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湖南省邵阳市武冈市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共计30分．每小题只有一个正确答案）
1．（2025八上·武冈期末）在下列各数中是无理数的有（　　）
（相邻两个1之间依次增加1个0）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2025八上·武冈期末）已知，则下列不等式不成立的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八上·武冈期末）使代数式 有意义的x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D． 且
4．（2025八上·武冈期末）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性
5．（2025八上·武冈期末）不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是　　
A． B．
C． D．
6．（2025八上·武冈期末）下列运算结果正确的是（　　）
A．＝﹣9 B．=2 C． D．
7．（2025八上·武冈期末）若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．且
8．（2025八上·武冈期末）随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八上·武冈期末）如果关于x的不等式 的解集为，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八上·武冈期末）如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　）
A． B．3 C．4 D．5
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共计24分）
11．（2025八上·武冈期末）64的平方根是　 　．
12．（2025八上·武冈期末）计算　 　
13．（2025八上·武冈期末）如图，在△ABC中，∠C=50°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于　 　．
14．（2025八上·武冈期末）若关于x、y的方程组的解满足x+y＞0，则m的取值范围是　 　．
15．（2025八上·武冈期末）如图，在中，， 的垂直平分线分别交、于点D、E，则　 　
16．（2025八上·武冈期末）若关于x的分式方程无解，则a的值为　 　．
17．（2025八上·武冈期末）定义运算“※”： ．若 ，则 的值为　 　．
18．（2025八上·武冈期末）如图，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9； ④．其中正确的序号是 　 　
三、解答题（本题共8个小题，共计66分）
19．（2025八上·武冈期末）计算：
（1）
（2）
20．（2025八上·武冈期末）解方程：
（1）
（2）
21．（2025八上·武冈期末）解不等式组：，把解集表示在数轴上，并写出所有非负整数解．
22．（2025八上·武冈期末）先化简 ，再从不等式的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．
23．（2025八上·武冈期末）已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．作CG⊥DE于G，BF⊥DE，交DE的延长线于F．
（1）求证：EF＝EG．
（2）求证：AB＝CD．
24．（2025八上·武冈期末）阅读下列解题过程： ，请解答下列问题：
（1）观察上面解题过程，计算
（2）请直接写出的结果．
（3）利用上面的解法，请化简：
25．（2025八上·武冈期末）明德中学需要购进甲、乙两种笔记本电脑，经调查，每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少0.2万元，且用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同．
（1）求每台甲种电脑、每台乙种电脑的价格分别为多少万元；
（2）学校计划用不超过34万元购进甲、乙两种电脑共80台，其中乙种电脑的数量不少于甲种电脑数量的1.5倍，学校有哪几种购买方案？
26．（2025八上·武冈期末）阅读理解；
（1）如图①，在四边形中，，E是的中点，若是的平分线，试判断之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点F，易证，得到，从而把转化在一个三角形中即可判断．
之间的等量关系为
（2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点F，E 是的中点，若是的平分线，试探究之间的等量关系，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：（相邻两个1之间依次增加1个0）中，无理数有（相邻两个1之间依次增加1个0），共3个；
故选：C．
【分析】本题考查无理数的定义，先化简各数，再进行判断即可．（含相关数、开方开不尽的数、无限不循环小数）.
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、，
，故本选项不符合题意；
B、，
，故本选项不符合题意；
C、，
，故选项不符合题意；
D、，
，
，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可．
3．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得： ，且 ，
解得： 且 ，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数不能为负数” ，根据分式有意义条件“分母不能为0” ，列出不等式组，再解不等式组即可.
4．【答案】D
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是：三角形具有稳定性；
故答案为：D．
【分析】人字梯中间一般会设计一“拉杆”，根据三角形具有稳定性，进行判断即可．
5．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
，
，
．
在数轴上表示如下图所示：
故选C．
【分析】本题考查一元一次不等式的解法及数轴表示不等式的解集．通过移项、合并同类项解不等式，注意系数化为1符号不变；数轴表示时，要有实心点，解集方向根据不等号指向确定.
6．【答案】B
【知识点】算术平方根；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：因为=9，所以A错误，
因为，所以B正确，
因为，所以C错误，
因为，所以D错误，故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质判断A、B；根据二次根式的除法判断C；根据算术平方根判断D即可.
