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2025-2026rjb八上数学期末质量评估
[范围：全书 时间：90分钟 分值：100分]
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的）
1. 下列四个图形中，轴对称图形有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
2. 绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用，已知每个光量子的波长约为688纳米，1纳米=0.000000001米，则每个光量子的波长可用科学记数法表示为（ ）米
A. B. C. D.
3. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 若分式的值为零，则x的值是（ ）
A. 5 B. C. D. 0
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列式子从左至右的变形一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（ ）
A 7 B. 12 C. 9 D. 9或12
8. 如图，已知的顶角为，，，现将折叠，使点 B与点A 重合，折痕为，则的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 1.5 D. 1.8
9. 从前，古希腊一位庄园主把一块长为a米，宽为b米的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）
A. 变小了 B. 变大了 C. 没有变化 D. 无法确定
10. 学校要举行校庆活动，现计划在教学楼之间广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛．学生会提出两个方案：
方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为；
方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为；具体数据如图所示．
则下列说法一定正确的是（ ）
A B. C. D.
11. 如图，在中，，，面积是16，垂直平分线分别交边于点、．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
12. 如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的个数是（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. ___________
14. 已知和关于y轴对称，则的值为___．
15. 若是完全平方式，那么a的值是________．
16 一项工程，甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，则两人一起完成这项工程需要____小时．
17. 如图，在ABC中，AH是高，AEBC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若，BH＝1，则BC＝___．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均在格点上，点D是边上任意一点，点E是边上任意一点．若点F在边上，使最小．请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，画出点F．并简要说明点F的位置是如何找到的（不要求证明）__________________．
三、解答题（本大题共6小题，共46 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. （1）分解因式：
（2）分解因式：
（3）分解因式：
（4）先化简，再求值：其中
20. 解分式方程：．
21. 如图，E是等边三角形的边上一点，，，求的度数．
22. 如图，已知．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
23. 某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍.如果由甲、乙两队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙辆队合作共同完成，则该工程施工需要多少天？
24. 在中，，点是射线上一点，点在线段上，连接并延长交于点．
（1）如图1，求证：．
（2）如图2，于点，交于点，求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，当，求的面积．
参考答案：
期末质量评估（一）
[范围：全书 时间：90分钟 分值：100分]
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的）
1. 下列四个图形中，轴对称图形有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，熟知此定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义，逐个图形分析即可判断．
【详解】解：第一个图形是轴对称图形，
第二个图形是轴对称图形，
第三个图形轴对称图形，
第四个图形不是轴对称图形，
综上，轴对称图形有3个．
故选：B．
2. 绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用，已知每个光量子的波长约为688纳米，1纳米=0.000000001米，则每个光量子的波长可用科学记数法表示为（ ）米
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法指的是将一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（，a不为分数形式，n为整数），即可求出答案．
【详解】解：∵1纳米=0.000000001米=米，
∴688纳米=米，其中a=6.88，n=-7，满足科学记数法要求，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示方法，要清楚地知道科学记数法是将一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（，a不为分数形式，n为整数），其中a、n必须要满足上述条件．
3. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据因式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解，进行判断即可．熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
【详解】解：A．不是因式分解，故选项错误，不符合题意；
B．是多项式乘法，不是因式分解，故选项错误，不符合题意；
C．是因式分解，故选项正确，符合题意；
D．不是因式分解，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
4. 若分式的值为零，则x的值是（ ）
