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河北省石家庄市2024-2025学年九年级上学期期末测试数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025九上·石家庄期末）如图，已知的半径为3，平面内有一点到圆心的距离为4，则该点可能是（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：平面内有一点到圆心的距离为4，．
该点在圆外，
点符合要求．
故选：D．
【分析】根据d>r，可判定出点在圆外，即可解题．
2．（2025九上·石家庄期末）嘉嘉在解方程时，得出方程有一个根是，则c的值是（　　）
A． B．2 C．3 D．0
【答案】A
【知识点】解一元一次方程；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据是方程的一个根，可得出，进而即可得出c的值。
3．（2025九上·石家庄期末）如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，小明分别以A和B为正方向观察该几何体，则他从两个方向观察到的三视图（　　）
A．主视图相同，左视图不同，俯视图不同
B．主视图不同，左视图相同，俯视图不同
C．主视图不同，左视图不同，俯视图相同
D．主视图相同，左视图相同，俯视图不同
【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：以A为正方向观察该几何体，三视图如下：
以B为正方向观察该几何体，三视图如下：
观察可知，两者的主视图不同，左视图相同，俯视图不同．
故选D．
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
4．（2025九上·石家庄期末）把圆规的两脚分开，两脚间的距离是厘米，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的（　　）
A．半径是厘米 B．直径是厘米
C．周长是厘米 D．面积是厘米
【答案】A
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】用圆规画圆的步骤为：
()把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离，这距离就是半径；
()把有针尖的一只脚固定在一点(即圆心)上；
()把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出了一个圆；
故有圆的半径为厘米，
故答案为：．
【分析】根据圆的相关知识即可得出圆规两脚间的距离即为半径长。
5．（2025九上·石家庄期末）已知线段a、b、c，作线段x，使b：a＝x：c，则正确的作法是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解： b：a＝x：c，
由平行线分线段成比例可得：
选项A： 可得： 故A不符合题意；
选项B： 可得： 故B符合题意；
选项C： 可得： 故C不符合题意；
选项D： 可得： 故D不符合题意；
故选：B
【分析】由题意可得，再根据平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可求出答案.
6．（2025九上·石家庄期末）某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（　　）
A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊
【答案】C
【知识点】数据分析；中位数
【解析】【解答】解：已选定1-5号盲盒，要使7个盲盒质量中位数为100，排序后第4个数得是100 .
观察图像，6号盲盒选丙(100克以上)，7号盲盒选丁(100克以下)，
或6号选丁，7号选丙，能满足中位数为100 .
看选项，只有C(丙，丁)符合
故选：C.
【分析】本题考查中位数的概念及应用.中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(如果数据个数是奇数)或最中间两个数的平均数(如果数据个数是偶数).要使选定7个盲盒质量的中位数为100，需保证排序后第4个数是100，结合已选定的1 - 5号盲盒，分析6，7号盲盒的选择.
7．（2025九上·石家庄期末）二次函数在时有最小值3，则这个函数的图象可以是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：A、函数值3不是最小值，故本选项错误；
B、时有最小值3，故本选项正确；
C、时有最大值3，故本选项错误；
D、函数有最大值3，故本选项错误．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数最值和开口方向逐项判断解题．
8．（2025九上·石家庄期末）如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，故A不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，故B不符合题意；
C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，故C符合题意；
D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】
根据相似三角形的判定条件，若两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似，因而只需判断每个选项中剪下的阴影三角形与原三角形∠A=76°的对应角是否相等，即可确定它们是否相似，逐一判断即可解答.
9．（2025九上·石家庄期末）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
故答案为：C．
【分析】 设停车场内车道的宽度为， 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求出答案.
10．（2025九上·石家庄期末）如图，小明想利用“，，”这些条件作．他先作出了和，在用圆规作时，发现点出现和两个位置，那么的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：过点作于点，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴
故答案为：D
【分析】本题考查30度直角三角形的性质.过点作于点，先利用30度直角三角形的性质可以求出BM=3cm，再利用勾股定理可以求出，再根据可求出的长.
