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2025--2026学年第一学期初二数学第十九周滚动练习
一．选择题（共8小题）
1．在直角坐标系中，点P（2，1）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）
2．将的图象向上平移2个单位长度，则平移后的图象相应的函数表达式是（　　）
A．y＝﹣3x B．y＝3x C． D．
3．将函数y＝2x﹣1的图象向上平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（　　）
A．y＝2x﹣4 B．y＝2x+2 C．y＝2x﹣7 D．y＝2x+4
4．已知一次函数y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的自变量x与函数y的几组对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 8 6 4 2 0 …
则下列结论正确的是（　　）
A．y的值随x值的增大而增大； B．图象不经过第一象限；
C．当x＜2时，y＜0； D．不等式kx+b≤0的解集是x≥2。
5．如图，在等腰△AOB中，OA＝AB，∠OAB＝120°，OA边在x轴上，将△AOB绕原点O逆时针旋转120°，得到△A'OB'，若，则点A的对应点A'的坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，） C．（﹣1，2） D．（﹣1，）
第5题第6题
6．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而增大；②函数y＝ax+d不经过第二象限；③不等式ax﹣d＞cx﹣b的解集是x＜4；④，其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
7．若一次函数y＝kx+3的图象经过点P，且函数值y随着x增大而减小，则点P的坐标可能为（　　）
A．（2，4） B．（﹣5，2） C．（﹣1，﹣3） D．（5，﹣1）
8．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，2），点B（﹣5，6），在x轴上确定点C，使得△ABC的周长最小，则点C的坐标是（　　）
A．（﹣4，0） B．（﹣3，0） C．（﹣2，0） D．（﹣2.5，0）
二．填空题（共8小题）
9．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）、点C（4，1），连接AC，点D是x轴上一点，若△ACD是以AC为底边的等腰三角形，则D点的坐标为　 　 ．
第9题第11题
10．将点A（﹣3，﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点A′，则点A′坐标 　 　 ．
11．如图，已知函数y＝2x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象，不等式2x+b＞ax﹣3的解集是　 　 ．
12．若（x1，y1），（x2，y2）两个点在一次函数y＝（a+1）x﹣1图象上，且（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，则a的取值范围 　 　 ．
13．某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李．当行李的质量超过规定时，需付的行李费y（元）与行李质量x（kg）之间满足一次函数关系，部分对应值如下表：
x（kg） … 30 40 50 …
y（元） … 4 6 8 …
则旅客最多可免费携带行李的质量是 　 　 kg．
14．在平面直角坐标系中，把点P（a﹣1，5）向左平移3个单位得到点Q（2﹣2b，5），则2a+4b+3的值为 　 　 ．
15．已知一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交于点（2，0），与y轴交于点（0，m）．若m＞1，则k的取值范围为 　 　 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A，A1，A2，…在x轴上，分别以OA，AA1，A1A2，…为边在第一象限作等边△OAP，等边△AA1P1，等边△A1A2P2，…，且A点坐标为（2，0），直线y＝kx（k＞0）经过点P，P1，P2，…，则点P2025的纵坐标为 　 　 ．
第16题
