故答案为：．
19．【答案】（1）解：原式
（2）解：设□为a，原式
∵标准答案的结果是常数
∴
则
即“□”的值为2．
【知识点】整式的加减运算；解一元一次方程；多项式的项、系数与次数
【解析】【分析】（1）首先根据去括号法则去掉括号，然后再合并同类项进行化简即可；（2）设□为a，然后去括号并合并同类项进行整式的化简，原式，进而根据结果为常数，可得出，解方程得出a的值即可。
（1）解：原式
；
（2）解：设□为a，原式
∵标准答案的结果是常数
∴
则
即“□”的值为2．
20．【答案】（1）解：①如图，射线即为所求作的射线，直线即为所求作的直线：
②如图，线段即为求作的线段：
（2）解：因为点为中点，，
所以，
因为，
所以．
【知识点】线段的中点；尺规作图-直线、射线、线段；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）①按照题目要求，首先画出射线，再画出直线即可完成作图；②根据题目要求，使用尺规作图方法完成相应步骤。（2）根据题目条件，先计算得出，接着计算得出，最后通过线段相加得到。
（1）解：①如图，射线即为所求作的射线，直线即为所求作的直线：
②如图，线段即为求作的线段：
（2）解：因为点为中点，，
所以，
因为，
所以．
21．【答案】[验证]解：∵，和都能被整除，不能被整除，
∴不能被整除，
即不能被整除；
[迁移]证明：∵，
，
∵能被整除，
∴若“”能被整除，则能被整除．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；整式的加减运算
【解析】【分析】[验证] 首先把345改写成： ，再根据和都能被整除，不能被整除，即可得出不能被整除；
[迁移]类比迁移，首先得出，再根据能被整除，即可得出若“”能被整除，则能被整除．
22．【答案】（1）
（2）解：根据题意，得：新的矩形的周长为：厘米．
（3）解：根据题意，可知，得．∴图3的周长为：厘米．
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）新长方形的长度可以通过正方形的边长减去得到；宽度则通过正方形的边长减去计算得出；
（2）根据长方形周长的计算公式，将表达式展开并进行化简；
（3）先确定的具体数值，再代入第（2）步的结果中进行计算。
（1）解：新的长方形的长为厘米，宽为厘米，
故答案为：；
（2）解：根据题意，得：新的矩形的周长为：厘米．
（3）解：根据题意，可知，得．
∴图3的周长为：厘米．
23．【答案】解：若每次都购买100本，则，
∴一次购买少于100本，另一次购买多于100本，
设一次邮购纪念册x（）本，则另一次邮购纪念册本，
由题意，得，
解得，
∴，
答：两次邮购纪念册分别为50本和150本．
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】首先确定两次购买的纪念册数量范围。设其中一次购买x本（），则另一次购买数量为本。根据两次购买总花费1900元，可得出方程，解方程即可。
24．【答案】（1）解：．
由折叠可得，平分平分，
，
，
．
（2）解：①根据折叠得，平分平分，
，
，
，
，
．
②．
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2）②根据折叠得，平分平分，
，
，
，
，
，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）首先根据折叠的性质得出，，进而根据平角的定义，即可得出；
（2）①根据折叠的性质得出，，进而得出．，再根据，进一步可得出；
②根据折叠的性质得到，进而结合平角的定义可得出，进而得出，，进而得出即可
（1）解：．
由折叠可得，平分平分，
，
，
．
（2）解：①根据折叠得，平分平分，
，
，
，
，
．
②根据折叠得，平分平分，
，
，
，
，
，
∴．
故答案为：．
1 / 1河北省石家庄市正定县2024-2025学年七年级上学期1月期末数学试题
1．（2025七上·正定期末） 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动米记作米，则向南运动米可记作（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵向北运动米记作米，
∴向南运动米可记作米 ，
故答案为：B
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量结合题意即可求解。
2．（2025七上·正定期末）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：由五日气温为得到，，
∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．
故答案为：A．
【分析】利用正、负数定义及表示相反意义的量的方法及书写格式分析求解即可.
3．（2025七上·正定期末）下列单项式中，的同类项是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：A．是同类项，此选项符合题意；
B．字母a的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意；
C．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意；
D．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据同类项的概念，需要满足两个条件：1. 所含字母相同；2. 相同字母的指数相同。通过这两个条件逐项进行判断即可得出答案。
4．（2025七上·正定期末）若的运算结果为正数，则内的数字可以为（　　）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：，，，，
四个算式的运算结果中，只有3是正数，
故选：D．
【分析】根据有理数的乘法逐项进行判断即可求出答案.
