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湖南省长沙市雅礼教育集团联考2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题
一、选择题（本题共10小题，共32分．在每个小题给出的四个选项中，第1-9题只有一个选项是符合题目要求的，每小题3分；第10题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
1．（2025八上·长沙期末）斐波那契日是指每年的11月23日，斐波那契图形是以斐波那契数列中的数字为基础构建的图形，斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，科学家在自然界中发现存在许多斐波那契螺旋线图案，下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、图形是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的概念逐项判断即可得到答案．
2．（2025八上·长沙期末）“墙角数枝梅，凌寒独自开，遥知不是雪，为有暗香来”，某品种的梅花花粉直径为0.000022米，则数据0.000022用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】
本题考查了科学记数法表示较小的数，需要将原数写为（，n整数）的形式，n是数出原数中“第一个非零数字前的0的个数”，故本题．
3．（2025八上·长沙期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】先计算，再判断即可.
4．（2025八上·长沙期末）2024年10月16日是第44个世界粮食日，某校开展了“光盘行动，从我做起”的活动．为了了解学生们在校就餐时的光盘情况，学校从全校4000名学生中随机抽取了200名学生进行调查，其中样本容量是（　　）
A．200名学生 B．4000名学生 C．4000 D．200
【答案】D
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；样本与总体的关系
【解析】【解答】从全校4000名学生中随机抽取了200名学生进行调查，根据样本容量的定义，这里的样本容量就是抽取的学生数量200.
故选：D.
【分析】本题考查统计中总体，个体，样本，样本容量的概念.样本容量是指样本中包含的个体的数目，且没有单位.解题关键在于明确从总体中抽取的用于调查的个体数量就是样本容量，据此对题目进行分析判断.
5．（2025八上·长沙期末）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，故本选项符合题意；
B、=，故本选项不符合题意；
C、=，故本选项不符合题意；
D、=2，故本选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】先化简，再根据二次根式的定义进行判断即可.
6．（2025八上·长沙期末）如图，若这两个三角形全等，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵△ABD≌△EFC，
∴.
故答案为：C．
【分析】根据三角形的内角和求出∠E的度数，再根据全等三角形的性质即可得出答案．
7．（2025八上·长沙期末）如图，平分是上一点，于点H，若，则点P到射线的距离是（　　）
A．5 B．2.5 C．10 D．7.5
【答案】A
【知识点】点到直线的距离；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作于点G，
平分，，，
，
，
，
∴ 点P到射线的距离为5.
故答案为：A．
【分析】过点P作于点G，根据角平分线的性质定理即可解答．
8．（2025八上·长沙期末）若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的性质“”列出不等式，解不等式即可．
9．（2025八上·长沙期末）秋天，枫叶红了，我们不禁想起杜牧的诗“远上寒山石径斜，白云深处有人家．停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花．”这也让我们想起了岳麓山上的“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（　　）
A． B．与的面积相等
C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：A、∵，
∴平分∠BAC，
∴是的角平分线，故本选项不符合题意；
B、设点A到BC的距离为h，
∵与的面积相等，
∴，
∴，
∵AB=AC，
∴是的角平分线，故此选项不符合题意；
C、∵，，
∴平分∠BAC，
∴是的角平分线，故此选项不符合题意；
D、当时，不能确定是的角平分线，故此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质进行判断即可.
10．（2025八上·长沙期末）若关于x的分式方程无解，则m的值不可能为（　　）
A．1 B． C．0 D．4
【答案】C
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
整理得，
由分式方程无解，得到，
即，，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
当，整式方程无解，
解得，
故m的值为1或4或．
故答案为：C．
【分析】根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根；第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解，综合两种情况求解即可．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2025八上·长沙期末）若分式有意义，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得，
故答案为：．
【分析】分式有意义的条件是分母不能为零，据此建立不等式，求解即可.
12．（2025八上·长沙期末）因式分解： =　 　.
【答案】a(a+b)(a-b)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式= a(a+b)(a-b).
故答案为a(a+b)(a-b).
