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浙江省G5联盟2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题
1．（2025高二上·湖州期中）点关于平面的对称点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高二上·湖州期中）已知直线的方向向量为，则直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高二上·湖州期中）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（　　）
A．1 B．2 C．4 D．
4．（2025高二上·湖州期中）已知为两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若则 D．若则
5．（2025高二上·湖州期中）已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的方程为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高二上·湖州期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高二上·湖州期中）已知抛物线为上的动点，为圆上的动点，则点到直线的距离与之和的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2025高二上·湖州期中）双曲线的右焦点为，过的直线与的右支相交于两点，点为线段的中点，若的中垂线与轴交于点，则的横坐标为（　　）
A．2 B． C．3 D．
9．（2025高二上·湖州期中）已知直线，圆，下列判断正确的是（　　）
A．直线在轴上的截距为3
B．圆心的坐标为
C．直线与圆相交
D．圆上的点到直线的距离最大为
10．（2025高二上·湖州期中）若方程表示双曲线，则该双曲线（　　）
A．满足或 B．焦距为
C．渐近线斜率可以是 D．不可能是等轴双曲线
11．（2025高二上·湖州期中）如图，在平面四边形中，，将沿折起，使点到达点的位置，下面正确的是（　　）
A．为线段上的动点，则的最小值为
B．异面直线与所成角的余弦值取值范围是
C．若平面平面在三角形内部，，则轨迹长度为
D．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为
12．（2025高二上·湖州期中）直线，直线，若，则　 　．
13．（2025高二上·湖州期中）在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以为法向量，可得平面的点法式方程为.若已知平面的点法式方程为，则点到平面的距离为　 　.
14．（2025高二上·湖州期中）已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线以为焦点，且与椭圆在第一象限相交于点，记，若，则椭圆的离心率取值范围是　 　．
15．（2025高二上·湖州期中）已知圆的圆心在直线上，且点在圆上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若斜率为2的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程.
16．（2025高二上·湖州期中）如图，在平行六面体中，，，点为的中点.
（1）求的长；
（2）已知为上的动点，若，求的长.
17．（2025高二上·湖州期中）点是圆上的动点，是点关于轴的对称点，线段的中垂线交线段于点，记动点的轨迹为.过的直线交于两点，设直线与的另一个交点分别为.
（1）求轨迹的方程；
（2）证明：直线过定点.
18．（2025高二上·湖州期中）如图，在四棱台中，平面平面，且与是两个全等的等腰梯形，满足.点在上，满足，连接交于点，点为的中点，连接.
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值；
（3）在线段上（不含端点）是否存在一点，使得平面与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
19．（2025高二上·湖州期中）已知抛物线上的一点到焦点的距离为1，直线交于两点.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）为坐标原点，已知：
（i）作垂足为，则是否存在定点，使为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（ii）若在处的切线恰好平分直线与的夹角，求的方程.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：点关于平面对称的点的坐标为.
故答案为：C.
【分析】根据空间直角坐标系点的特征判断即可.
2．【答案】D
【知识点】直线的倾斜角；直线的方向向量
【解析】【解答】解：因为直线的方向向量为，
所以直线的斜率为，
则，
又因为倾斜角，
所以.
故答案为：D.
【分析】由直线的方向向量求出直线的斜率，再利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而得出直线的倾斜角.
3．【答案】A
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】解：因为，所以，则，即，解得.
故答案为：A.
【分析】由题意可得，根据向量垂直数量积为零列式求解即可.
4．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】 A、
设平面为，平面为，直线为，直线为，
满足，，，，但，故A不正确；
B、
设平面为，平面为，直线为，直线为，
满足，，，此时与平行，不垂直，故B不正确；
C、
设平面为，平面为，直线为，直线为，
满足，，，但和相交，不平行，故C不正确；
D、若，，，则.
如图所示，设，，
在直线上取一点作直线的平行线交平面于点，
因为，所以，又因为，所以，
记直线和所确定的平面记为，
因为，，所以，
因为直线和是平面中的两条相交直线，所以直线，
设，则四边形为平面内的四边形，
且为、所成的每个二面角的平面角或其补角，
因为，所以，所以，
因为，，所以，所以，
因为，，所以，所以，
所以，所以，故D正确.