11．（2025九上·石家庄期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，轴，垂足为．为的中点，为的中点，若矩形的面积为3，则的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数的图象上，轴，垂足为A，轴，
∴，
∵为的中点，为的中点，
∴，，
∵矩形的面积为3，即，
∴，
故答案为：D．
【分析】题目中涉及反比例函数的系数的几何意义。根据反比例函数的性质，矩形OACB的面积等于，即满足关系式。因此，可以通过计算矩形OACB的面积来确定的值。
12．（2025九上·石家庄期末）如图，二次函数的图象经过点，顶点C在第四象限，以下两位同学得出的结论正确的是（　　）
嘉嘉：由题意可知，a与b的关系为．
琪琪：由题意可知，b的范围是．
A．嘉嘉 B．琪琪
C．两人都正确 D．两人都不正确
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵根据二次函数的图象经过点，
∴，，
∴，
∴；故嘉嘉说法正确；
∴，
∵顶点C在第四象限，
∴，
∵抛物线开口向上，
∴，
∴，
∴；故琪琪的说法正确；
故选C．
【分析】将点A，B坐标代入二次函数解析式可得，，则，即，故嘉嘉说法正确；根据二次函数的顶点性质可得，再根据二次函数图象与系数的关系可得a>0，建立不等式组，解不等式组可得琪琪的说法正确；
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（2025九上·石家庄期末）已知反比例函数的图象经过点与，则m的值为　 　．
【答案】4
【知识点】反比例函数的概念；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为，将点代入解析式，得：
，
∴反比例函数解析式为：，
将点代入中，，
解得：．
故答案为：．
【分析】首先设反比例函数的解析式为。将已知点代入解析式，可得，解得，因此函数解析式为。再将点代入，得。
14．（2025九上·石家庄期末）在一个不透明的袋子里有红球、黄球共15个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数可能是　 　．
【答案】6
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意得红球的个数可能是15×0.4=6，
故答案为：6
【分析】根据用频率估计概率结合题意即可求解。
15．（2025九上·石家庄期末）如图，A，B，C，D，E五个点均在小正方形（不考虑每个小正方形的边长）组成的网格的格点上．若于点F，且，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由图可知，设，则，∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】设线段的长度为，则线段的长度为。通过证明三角形与三角形相似，可以得到比例关系，根据这个比例关系即可进一步求解问题。
16．（2025九上·石家庄期末）已知函数．
（1）若，则该函数图象与y轴的交点坐标为　 　；
（2）当时，函数的最小值为4，则m的值为　 　．
【答案】；0或4
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：（1）当时，二次函数解析式为，
当时，，
∴该函数图象与y轴的交点坐标为，
故答案为：；
（2）∵抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
当，且时，则当时，函数取值最小值，
∴，
解得或（舍去）；
当，且时，则当时，函数取值最小值，
∴，
解得；
综上所述，m的值为0或4，
故答案为：0或4．
【分析】（1）将代入函数表达式，计算对应的y值即可得出答案。（2）首先分析函数性质：抛物线开口方向向上，对称轴为直线。需要分两种情况讨论：① 当定义域范围且时，函数在处取得最小值；② 当定义域范围且时，函数在对称轴处取得最小值。根据这两种情况分别进行讨论计算即可。
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025九上·石家庄期末）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】将题目中给定的特殊角的三角函数值代入表达式，然后根据有理数混合运算法则进行计算即可得到结果。
18．（2025九上·石家庄期末）在学习了解一元二次方程后，老师出示了这样一个题目
解方程：．
佳琪同学的解答过程如下：
方程两边同时除以， 得， 所以， 因此，方程的解为．
（1）试判断佳琪的解法是否正确，若不正确，请说明理由．
（2）根据你对一元二次方程解法的理解，写出你的解答过程．
【答案】（1）解：佳琪的解法错误，原因是第一步出现错误，方程两边不能同时除以．
（2）解：∵，
∴，
∴，即，
∴或，
∴方程的解为，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据解一元二次方程的解法，可以发现第一步出现错误，方程两边不能同时除以.
（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（1）解：佳琪的解法错误，原因是第一步出现错误，方程两边不能同时除以．
（2）解：∵，
∴，
∴，即，
∴或，
∴方程的解为，．
19．（2025九上·石家庄期末）如图，是边长为6的等边三角形，点D，E在边上，若，，求的长．
【答案】解：过点A作于H，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；求特殊角的三角函数值；解直角三角形；正切的概念
【解析】【分析】首先过点A作AH垂直于BC于点H。由于△ABC是等边三角形，所以∠BAC=60°。根据AH⊥BC，可以得到∠BAD+∠DAH=30°。又因为题目给出∠BAD+∠EAC=30°，由此可推出∠DAH=∠EAC。根据题意，tan∠DAH=tan∠EAC=。通过三角函数计算，得出AH=AB·sin60°=3。再利用比例关系=，解得DH=。最终根据这些计算结果可以得出题目所求的结论。
20．（2025九上·石家庄期末）如图，一次函数分别与反比例函数，交于点和点，已知点的横坐标为，点的纵坐标为6．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接，，求的面积．
【答案】（1）解：当时，，
，
把它代入得：，
解得，
，
当时，，
解得，
，
，
；
（2）解：设与轴交于点，
当时，，
则，
∵，，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将x=-3代入反比例函数可得，再根据待定系数法将点A坐标代入一次函数解析式可得，再将y=6代入解析式可得，再根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数，即可求出答案.