【分析】本题考查的是提公因式法和利用平方差公式分解因式.
13．（2025八上·长沙期末）若是一个完全平方式，则m的值为　 　.
【答案】36
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：是一个完全平方式，
，
，
故答案为：36.
【分析】根据完全平方式的特点可得12=2×1×，求解可得m的值.
14．（2025八上·长沙期末）已知等腰三角形的两边长分别为1和4，则第三边长为　 　．
【答案】4
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：若1为腰长，则该等腰三角形的三边为1、1、4，
又∵ ，不能构成三角形，不合题意，舍去；
若4为腰长，则该等腰三角形的三边为1、4、4，
∵ ，符合题意，
即第三边长为4．
故答案为：4
【分析】分为腰长为1或腰长为4两种情况分析，根据三角形三边的关系进行讨论即可得到答案。
15．（2025八上·长沙期末）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝2，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为　 　．
【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：依据作图可得，MN垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴CD+BD=CD+AD=AC=4，
又∵BC=2，
∴△BCD的周长为4+2=6，
故答案为：6．
【分析】根据尺规作图痕迹得到MN垂直平分AB，由线段垂直平分线的性质得AD=BD，再根据三角形周长公式即可解答.
16．（2025八上·长沙期末）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取最小值时，若，则此时的长为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，作点关于的对称点，过点E'作E'F⊥AB于点F，交CD于点P，连接，
，CE=CE'
，
则PE+PF=PE'+PF=E'F，由垂线段最短可得E'F就是PE+PF的最小值；
是等边三角形，
，
，
∴∠E'FB=90°，
∠E'=90°-∠B=30°，
=14，
，，
，
解得：，
，
故答案为：．
【分析】作E点关于CD的对称点E'，过点E'作E'F⊥AB于点F，交CD于点P，连接PE'，由轴对称的性质得PE=PE'，CE=CE'，则PE+PF=PE'+PF=E'F，由垂线段最短可得E'F就是PE+PF的最小值；由等边三角形的三个内角都为60°得∠B=60°，根据直角三角形两锐角互余得出∠E'=30°，由含30°角直角三角形的性质得出BE'=2BF=14，然后根据线段可得可得BE'=CE+CE'+BE，据此建立方程可求出CE的长最后根据AB=BC=BE+CE可算出答案.
三、解答题（本大题共8小题，第17，18题每小题6分，第19，20题每小题8分，第21，22题每小题9分，第23，24题每小题12分，共70分）
17．（2025八上·长沙期末）计算：
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据负整数指数幂的法则“”、零指数幂的法则“a0=1(a≠0)”、二次根式的性质及绝对值性质分别化简，然后计算加减即可得出答案.
18．（2025八上·长沙期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：，
，
，
，
当时， 原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，再代入x的值，计算即可.
19．（2025八上·长沙期末）如图，在平面直角坐标系中，．
（1）在图中作出关于y轴的对称图形；并写出的坐标．
（2）若在x轴上存在点P，使得的面积为6，请求出P点的坐标．
【答案】（1）解：如图即为所求，可得到；
（2）解：
∴，
∴ 点P的横坐标为-3+3=0 或-3-3=-6，
或
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质，找到A、B、C三点关于y轴对称点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1，即可得到△A1B1C1，然后根据 A1、B1、C1 在坐标系中的位置写出其坐标即可；
（2）根据三角形面积公式结合△ABP得面积建立方程，求解得出BP的长，然后根据两点间的距离公式即可求出，即可得到点P的坐标．
（1）解：如图即为所求，可得到；
（2）∴，
或
20．（2025八上·长沙期末）如图，是的高，E是上一点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求线段和的长．
【答案】（1）证明：是的高，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
，
又∵AD=4，
，
∴BC=7，
∴CD=BC-BD=BC-AD=7-4=3，．
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由高线的定义得，进而根据“HL”证明；
（2）由全等三角形的对应边相等得，根据三角形面积公式结合三角形面积建立方程，求出BC，进而根据线段和差可算出CD与AE.