故答案为：D.
【分析】在正方体中找特例即可判断ABC；利用线面垂直的性质定理和面面垂直的定义即可判断D.
5．【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
由椭圆的定义可得：，，
因为，所以，
在中，，即，解得，
在中，，即，
即，解得，，
则椭圆的方程为，即.
故答案为：B.
【分析】连接，由题意，根据椭圆定义得，，在和中，利用勾股定理求得，，结合关系求得，即可得椭圆方程.
6．【答案】B
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：曲线化简可得，
易知直线过定点：，
当直线与半圆相切时，圆心到直线距离为1，则，解得，
当直线过如图点时，斜率为：，
则实数的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】化简曲线可得曲线C是以为圆心，1为半径的右半圆，再求直线恒过定点，作出图象，数形结合求解即可.
7．【答案】A
【知识点】抛物线的定义；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：易知抛物线焦点，准线，
作直线，直线，如图所示：
则点到直线的距离与之和为，
由抛物线定义可得：，
当四点共线时，取最小值为，
又由题可得，，则最小值为.
故答案为：A.
【分析】易知抛物线的焦点和准线方程，作直线，直线，由抛物线定义可得点到直线的距离与之和为，再根据圆外一点到圆上距离最小值相关结论求解即可.
8．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：易知，设，
因为在 双曲线 上，所以，
相减得，
又因为点为线段的中点，所以，所以，
所以，
又因为的中点为，结合，所以的中垂线斜率为，
由题意，即，解得，故的横坐标为3.
故答案为：C.
【分析】易知，设，利用点差法求得，再根据的中垂线与直线垂直建立方程得，求解即可得的横坐标 .
9．【答案】A,B,D
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：A、直线化为，则直线在轴上的截距为3 ，故A正确；
B、圆的标准方程为，圆心坐标为，故B正确；
C、易知圆心到直线的距离：，则直线与圆相离，故C错误；
D、由C可知：圆心到直线的距离为，则圆上的点到直线的距离最大为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】化直线方程为斜截式求得直线在轴上的截距即可判断A；将圆的一般方程化为标准方程求得圆心即可判断B；利用点到直线的距离公式求距离，和半径比较即可判断C；由圆上点到直线距离最大值即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：A、方程表示双曲线，则，解得或，
则的取值范围是或，故A正确；
B、当时，双曲线方程为，
则，焦距，不是定值；
当时，双曲线方程为，
则，焦距，也不是定值，故B错误；
C、当时，双曲线方程为，其渐近线方程为；
令，化简可得，解得，满足，则渐近线斜率可以是，故C正确；
D、若该双曲线是等轴双曲线，当时，，此方程无解；
当时，，此方程无解，则该双曲线不可能是等轴双曲线，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据方程表示双曲线可得，解不等式求得m的范围即可判断A；再分和求得双曲线方程，根据双曲线的性质逐项分析即可判断BCD.
11．【答案】A,B,D
【知识点】轨迹方程；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、在中，，即，
在中，，即，
线段上的任意动点，翻折前后总有，
对于翻折前的平面四边形，当共线，即的长就是的最小值，
由于，由余弦定理可得，故A正确；
B、，
，
，
对于，翻折前为，由于，
则可完全翻折使得在直线上，
由于需要是异面直线，故，，则，
在三角形中可求得，
则，故B正确；
C、由平面平面，交线为，平面，可得平面，
则，可得，则，即三角形为直角三角形，
作平面，垂足为，
则由即可得，
则，即在平面内，的轨迹是为圆心，1为半径的圆，
对于三角形，由等面积可得其内切圆半径，
则在三角形内部，的轨迹不是完整的圆，故长度不是，故C错误；
D、三棱锥的底面积不变，长度不变，
由选项C得当平面平面时，平面，此时体积最大，
且此时三角形，都是以为斜边的直角三角形，
则取中点，可得，
则三棱锥的外接球半径为2，表面积为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】在，中分别求的，，翻折前的平面四边形中，当共线，即的长就是的最小值，结合余弦定理求解即可判断A；利用空间向量表示异面直线夹角的余弦值即可判断B；由等体积法可求得点到平面的距离，则可得在平面内，的轨迹为圆，但要判断此圆是否完全在三角形内即可判断C；分析体积最大时的几何关系，由直角三角形斜边中线性质可得出圆心半径， 求出表面积即可判断D.