（2）设与轴交于点，根据y轴上点的坐标特征可得，再根据，结合三角形面积即可求出答案.
21．（2025九上·石家庄期末）为了传承传统手工技艺，某班美术老师特地给学生上了一节编织“中国结”的手工课，并对他们编织的数量进行了统计，根据统计结果绘制了不完整的条形图1和扇形图2．
（1）求参加本次课程的学生人数，并补全条形图；
（2）从本次手工课的学生中随机抽取一名学生，求这位学生恰好编织了7个“中国结”的概率；
（3）原来编织了9个“中国结”的学生中有两名学生每人又多编织了1个，原来编织8个“中国结”的同学中有部分同学每人又多编织了1个，若此时每个学生所编织“中国结”个数的中位数为9，则原来编织8个“中国结”的同学中至少有多少人多编织了1个？
【答案】（1）解：由图可得，
编制7个、9个、个的人数：，占比为：，
∴抽样的人数为：（人），
∴8个的人数为：（人），
条形图如图所示，
（2）解：由（1）可得，
；
（3）解：∵总数为，中位数是第、两个的平均数，
∵原来7个、8个的人数为，
∴第、两个数落在原来的8个上，
∵原来编织8个“中国结”的同学中有部分同学每人又多编织了1个，中位数是9，
∴原来编织8个“中国结”的同学中至少有3个同学要多编织了1个．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；概率公式；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据有理数的加法求出编制7个、9个、个的人数和与占比，再用人数除以占比可得总人数，再乘以8个的占比求出人数，再补全人数即可求出答案.
（2）根据7个的人数除以总人数即可求出答案.
（3）根据中位数求法最中间数字或最中间两个的平均数结合数据个数即可求出答案.
（1）解：由图可得，
编制7个、9个、个的人数：，占比为：，
∴抽样的人数为：（人），
∴8个的人数为：（人），
条形图如图所示，
（2）解：由（1）可得，
；
（3）解：∵总数为，中位数是第、两个的平均数，
∵原来7个、8个的人数为，
∴第、两个数落在原来的8个上，
∵原来编织8个“中国结”的同学中有部分同学每人又多编织了1个，中位数是9，
∴原来编织8个“中国结”的同学中至少有3个同学要多编织了1个．
22．（2025九上·石家庄期末）一个工件槽的两个底角，点A，B的初始高度相同，尺寸如图1所示（单位：），将一个形状规则的铁球放入槽内，测得球落在槽内的最大深度为（E为球的最低点）．
（1）求该铁球的半径；
（2）如图2，将这个工件槽的右边升高（）后，求该平面图中铁球落在槽内的弧的长度．（参考数据：，，）
【答案】（1）解：连接，交于点，
由题意，得：，
∴，
设铁球的半径为，则：，，
由勾股定理，得：，即：，
解得：；
∴铁球的半径为
（2）解：连接过点作，则：，，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴弧的长度为．
【知识点】勾股定理；垂径定理；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接，交于点，由题意，得：，根据垂径定理可得AD，设铁球的半径为，则：，，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（2）连接过点作，则：，，根据勾股定理可得AB，根据勾股定理可得AF，解直角三角形可得，由题意可得，根据三角形内角和定理可得∠AOB，再根据弧长公式即可求出答案.
23．（2025九上·石家庄期末）如图1，已知点A、O在直线l上，且，于O点，且，以OD为直径在OD的左侧作半圆E，于A，且．向右沿直线l平移得到，设平移距离为x．
（1）若的边经过点D，则平移的距离______；
（2）如图2，若截半圆E得到的的长为，求的度数；
（3）当的边与半圆E相切时，直接写出x的值．
【答案】（1）
（2）解：连接、、，如图2所示，
则半圆E的半径，
设，
∵截半圆E的的长为，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴.
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）或
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【解答】（1）解：如图1，
由平移性质得，
∵，，
∴，
∴平移距离，
故答案为：；
（3）解：根据题意，分两种情况：
当的边与半圆E相切时，如图3，
设切点为P，连接，则，
∵，，
∴，
∴，
∴平移的距离；
当的边与半圆E相切时，如图4，
设切点为P，连接并延长交l于N，则，
∵，，
∴，又，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴平移的距离，
综上，平移的距离x的值为或．
【分析】（1）根据平移性质可得，解直角三角形即可求出答案.