（1）证明：是的高，
，
在和中，
，
；
（2），
，
，
，
∵，
，
，．
21．（2025八上·长沙期末）为庆祝我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在北京时间年月日举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，市面上推出一款以蛇年为主题的窗花．某喜庆店第一次用元购进这款窗花，很快售完，又花元第二次购进这款窗花．已知每个窗花第二次购进的单价比第一次便宜元，且第二次购进的数量是第一次的倍．
（1）求该店两次购进这款窗花各多少个？
（2）第二次购进这款窗花后仍按第一次的售价出售，若要便两次进的窗花销售完后的总利润不低于元，则每个窗花的售价至少为多少元？
【答案】（1）解：设第一次购买窗花的单价为元，则第二次购买窗花的单价为元，
∵某喜庆店第一次用元购进这款窗花，很快售完，又花元第二次购进这款窗花，第二次购进的数量是第一次的倍，
∴，
解得：，
经检验，是方程的解，
∴第一次购进窗花是数量为：个，第一次购进窗花是数量为：个，
答：第一次购进窗花个，则第二次购进窗花个．
（2）解：由（1）得，第一次购买窗花的单价为元，则第二次购买窗花的单价为元，
设每个窗花的售价为元，
∵两次进的窗花销售完后的总利润不低于元，
∴，
∴，
答：每个窗花的售价至少为元．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设第一次购买窗花的单价为元，则第二次购买窗花的单价为元，根据总价除以单价等于数量及“第二次用1200元购进窗花的数量是第一次用800元购进窗花的数量的2倍”列出方程，求解并检验得出x的值，进而即可求出两次购进窗花的数量；
（2）根据利润等于售价减去单价，根据单个窗花的利润乘以数量等于总利润结合“ 两次进的窗花销售完后的总利润不低于3400元 ”，列出一元一次不等式，求出最小整数解即可.
（1）解：设第一次购买窗花的单价为元，则第二次购买窗花的单价为元，
∵某喜庆店第一次用元购进这款窗花，很快售完，又花元第二次购进这款窗花，第二次购进的数量是第一次的倍，
∴，
解得：，
经检验，是方程的解，
∴第一次购进窗花是数量为：个，第一次购进窗花是数量为：个，
答：第一次购进窗花个，则第二次购进窗花个．
（2）解：由（1）得，第一次购买窗花的单价为元，则第二次购买窗花的单价为元，
设每个窗花的售价为元，
∵两次进的窗花销售完后的总利润不低于元，
∴，
∴，
答：每个窗花的售价至少为元．
22．（2025八上·长沙期末）解答题：
（1）已知，求的值；
（2）如图，以的直角边为边分别作正方形和正方形．若的面积为4，正方形和正方形的面积和为36，求的长度．
【答案】（1）解：，
；
（2）解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b，
由题意得：，
∴，
，
即：．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式将式子(a-b)2展开，再将a2+b2与ab的值整体代入，按含加减乘除混合运算的运算顺序计算即可；
（2）设正方形BCFG的边长为a，正方形ABDE的边长为b，根据正方形面积公式及直角三角形面积公式求出a2+b2及ab的值，再整体代入(a-b)2的展开式中，即可求得AG的长.