三．解答题（共12小题）
17．已知一次函数的图象经过点A（﹣1，1）和B（0，3）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）求这个一次函数的图象与x轴的交点坐标．
18．某学校科技社团成员组装了一艘舰艇模型，并在一条笔直河道内进行往返航行测试，中途设置一个观测点P．他们根据测试结果绘制了如图所示的函数图象，其中t（min）表示航行时间，s（m）表示舰艇模型离出发点的距离．已知水流的速度为30m/min．
（1）根据图象回答：在OA段，舰艇模型是 　 　 水航行（填“顺”或“逆”）；该舰艇模型在静水中的航行速度为 　 　 m/min；
（2）该舰艇模型先后两次经过观测点P的时间差为1.6min，求观察点P离出发点的距离．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+4（k＜0）与y轴相交于点A，与x轴相交于点B，且与直线l2：y＝x相交于点C．点P在直线l1上运动（不与点C重合），过点P作x轴的平行线，与直线l2相交于点Q，连接OP，AQ，记△OCP的面积为S1，△ACQ的面积为S2．
（1）若点C的横坐标为1．
①求k的值；
②当点P在线段AC上时，试探究：的值是否是定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
（2）当，且OP＝OQ时，线段PQ的长为 　 　 ．
20．在平面直角坐标系中，已知点A（2m+1，﹣3）和点B（2，1﹣m）．
（1）若AB⊥x轴，求m的值；
（2）若将点A向上平移a个单位，再向右平移a个单位，得到点B，求a的值．
21．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴的交于点A（0，2），与x轴交于点B（﹣4，0）．
（1）求函数表达式；
（2）点P（a，0）是x轴上的动点，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象经过点P，且与一次函数y＝kx+b（k≠0）图象交于点C，已知点C的横坐标为2．
①若，求a的值；
②当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx+n（m≠0）的值大于y＝kx+b（k≠0）的值，则a的取值范围为　 　 ．
22．直线l：y＝kx+6（k≠0）与x轴，y轴分别交于A，B两点；点C（﹣8，0）在x轴上，连接BC．
（1）点B的坐标为 　 　 ；
（2）点D坐标为（0，2），作射线CD，直线l交射线CD于点E．
①当时，求k的值；
②当直线l与射线CD所夹的锐角为45°时，求OA的长度．
23．如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，4）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）画出△ABC沿y轴向下平移3个单位得到△A2B2C2；
（3）在y轴上求作一点P，使△PAC的周长最小．
24．如图，已知直线l1：y＝kx+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直线l2：y＝2x+8交于点P（﹣2，a），直线l2与x轴交于点A．
（1）求直线l1的解析式；
（2）求四边形OAPC的面积．
25．如图，一辆货车和一辆轿车先后从甲地开往乙地，线段OA表示货车离开甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离开甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：
（1）甲、乙两地相距　 　 km，轿车比货车晚出发　 　 h；
（2）求线段CD所在直线的函数表达式；
（3）货车出发多长时间两车相遇？此时两车距离甲地多远？
26．如图，已知A（4，m）为正比例函数的图象上一点，AB⊥x轴，垂足为点B．点P从O出发，以每秒2个单位的速度沿射线OA方向运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）过点P作PQ⊥OA交直线AB于点Q，若△APQ≌△ABO，求t的值；
（2）在点P的运动过程中，是否存在这样的t，使得△POB为等腰三角形？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