7．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：解，得：，
∵分式方程的解为正实数，
∴且，
∴且，
∴且；
故选C．
【分析】本题考查分式方程解与参数范围，涉及到分式方程的求解以及分式有意义的条件.先去分母化为整式方程，求出含参数的解；再根据解为正实数列不等式，同时保证分母不为0，联立求参数范围.
8．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为：
．
故答案为：D．
【分析】根据乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，利用时间得出等式方程即可．
9．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：∵关于x的不等式 的解集为，
∴，
∴；
故选：B．
【分析】本题考查不等式的基本性质（不等式两边乘、除以同一个负数，不等号方向改变）.观察解集与原不等式的不等号方向变化，判断系数a-1为负数，列不等式求解即可.
10．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接MA、DA，如图，
∵EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5．
故答案为：D．
【点睛】先根据线段的垂直平分线的性质证得MB=MA，再利用轴对称求线段和的最小值，接着利用三角形的面积公式求得AD即可．
11．【答案】±8
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵（±8）2=64，
∴64的平方根是±8．
故答案为：±8．
【分析】直接根据平方根的定义即可求解．
12．【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：；
故答案为：．
【分析】本题考查分式的乘法，分子乘分子，分母乘分母，再约去分子分母的公因式，化简得到最简分式．
13．【答案】230°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠C=50°，
∴∠A+∠B=180°-∠C=130°，
∵∠A+∠B+∠1+∠2=360°，
∴∠1+∠2=360°-130°=230°．
故答案为：230°．
【分析】本题考查三角形内角和与四边形内角和，先由三角形内角和可以计算出∠A+∠B的度数，再利用四边形内角和为360°，用360°减去∠A+∠B，得到∠1+∠2．
14．【答案】m＜3
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数；整体思想
【解析】【解答】解：方程组
①+②得：3x+3y=3-m，
即：，
又∵x+y＞0，
∴＞0，
解得：m＜3.
故答案为：m＜3.
【分析】
观察方程组以及 x+y＞0 把方程组中的方程①与方程②相加，即可得出x+y的表达式，再代入x+y＞0得到关于m的不等式，解不等式即可求解.
15．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：在中，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查等腰三角形（等边对等角）与垂直平分线性质（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）.由等腰性质求出∠B，再由垂直平分线得AE=BE，进而∠BAE=∠B；最后用∠BAC-∠BAE即可.
16．【答案】﹣1或0
【知识点】分式方程的增根；已知分式方程的解求参数；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：去分母得ax+a＝2a+2，
整理得ax＝a+2，
∵ 关于x的分式方程无解，
∴当a＝0时，方程无解，
当a≠0时，x＝，
∴当x＝﹣1时，分式方程无解，
∴=﹣1，
∴a=﹣1．
故答案为：﹣1或0．
【分析】根据“原方程存在增根或原方程约去分母化为整式方程后，整式方程无解“两种情况进行作答即可.
17．【答案】 或10
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】根据题意可得：5※x= ，
即 ，解得： ，
经检验x的值 或10都符合题目要求，
故答案为： 或10.
【分析】分两种情况，求出两个数值，经过检验符合题意的即是x的值。
18．【答案】①②③④
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵等边，
∴，
∵将绕点B逆时针旋转，得到，
∴，，，，
∴是等边三角形；故①正确；
∵，
∴；故②正确；
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∵的周长；故③正确；
∵，
又∵，
∴；故④正确；
故答案为：①②③④．
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质以及平行线的判定；由旋转得BD=BE、∠EBD=60°，证是等边三角形，可判断①正确；由，证，判断②正确；将的周长转化为，代入计算即可判断③正确；利用三角形的外角和角的和差关系推导∠AED=∠ABD，可判断④正确．
19．【答案】（1）解：原式
（2）原式
【知识点】二次根式的加减法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算及二次根式的加减运算.涉及到零指数幂、负整数指数幂、二次根式的化简与合并的知识点.
（1）分别计算零指数幂，负整数指数幂，开方，绝对值，再进行加减运算；
（2）先将二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式．
（1）解：原式．
（2）原式．
20．【答案】（1）解：方程两边同时乘以，得：，
移项合并得：，
检验：当时，
所以原分式方程的解为
（2）解：方程两边同乘以，得，
，
，
，
当时，
原方程无解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】本题考查解分式方程，考查了分式方程的解法（去分母化整式方程）及分式方程的检验（分母不为0）.