（1）解：，
．
（2）解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b
由题意得：，
∴，
，
即：．
23．（2025八上·长沙期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点且．交y轴于点D，过点C作轴于点E．
（1）若a，b满足，求a，b的值及点C的坐标；
（2）若点D为线段的中点，求证：；
（3）若平分，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵轴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：同（1）可证△ABO≌△CAE（AAS），
∴CE=AO；
∵CE⊥x轴，
∴∠CEA=∠DOA=90°，
∴OD∥CE，
∵D为线段AC的中点
∴点O为线段AE的中点，
∴AE=2AO
∴AE=2CE；
（3）解：2OE-OD=6，理由如下：如图，设BC交AE于点F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABO=∠FBO，
又∵BO=BO，∠AOB=∠FOB，
∴△ABO≌△FBO（ASA），
∴AO=FO，AF=2OF；
同（1）可证△ABO≌△CAE（AAS），
∴CE=AO，AE=OB=6，
∵CE⊥x轴，
∴∠CEA=∠DOA=90°，
∴OD∥CE，
∴∠ECF=∠FBO=∠ABO，
∵∠ABO=∠EAC，
∴∠OAD=∠ECF，
又CE=AO，∠CEF=∠AOD=90°，
∴△CEF≌△AOD（ASA），
∴OD=EF，
∴2OE-OD=2OF+2EF-OD=AF+EF+EF-OD=AE=6，
∴2OE-OD=6.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；算术平方根的性质（双重非负性）；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据偶数次幂及算术平方根的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零可求出a、b的值，从而得到线段OA、OB的长，由直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等推出∠ABO=∠CAE，从而利用“AAS”判断出△ABO≌△CAE，由全等三角形的对应边相等得出CE=OA=3，AE=OB=4，然后根据OE=AE-OA算出EO的长，即得点C的坐标；
（2） 同（1）可证△ABO≌△CAE（AAS）， 由全等三角形的对应边相等得CE=AO； 由同位角相等，两直线平行得OD∥CE，由三角形中位线定理可得AE=2OA，从而可得结论；
（3） 2OE-OD=6 ，理由如下：设BC交AE于点F，首先由“ASA”证△ABO≌△FBO，由全等三角形的对应边相等得AO=FO，即AF=2OF；同（1）可证△ABO≌△CAE，由全等三角形的对应边相等得CE=AO，AE=OB=6； 由同位角相等，两直线平行得OD∥CE， 由平行线性质及角平分线的定义得出∠ECF=∠FBO=∠ABO，结合∠ABO=∠EAC，推出∠OAD=∠ECF，从而用“ASA”证△CEF≌△AOD，由全等三角形的对应边相等得OD=EF，然后根据线段和差可推出结论.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵轴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：过点C作轴，交y轴于点M ，
．
为线段的中点
，
又，
，
，
，
．
（3）解：延长，交于点N．
平分，
．
轴，
．
∵，
，
．
．
，
．
．
．
24．（2025八上·长沙期末）我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值，都有（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”，m为“差值”例如：，因为，所以A，B互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题．
（1）判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”．
①与（　　） ②与（　　） ③与（　　）
（2）已知关于x的整式，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值；
（3）已知关于x的整式，若S，T互为“差值代数式”，且满足．
①求b，c，d的值；
②求代数式的最小值．
【答案】（1）①√ ②× ③√
（2）解：由题可知，
∴或，
∴或，
综上所述或；
（3）解：①，，
，
，
，
∴S=x2+7x+11，
互为“差整值代数式”，
；
②，
，
，
的最小值为．
【知识点】整式的混合运算；分式的乘除法；二次根式的加减法；直接开平方法解一元二次方程；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴①与互为“差值代数式”，
∵，
∴②与不互为“差值代数式”，
∵，
∴③与互为“差值代数式”，
故答案为：①√ ， ②× ， ③√；
【分析】（1）根据整式混合运算顺序求出每一组两个代数式的差，然后根据互为“差值代数式”定义判断即可；
（2） 根据整式混合运算顺序求出|M-N|的值，由互为“差值代数式”定义及“差值”为4得出或，进而根据直接开平方法求解即可；
（3）①恒等变形得出，然后互为“差值代数式”定义即可得解；
②先将代数式变形成，然后通过配方利用非负数的性质得出，最后代入即可得解．
（1）∵，
∴①与互为“差值代数式”，
∵，
∴②与不互为“差值代数式”，
∵，
∴③与互为“差值代数式”，
故答案为：①√ ②× ③√；
（2）由题可知，
∴或，
∴或，
综上所述或；
（3）①，
，
，
，
，
互为“差整值代数式”，
，
②，
，
，
的最小值为．
1 / 1湖南省长沙市雅礼教育集团联考2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题
一、选择题（本题共10小题，共32分．在每个小题给出的四个选项中，第1-9题只有一个选项是符合题目要求的，每小题3分；第10题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