12．【答案】1
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：由题意和，得，
所以，
则或，
当，则，重合，不符合题意；
当，则，，符合题意，
所以.
故答案为：1.
【分析】利用直线平行的判断方法，从而列方程结合验证法，进而求出a的值.
13．【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：易知平面的法向量，平面上一点，
则，
，
根据向量模长的计算公式可得，
故点到平面的距离公式.
故答案为：.
【分析】由题意可得平面的法向量以及平面经过点，再利用点到平面的距离公式求出点到平面的距离即可.
14．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的定义
【解析】【解答】解：如图所示：
易知，，，
因为抛物线以为焦点，所以，解得，即抛物线方程为，
在中，由正弦定理，
可得，，解得，
由椭圆定义，可得，
又因为在抛物线上，所以，
由椭圆的焦半径公式，可得，解得，
则，
，整理得，解得，
又因为，所以．
故答案为：．
【分析】易知，由为抛物线的焦点，求得抛物线方程，在中，利用正弦定理化角为边，根据椭圆与抛物线的定义及性质，结合已知条件构造不等式求出离心率的取值范围．
15．【答案】（1）解：点，则直线的斜率为，即线段的垂直平分线的斜率为1，
设线段的中点为，，则线段的垂直平分线的方程为，
联立，解得，即圆心，半径，
故圆的标准方程为；
（2）解：因为，所以圆心到直线的距离，
设直线的方程为，则点到直线的距离，
由，解得，则直线的方程为.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1利用斜率公式求得直线的斜率，再由垂直关系求垂直平分线方程，结合圆的圆心在直线上可得圆心坐标与圆的半径，即可得圆的标准方程；
（2）由可得直线到圆心距离，设直线方程为，利用点到直线距离公式求直线方程即可.
（1）因为点，
直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的斜率为1，
设线段的中点为，则，所以线段的垂直平分线的方程为，
由，解得，
所以圆心，半径，所以圆的标准方程为
（2）因为，所以圆心到直线的距离，
设直线的方程为，
则点到直线的距离，
由，解得，
所以直线的方程为.
16．【答案】（1）解：由题意可知：，，，
因为，
所以
，
即，故的长为；
（2）解：设，则
则
，
若，则，解得，
则，即的长为2.
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）以为基向量表示，再利用向量的数量积求模长即可；
（2） 以为基向量表示， ，设，根据向量垂直结合向量的数量积求得，即可得的长.
（1）由题意可知：，，，
因为，
则
，
即，所以的长为.
（2）设，则
可得
，
若，则，解得，
所以，即的长为2.
17．【答案】（1）解：由题意得：，
则，即到点的距离之和为定值6，
而，故的轨迹是且焦点在轴上的椭圆，
则；
（2）证明： 设
当直线斜率不存在时，则直线的方程为，
将代入椭圆方程，解得，
取，，直线方程为，
将代入椭圆方程，解得或，
当时，；当时，，
则，，直线的方程为，
将代入椭圆方程，解得或，
当时，，当时，，则，，，
则，即，此直线与轴的交点为；
取时，由对称性可知，直线与轴的交点为；
当直线斜率存在时，
设直线方程为，联立直线与椭圆方程消元整理可得，
由韦达定理可得，
代入，消去得，
结合，可得，即，
同理，由共线，得，
即，故点与点的斜率相同，
即与点共线， 综上可知，过定点.