5．（2025七上·正定期末）已知方程（m﹣1）x|m|=6是关于x的一元一次方程，则m的值是（　　）
A．±1 B．1 C．0或1 D．﹣1
【答案】D
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵方程（m﹣1）x|m|=6是关于x的一元一次方程，
∴ ，
解得：m=-1
故答案为：D.
【分析】根据一元一次方程的定义“一元一次方程是指只有一个未知数且未知数的最高次数是1的整式方程”可得关于m的方程和不等式，解之即可求解.
6．（2025七上·正定期末）用代数式表示“a与b和的平方的一半”正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：a与b的和为，平方为，一半为，
故答案为：B．
【分析】需要明确题目描述中的运算顺序：首先计算两个数的和，然后对结果进行平方运算，最后再将平方后的结果除以2，即可得出答案。
7．（2025七上·正定期末）下列去括号正确的是（　　）
A．a-(b+c)=a-b+c B．a-(b-c)=a-b-c
C．a-(b+c)=a+b-c D．a-(-b-c)=a+b+c
【答案】D
【知识点】去括号法则及应用
【解析】【解答】解：A、a－(b＋c)＝a－b－c，故此选项错误；
B、a－(b－c)＝a－b＋c，故此选项错误；
C、a－(b＋c)＝a－b－c，故此选项错误；
D、a－(－b－c)＝a＋b＋c，故此选项正确．
故答案为：D．
【分析】根据去括号和合并同类项法则，进行整式的运算，即可得出答案。
8．（2025七上·正定期末）下列说法中正确的是（　　）
A．2是单项式 B．的系数是3
C．的次数是1 D．多项式的次数是4
【答案】A
【知识点】单项式的概念；单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：A.2是单项式，选项正确，符合题意；
B.3πr2的系数是3π，选项错误，不符合题意；
C.的次数是3，选项错误，不符合题意；
D．多项式5a2﹣6ab+12是二次三项式，选项错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据单项式和多项式的定义逐项进行判断即可求出答案.
9．（2025七上·正定期末）已知∠α＝27'，∠β＝0.45°，则∠α与∠β的大小关系是（　　）
A．∠α＝∠β B．∠α＞∠β C．∠α＜∠β D．无法确定
【答案】A
【知识点】常用角的度量单位及换算；角的大小比较
【解析】【解答】解：因为0.45°=0.45×60'=27'，所以∠α＝∠β，
故选A．
【分析】本题考查了角的度数大小比较，根据1°=60'，将0.45°化为分，再和27'比较，即可求解．
10．（2025七上·正定期末）某班级举行元旦联欢会，有m位师生，购买了n个苹果．若每人发3个，则还剩5个苹果，若每人发4个，则最后还缺30个苹果．下列四个方程：
①3m+5=4m-30；②3m-5=4m+30； ③=；④=．
其中符合题意的是（　　）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【答案】C
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：若以苹果总数不变为等量关系，则可列方程为3m+5=4m-30；
若以学生数不变为等量关系则可列方程为；
故选C.
【分析】分情况讨：若以苹果总数不变为等量关系，若以学生数不变为等量关系，分别建立方程即可求出答案.
11．（2025七上·正定期末）如图，C是线段上一点，M是的中点，N是的中点，若，，则的长度为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：是的中点，是的中点，
，，
，
故答案为：A．
【分析】根据题目描述，点M是线段AC的中点，因此可以得到。同时，题目中给出。根据线段的和差关系，线段MN的长度等于MC加上NC，即。将已知数值代入计算，最终求得MN的长度。
12．（2025七上·正定期末）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，错误的是（　　）
A．“2”上边的数是8 B．“20”右边的“□”表示4
C．运算结果可以是9225 D．“5”右边的“□”表示5
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；单项式乘单项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：设一个三位数与一个两位数分别为和如图：
则由题意得：
，
∴，即，
∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍；
当时，则，如图：
，
∴A、“2”上边的数是，故本选项不符合题意；
B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；
C、上面的数应为，如图：
∴运算结果可以表示为：，
∴当时，，
∴C选项不符合题意，
D、“5”右边的“□”表示1，故该选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】设一个三位数为，一个两位数为。根据题意可得以下关系式：
，，，。由和可得。当时，，此时，，。根据题意可判断选项A、B、D。进一步分析，运算结果可表示为：。将代入，即可验证选项C的正确性。
13．（2025七上·正定期末）若，则　 　．
【答案】1
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的乘方法则；偶次方的非负性；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴
解得：
∴
故答案为：1．
【分析】首先根据偶次方的非负性和绝对值的非负性，确定和的数值。然后运用有理数的乘方运算规则进行计算，最终得出结果。
14．（2025七上·正定期末） 若，则　 　．
【答案】11
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a2-2a-5=0，
∴a2-2a=5，
∴2a2-4a+1=2(a2-2a)+1=2×5+1=11.