27．结合已经学过的“距离”我们知道：点到直线的“距离”是直线外一点和直线上各点连接的所有线段中最短的线段（即垂线段）的长度．类似的我们给出两个图形M、N的“距离”定义：如果点P为图形M上的任意一点，点Q为图形N上的任意一点，且P、Q两点的“距离”有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“距离”，记为d（M，N）特别地，当图形M、N有公共点时，图形M，N的“距离”d（M，N）＝0．
（1）如图1，在平面直角坐标系中，∠AOB＝60°，若A（4，0），M（0，2），N（﹣1，0），则d（N，∠AOB）＝　 　 ，d（M，∠AOB）＝　 　 ；
（2）如图2，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），将一次函数y＝kx+6的图象记为L．
①若k＞0，且d（L，△ABC）＝2，求k的值；
②若d（L，△ABC）＝0，求k的取值范围．
28．如图，平面直角坐标系中，函数y＝﹣3x+b的图象与y轴相交于点B，与函数yx的图象相交于点A，且OB＝5．
（1）求点A的坐标；
（2）求函数y＝﹣3x+b、yx的图象与x轴所围成的三角形的面积．
象上点的坐标特征求出k值是解题的关键．
8．【解答】解：作B点关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点C，连接BC，
∴BC＝B'C，∴BC+AC＝B'C+AC≥AB'，此时△ABC的周长最小，
∵B（﹣5，6），∴B'（﹣5，﹣6），设直线AB'的解析式为y＝kx+b，
将点A（﹣1，2），B'（﹣5，﹣6）代入，得，∴，
∴y＝2x+4，令y＝0，则x＝﹣2，∴C（﹣2，0），故选：C．
【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，
用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
9．【解答】解：设D（m，0），
∵点A（0，4）、点C（4，1），
∴AD2＝m2+42＝m2+16，CD2＝（4﹣m）2+1，
由题意可知：AD＝CD，
∴AD2＝CD2，∴m2+16＝（4﹣m）2+1，
∴，故答案为：．
【点评】本题主要考查了两点间距离公式，等腰三角形定义，熟练掌握两点间距离公式，是解题的关键．
10．【解答】解：∵A（﹣3，﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位得到点A′，
∴﹣3﹣2＝﹣5，﹣1+4＝3，∴点A′的坐标是（﹣5，3），故答案为：（﹣5，3）．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
11．【解答】解：∵函数y＝2x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），
则根据图象可得不等式2x+b＞ax﹣3的解集是x＞﹣2，故答案为：x＞﹣2．
【点评】此题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，主要考查学生的观察能力和理解能力，题型较好，难度不大．
12．【解答】解：∵（x1，y1），（x2，y2）在一次函数图象上，
∴y1＝（a+1）x1﹣1，y2＝（a+1）x2﹣1，∴y1﹣y2＝（a+1）x1﹣1﹣（a+1）x2+1
＝（a+1）x1﹣（a+1）x2＝（a+1）（x1﹣x2），∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，∴，
∵（x1，y1），（x2，y2）是两个不同点，∴x1≠x2，∴，
∴a+1＜0，∴a＜﹣1；故答案为：a＜﹣1．
【点评】考查点在函数图象上的意义，参数不等式；将不等式化为是解题的关键．
13．【解答】解：∵需付的行李费y（元）与行李质量x（kg）之间满足一次函数关系，
∴设需付的行李费y（元）与行李质量x（kg）之间的关系为y＝kx+b，
将x＝30时y＝4和x＝40时y＝6代入得：，解得，
∴需付的行李费y（元）与行李质量x（kg）之间的关系为yx﹣2，令y＝0得x﹣2＝0，∴x＝10，
∴行李质量为10kg时，行李费为0，即旅客最多可免费携带行李的质量是10kg，故答案为：10．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是求出需付的行李费y（元）与行李质量x（kg）之间的函数关系式．
14．【解答】解：将点P（a﹣1，5）向左平移3个单位，得到点Q，点Q的坐标为（2﹣2b，5），
∴a﹣1﹣3＝2﹣2b，∴a+2b＝6，∴2a+4b+3＝2（a+2b）+3＝2×6+3＝15，故答案为：15．