（1）去分母时乘最简公分母，解分式方程后检验分母是否为0；
（2）乘最简公分母后求解，检验，若分母为0，则方程无解．
（1）解：方程两边同时乘以，得：，
移项合并得：，
检验：当时，
所以原分式方程的解为．
（2）解：方程两边同乘以，得，
，
，
，
当时，
原方程无解．
21．【答案】解：，由①得，x＞-3，由②得，x≤2，
故不等式组的解集为：-3＜x≤2．
在数轴上表示为：
其非负整数解为：0，1，2
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的解法、解集的公共部分确定、非负数整数解的选取.先分别解每个不等式，用”同大取大、同小取小、大小小大中间找”确定公共解集；再从解集中找出非负整数解.
22．【答案】解：
．
解不等式得：．
正整数解为：1，2，3，
∵，
∴，
∴，
∴当时，原式
【知识点】一元一次不等式的特殊解；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值以及一元一次不等式的特殊解问题.先根据分式混合运算的规则进行化简（注意因式分解），然后解出一元一次不等式的正整数解，同时需要分式有意义，则分母不为3和2，代入符合要求的数值计算即可.
23．【答案】证明：（1）∵CG⊥DE，BF⊥DE，∴∠CGE＝∠BFE＝90°．
在△CGE和△BFE中，
∵∠CGE＝∠BFE，∠CEG＝∠BEF，BE＝CE，
∴△CGE≌△BFE（AAS），
∴EF＝EG．
（2）∵△CGE≌△BFE（AAS），
∴BF＝CG．
在△ABF和△DCG中，
∵∠BAF＝∠CDG，∠BFA＝∠CGD＝90°，BF＝CG，
∴△ABF≌△DCG（AAS），
∴AB＝CD
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定（AAS）与性质.（1）根据已知，结合中点，利用AAS证△CGE≌△BFE，由全等三角形的性质即可得出EF=EG；
（2）由（1）可得BF＝CG，利用AAS证△ABF≌△DCG，得AB=CD．
24．【答案】（1）解：原式
（2）
（3）（3）原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
（2）；
【分析】
本题考查二次根式的分母有理化（平方差公式的应用）：
（1）分子分母同乘，利用平方差公式化简；
（2）利用分母有理化进行求解即可；
（3）利用规律拆分每一项，再抵消化简，最后可得结果为9．
（1）解：原式；
（2）；
（3）原式．
25．【答案】解：（1）设每台甲种电脑的价格为x万元，则每台乙种电脑的价格为（x+0.2）万元，
∵ 用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同 ，
∴ ＝ ，
∴x＝0.3，
经检验，x＝0.3是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+0.2＝0.3+0.2＝0.5．
答：每台甲种电脑的价格为0.3万元、每台乙种电脑的价格为0.5万元．
（2）设购买乙种电脑m台，则购买甲种电脑（80﹣m）台，
∵ 乙种电脑的数量不少于甲种电脑数量的1.5倍， 且不超过34万元购进甲、乙两种电脑，
∴ ，
∴48≤m≤50．
∵m为整数，
∴m可以取48，49，50，
∴学校有三种购买方案，
∴有3种购买方案，
当m=48时，80﹣m=80﹣48=32，
当m=49时，80﹣m=80﹣49=31，
当m=50时，80﹣m=80﹣50=30，
答：方案1：购买甲种电脑32台，乙种电脑48台，
方案2：购买甲种电脑31台，乙种电脑49台，
方案3：购买甲种电脑30台，乙种电脑50台．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设每台甲种电脑的价格为x万元，则每台乙种电脑的价格为（x+0.2）万元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设购买乙种电脑m台，则购买甲种电脑（80﹣m）台，根据题意列出一元一次不等式组求出m的值，再结合m为整数可以写出购买方案.