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意可得到点的距离之和为定值6，再利用椭圆的定义求解即可；
（2） 设，分直线斜率不存在和存在讨论，当斜率不存在时，联立直线与椭圆返程，求得直线与轴的交点为；当直线斜率存在时，设直线方程为，联立直线与椭圆方程，消去整理，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理得到的值，从中解出，代入，代入椭圆，消去得的，结合，可得，从而得到的坐标，同理得到的坐标，由共线，利用斜率相等建立等式，即可得解.
（1）由题意得，，
故，
即到点的距离之和为定值6，
而，故的轨迹是且焦点在轴上的椭圆，
故.
（2）设
当直线斜率不存在时，则直线的方程为，
将代入椭圆方程，得
取，，直线方程为，
将代入椭圆方程，解得或，
当时，；当时，，
则，，直线的方程为，
将代入椭圆方程，解得或，
当时，，当时，，则，
，，
，，此直线与轴的交点为；
取时，由对称性可知，直线与轴的交点为；
当直线斜率存在时，
设直线方程为，与椭圆方程联立得：，
代入，消去得，
结合，可得，即，
同理，由共线，得，
即，故点与点的斜率相同，
即与点共线， 综上可知，过定点.
18．【答案】（1）证明： 由题意得：，，
设，则
又因为三点共线，所以，解得，即为中点，所以，
又因为平面平面，所以平面；
（2）解：由（1）知，则与平面所成角即为所求角，
分别取中点，连接，
平面平面，平面平面，
平面，，所以平面，
以为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
，
设平面的法向量为，则，取，则，可得，
又，，
设与平面所成角为，则；
（3）解：设，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，可得，
设平面与平面所成角为，
因为，所以，
所以，解得（舍）或，
所以存在点使得，所以.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用空间向量基本定理表示，设，根据三点共线，求得，证得，再根据线面平行的判定定理证明线面平行即可；
（2）由（1）知，则与平面所成角即为所求角， 以为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 利用空间向量求直线与平面所成角的正弦值即可；
（3）利用空间向量法，结合二面角的三角函数值求的长即可.
（1）由题意得：，
设，
又因为三点共线，
.即为中点.
又因为平面平面
平面
（2）由（1）知，
所以与平面所成角即为所求角.
分别取中点，连接.
平面平面，平面平面，
平面，，所以平面，
以为原点，为轴的正方向，如图建系，
，
设平面的法向量为，
，取，则，
为平面的一个法向量，
又
因为
设与平面所成角为，
所以.
（3）设
，
设平面的法向量为，
则，
取，则，，
为平面的一个法向量，
设平面与平面所成角为，
（舍）或.
所以存在点使得，
.
19．【答案】（1）解：到的距离等于到准线的距离，则，解得，
故；
（2）解：（i）设直线，
联立，消元整理得，
由韦达定理知，，
，，
因为，所以，则，即，解得或（舍去），
则直线，即直线过定点，
结合，所以在以为直径的圆上，
所以到定点的距离为定值1；
（ii）因为，所以，
设切线方程为，
联立，消元整理得
令，得，则切线方程为，斜率的倾斜角，
由（i）可知，直线，
联立，消整理可得，
则，故，
不妨设直线的倾斜角分别为，则由恰好平分直线与的夹角可知，，
，
，即
，即，化简得，
即
代入得，即，解得，
当时，直线过点，舍去，
则直线.
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，根据抛物线定义求解即可；
（2）（i）设直线，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理结合求出，可得直线过定点，结合即可求解；
（ii）设切线方程为，与抛物线方程联立，利用得求出切线的倾斜角.直线方程与抛物线方程联立，不妨设直线的倾斜角分别为，则由恰好平分直线与的夹角可知，，根据和韦达定理得出答案.
（1）到的距离等于到准线的距离，
故，
故；
（2）（i）设直线，
联立方程，得，
由韦达定理知，，
而，
.
因为，所以，有，
即，解得或（舍去），
所以直线，即直线过定点，
结合，所以在以为直径的圆上，
所以到定点的距离为定值1；
（ii）因为，所以.
设切线方程为，
联立方程组得
令，得，
所以切线方程为，
斜率的倾斜角.
由（i）可知，直线，
联立方程，消得，
则，故.
不妨设直线的倾斜角分别为，则由恰好平分直线与的夹角可知，.