【点评】本题考查了坐标系中点的平移规律，代数式求值，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
15．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交于点（2，0），与y轴交于点（0，m），∴，∴2k+m＝0，∴m＝﹣2k，∵m＞1，∴﹣2k＞1，∴k，故答案为：k．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于k的不等式是解题的关键．
16．【解答】解：过点P作PB⊥x轴于点B，过点P1作P1D⊥x轴于点D，
.△OAP是等边三角形，且点A坐标为（2．0），
∴OA＝OP＝2，OB＝AB，∠POB＝60°，
∴PBOB＝3，∴P点坐标为（，3），
∵直线y＝kx（k＞0）经过点P，
∴3k，解得k，
∴直线的解析式为yx，
设P1点的坐标为（x，x），
∴AD＝x﹣2，P1Dx，
∵等边△AA1P1是等边三角形，∴∠P1AD＝60°，∠AP1D＝30°，∴P1DAD，
∴x（x﹣2），解得：x＝5，∴P1点的纵坐标为9＝32，
同理，P2点的纵坐标为27＝33，∴点P2025的纵坐标为32026．故答案为：32026．
【点评】本题是有关点的坐标的规律题，考查了待定系数法求直线的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形等，利用数形结合的思想解决问题，与含30度角的直角三角形相结合，使问题得以解决．
三．解答题（共12小题）
17．【解答】解：（1）由题知，令一次函数的表达式为y＝kx+b，则，解得，
所以这个一次函数的表达式为y＝2x+3．
（2）将y＝0代入y＝2x+3得，2x+3＝0，解得x，
所以这个一次函数的图象与x轴的交点坐标为（）．
【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及一次函数的图象与性质是解题的关键．
18．【解答】解：（1）设顺水速度为v顺，则逆水速度为v逆，v顺＝v静+v水，v逆＝v静﹣v水，
∴v顺＞v逆，根据图象可知，从起点到终点，即OA，用时3min，
从终点到起点，即AB，用时8﹣3＝5min，路程相同，时间越短，速度越大，
可知，在OA段，舰艇模型是顺水航行，设v静＝xm/min，v水＝30m/min，
∴3（x+30）＝5（x﹣30），解得：x＝120；故该舰艇模型在静水中的航行速度为120m/min；
故答案为：顺，120；
（2）设P点距离出发点的距离为ym，由（1）可知v120m/min，v水＝30m/min，
去程用时3min，可以计算出起点与终点的距离为：3×（120+30）＝3×150＝450（m），
∴P点距离终点的路程为（450﹣y）m，
设从P点去程到终点用时t1min，从终点返程到P点用时t2min，∴t1+t2＝1.6，
∵t1，t2，∴1.6，
解得：y＝360，∴观察点P离出发点的距离为360米．
【点评】本题考查一元一次方程与实际问题，函数图象和性质，根据题意列方程是解题的关键．
19．【解答】解：（1）①由题意得C（1，1），把C（1，1）代入y＝kx+4，得k+4＝1，∴k＝﹣3；
②由①知直线l1：y＝﹣3x+4，∵直线l1与y轴相交于点A，∴A（0，4），∴OA＝4，
设P（t，﹣3t+4），其中0≤t≤1，∵PQ∥x轴，∴Q（﹣3t+4，﹣3t+4），
∴S1＝S△OCP＝S△AOC﹣S△AOP4×14×t＝2﹣2t，
S2＝S△ACQ＝S△AOQ﹣S△AOC4×（﹣3t+4）4×1＝6﹣6t，
∴，∴当t≠1时，，∴当0≤t＜1时，为定值；
（2）如图，
联立得，解得：，∴C（，），
∵PQ∥x轴，OP＝OQ，∴∠OPQ＝∠OQP＝45°，
∴点P是直线y＝﹣x与y＝kx+4的交点，
则，解得：，
∴P（，），Q（，），
∴S1＝S△OCP＝S△AOP﹣S△AOC4×（）4，
S2＝S△ACQ＝S△AOC+S△AOQ44×（），
∵，∴S2＝2S1，∴2（），解得：k＝﹣2，
经检验，k＝﹣2是原方程的解，∴P（4，﹣4），Q（﹣4，﹣4），
∴PQ＝4﹣（﹣4）＝8，故答案为：8．
【点评】本题考查了一次函数的图象与性质的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式，以及函数性质是解题的关键．
20．【解答】解：（1）∵AB⊥x轴，∴AB∥y轴，∴2m+1＝2，解得：；
（2）由题意得，∴解方程组得：，∴a＝7．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）图象与y轴交于点A（0，2），与x轴交于点B（﹣4，0），