26．【答案】（1）
（2）．理由如下：如图②，延长交的延长线于点．
∵，
∴，
∵点是的中点，
，
又∵，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：．
理由如下：如图①，∵是的平分线，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∴．
故答案为．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
（1）先根据角平分线的定义和平行线的性质证得，利用AAS证，得，结合角平分线和平行得AD=DF，故AD=AB+DC；
（2）延长交的延长线于点，利用AAS证，得，结合角平分线得，故AB=AF+CF．
（1）解：．
理由如下：如图①，∵是的平分线，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∴．
故答案为．
（2）．
理由如下：如图②，延长交的延长线于点．
∵，
∴，
∵点是的中点，
，
又∵，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
1 / 1湖南省邵阳市武冈市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共计30分．每小题只有一个正确答案）
1．（2025八上·武冈期末）在下列各数中是无理数的有（　　）
（相邻两个1之间依次增加1个0）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：（相邻两个1之间依次增加1个0）中，无理数有（相邻两个1之间依次增加1个0），共3个；
故选：C．
【分析】本题考查无理数的定义，先化简各数，再进行判断即可．（含相关数、开方开不尽的数、无限不循环小数）.
2．（2025八上·武冈期末）已知，则下列不等式不成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、，
，故本选项不符合题意；
B、，
，故本选项不符合题意；
C、，
，故选项不符合题意；
D、，
，
，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可．
3．（2025八上·武冈期末）使代数式 有意义的x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D． 且
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得： ，且 ，
解得： 且 ，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数不能为负数” ，根据分式有意义条件“分母不能为0” ，列出不等式组，再解不等式组即可.
4．（2025八上·武冈期末）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性
【答案】D
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是：三角形具有稳定性；
故答案为：D．
【分析】人字梯中间一般会设计一“拉杆”，根据三角形具有稳定性，进行判断即可．
5．（2025八上·武冈期末）不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
，
，
．
在数轴上表示如下图所示：
故选C．
【分析】本题考查一元一次不等式的解法及数轴表示不等式的解集．通过移项、合并同类项解不等式，注意系数化为1符号不变；数轴表示时，要有实心点，解集方向根据不等号指向确定.
6．（2025八上·武冈期末）下列运算结果正确的是（　　）
A．＝﹣9 B．=2 C． D．
【答案】B
【知识点】算术平方根；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：因为=9，所以A错误，
因为，所以B正确，
因为，所以C错误，
因为，所以D错误，故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质判断A、B；根据二次根式的除法判断C；根据算术平方根判断D即可.
7．（2025八上·武冈期末）若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：解，得：，
∵分式方程的解为正实数，
∴且，
∴且，
∴且；
故选C．
【分析】本题考查分式方程解与参数范围，涉及到分式方程的求解以及分式有意义的条件.先去分母化为整式方程，求出含参数的解；再根据解为正实数列不等式，同时保证分母不为0，联立求参数范围.
8．（2025八上·武冈期末）随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为：
．
故答案为：D．
【分析】根据乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，利用时间得出等式方程即可．
9．（2025八上·武冈期末）如果关于x的不等式 的解集为，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：∵关于x的不等式 的解集为，
∴，
∴；
故选：B．
【分析】本题考查不等式的基本性质（不等式两边乘、除以同一个负数，不等号方向改变）.观察解集与原不等式的不等号方向变化，判断系数a-1为负数，列不等式求解即可.
10．（2025八上·武冈期末）如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接MA、DA，如图，
∵EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5．
故答案为：D．
【点睛】先根据线段的垂直平分线的性质证得MB=MA，再利用轴对称求线段和的最小值，接着利用三角形的面积公式求得AD即可．
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共计24分）
11．（2025八上·武冈期末）64的平方根是　 　．
【答案】±8
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵（±8）2=64，
∴64的平方根是±8．
故答案为：±8．
【分析】直接根据平方根的定义即可求解．
12．（2025八上·武冈期末）计算　 　
【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：；
故答案为：．
【分析】本题考查分式的乘法，分子乘分子，分母乘分母，再约去分子分母的公因式，化简得到最简分式．
13．（2025八上·武冈期末）如图，在△ABC中，∠C=50°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于　 　．
【答案】230°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠C=50°，
∴∠A+∠B=180°-∠C=130°，
∵∠A+∠B+∠1+∠2=360°，
∴∠1+∠2=360°-130°=230°．
故答案为：230°．
【分析】本题考查三角形内角和与四边形内角和，先由三角形内角和可以计算出∠A+∠B的度数，再利用四边形内角和为360°，用360°减去∠A+∠B，得到∠1+∠2．
14．（2025八上·武冈期末）若关于x、y的方程组的解满足x+y＞0，则m的取值范围是　 　．
【答案】m＜3
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数；整体思想
【解析】【解答】解：方程组
①+②得：3x+3y=3-m，
即：，
又∵x+y＞0，
∴＞0，
解得：m＜3.