，
，即
，即
化简得，
即
代入得，即，
解得.
当时，直线过点，舍去.
所以直线.
1 / 1浙江省G5联盟2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题
1．（2025高二上·湖州期中）点关于平面的对称点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：点关于平面对称的点的坐标为.
故答案为：C.
【分析】根据空间直角坐标系点的特征判断即可.
2．（2025高二上·湖州期中）已知直线的方向向量为，则直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角；直线的方向向量
【解析】【解答】解：因为直线的方向向量为，
所以直线的斜率为，
则，
又因为倾斜角，
所以.
故答案为：D.
【分析】由直线的方向向量求出直线的斜率，再利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而得出直线的倾斜角.
3．（2025高二上·湖州期中）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（　　）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】A
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】解：因为，所以，则，即，解得.
故答案为：A.
【分析】由题意可得，根据向量垂直数量积为零列式求解即可.
4．（2025高二上·湖州期中）已知为两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若则 D．若则
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】 A、
设平面为，平面为，直线为，直线为，
满足，，，，但，故A不正确；
B、
设平面为，平面为，直线为，直线为，
满足，，，此时与平行，不垂直，故B不正确；
C、
设平面为，平面为，直线为，直线为，
满足，，，但和相交，不平行，故C不正确；
D、若，，，则.
如图所示，设，，
在直线上取一点作直线的平行线交平面于点，
因为，所以，又因为，所以，
记直线和所确定的平面记为，
因为，，所以，
因为直线和是平面中的两条相交直线，所以直线，
设，则四边形为平面内的四边形，
且为、所成的每个二面角的平面角或其补角，
因为，所以，所以，
因为，，所以，所以，
因为，，所以，所以，
所以，所以，故D正确.
故答案为：D.
【分析】在正方体中找特例即可判断ABC；利用线面垂直的性质定理和面面垂直的定义即可判断D.
5．（2025高二上·湖州期中）已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
由椭圆的定义可得：，，
因为，所以，
在中，，即，解得，
在中，，即，
即，解得，，
则椭圆的方程为，即.
故答案为：B.
【分析】连接，由题意，根据椭圆定义得，，在和中，利用勾股定理求得，，结合关系求得，即可得椭圆方程.
6．（2025高二上·湖州期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：曲线化简可得，
易知直线过定点：，
当直线与半圆相切时，圆心到直线距离为1，则，解得，
当直线过如图点时，斜率为：，
则实数的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】化简曲线可得曲线C是以为圆心，1为半径的右半圆，再求直线恒过定点，作出图象，数形结合求解即可.
7．（2025高二上·湖州期中）已知抛物线为上的动点，为圆上的动点，则点到直线的距离与之和的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】抛物线的定义；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：易知抛物线焦点，准线，
作直线，直线，如图所示：
则点到直线的距离与之和为，
由抛物线定义可得：，
当四点共线时，取最小值为，
又由题可得，，则最小值为.
故答案为：A.
【分析】易知抛物线的焦点和准线方程，作直线，直线，由抛物线定义可得点到直线的距离与之和为，再根据圆外一点到圆上距离最小值相关结论求解即可.
8．（2025高二上·湖州期中）双曲线的右焦点为，过的直线与的右支相交于两点，点为线段的中点，若的中垂线与轴交于点，则的横坐标为（　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：易知，设，
因为在 双曲线 上，所以，
相减得，
又因为点为线段的中点，所以，所以，
所以，
又因为的中点为，结合，所以的中垂线斜率为，
由题意，即，解得，故的横坐标为3.
故答案为：C.
【分析】易知，设，利用点差法求得，再根据的中垂线与直线垂直建立方程得，求解即可得的横坐标 .