（2）连接、、，则半圆E的半径，设，根据弧长公式建立方程，解方程可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据直线平行判定定理可得，则，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
（3）分情况讨论：当的边与半圆E相切时，设切点为P，连接，则，根据含30°角的直角三角形性质可得∠PA'E=30°，解直角三角形可得A'O，再根据平移的性质即可求出答案；当的边与半圆E相切时，设切点为P，连接并延长交l于N，则，根据角之间的关系可得∠OEP，解直角三角形可得EN，根据边之间的关系可得PN，再根据含30°角的直角三角形性质可得A'N，再根据边之间的关系可得A'O，再根据平移性质即可求出答案.
（1）解：如图1，
由平移性质得，
∵，，
∴，
∴平移距离，
故答案为：；
（2）解：连接、、，如图2所示，
则半圆E的半径，
设，
∵截半圆E的的长为，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴.
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：根据题意，分两种情况：
当的边与半圆E相切时，如图3，
设切点为P，连接，则，
∵，，
∴，
∴，
∴平移的距离；
当的边与半圆E相切时，如图4，
设切点为P，连接并延长交l于N，则，
∵，，
∴，又，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴平移的距离，
综上，平移的距离x的值为或．
24．（2025九上·石家庄期末）如图1，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，边分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线的顶点．
（1）直接写出顶点P的坐标；（用m表示）
（2）当时，判断是否在抛物线上，并直接写出该抛物线下方（含边界）的好点个数；
（3）当时，直接写出该抛物线上的好点坐标；
（4）若点P在正方形内部，该抛物线下方（含边界）恰好存在8个好点，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）
（2）当时，在抛物线上；好点有：，，共5个；
（3）
（4）
【知识点】公式法解一元二次方程；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：（1）∵抛物线，
∴顶点P的坐标为；
（2）当时，在抛物线上，理由如下：当时，表达式为：，函数图象如图1：
当时，；
当时，；
∴抛物线经过点和，
即点在抛物线上，
观察图象可知：好点有：，，共5个．
（3）解：当时，二次函数解析式为．如图2．
当时，，
当时，，
当时，，
∴抛物线经过，
根据图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为；
（4）解：∵点P在正方形内部，，正方形的边长为4，∴，，解得：，
取开始，，可得抛物线内有10个好点，不符合意思；
∴抛物线向下并向左移动，如图3，
∵抛物线的顶点，
∴抛物线的顶点P在直线上，
∵点P在正方形内部，则，
如图3中，，
观察图象可知，当点P在正方形内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段有交点（点F除外），
当抛物线经过点E时，，
解得或（不合题意，舍去），
当抛物线经过点F时，，
解得或4（不合题意，舍去），
∴当时，顶点P在正方形内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点．
【分析】（1）根据抛物线方程可直接得出顶点坐标为。（2）当参数时，函数表达式简化为。通过绘制函数图象（如图1），可以直观地分析函数性质并解决问题。
（3）当参数时，函数表达式变为。结合图2所示的函数图象，可以更清晰地分析问题。
（4）分析抛物线顶点的运动轨迹，可以发现顶点始终在直线上移动。当顶点位于正方形内部时，参数范围满足。特别地，考察关键点和（如图3），当抛物线在正方形内且下方区域恰好包含8个特殊点时，需要抛物线与线段EF（不含F点）相交。通过计算抛物线经过E点和F点时对应的m值，可以确定参数的取值范围。
（1）解：∵抛物线，
∴顶点P的坐标为；
（2）解：当时，在抛物线上，理由如下：
当时，表达式为：，函数图象如图1：
当时，；
当时，；
∴抛物线经过点和，
即点在抛物线上，
观察图象可知：好点有：，，共5个．
（3）解：当时，二次函数解析式为．如图2．
当时，，
当时，，
当时，，
∴抛物线经过，
根据图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为；
（4）解：∵点P在正方形内部，，正方形的边长为4，
∴，，解得：，
取开始，，可得抛物线内有10个好点，不符合意思；
∴抛物线向下并向左移动，如图3，
∵抛物线的顶点，
∴抛物线的顶点P在直线上，
∵点P在正方形内部，则，
如图3中，，
观察图象可知，当点P在正方形内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段有交点（点F除外），
当抛物线经过点E时，，
解得或（不合题意，舍去），
当抛物线经过点F时，，
解得或4（不合题意，舍去），
∴当时，顶点P在正方形内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点．
1 / 1河北省石家庄市2024-2025学年九年级上学期期末测试数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025九上·石家庄期末）如图，已知的半径为3，平面内有一点到圆心的距离为4，则该点可能是（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
2．（2025九上·石家庄期末）嘉嘉在解方程时，得出方程有一个根是，则c的值是（　　）
A． B．2 C．3 D．0
3．（2025九上·石家庄期末）如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，小明分别以A和B为正方向观察该几何体，则他从两个方向观察到的三视图（　　）
A．主视图相同，左视图不同，俯视图不同
B．主视图不同，左视图相同，俯视图不同
C．主视图不同，左视图不同，俯视图相同
D．主视图相同，左视图相同，俯视图不同
4．（2025九上·石家庄期末）把圆规的两脚分开，两脚间的距离是厘米，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的（　　）