A. 5 B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】分式的值为零时的条件：分子为零，分母不等于零，据此列式解答．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了分式值为零，正确理解分式值为零的条件是解题的关键．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式的乘方、负整数指数幂、积的乘方、合并同类项，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据分式的乘方、负整数指数幂、积的乘方、合并同类项的运算法则，逐项分析即可判断．
【详解】解：A、，故此选项计算正确，符合题意；
B、，故此选项计算错误，不符合题意；
C、，故此选项计算错误，不符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
故选：A．
6. 下列式子从左至右的变形一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式的性质可得到A、B、D都不一定正确，而C中k≠0，根据分式的基本性质可判断其正确．
【详解】解：A、（m≠0），所以A选项不正确；
B、若c=0，则，所以B选项不正确；
C、，所以C选项正确；
D、，所以D选项不正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同乘以（或除以）一个不为0的代数式，分式的值不变．
7. 若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（ ）
A. 7 B. 12 C. 9 D. 9或12
【答案】B
【解析】
【分析】先求出a和b的值，再利用三角形的三边关系判断出该等腰三角形的三条边长，它们的和即为周长．
【详解】解：∵，
∴，,
则以a、b为边长的等腰三角形的三边长分别为2，5，5或2，2，5；
由三角形任意两边之和大于第三边，
∴该等腰三角形的三边长分别为2，5，5；
∴周长为2+5+5=12；
故选：B．
【点睛】本题考查了平方和绝对值的非负性、等腰三角形的定义、三角形的三边关系等内容，解决本题的关键是求出a和b的值，能根据三边关系判定三角形的三条边长等，本题较典型，考查了学生对基础知识的理解与运用．
8. 如图，已知的顶角为，，，现将折叠，使点 B与点A 重合，折痕为，则的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 1.5 D. 1.8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理、折叠的性质、直角三角形的性质，熟练掌握30度角所对直角边是斜边的一半是解题的关键．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，由折叠的性质得，，，在和中根据30度角所对直角边是斜边的一半即可求解．
【详解】解：∵的顶角为，，
∴，
由折叠的性质得，，，
∴，
∵在中，，
∴，
∵在中，，
∴．
故选：A．
9. 从前，古希腊一位庄园主把一块长为a米，宽为b米的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）
A. 变小了 B. 变大了 C. 没有变化 D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】原面积可列式为，第二年按照庄园主的想法则面积变为，又，通过计算可知租地面积变小了．
【详解】解：由题意可知：原面积为（平方米），
第二年按照庄园主的想法则面积变为
平方米，
∵，
∴，
∴面积变小了，
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，关键在于学生认真读题结合所学知识完成计算．
10. 学校要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛．学生会提出两个方案：
方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为；
方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为；具体数据如图所示．
则下列说法一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整理式混合运算，正方形和矩形的面积的计算，正确识别图形是解题的关键．
根据正方形和矩形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：A、方案一：如图1，，故此选项不符合题意；
B、方案二：如图2，，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
11. 如图，在中，，，面积是16，的垂直平分线分别交边于点、．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质．连接，，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，当三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接，，
∵，点是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴点关于直线的对称点为点，
∴当三点共线时，即的长为的最小值，
∴的周长最小值，
故选：B．
12. 如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的个数是（　　）
A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】如图1，连接，作于，于，由角平分线的性质定理可得，证明，则，是等边三角形；进而可判断①的正误；由，可知，进而可判断②的正误；由的周长为，可知当时，最短， 的周长最小，进而可判断③的正误；如图2，当时，，则是等边三角形，则与重合，与交于点；进而可判断④的正误．
【详解】解：如图1，连接，作于，于，
∵点D是的平分线上的一个定点，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形；①正确，故符合要求；
∵，
∴，
∵点D是的平分线上的一个定点，
∴四边形的面积是一个定值；②正确，故符合要求；
∵的周长为，
当时，最短，即等边的周长最小，③正确，故符合要求；
如图2，当时，
∴，
∴是等边三角形，
∵是等边三角形，
∴与重合，与交于点；④错误，故不符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，多边形内角和定理，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，平行线的性质等知识．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. ___________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂，熟记任何非零数的零次幂都等于1是解题的关键．
根据零指数幂的法则计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