9．（2025高二上·湖州期中）已知直线，圆，下列判断正确的是（　　）
A．直线在轴上的截距为3
B．圆心的坐标为
C．直线与圆相交
D．圆上的点到直线的距离最大为
【答案】A,B,D
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：A、直线化为，则直线在轴上的截距为3 ，故A正确；
B、圆的标准方程为，圆心坐标为，故B正确；
C、易知圆心到直线的距离：，则直线与圆相离，故C错误；
D、由C可知：圆心到直线的距离为，则圆上的点到直线的距离最大为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】化直线方程为斜截式求得直线在轴上的截距即可判断A；将圆的一般方程化为标准方程求得圆心即可判断B；利用点到直线的距离公式求距离，和半径比较即可判断C；由圆上点到直线距离最大值即可判断D.
10．（2025高二上·湖州期中）若方程表示双曲线，则该双曲线（　　）
A．满足或 B．焦距为
C．渐近线斜率可以是 D．不可能是等轴双曲线
【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：A、方程表示双曲线，则，解得或，
则的取值范围是或，故A正确；
B、当时，双曲线方程为，
则，焦距，不是定值；
当时，双曲线方程为，
则，焦距，也不是定值，故B错误；
C、当时，双曲线方程为，其渐近线方程为；
令，化简可得，解得，满足，则渐近线斜率可以是，故C正确；
D、若该双曲线是等轴双曲线，当时，，此方程无解；
当时，，此方程无解，则该双曲线不可能是等轴双曲线，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据方程表示双曲线可得，解不等式求得m的范围即可判断A；再分和求得双曲线方程，根据双曲线的性质逐项分析即可判断BCD.
11．（2025高二上·湖州期中）如图，在平面四边形中，，将沿折起，使点到达点的位置，下面正确的是（　　）
A．为线段上的动点，则的最小值为
B．异面直线与所成角的余弦值取值范围是
C．若平面平面在三角形内部，，则轨迹长度为
D．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为
【答案】A,B,D
【知识点】轨迹方程；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、在中，，即，
在中，，即，
线段上的任意动点，翻折前后总有，
对于翻折前的平面四边形，当共线，即的长就是的最小值，
由于，由余弦定理可得，故A正确；
B、，
，
，
对于，翻折前为，由于，
则可完全翻折使得在直线上，
由于需要是异面直线，故，，则，
在三角形中可求得，
则，故B正确；
C、由平面平面，交线为，平面，可得平面，
则，可得，则，即三角形为直角三角形，
作平面，垂足为，
则由即可得，
则，即在平面内，的轨迹是为圆心，1为半径的圆，
对于三角形，由等面积可得其内切圆半径，
则在三角形内部，的轨迹不是完整的圆，故长度不是，故C错误；
D、三棱锥的底面积不变，长度不变，
由选项C得当平面平面时，平面，此时体积最大，
且此时三角形，都是以为斜边的直角三角形，
则取中点，可得，
则三棱锥的外接球半径为2，表面积为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】在，中分别求的，，翻折前的平面四边形中，当共线，即的长就是的最小值，结合余弦定理求解即可判断A；利用空间向量表示异面直线夹角的余弦值即可判断B；由等体积法可求得点到平面的距离，则可得在平面内，的轨迹为圆，但要判断此圆是否完全在三角形内即可判断C；分析体积最大时的几何关系，由直角三角形斜边中线性质可得出圆心半径， 求出表面积即可判断D.
12．（2025高二上·湖州期中）直线，直线，若，则　 　．
【答案】1
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：由题意和，得，
所以，
则或，
当，则，重合，不符合题意；
当，则，，符合题意，
所以.
故答案为：1.
【分析】利用直线平行的判断方法，从而列方程结合验证法，进而求出a的值.
13．（2025高二上·湖州期中）在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以为法向量，可得平面的点法式方程为.若已知平面的点法式方程为，则点到平面的距离为　 　.
【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：易知平面的法向量，平面上一点，
则，
，
根据向量模长的计算公式可得，
故点到平面的距离公式.
故答案为：.
【分析】由题意可得平面的法向量以及平面经过点，再利用点到平面的距离公式求出点到平面的距离即可.