A．半径是厘米 B．直径是厘米
C．周长是厘米 D．面积是厘米
5．（2025九上·石家庄期末）已知线段a、b、c，作线段x，使b：a＝x：c，则正确的作法是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025九上·石家庄期末）某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（　　）
A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊
7．（2025九上·石家庄期末）二次函数在时有最小值3，则这个函数的图象可以是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025九上·石家庄期末）如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025九上·石家庄期末）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025九上·石家庄期末）如图，小明想利用“，，”这些条件作．他先作出了和，在用圆规作时，发现点出现和两个位置，那么的长是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025九上·石家庄期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，轴，垂足为．为的中点，为的中点，若矩形的面积为3，则的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
12．（2025九上·石家庄期末）如图，二次函数的图象经过点，顶点C在第四象限，以下两位同学得出的结论正确的是（　　）
嘉嘉：由题意可知，a与b的关系为．
琪琪：由题意可知，b的范围是．
A．嘉嘉 B．琪琪
C．两人都正确 D．两人都不正确
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（2025九上·石家庄期末）已知反比例函数的图象经过点与，则m的值为　 　．
14．（2025九上·石家庄期末）在一个不透明的袋子里有红球、黄球共15个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数可能是　 　．
15．（2025九上·石家庄期末）如图，A，B，C，D，E五个点均在小正方形（不考虑每个小正方形的边长）组成的网格的格点上．若于点F，且，则的长为　 　．
16．（2025九上·石家庄期末）已知函数．
（1）若，则该函数图象与y轴的交点坐标为　 　；
（2）当时，函数的最小值为4，则m的值为　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025九上·石家庄期末）计算：．
18．（2025九上·石家庄期末）在学习了解一元二次方程后，老师出示了这样一个题目
解方程：．
佳琪同学的解答过程如下：
方程两边同时除以， 得， 所以， 因此，方程的解为．
（1）试判断佳琪的解法是否正确，若不正确，请说明理由．
（2）根据你对一元二次方程解法的理解，写出你的解答过程．
19．（2025九上·石家庄期末）如图，是边长为6的等边三角形，点D，E在边上，若，，求的长．
20．（2025九上·石家庄期末）如图，一次函数分别与反比例函数，交于点和点，已知点的横坐标为，点的纵坐标为6．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接，，求的面积．
21．（2025九上·石家庄期末）为了传承传统手工技艺，某班美术老师特地给学生上了一节编织“中国结”的手工课，并对他们编织的数量进行了统计，根据统计结果绘制了不完整的条形图1和扇形图2．
（1）求参加本次课程的学生人数，并补全条形图；
（2）从本次手工课的学生中随机抽取一名学生，求这位学生恰好编织了7个“中国结”的概率；
（3）原来编织了9个“中国结”的学生中有两名学生每人又多编织了1个，原来编织8个“中国结”的同学中有部分同学每人又多编织了1个，若此时每个学生所编织“中国结”个数的中位数为9，则原来编织8个“中国结”的同学中至少有多少人多编织了1个？
22．（2025九上·石家庄期末）一个工件槽的两个底角，点A，B的初始高度相同，尺寸如图1所示（单位：），将一个形状规则的铁球放入槽内，测得球落在槽内的最大深度为（E为球的最低点）．
（1）求该铁球的半径；
（2）如图2，将这个工件槽的右边升高（）后，求该平面图中铁球落在槽内的弧的长度．（参考数据：，，）
23．（2025九上·石家庄期末）如图1，已知点A、O在直线l上，且，于O点，且，以OD为直径在OD的左侧作半圆E，于A，且．向右沿直线l平移得到，设平移距离为x．
（1）若的边经过点D，则平移的距离______；
（2）如图2，若截半圆E得到的的长为，求的度数；
（3）当的边与半圆E相切时，直接写出x的值．
24．（2025九上·石家庄期末）如图1，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，边分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线的顶点．
（1）直接写出顶点P的坐标；（用m表示）
（2）当时，判断是否在抛物线上，并直接写出该抛物线下方（含边界）的好点个数；
（3）当时，直接写出该抛物线上的好点坐标；
（4）若点P在正方形内部，该抛物线下方（含边界）恰好存在8个好点，直接写出m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：平面内有一点到圆心的距离为4，．
该点在圆外，
点符合要求．
故选：D．
【分析】根据d>r，可判定出点在圆外，即可解题．
2．【答案】A
【知识点】解一元一次方程；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据是方程的一个根，可得出，进而即可得出c的值。
3．【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：以A为正方向观察该几何体，三视图如下：
以B为正方向观察该几何体，三视图如下：
观察可知，两者的主视图不同，左视图相同，俯视图不同．
故选D．
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】用圆规画圆的步骤为：
()把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离，这距离就是半径；
()把有针尖的一只脚固定在一点(即圆心)上；
()把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出了一个圆；