故答案为：m＜3.
【分析】
观察方程组以及 x+y＞0 把方程组中的方程①与方程②相加，即可得出x+y的表达式，再代入x+y＞0得到关于m的不等式，解不等式即可求解.
15．（2025八上·武冈期末）如图，在中，， 的垂直平分线分别交、于点D、E，则　 　
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：在中，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查等腰三角形（等边对等角）与垂直平分线性质（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）.由等腰性质求出∠B，再由垂直平分线得AE=BE，进而∠BAE=∠B；最后用∠BAC-∠BAE即可.
16．（2025八上·武冈期末）若关于x的分式方程无解，则a的值为　 　．
【答案】﹣1或0
【知识点】分式方程的增根；已知分式方程的解求参数；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：去分母得ax+a＝2a+2，
整理得ax＝a+2，
∵ 关于x的分式方程无解，
∴当a＝0时，方程无解，
当a≠0时，x＝，
∴当x＝﹣1时，分式方程无解，
∴=﹣1，
∴a=﹣1．
故答案为：﹣1或0．
【分析】根据“原方程存在增根或原方程约去分母化为整式方程后，整式方程无解“两种情况进行作答即可.
17．（2025八上·武冈期末）定义运算“※”： ．若 ，则 的值为　 　．
【答案】 或10
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】根据题意可得：5※x= ，
即 ，解得： ，
经检验x的值 或10都符合题目要求，
故答案为： 或10.
【分析】分两种情况，求出两个数值，经过检验符合题意的即是x的值。
18．（2025八上·武冈期末）如图，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9； ④．其中正确的序号是 　 　
【答案】①②③④
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵等边，
∴，
∵将绕点B逆时针旋转，得到，
∴，，，，
∴是等边三角形；故①正确；
∵，
∴；故②正确；
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∵的周长；故③正确；
∵，
又∵，
∴；故④正确；
故答案为：①②③④．
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质以及平行线的判定；由旋转得BD=BE、∠EBD=60°，证是等边三角形，可判断①正确；由，证，判断②正确；将的周长转化为，代入计算即可判断③正确；利用三角形的外角和角的和差关系推导∠AED=∠ABD，可判断④正确．
三、解答题（本题共8个小题，共计66分）
19．（2025八上·武冈期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）原式
【知识点】二次根式的加减法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算及二次根式的加减运算.涉及到零指数幂、负整数指数幂、二次根式的化简与合并的知识点.
（1）分别计算零指数幂，负整数指数幂，开方，绝对值，再进行加减运算；
（2）先将二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式．
（1）解：原式．
（2）原式．
20．（2025八上·武冈期末）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：方程两边同时乘以，得：，
移项合并得：，
检验：当时，
所以原分式方程的解为
（2）解：方程两边同乘以，得，
，
，
，
当时，
原方程无解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】本题考查解分式方程，考查了分式方程的解法（去分母化整式方程）及分式方程的检验（分母不为0）.
（1）去分母时乘最简公分母，解分式方程后检验分母是否为0；
（2）乘最简公分母后求解，检验，若分母为0，则方程无解．
（1）解：方程两边同时乘以，得：，
移项合并得：，
检验：当时，
所以原分式方程的解为．
（2）解：方程两边同乘以，得，
，
，
，
当时，
原方程无解．
21．（2025八上·武冈期末）解不等式组：，把解集表示在数轴上，并写出所有非负整数解．
【答案】解：，由①得，x＞-3，由②得，x≤2，
故不等式组的解集为：-3＜x≤2．
在数轴上表示为：
其非负整数解为：0，1，2
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的解法、解集的公共部分确定、非负数整数解的选取.先分别解每个不等式，用”同大取大、同小取小、大小小大中间找”确定公共解集；再从解集中找出非负整数解.
22．（2025八上·武冈期末）先化简 ，再从不等式的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．
【答案】解：
．
解不等式得：．
正整数解为：1，2，3，
∵，
∴，
∴，
∴当时，原式
【知识点】一元一次不等式的特殊解；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值以及一元一次不等式的特殊解问题.先根据分式混合运算的规则进行化简（注意因式分解），然后解出一元一次不等式的正整数解，同时需要分式有意义，则分母不为3和2，代入符合要求的数值计算即可.