14．（2025高二上·湖州期中）已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线以为焦点，且与椭圆在第一象限相交于点，记，若，则椭圆的离心率取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的定义
【解析】【解答】解：如图所示：
易知，，，
因为抛物线以为焦点，所以，解得，即抛物线方程为，
在中，由正弦定理，
可得，，解得，
由椭圆定义，可得，
又因为在抛物线上，所以，
由椭圆的焦半径公式，可得，解得，
则，
，整理得，解得，
又因为，所以．
故答案为：．
【分析】易知，由为抛物线的焦点，求得抛物线方程，在中，利用正弦定理化角为边，根据椭圆与抛物线的定义及性质，结合已知条件构造不等式求出离心率的取值范围．
15．（2025高二上·湖州期中）已知圆的圆心在直线上，且点在圆上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若斜率为2的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）解：点，则直线的斜率为，即线段的垂直平分线的斜率为1，
设线段的中点为，，则线段的垂直平分线的方程为，
联立，解得，即圆心，半径，
故圆的标准方程为；
（2）解：因为，所以圆心到直线的距离，
设直线的方程为，则点到直线的距离，
由，解得，则直线的方程为.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1利用斜率公式求得直线的斜率，再由垂直关系求垂直平分线方程，结合圆的圆心在直线上可得圆心坐标与圆的半径，即可得圆的标准方程；
（2）由可得直线到圆心距离，设直线方程为，利用点到直线距离公式求直线方程即可.
（1）因为点，
直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的斜率为1，
设线段的中点为，则，所以线段的垂直平分线的方程为，
由，解得，
所以圆心，半径，所以圆的标准方程为
（2）因为，所以圆心到直线的距离，
设直线的方程为，
则点到直线的距离，
由，解得，
所以直线的方程为.
16．（2025高二上·湖州期中）如图，在平行六面体中，，，点为的中点.
（1）求的长；
（2）已知为上的动点，若，求的长.
【答案】（1）解：由题意可知：，，，
因为，
所以
，
即，故的长为；
（2）解：设，则
则
，
若，则，解得，
则，即的长为2.
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）以为基向量表示，再利用向量的数量积求模长即可；
（2） 以为基向量表示， ，设，根据向量垂直结合向量的数量积求得，即可得的长.
（1）由题意可知：，，，
因为，
则
，
即，所以的长为.
（2）设，则
可得
，
若，则，解得，
所以，即的长为2.
17．（2025高二上·湖州期中）点是圆上的动点，是点关于轴的对称点，线段的中垂线交线段于点，记动点的轨迹为.过的直线交于两点，设直线与的另一个交点分别为.
（1）求轨迹的方程；
（2）证明：直线过定点.
【答案】（1）解：由题意得：，
则，即到点的距离之和为定值6，
而，故的轨迹是且焦点在轴上的椭圆，
则；
（2）证明： 设
当直线斜率不存在时，则直线的方程为，
将代入椭圆方程，解得，
取，，直线方程为，
将代入椭圆方程，解得或，
当时，；当时，，
则，，直线的方程为，
将代入椭圆方程，解得或，
当时，，当时，，则，，，
则，即，此直线与轴的交点为；
取时，由对称性可知，直线与轴的交点为；
当直线斜率存在时，
设直线方程为，联立直线与椭圆方程消元整理可得，
由韦达定理可得，
代入，消去得，
结合，可得，即，
同理，由共线，得，
即，故点与点的斜率相同，
即与点共线， 综上可知，过定点.
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意可得到点的距离之和为定值6，再利用椭圆的定义求解即可；
（2） 设，分直线斜率不存在和存在讨论，当斜率不存在时，联立直线与椭圆返程，求得直线与轴的交点为；当直线斜率存在时，设直线方程为，联立直线与椭圆方程，消去整理，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理得到的值，从中解出，代入，代入椭圆，消去得的，结合，可得，从而得到的坐标，同理得到的坐标，由共线，利用斜率相等建立等式，即可得解.
（1）由题意得，，
故，
即到点的距离之和为定值6，
而，故的轨迹是且焦点在轴上的椭圆，
故.