故有圆的半径为厘米，
故答案为：．
【分析】根据圆的相关知识即可得出圆规两脚间的距离即为半径长。
5．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解： b：a＝x：c，
由平行线分线段成比例可得：
选项A： 可得： 故A不符合题意；
选项B： 可得： 故B符合题意；
选项C： 可得： 故C不符合题意；
选项D： 可得： 故D不符合题意；
故选：B
【分析】由题意可得，再根据平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】数据分析；中位数
【解析】【解答】解：已选定1-5号盲盒，要使7个盲盒质量中位数为100，排序后第4个数得是100 .
观察图像，6号盲盒选丙(100克以上)，7号盲盒选丁(100克以下)，
或6号选丁，7号选丙，能满足中位数为100 .
看选项，只有C(丙，丁)符合
故选：C.
【分析】本题考查中位数的概念及应用.中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(如果数据个数是奇数)或最中间两个数的平均数(如果数据个数是偶数).要使选定7个盲盒质量的中位数为100，需保证排序后第4个数是100，结合已选定的1 - 5号盲盒，分析6，7号盲盒的选择.
7．【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：A、函数值3不是最小值，故本选项错误；
B、时有最小值3，故本选项正确；
C、时有最大值3，故本选项错误；
D、函数有最大值3，故本选项错误．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数最值和开口方向逐项判断解题．
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，故A不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，故B不符合题意；
C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，故C符合题意；
D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】
根据相似三角形的判定条件，若两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似，因而只需判断每个选项中剪下的阴影三角形与原三角形∠A=76°的对应角是否相等，即可确定它们是否相似，逐一判断即可解答.
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
故答案为：C．
【分析】 设停车场内车道的宽度为， 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：过点作于点，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴
故答案为：D
【分析】本题考查30度直角三角形的性质.过点作于点，先利用30度直角三角形的性质可以求出BM=3cm，再利用勾股定理可以求出，再根据可求出的长.
11．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数的图象上，轴，垂足为A，轴，
∴，
∵为的中点，为的中点，
∴，，
∵矩形的面积为3，即，
∴，
故答案为：D．
【分析】题目中涉及反比例函数的系数的几何意义。根据反比例函数的性质，矩形OACB的面积等于，即满足关系式。因此，可以通过计算矩形OACB的面积来确定的值。
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵根据二次函数的图象经过点，
∴，，
∴，
∴；故嘉嘉说法正确；
∴，
∵顶点C在第四象限，
∴，
∵抛物线开口向上，
∴，
∴，
∴；故琪琪的说法正确；
故选C．
【分析】将点A，B坐标代入二次函数解析式可得，，则，即，故嘉嘉说法正确；根据二次函数的顶点性质可得，再根据二次函数图象与系数的关系可得a>0，建立不等式组，解不等式组可得琪琪的说法正确；
13．【答案】4
【知识点】反比例函数的概念；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为，将点代入解析式，得：
，
∴反比例函数解析式为：，
将点代入中，，
解得：．
故答案为：．
【分析】首先设反比例函数的解析式为。将已知点代入解析式，可得，解得，因此函数解析式为。再将点代入，得。
14．【答案】6
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意得红球的个数可能是15×0.4=6，
故答案为：6
【分析】根据用频率估计概率结合题意即可求解。
15．【答案】
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由图可知，设，则，∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】设线段的长度为，则线段的长度为。通过证明三角形与三角形相似，可以得到比例关系，根据这个比例关系即可进一步求解问题。
16．【答案】；0或4
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：（1）当时，二次函数解析式为，
当时，，
∴该函数图象与y轴的交点坐标为，
故答案为：；
（2）∵抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
当，且时，则当时，函数取值最小值，
∴，
解得或（舍去）；
当，且时，则当时，函数取值最小值，
∴，
解得；
综上所述，m的值为0或4，
故答案为：0或4．
【分析】（1）将代入函数表达式，计算对应的y值即可得出答案。（2）首先分析函数性质：抛物线开口方向向上，对称轴为直线。需要分两种情况讨论：① 当定义域范围且时，函数在处取得最小值；② 当定义域范围且时，函数在对称轴处取得最小值。根据这两种情况分别进行讨论计算即可。
17．【答案】解：
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】将题目中给定的特殊角的三角函数值代入表达式，然后根据有理数混合运算法则进行计算即可得到结果。
18．【答案】（1）解：佳琪的解法错误，原因是第一步出现错误，方程两边不能同时除以．
（2）解：∵，
∴，
∴，即，
∴或，
∴方程的解为，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据解一元二次方程的解法，可以发现第一步出现错误，方程两边不能同时除以.