23．（2025八上·武冈期末）已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．作CG⊥DE于G，BF⊥DE，交DE的延长线于F．
（1）求证：EF＝EG．
（2）求证：AB＝CD．
【答案】证明：（1）∵CG⊥DE，BF⊥DE，∴∠CGE＝∠BFE＝90°．
在△CGE和△BFE中，
∵∠CGE＝∠BFE，∠CEG＝∠BEF，BE＝CE，
∴△CGE≌△BFE（AAS），
∴EF＝EG．
（2）∵△CGE≌△BFE（AAS），
∴BF＝CG．
在△ABF和△DCG中，
∵∠BAF＝∠CDG，∠BFA＝∠CGD＝90°，BF＝CG，
∴△ABF≌△DCG（AAS），
∴AB＝CD
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定（AAS）与性质.（1）根据已知，结合中点，利用AAS证△CGE≌△BFE，由全等三角形的性质即可得出EF=EG；
（2）由（1）可得BF＝CG，利用AAS证△ABF≌△DCG，得AB=CD．
24．（2025八上·武冈期末）阅读下列解题过程： ，请解答下列问题：
（1）观察上面解题过程，计算
（2）请直接写出的结果．
（3）利用上面的解法，请化简：
【答案】（1）解：原式
（2）
（3）（3）原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
（2）；
【分析】
本题考查二次根式的分母有理化（平方差公式的应用）：
（1）分子分母同乘，利用平方差公式化简；
（2）利用分母有理化进行求解即可；
（3）利用规律拆分每一项，再抵消化简，最后可得结果为9．
（1）解：原式；
（2）；
（3）原式．
25．（2025八上·武冈期末）明德中学需要购进甲、乙两种笔记本电脑，经调查，每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少0.2万元，且用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同．
（1）求每台甲种电脑、每台乙种电脑的价格分别为多少万元；
（2）学校计划用不超过34万元购进甲、乙两种电脑共80台，其中乙种电脑的数量不少于甲种电脑数量的1.5倍，学校有哪几种购买方案？
【答案】解：（1）设每台甲种电脑的价格为x万元，则每台乙种电脑的价格为（x+0.2）万元，
∵ 用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同 ，
∴ ＝ ，
∴x＝0.3，
经检验，x＝0.3是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+0.2＝0.3+0.2＝0.5．
答：每台甲种电脑的价格为0.3万元、每台乙种电脑的价格为0.5万元．
（2）设购买乙种电脑m台，则购买甲种电脑（80﹣m）台，
∵ 乙种电脑的数量不少于甲种电脑数量的1.5倍， 且不超过34万元购进甲、乙两种电脑，
∴ ，
∴48≤m≤50．
∵m为整数，
∴m可以取48，49，50，
∴学校有三种购买方案，
∴有3种购买方案，
当m=48时，80﹣m=80﹣48=32，
当m=49时，80﹣m=80﹣49=31，
当m=50时，80﹣m=80﹣50=30，
答：方案1：购买甲种电脑32台，乙种电脑48台，
方案2：购买甲种电脑31台，乙种电脑49台，
方案3：购买甲种电脑30台，乙种电脑50台．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设每台甲种电脑的价格为x万元，则每台乙种电脑的价格为（x+0.2）万元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设购买乙种电脑m台，则购买甲种电脑（80﹣m）台，根据题意列出一元一次不等式组求出m的值，再结合m为整数可以写出购买方案.
26．（2025八上·武冈期末）阅读理解；
（1）如图①，在四边形中，，E是的中点，若是的平分线，试判断之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点F，易证，得到，从而把转化在一个三角形中即可判断．
之间的等量关系为
（2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点F，E 是的中点，若是的平分线，试探究之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）
（2）．理由如下：如图②，延长交的延长线于点．
∵，
∴，
∵点是的中点，
，
又∵，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：．
理由如下：如图①，∵是的平分线，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∴．
故答案为．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
（1）先根据角平分线的定义和平行线的性质证得，利用AAS证，得，结合角平分线和平行得AD=DF，故AD=AB+DC；
（2）延长交的延长线于点，利用AAS证，得，结合角平分线得，故AB=AF+CF．
（1）解：．
理由如下：如图①，∵是的平分线，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∴．
故答案为．
（2）．
理由如下：如图②，延长交的延长线于点．
∵，
∴，
∵点是的中点，
，
又∵，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
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