14. 已知和关于y轴对称，则的值为___．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的点关于轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数，比较简单．根据平面直角坐标系中任意一点，关于轴的对称点的坐标是，据此即可求得与的值，从而代入求解得出答案．
【详解】解：和关于轴对称，
，，
，
．
故答案为：1．
15. 若是完全平方式，那么a的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查完全平方式．根据完全平方式的性质：，可得出答案．
【详解】解：∵是完全平方式．
∴，
解得，
故答案为：．
16. 一项工程，甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，则两人一起完成这项工程需要____小时．
【答案】
【解析】
【分析】该题考查了分式除法的应用，甲单独做一小时可完成工程总量的，乙单独做一小时可完成工程总量的，二人合作一小时可完成工程总量的．工程总量除以二人合作一小时可完成工程量即可得出二人合作完成该工程所需时间．
【详解】解：设该工程总量为1，二人合作完成该工程所需小时．
故答案为：．
17. 如图，在ABC中，AH是高，AEBC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若，BH＝1，则BC＝___．
【答案】2.5
【解析】
【分析】过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，先分别证明，，由此可得，，再结合可得，由此可得，进而即可求得答案．
【详解】解：如图，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，
∵EF⊥AB，AH⊥BC，
∴∠EFA＝∠AHB＝∠AHC＝90°，
∵AEBC，
∴∠EAF＝∠B，
在与中，
∴，
∴，，
在与中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
即，
又∵BH＝1，
∴CH＝1.5，
∴BC＝BH＋CH＝2.5，
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质以及三角形的面积公式，作出正确的辅助线并能灵活运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均在格点上，点D是边上任意一点，点E是边上任意一点．若点F在边上，使最小．请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，画出点F．并简要说明点F的位置是如何找到的（不要求证明）__________________．
【答案】图见解析；构造菱形，连接交于点，连接，延长交于点，连接交于点，连接，点即为所求．
【解析】
【分析】本题考查作图复杂作图，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用轴对称的性质解决问题即可．
【详解】解：如图，点即为所求．
方法：构造菱形，连接交于点，连接，延长交于点，连接交于点，连接，点即为所求．
故答案为：构造菱形，连接交于点，连接，延长交于点，连接交于点，连接，点即为所求．
三、解答题（本大题共6小题，共46 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. （1）分解因式：
（2）分解因式：
（3）分解因式：
（4）先化简，再求值：其中
【答案】（1）；（2）；（3）；（4），2
【解析】
【分析】本题考查了因式分解、分式的化简与求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）利用平方差公式分解因式即可；
（2）利用完全平方公式分解因式即可；
（3）利用提公因式法分解因式即可；
（4）利用分式的运算法则化简式子，再代入到化简后的式子即可求值．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）
；
（4）
，
代入，原式．
20. 解分式方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程，然后解整式方程，最后检验根即可．
【详解】解：
方程两边乘，得
移项，合并同类项，得
系数化为1，得
经检验，是该分式方程的解，
∴该分式方程的解为
21. 如图，E是等边三角形的边上一点，，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】利用“”证明，再推出是等边三角形，即可求解．
【详解】解：∵E为等边的边上一点，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键．
22. 如图，已知．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质
（1）利用即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质推出，根据平角定义及三角形内角和定理求解即可．
【小问1详解】
∵，
∴，
即，
在和中，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∴．
23. 某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍.如果由甲、乙两队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙辆队合作共同完成，则该工程施工需要多少天？
【答案】（1）天
（2）天
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数的混合运算的应用；
（1）设这项工程的规定时间是天，根据题意得：根据题意列出方程，解方程并检验，即可求解．
（2）根据题意用“1”除以两车队工作效率的和，列出算式，即可求解．
【小问1详解】
解：设这项工程的规定时间是天，根据题意得：
.
解得：.
经检验是原分式方程的解.
答：这项工程的规定时间是30天.
【小问2详解】
该工程由甲，乙队合做完成，
所需时间为：（天），
答：工程施工需要天.
24. 在中，，点射线上一点，点在线段上，连接并延长交于点．
（1）如图1，求证：．
（2）如图2，于点，交于点，求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，当，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由等边对等角，三角形内角和定理可得，由，可得，根据，，可得，进而结论得证；
（2）如图2，作于N，证明，则，由，可得，证明，则，，由，可得，则；
（3）如图2，设，由（2）知，，，则，， 证明，则，可求得，，则，根据，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：如图2，作于N，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
【小问3详解】
解：如图3，
设，由（2）知，，，则，，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，平行线的判定与性质．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，平行线的判定与性质是解题的关键．

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