∴，∴，∴一次函数解析式为：；
（2）①将x＝2代入得：，∴C（2，3），
∵点A（0，2），B（﹣4，0），∴OA＝2，OB＝4，∵S△BPC﹣S△BPA＝S△APC，
∴，∴a＝1或﹣9；
②由条件可知：在点C的右侧，函数y＝mx+n（m≠0）的图象要在函数y＝kx+b（k≠0）图象的上方，
∴﹣4＜a＜2，故答案为：﹣4＜a＜2．
【点评】本题考查了两条直线相交和平行问题，一次函数与几何图形结合问题，熟练掌握一次函数与不等式间的关系是解答本题的关键．
22．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝kx+6＝6，即点B（0，6），故答案为：（0，6）；
（2）①由直线BA的表达式知，点A（，0），
由C、D的坐标得，直线CD的表达式为：yx+2，设点E（t，t+2），
∵，则S△ACE：S△ABC＝2：5，即EH：OB＝2：5，而OB＝6，故EHt+2，
解得：t，即点E（，），将点E的坐标代入y＝kx+6得：k+6，解得：k；
②当AB在y轴右侧时，∠CEB＝45°，如图1：
图1图2
由题意可得：，解得：
∴线段CD所在直线的函数表达式为：y＝110x﹣195；
（3）设OA解析式为：y＝mx，由题意可得：300＝5m，∴m＝60，∴OA解析式为：y＝60x，
∴，∴
答：货车出发3.9小时两车相遇，此时两车距离甲地234千米．
【点评】本题考查了一次函数的应用，理解图象，是本题的关键．
26．【解答】解：（1）∵A（4，m）为正比例函数yx的图象上一点，
∴m4＝3，∴A（4，3），∴AB＝3，OB＝4，∴OA5，
要使△APQ≌△ABO，则必须有AP＝AB＝3，如图1，当点P在线段OA上时，∴OP＝OA﹣AP＝5﹣3＝2，
∵点P从O出发以每秒2个单位的速度沿射线OA方向运动，设点P的运动时间为t（s），
∴OP＝2t，∴2t＝2，解得：t＝1，即当t的值为1时，△APQ≌△ABO；
当点P在OA的延长线上时，如图2，∴OP＝OA+AP＝5+3＝8，
∵点P从O出发以每秒2个单位的速度沿射线OA方向运动，设点P的运动时间为t（s），
∴OP＝2t，∴2t＝8，∴t＝4，即当t的值为4时，△APQ≌△ABO；
综上，若△APQ≌△ABO，t的值为1或4；
（2）存在这样的t，使得△POB为等腰三角形；理由如下：
当PB＝OP时，点P在线段OB的垂直平分线上，如图3，
∴OD∥OB，点D是OB的中点，∴点P是OA的中点，
∵AB⊥x轴，∴∠ABO＝90°，∴OP＝PBOA，∵OA＝5，∴OP＝PB，
∵点P从O出发以每秒2个单位的速度沿射线OA方向运动，设点P的运动时间为t（s），
∴OP＝2t，∴2t，∴t1.25，即t的值为1.25；
当OP＝OB时，如图4，∵OB＝4，∴OP＝4，∵点P从O出发以每秒2个单位的速度沿射线OA方向运动，设点P的运动时间为t（s），∴OP＝2t，∴2t＝4，∴t＝2，即t的值为2；
当BP＝BO时，过点B作BH⊥AB，如图5，∵S△ABOOA BHAB OB，AB＝3，OB＝4，OA＝5，
∴5BH＝12，∴BH，∴OH，∴OP＝2OH，
∵点P从O出发以每秒2个单位的速度沿射线OA方向运动，设点P的运动时间为t（s），
∴OP＝2t，∴2t，∴t3.2，即t的值为3.2．综上，t的值为1.25或2或3.2．
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，平面直角坐标系与等腰三角形，平面直角坐标系与全等三角形，掌握平面直角坐标系与几何图形的关系是解题的关键．
27．【解答】解：（1）∵M（0，2），N（﹣1，0），∴OM＝2，ON＝1，
由题意知，d（N，∠AOB）＝ON＝1，如图1，作MH⊥OB于点H，
∵∠AOB＝60°，∴∠MOH＝30°，∴MH＝OM＝1，∴d（M，∠AOB）＝MH＝1，故答案为：1，1；
图1图2
（2）①如图2，设图象L与y轴交于D，与x轴交于F，作AE⊥L于点E．
y＝kx+6中，令x＝0，则y＝6，∴D（0，6），∴AD＝OD﹣OA＝6﹣2＝4，
∵d（L，△ABC）＝2，∴AE＝2，∴DEAE，∴∠ADE＝45°，
∴∠DFO＝45°，∴OF＝OD＝6，∴F（﹣6，0），
将F（﹣6，0）代入y＝kx+6，得﹣6k+6＝0，解得k＝1；
②图象L经过点B和点C时，图象L与△ABC只有一个交点，符合d（L，△ABC）＝0，
当图象L经过点B时，将B（﹣2，0）代入y＝kx+6，得﹣2k+6＝0，解得k＝3，
当图象L经过点C时，将C（2，0）代入y＝kx+6，得2k+6＝0，解得k＝﹣3，