1．（2025八上·长沙期末）斐波那契日是指每年的11月23日，斐波那契图形是以斐波那契数列中的数字为基础构建的图形，斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，科学家在自然界中发现存在许多斐波那契螺旋线图案，下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·长沙期末）“墙角数枝梅，凌寒独自开，遥知不是雪，为有暗香来”，某品种的梅花花粉直径为0.000022米，则数据0.000022用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八上·长沙期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八上·长沙期末）2024年10月16日是第44个世界粮食日，某校开展了“光盘行动，从我做起”的活动．为了了解学生们在校就餐时的光盘情况，学校从全校4000名学生中随机抽取了200名学生进行调查，其中样本容量是（　　）
A．200名学生 B．4000名学生 C．4000 D．200
5．（2025八上·长沙期末）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八上·长沙期末）如图，若这两个三角形全等，则的值是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八上·长沙期末）如图，平分是上一点，于点H，若，则点P到射线的距离是（　　）
A．5 B．2.5 C．10 D．7.5
8．（2025八上·长沙期末）若，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八上·长沙期末）秋天，枫叶红了，我们不禁想起杜牧的诗“远上寒山石径斜，白云深处有人家．停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花．”这也让我们想起了岳麓山上的“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（　　）
A． B．与的面积相等
C． D．
10．（2025八上·长沙期末）若关于x的分式方程无解，则m的值不可能为（　　）
A．1 B． C．0 D．4
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2025八上·长沙期末）若分式有意义，则a的取值范围是　 　．
12．（2025八上·长沙期末）因式分解： =　 　.
13．（2025八上·长沙期末）若是一个完全平方式，则m的值为　 　.
14．（2025八上·长沙期末）已知等腰三角形的两边长分别为1和4，则第三边长为　 　．
15．（2025八上·长沙期末）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝2，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为　 　．
16．（2025八上·长沙期末）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取最小值时，若，则此时的长为　 　．
三、解答题（本大题共8小题，第17，18题每小题6分，第19，20题每小题8分，第21，22题每小题9分，第23，24题每小题12分，共70分）
17．（2025八上·长沙期末）计算：
18．（2025八上·长沙期末）先化简，再求值：，其中．
19．（2025八上·长沙期末）如图，在平面直角坐标系中，．
（1）在图中作出关于y轴的对称图形；并写出的坐标．
（2）若在x轴上存在点P，使得的面积为6，请求出P点的坐标．
20．（2025八上·长沙期末）如图，是的高，E是上一点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求线段和的长．
21．（2025八上·长沙期末）为庆祝我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在北京时间年月日举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，市面上推出一款以蛇年为主题的窗花．某喜庆店第一次用元购进这款窗花，很快售完，又花元第二次购进这款窗花．已知每个窗花第二次购进的单价比第一次便宜元，且第二次购进的数量是第一次的倍．
（1）求该店两次购进这款窗花各多少个？
（2）第二次购进这款窗花后仍按第一次的售价出售，若要便两次进的窗花销售完后的总利润不低于元，则每个窗花的售价至少为多少元？
22．（2025八上·长沙期末）解答题：
（1）已知，求的值；
（2）如图，以的直角边为边分别作正方形和正方形．若的面积为4，正方形和正方形的面积和为36，求的长度．
23．（2025八上·长沙期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点且．交y轴于点D，过点C作轴于点E．
（1）若a，b满足，求a，b的值及点C的坐标；
（2）若点D为线段的中点，求证：；
（3）若平分，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
24．（2025八上·长沙期末）我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值，都有（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”，m为“差值”例如：，因为，所以A，B互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题．
（1）判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”．
①与（　　） ②与（　　） ③与（　　）
（2）已知关于x的整式，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值；
（3）已知关于x的整式，若S，T互为“差值代数式”，且满足．
①求b，c，d的值；
②求代数式的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、图形是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的概念逐项判断即可得到答案．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】
本题考查了科学记数法表示较小的数，需要将原数写为（，n整数）的形式，n是数出原数中“第一个非零数字前的0的个数”，故本题．
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】先计算，再判断即可.