（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（1）解：佳琪的解法错误，原因是第一步出现错误，方程两边不能同时除以．
（2）解：∵，
∴，
∴，即，
∴或，
∴方程的解为，．
19．【答案】解：过点A作于H，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；求特殊角的三角函数值；解直角三角形；正切的概念
【解析】【分析】首先过点A作AH垂直于BC于点H。由于△ABC是等边三角形，所以∠BAC=60°。根据AH⊥BC，可以得到∠BAD+∠DAH=30°。又因为题目给出∠BAD+∠EAC=30°，由此可推出∠DAH=∠EAC。根据题意，tan∠DAH=tan∠EAC=。通过三角函数计算，得出AH=AB·sin60°=3。再利用比例关系=，解得DH=。最终根据这些计算结果可以得出题目所求的结论。
20．【答案】（1）解：当时，，
，
把它代入得：，
解得，
，
当时，，
解得，
，
，
；
（2）解：设与轴交于点，
当时，，
则，
∵，，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将x=-3代入反比例函数可得，再根据待定系数法将点A坐标代入一次函数解析式可得，再将y=6代入解析式可得，再根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数，即可求出答案.
（2）设与轴交于点，根据y轴上点的坐标特征可得，再根据，结合三角形面积即可求出答案.
21．【答案】（1）解：由图可得，
编制7个、9个、个的人数：，占比为：，
∴抽样的人数为：（人），
∴8个的人数为：（人），
条形图如图所示，
（2）解：由（1）可得，
；
（3）解：∵总数为，中位数是第、两个的平均数，
∵原来7个、8个的人数为，
∴第、两个数落在原来的8个上，
∵原来编织8个“中国结”的同学中有部分同学每人又多编织了1个，中位数是9，
∴原来编织8个“中国结”的同学中至少有3个同学要多编织了1个．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；概率公式；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据有理数的加法求出编制7个、9个、个的人数和与占比，再用人数除以占比可得总人数，再乘以8个的占比求出人数，再补全人数即可求出答案.
（2）根据7个的人数除以总人数即可求出答案.
（3）根据中位数求法最中间数字或最中间两个的平均数结合数据个数即可求出答案.
（1）解：由图可得，
编制7个、9个、个的人数：，占比为：，
∴抽样的人数为：（人），
∴8个的人数为：（人），
条形图如图所示，
（2）解：由（1）可得，
；
（3）解：∵总数为，中位数是第、两个的平均数，
∵原来7个、8个的人数为，
∴第、两个数落在原来的8个上，
∵原来编织8个“中国结”的同学中有部分同学每人又多编织了1个，中位数是9，
∴原来编织8个“中国结”的同学中至少有3个同学要多编织了1个．
22．【答案】（1）解：连接，交于点，
由题意，得：，
∴，
设铁球的半径为，则：，，
由勾股定理，得：，即：，
解得：；
∴铁球的半径为
（2）解：连接过点作，则：，，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴弧的长度为．
【知识点】勾股定理；垂径定理；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接，交于点，由题意，得：，根据垂径定理可得AD，设铁球的半径为，则：，，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（2）连接过点作，则：，，根据勾股定理可得AB，根据勾股定理可得AF，解直角三角形可得，由题意可得，根据三角形内角和定理可得∠AOB，再根据弧长公式即可求出答案.
23．【答案】（1）
（2）解：连接、、，如图2所示，
则半圆E的半径，
设，
∵截半圆E的的长为，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴.