由一次函数的图象和性质可知，当k＞3或k＜﹣3时，图象L与△ABC有两个交点，满足d（L，△ABC）＝0，故k的取值范围为k≥3或k≤﹣3．
【点评】本题是一次函数综合题，考查一次函数的图象和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等，解题的关键是理解新定义的意义，将新定义问题转化为学过的数学问题．
28．【解答】解：（1）由OB＝5可得B（0，﹣5），把（0，﹣5）代入y＝﹣3x+b，可得b＝﹣5，
∴函数关系式为y＝﹣3x﹣5，解方程组，可得，∴点A的坐标为（﹣3，4）；
（2）设直线AB与x轴交于点C，则点C的坐标为（，0），CO，
所围成的三角形即为△ACO，如图，过A作AE⊥x轴于E，由A（﹣3，4）可得AE＝4，
∴S△ACOAE×CO4．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形面积计算公式的运用，解决问题的关键是掌握：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
备选题：
1.如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x的负半轴上的一点，连接BC，过点C作CD⊥BC，与线段AB交于点D，若CD＝CB，则点D的坐标为（　　）
A．； B．； C．； D．
第1题第2题
2．如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（1，m+1），B（a，m+1），C（3，m+3），D（1，m+a），m＞0，1＜a＜3，点P（n﹣m，n）是四边形ABCD内的一点，且△PAD与△PBC的面积相等，求n﹣m的值．
3．如图，在平面直角坐标系中，A（a，﹣1）、B（1，b），其中a，b满足．
（1）求A、B的点坐标；
（2）如图1，点E（t，2t+2）为第二象限内一点，若△ABE的面积为9，求t的值；
（3）如图2，过点A，B分别向x轴作垂线，垂足分别为D、C，在坐标平面内是否存在点P（m，n），使得△PAD与△PBC的面积相等，且△PCD与△PAB的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
4．【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法：如图1，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即PM＝PN，则过角尺的顶点P的射线OP是∠AOB的平分线．（已知角尺的夹角∠MPN＝90°）．
（1）【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理；
（2）【变式判断】张明同学认为当∠AOB＝90°时，工人师傅就不需要先在边OA，OB上分别取OM＝ON，直接移动角尺，使角尺的两边分别与OA，OB相交于点M，N，且满足PM＝PN，如图2所示，便可以得到OP平分∠AOB，你觉得张明的观点对吗？并说明理由；
（3）【拓展探究】如图3，∠AOB＝90°，OQ平分∠AOB，P是射线OQ上的一点（与点O不重合），点C在射线OA上运动，过点P作PD⊥PC，与直线OB交于点D，过点P作PE⊥OB于点E．若OE＝3，OD＝1，则OC＝ 　 　 ．（直接写出结果）
3．【解答】解：（1）∵，∴a﹣5＝0，b+3＝0，
∴△FPC≌△EPD（ASA），∴CF＝DE＝OE﹣OD＝2，
∵OQ平分∠AOB，∴∠FOP＝∠EOP，∵PO＝PO，∠PFO＝∠PEO＝90°，
∴△PFO≌△PEO（AAS），∴OF＝OE＝3，∴OC＝OF+FC＝5；
当点D在点O左侧时，过点P作PF⊥OA于点F，如图3，
∵PE⊥OB，OQ平分∠AOB，∴PF＝PE，∠PFC＝∠PED＝∠PFO＝90°，
同上可得，∠CPD＝∠FPE＝90°，∴∠FPC＝∠EPD＝90°﹣∠FPD，
∴△FPC≌△EPD（ASA），∴CF＝DE＝OE+OD＝4，
∵OQ平分∠AOB，∴∠FOP＝∠EOP，
∵PO＝PO，∠PFO＝∠PEO＝90°，∴△PFO≌△PEO（AAS），
∴OF＝OE＝3，∴OC＝OF+FC＝7，综上：OC长为5或7，故答案为：5或7．
【点评】本题考查了角平分线的性质与判定定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，掌握全等三角形判定与性质以及角平分线的性质定理是解题的关键．
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