4．【答案】D
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；样本与总体的关系
【解析】【解答】从全校4000名学生中随机抽取了200名学生进行调查，根据样本容量的定义，这里的样本容量就是抽取的学生数量200.
故选：D.
【分析】本题考查统计中总体，个体，样本，样本容量的概念.样本容量是指样本中包含的个体的数目，且没有单位.解题关键在于明确从总体中抽取的用于调查的个体数量就是样本容量，据此对题目进行分析判断.
5．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，故本选项符合题意；
B、=，故本选项不符合题意；
C、=，故本选项不符合题意；
D、=2，故本选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】先化简，再根据二次根式的定义进行判断即可.
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵△ABD≌△EFC，
∴.
故答案为：C．
【分析】根据三角形的内角和求出∠E的度数，再根据全等三角形的性质即可得出答案．
7．【答案】A
【知识点】点到直线的距离；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作于点G，
平分，，，
，
，
，
∴ 点P到射线的距离为5.
故答案为：A．
【分析】过点P作于点G，根据角平分线的性质定理即可解答．
8．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的性质“”列出不等式，解不等式即可．
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：A、∵，
∴平分∠BAC，
∴是的角平分线，故本选项不符合题意；
B、设点A到BC的距离为h，
∵与的面积相等，
∴，
∴，
∵AB=AC，
∴是的角平分线，故此选项不符合题意；
C、∵，，
∴平分∠BAC，
∴是的角平分线，故此选项不符合题意；
D、当时，不能确定是的角平分线，故此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质进行判断即可.
10．【答案】C
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
整理得，
由分式方程无解，得到，
即，，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
当，整式方程无解，
解得，
故m的值为1或4或．
故答案为：C．
【分析】根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根；第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解，综合两种情况求解即可．
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得，
故答案为：．
【分析】分式有意义的条件是分母不能为零，据此建立不等式，求解即可.
12．【答案】a(a+b)(a-b)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式= a(a+b)(a-b).
故答案为a(a+b)(a-b).
【分析】本题考查的是提公因式法和利用平方差公式分解因式.
13．【答案】36
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：是一个完全平方式，
，
，
故答案为：36.
【分析】根据完全平方式的特点可得12=2×1×，求解可得m的值.
14．【答案】4
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：若1为腰长，则该等腰三角形的三边为1、1、4，
又∵ ，不能构成三角形，不合题意，舍去；
若4为腰长，则该等腰三角形的三边为1、4、4，
∵ ，符合题意，
即第三边长为4．
故答案为：4
【分析】分为腰长为1或腰长为4两种情况分析，根据三角形三边的关系进行讨论即可得到答案。
15．【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：依据作图可得，MN垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴CD+BD=CD+AD=AC=4，
又∵BC=2，
∴△BCD的周长为4+2=6，
故答案为：6．
【分析】根据尺规作图痕迹得到MN垂直平分AB，由线段垂直平分线的性质得AD=BD，再根据三角形周长公式即可解答.
16．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，作点关于的对称点，过点E'作E'F⊥AB于点F，交CD于点P，连接，
，CE=CE'
，
则PE+PF=PE'+PF=E'F，由垂线段最短可得E'F就是PE+PF的最小值；
是等边三角形，
，
，
∴∠E'FB=90°，
∠E'=90°-∠B=30°，
=14，
，，
，
解得：，
，
故答案为：．
【分析】作E点关于CD的对称点E'，过点E'作E'F⊥AB于点F，交CD于点P，连接PE'，由轴对称的性质得PE=PE'，CE=CE'，则PE+PF=PE'+PF=E'F，由垂线段最短可得E'F就是PE+PF的最小值；由等边三角形的三个内角都为60°得∠B=60°，根据直角三角形两锐角互余得出∠E'=30°，由含30°角直角三角形的性质得出BE'=2BF=14，然后根据线段可得可得BE'=CE+CE'+BE，据此建立方程可求出CE的长最后根据AB=BC=BE+CE可算出答案.