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）或
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【解答】（1）解：如图1，
由平移性质得，
∵，，
∴，
∴平移距离，
故答案为：；
（3）解：根据题意，分两种情况：
当的边与半圆E相切时，如图3，
设切点为P，连接，则，
∵，，
∴，
∴，
∴平移的距离；
当的边与半圆E相切时，如图4，
设切点为P，连接并延长交l于N，则，
∵，，
∴，又，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴平移的距离，
综上，平移的距离x的值为或．
【分析】（1）根据平移性质可得，解直角三角形即可求出答案.
（2）连接、、，则半圆E的半径，设，根据弧长公式建立方程，解方程可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据直线平行判定定理可得，则，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
（3）分情况讨论：当的边与半圆E相切时，设切点为P，连接，则，根据含30°角的直角三角形性质可得∠PA'E=30°，解直角三角形可得A'O，再根据平移的性质即可求出答案；当的边与半圆E相切时，设切点为P，连接并延长交l于N，则，根据角之间的关系可得∠OEP，解直角三角形可得EN，根据边之间的关系可得PN，再根据含30°角的直角三角形性质可得A'N，再根据边之间的关系可得A'O，再根据平移性质即可求出答案.
（1）解：如图1，
由平移性质得，
∵，，
∴，
∴平移距离，
故答案为：；
（2）解：连接、、，如图2所示，
则半圆E的半径，
设，
∵截半圆E的的长为，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴.
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：根据题意，分两种情况：
当的边与半圆E相切时，如图3，
设切点为P，连接，则，
∵，，
∴，
∴，
∴平移的距离；
当的边与半圆E相切时，如图4，
设切点为P，连接并延长交l于N，则，
∵，，
∴，又，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴平移的距离，
综上，平移的距离x的值为或．
24．【答案】（1）
（2）当时，在抛物线上；好点有：，，共5个；
（3）
（4）
【知识点】公式法解一元二次方程；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：（1）∵抛物线，
∴顶点P的坐标为；
（2）当时，在抛物线上，理由如下：当时，表达式为：，函数图象如图1：
当时，；
当时，；
∴抛物线经过点和，
即点在抛物线上，
观察图象可知：好点有：，，共5个．
（3）解：当时，二次函数解析式为．如图2．
当时，，
当时，，
当时，，
∴抛物线经过，
根据图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为；
（4）解：∵点P在正方形内部，，正方形的边长为4，∴，，解得：，
取开始，，可得抛物线内有10个好点，不符合意思；
∴抛物线向下并向左移动，如图3，
∵抛物线的顶点，
∴抛物线的顶点P在直线上，
∵点P在正方形内部，则，
如图3中，，
观察图象可知，当点P在正方形内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段有交点（点F除外），
当抛物线经过点E时，，
解得或（不合题意，舍去），
当抛物线经过点F时，，
解得或4（不合题意，舍去），
∴当时，顶点P在正方形内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点．
【分析】（1）根据抛物线方程可直接得出顶点坐标为。（2）当参数时，函数表达式简化为。通过绘制函数图象（如图1），可以直观地分析函数性质并解决问题。
（3）当参数时，函数表达式变为。结合图2所示的函数图象，可以更清晰地分析问题。
（4）分析抛物线顶点的运动轨迹，可以发现顶点始终在直线上移动。当顶点位于正方形内部时，参数范围满足。特别地，考察关键点和（如图3），当抛物线在正方形内且下方区域恰好包含8个特殊点时，需要抛物线与线段EF（不含F点）相交。通过计算抛物线经过E点和F点时对应的m值，可以确定参数的取值范围。
（1）解：∵抛物线，
∴顶点P的坐标为；
（2）解：当时，在抛物线上，理由如下：
当时，表达式为：，函数图象如图1：
当时，；
当时，；
∴抛物线经过点和，
即点在抛物线上，
观察图象可知：好点有：，，共5个．
（3）解：当时，二次函数解析式为．如图2．
当时，，
当时，，
当时，，
∴抛物线经过，
根据图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为；
（4）解：∵点P在正方形内部，，正方形的边长为4，
∴，，解得：，
取开始，，可得抛物线内有10个好点，不符合意思；
∴抛物线向下并向左移动，如图3，
∵抛物线的顶点，
∴抛物线的顶点P在直线上，
∵点P在正方形内部，则，
如图3中，，
观察图象可知，当点P在正方形内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段有交点（点F除外），
当抛物线经过点E时，，
解得或（不合题意，舍去），
当抛物线经过点F时，，
解得或4（不合题意，舍去），
∴当时，顶点P在正方形内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点．
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