（2）设
当直线斜率不存在时，则直线的方程为，
将代入椭圆方程，得
取，，直线方程为，
将代入椭圆方程，解得或，
当时，；当时，，
则，，直线的方程为，
将代入椭圆方程，解得或，
当时，，当时，，则，
，，
，，此直线与轴的交点为；
取时，由对称性可知，直线与轴的交点为；
当直线斜率存在时，
设直线方程为，与椭圆方程联立得：，
代入，消去得，
结合，可得，即，
同理，由共线，得，
即，故点与点的斜率相同，
即与点共线， 综上可知，过定点.
18．（2025高二上·湖州期中）如图，在四棱台中，平面平面，且与是两个全等的等腰梯形，满足.点在上，满足，连接交于点，点为的中点，连接.
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值；
（3）在线段上（不含端点）是否存在一点，使得平面与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明： 由题意得：，，
设，则
又因为三点共线，所以，解得，即为中点，所以，
又因为平面平面，所以平面；
（2）解：由（1）知，则与平面所成角即为所求角，
分别取中点，连接，
平面平面，平面平面，
平面，，所以平面，
以为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
，
设平面的法向量为，则，取，则，可得，
又，，
设与平面所成角为，则；
（3）解：设，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，可得，
设平面与平面所成角为，
因为，所以，
所以，解得（舍）或，
所以存在点使得，所以.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用空间向量基本定理表示，设，根据三点共线，求得，证得，再根据线面平行的判定定理证明线面平行即可；
（2）由（1）知，则与平面所成角即为所求角， 以为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 利用空间向量求直线与平面所成角的正弦值即可；
（3）利用空间向量法，结合二面角的三角函数值求的长即可.
（1）由题意得：，
设，
又因为三点共线，
.即为中点.
又因为平面平面
平面
（2）由（1）知，
所以与平面所成角即为所求角.
分别取中点，连接.
平面平面，平面平面，
平面，，所以平面，
以为原点，为轴的正方向，如图建系，
，
设平面的法向量为，
，取，则，
为平面的一个法向量，
又
因为
设与平面所成角为，
所以.
（3）设
，
设平面的法向量为，
则，
取，则，，
为平面的一个法向量，
设平面与平面所成角为，
（舍）或.
所以存在点使得，
.
19．（2025高二上·湖州期中）已知抛物线上的一点到焦点的距离为1，直线交于两点.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）为坐标原点，已知：
（i）作垂足为，则是否存在定点，使为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（ii）若在处的切线恰好平分直线与的夹角，求的方程.
【答案】（1）解：到的距离等于到准线的距离，则，解得，
故；
（2）解：（i）设直线，
联立，消元整理得，
由韦达定理知，，
，，
因为，所以，则，即，解得或（舍去），
则直线，即直线过定点，
结合，所以在以为直径的圆上，
所以到定点的距离为定值1；
（ii）因为，所以，
设切线方程为，
联立，消元整理得
令，得，则切线方程为，斜率的倾斜角，
由（i）可知，直线，
联立，消整理可得，
则，故，
不妨设直线的倾斜角分别为，则由恰好平分直线与的夹角可知，，
，
，即
，即，化简得，
即
代入得，即，解得，
当时，直线过点，舍去，
则直线.
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，根据抛物线定义求解即可；
（2）（i）设直线，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理结合求出，可得直线过定点，结合即可求解；
（ii）设切线方程为，与抛物线方程联立，利用得求出切线的倾斜角.直线方程与抛物线方程联立，不妨设直线的倾斜角分别为，则由恰好平分直线与的夹角可知，，根据和韦达定理得出答案.
（1）到的距离等于到准线的距离，
故，
故；
（2）（i）设直线，
联立方程，得，
由韦达定理知，，
而，
.
因为，所以，有，
即，解得或（舍去），
所以直线，即直线过定点，
结合，所以在以为直径的圆上，
所以到定点的距离为定值1；
（ii）因为，所以.
设切线方程为，
联立方程组得
令，得，
所以切线方程为，
斜率的倾斜角.
由（i）可知，直线，
联立方程，消得，
则，故.
不妨设直线的倾斜角分别为，则由恰好平分直线与的夹角可知，.
，
，即
，即
化简得，
即
代入得，即，
解得.
当时，直线过点，舍去.
所以直线.
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