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据负整数指数幂的法则“”、零指数幂的法则“a0=1(a≠0)”、二次根式的性质及绝对值性质分别化简，然后计算加减即可得出答案.
18．【答案】解：，
，
，
，
当时， 原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，再代入x的值，计算即可.
19．【答案】（1）解：如图即为所求，可得到；
（2）解：
∴，
∴ 点P的横坐标为-3+3=0 或-3-3=-6，
或
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质，找到A、B、C三点关于y轴对称点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1，即可得到△A1B1C1，然后根据 A1、B1、C1 在坐标系中的位置写出其坐标即可；
（2）根据三角形面积公式结合△ABP得面积建立方程，求解得出BP的长，然后根据两点间的距离公式即可求出，即可得到点P的坐标．
（1）解：如图即为所求，可得到；
（2）∴，
或
20．【答案】（1）证明：是的高，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
，
又∵AD=4，
，
∴BC=7，
∴CD=BC-BD=BC-AD=7-4=3，．
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由高线的定义得，进而根据“HL”证明；
（2）由全等三角形的对应边相等得，根据三角形面积公式结合三角形面积建立方程，求出BC，进而根据线段和差可算出CD与AE.
（1）证明：是的高，
，
在和中，
，
；
（2），
，
，
，
∵，
，
，．
21．【答案】（1）解：设第一次购买窗花的单价为元，则第二次购买窗花的单价为元，
∵某喜庆店第一次用元购进这款窗花，很快售完，又花元第二次购进这款窗花，第二次购进的数量是第一次的倍，
∴，
解得：，
经检验，是方程的解，
∴第一次购进窗花是数量为：个，第一次购进窗花是数量为：个，
答：第一次购进窗花个，则第二次购进窗花个．
（2）解：由（1）得，第一次购买窗花的单价为元，则第二次购买窗花的单价为元，
设每个窗花的售价为元，
∵两次进的窗花销售完后的总利润不低于元，
∴，
∴，
答：每个窗花的售价至少为元．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设第一次购买窗花的单价为元，则第二次购买窗花的单价为元，根据总价除以单价等于数量及“第二次用1200元购进窗花的数量是第一次用800元购进窗花的数量的2倍”列出方程，求解并检验得出x的值，进而即可求出两次购进窗花的数量；
（2）根据利润等于售价减去单价，根据单个窗花的利润乘以数量等于总利润结合“ 两次进的窗花销售完后的总利润不低于3400元 ”，列出一元一次不等式，求出最小整数解即可.
（1）解：设第一次购买窗花的单价为元，则第二次购买窗花的单价为元，
∵某喜庆店第一次用元购进这款窗花，很快售完，又花元第二次购进这款窗花，第二次购进的数量是第一次的倍，
∴，
解得：，
经检验，是方程的解，
∴第一次购进窗花是数量为：个，第一次购进窗花是数量为：个，
答：第一次购进窗花个，则第二次购进窗花个．
（2）解：由（1）得，第一次购买窗花的单价为元，则第二次购买窗花的单价为元，
设每个窗花的售价为元，
∵两次进的窗花销售完后的总利润不低于元，
∴，
∴，
答：每个窗花的售价至少为元．
22．【答案】（1）解：，
；
（2）解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b，
由题意得：，
∴，
，
即：．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式将式子(a-b)2展开，再将a2+b2与ab的值整体代入，按含加减乘除混合运算的运算顺序计算即可；
（2）设正方形BCFG的边长为a，正方形ABDE的边长为b，根据正方形面积公式及直角三角形面积公式求出a2+b2及ab的值，再整体代入(a-b)2的展开式中，即可求得AG的长.