故答案为：11.
【分析】由已知等式得a2-2a=5，然后将待求式子含字母的项逆用乘法分配律变形后整体代入计算可得答案.
15．（2025七上·正定期末）已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，若，则∠BOD的度数为　 　．
【答案】36°
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据题意得2x+3x＝180°，解得x＝36°，
∴∠EOC＝2x＝72°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC∠EOC72°＝36°，
∴∠BOD＝∠AOC＝36°．
故答案为：36°
【分析】设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据平角建立方程，解方程可得x＝36°，根据角平分线定义可得∠AOC，再根据对顶角相等即可求出答案.
16．（2025七上·正定期末）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，……按此规律，则第⑥个图案中，菱形的个数是　 　；第n个图案中，菱形的个数是　 　．
【答案】17；
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第①个图案中有个菱形，
第②个图案中有个菱形，
第③个图案中有个菱形，
第④个图案中有个菱形，
第⑤个图案中有个菱形，
第⑥个图案中有个菱形，，
∴第个图案中有个菱形，
故答案为：17，．
【分析】通过观察图形可以得出其中蕴含的规律 ：第个图案中有个菱形， ，进而求解问题．
17．（2025七上·正定期末）（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】解：（1）原式
；
（2）去分母，得
去括号，得
移项得
合并同类项得
把系数化为1，得．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）运算顺序：首先进行乘方运算，接着进行乘除运算，最后完成加减运算；（2）解方程步骤：先去分母，然后去括号，再进行移项和合并同类项操作，最后将系数化为1求得解
18．（2025七上·正定期末）阅读以下材料，完成相关的填空和计算：
（1）若，则______．
（2）计算：．
（3）根据以上信息可知：______．
【答案】（1）
（2）解：
；
（3）
【知识点】有理数的倒数；有理数的乘法运算律；有理数的除法法则
【解析】 【解答】解：（1）∵，
∴，
故答案为：；
（3）由上知，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）利用倒数定义求解：若两数乘积为1，则互为倒数，即可得出答案为；（2）首先除法可转化为乘倒数运算，再根据乘法分配律求解即可。
（3）根据（2）的计算结果，结合倒数定义，可得出答案为：-13的倒数，即为．
（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：由上知，
∴，
故答案为：．
19．（2025七上·正定期末）嘉淇准备完成题目：化简：，发现系数“□”印刷不清楚．
（1）他把“□”猜成1，化简：；
（2）老师对嘉淇说：“如果这个问题的标准答案是常数，你能求出“□”的值吗？”
【答案】（1）解：原式
（2）解：设□为a，原式
∵标准答案的结果是常数
∴
则
即“□”的值为2．
【知识点】整式的加减运算；解一元一次方程；多项式的项、系数与次数
【解析】【分析】（1）首先根据去括号法则去掉括号，然后再合并同类项进行化简即可；（2）设□为a，然后去括号并合并同类项进行整式的化简，原式，进而根据结果为常数，可得出，解方程得出a的值即可。
（1）解：原式
；
（2）解：设□为a，原式
∵标准答案的结果是常数
∴
则
即“□”的值为2．
20．（2025七上·正定期末）如图所示，已知线段，点O为中点，点P是线段外一点．
（1）按要求尺规作图，并保留作图痕迹：
①作射线，作直线；
②延长线段至点C，使得；
（2）在（1）的条件下，若线段，求线段的长度．
【答案】（1）解：①如图，射线即为所求作的射线，直线即为所求作的直线：
②如图，线段即为求作的线段：
（2）解：因为点为中点，，
所以，
因为，
所以．
【知识点】线段的中点；尺规作图-直线、射线、线段；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）①按照题目要求，首先画出射线，再画出直线即可完成作图；②根据题目要求，使用尺规作图方法完成相应步骤。（2）根据题目条件，先计算得出，接着计算得出，最后通过线段相加得到。
（1）解：①如图，射线即为所求作的射线，直线即为所求作的直线：
②如图，线段即为求作的线段：
（2）解：因为点为中点，，
所以，
因为，
所以．
21．（2025七上·正定期末）【发现】如果一个整数的个位数字能被2整除，那么这个整数就能被2整除．
【验证】如：∵，
又∵100和10都能被2整除，2能被2整除，
∴能被2整除，
即：542能被2整除．
请你照着上面的例子验证345不能被2整除；
【迁移】把一个百位是a、十位是b、个位是c的三位数记为．请证明：当能被3整除时，能被3整除．
【答案】[验证]解：∵，和都能被整除，不能被整除，
∴不能被整除，
即不能被整除；
[迁移]证明：∵，
，
∵能被整除，
∴若“”能被整除，则能被整除．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；整式的加减运算
【解析】【分析】[验证] 首先把345改写成： ，再根据和都能被整除，不能被整除，即可得出不能被整除；
[迁移]类比迁移，首先得出，再根据能被整除，即可得出若“”能被整除，则能被整除．
22．（2025七上·正定期末）如图1，将一个边长为a厘米的正方形纸片剪去两个完全相同的小长方形，得到图2，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图3所示．
（1）图3中新的长方形的长为______厘米，宽为______厘米；
（2）求图3中新的长方形的周长；
（3）如果正方形纸片的边长为11厘米，剪去的小长方形的宽为1厘米，求图3的周长．
【答案】（1）
（2）解：根据题意，得：新的矩形的周长为：厘米．
（3）解：根据题意，可知，得．∴图3的周长为：厘米．
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）新长方形的长度可以通过正方形的边长减去得到；宽度则通过正方形的边长减去计算得出；
（2）根据长方形周长的计算公式，将表达式展开并进行化简；
（3）先确定的具体数值，再代入第（2）步的结果中进行计算。
（1）解：新的长方形的长为厘米，宽为厘米，
故答案为：；
（2）解：根据题意，得：新的矩形的周长为：厘米．
（3）解：根据题意，可知，得．
∴图3的周长为：厘米．
23．（2025七上·正定期末）正定县某学校分两次共邮购了200本纪念册作为某项活动的奖品．纪念册单价为10元，
其中邮费和优惠方式如下表所示：
邮购数量 100以上（含100）
邮寄费用 总价的 免费邮寄
纪念册价格 不优惠 打九折
若两次邮购纪念册共花费1900元，求两次邮购的纪念册各多少本？
【答案】解：若每次都购买100本，则，
∴一次购买少于100本，另一次购买多于100本，
设一次邮购纪念册x（）本，则另一次邮购纪念册本，
由题意，得，
解得，
∴，
答：两次邮购纪念册分别为50本和150本．
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】首先确定两次购买的纪念册数量范围。设其中一次购买x本（），则另一次购买数量为本。根据两次购买总花费1900元，可得出方程，解方程即可。
24．（2025七上·正定期末）将长方形纸片沿，折叠成平面图形，折叠后，点A落在点，点B落在点，连接、．
（1）如图1，当点在上时，判断与的关系，并说明理由；
（2）如图2，当点在的内部时，若，．
①若，，求的度数；
②直接写出： ▲ ．（用α和β的代数式表示）
【答案】（1）解：．
由折叠可得，平分平分，
，
，
．
（2）解：①根据折叠得，平分平分，
，
，
，
，
．
②．
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2）②根据折叠得，平分平分，
，
，
，
，
，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）首先根据折叠的性质得出，，进而根据平角的定义，即可得出；
（2）①根据折叠的性质得出，，进而得出．，再根据，进一步可得出；
②根据折叠的性质得到，进而结合平角的定义可得出，进而得出，，进而得出即可
（1）解：．
由折叠可得，平分平分，
，
，
．
（2）解：①根据折叠得，平分平分，
，
，
，
，
．
②根据折叠得，平分平分，
，
，
，
，
，
∴．
故答案为：．
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