（1）解：，
．
（2）解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b
由题意得：，
∴，
，
即：．
23．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵轴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：同（1）可证△ABO≌△CAE（AAS），
∴CE=AO；
∵CE⊥x轴，
∴∠CEA=∠DOA=90°，
∴OD∥CE，
∵D为线段AC的中点
∴点O为线段AE的中点，
∴AE=2AO
∴AE=2CE；
（3）解：2OE-OD=6，理由如下：如图，设BC交AE于点F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABO=∠FBO，
又∵BO=BO，∠AOB=∠FOB，
∴△ABO≌△FBO（ASA），
∴AO=FO，AF=2OF；
同（1）可证△ABO≌△CAE（AAS），
∴CE=AO，AE=OB=6，
∵CE⊥x轴，
∴∠CEA=∠DOA=90°，
∴OD∥CE，
∴∠ECF=∠FBO=∠ABO，
∵∠ABO=∠EAC，
∴∠OAD=∠ECF，
又CE=AO，∠CEF=∠AOD=90°，
∴△CEF≌△AOD（ASA），
∴OD=EF，
∴2OE-OD=2OF+2EF-OD=AF+EF+EF-OD=AE=6，
∴2OE-OD=6.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；算术平方根的性质（双重非负性）；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据偶数次幂及算术平方根的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零可求出a、b的值，从而得到线段OA、OB的长，由直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等推出∠ABO=∠CAE，从而利用“AAS”判断出△ABO≌△CAE，由全等三角形的对应边相等得出CE=OA=3，AE=OB=4，然后根据OE=AE-OA算出EO的长，即得点C的坐标；
（2） 同（1）可证△ABO≌△CAE（AAS）， 由全等三角形的对应边相等得CE=AO； 由同位角相等，两直线平行得OD∥CE，由三角形中位线定理可得AE=2OA，从而可得结论；
（3） 2OE-OD=6 ，理由如下：设BC交AE于点F，首先由“ASA”证△ABO≌△FBO，由全等三角形的对应边相等得AO=FO，即AF=2OF；同（1）可证△ABO≌△CAE，由全等三角形的对应边相等得CE=AO，AE=OB=6； 由同位角相等，两直线平行得OD∥CE， 由平行线性质及角平分线的定义得出∠ECF=∠FBO=∠ABO，结合∠ABO=∠EAC，推出∠OAD=∠ECF，从而用“ASA”证△CEF≌△AOD，由全等三角形的对应边相等得OD=EF，然后根据线段和差可推出结论.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵轴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：过点C作轴，交y轴于点M ，
．
为线段的中点
，
又，
，
，
，
．
（3）解：延长，交于点N．
平分，
．
轴，
．
∵，
，
．
．
，
．
．
．
24．【答案】（1）①√ ②× ③√
（2）解：由题可知，
∴或，
∴或，
综上所述或；
（3）解：①，，
，
，
，
∴S=x2+7x+11，
互为“差整值代数式”，
；
②，
，
，
的最小值为．
【知识点】整式的混合运算；分式的乘除法；二次根式的加减法；直接开平方法解一元二次方程；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴①与互为“差值代数式”，
∵，
∴②与不互为“差值代数式”，
∵，
∴③与互为“差值代数式”，
故答案为：①√ ， ②× ， ③√；
【分析】（1）根据整式混合运算顺序求出每一组两个代数式的差，然后根据互为“差值代数式”定义判断即可；
（2） 根据整式混合运算顺序求出|M-N|的值，由互为“差值代数式”定义及“差值”为4得出或，进而根据直接开平方法求解即可；
（3）①恒等变形得出，然后互为“差值代数式”定义即可得解；
②先将代数式变形成，然后通过配方利用非负数的性质得出，最后代入即可得解．
（1）∵，
∴①与互为“差值代数式”，
∵，
∴②与不互为“差值代数式”，
∵，
∴③与互为“差值代数式”，
故答案为：①√ ②× ③√；
（2）由题可知，
∴或，
∴或，
综上所述或；
（3）①，
，
，
，
，
互为“差整值代数式”，
，
②，
，
，
的最小值为．
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