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湖南省常德市石门县2024－2025学年九年级上学期期末教学质量抽检数学试卷
一、选择题（共10个小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共30分）
1．（2025九上·石门期末）下列实数中是无理数的是（　　）
A． B． C．2 D．
2．（2025九上·石门期末）锐角α满足，且，则α的取值范围为（　　）
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°
C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
3．（2025九上·石门期末）中国共产主义青年团是中国青年的先锋队，是中国共产党的忠实助手和可靠后备军．截至2023年12月底，全国共有共青团员7416.7万名．数据“7416.7万”用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025九上·石门期末）关于反比例函数，下列说法不正确的是（　　）
A．函数图象经过点
B．函数图象关于原点成中心对称
C．函数图象分别位于第一、三象限
D．当时，随的增大而增大
5．（2025九上·石门期末）下列函数表达式中，一定是二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·石门期末）下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九上·石门期末）一组数据3、4、4、5，若添加一个数4后得到一组新数据，则前后两组数据的统计量会发生变化的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
8．（2025九上·石门期末）二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025九上·石门期末）二次函数的图象如图所示，其对称轴为，与x轴的其中一个交点在与之间，以下结论：①；②；③；④（m为实数）；⑤，其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2025九上·石门期末）如图，在菱形和菱形中，点A、B、E在同一直线上，P是线段的中点，连接．若，则＝（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2025九上·石门期末）的平方根是 　 　．
12．（2025九上·石门期末）在中，，，，则　 　
13．（2025九上·石门期末）关于x的方程有一个根是，则m的值为　 　．
14．（2025九上·石门期末）中考某班40 位同学的年龄如下表所示：
年龄(岁) 13 14 15 16
人数 3 16 19 2
则该班40名同学年龄的众数是　 　，平均数是　 　．
15．（2025九上·石门期末） 某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，该商品两次降价的百分率相同，若设平均每次降价的百分率为，则可列方程为　 　．
16．（2025九上·石门期末）如果一抛物线的对称轴为x＝1，且经过点A（3，3），那么点A关于对称轴的对称点B的坐标为　 　．
17．（2025九上·石门期末）如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP的面积为8，则这个反比例函数的解析式为　 　 ．
18．（2025九上·石门期末）如图，已知边长为12的正方形，是边上一动点（与、不重合），连接，是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若，则的最大面积为　 　．
三、解答题（共8小题，共66分）
19．（2025九上·石门期末）用适当的方法解下列一元二次方程：．
20．（2025九上·石门期末）计算．
21．（2025九上·石门期末）如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长．
22．（2025九上·石门期末）为了提升居民的居住环境和品质，许多小区采用高层、小高层结合的模式建造．如图，某小区有前后两栋楼分别是高层和小高层，两栋楼的楼间距为40米，当小明站在高层楼顶点A处时，测得对面小高层楼顶C点的俯角为，测得对面小高层楼底D点的俯角为，已知小高层层高为3米．（参考数据：，，，结果精确到1米）
（1）求该小区高层的高度；
（2）求该小区小高层有多少层？
23．（2025九上·石门期末）某景区在今年的“国庆”假期间，接待游客达万人次，预计后年的“国庆”假期接待游客万人次，该景区一家特色小面店希望在“国庆”假期间卖面获得好的收益，经测算知，该面成本价为每碗元，若每碗卖元，平均每天将销售碗，若价格每提高元，则平均每天少销售碗，每天店内所需其他各种费用为元．
（1）求预计该景区明、后两年“国庆”假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护景区形象，物价局规定每碗面售价不得超过元，当每碗面提高多少元时，店家才能实现每天净利润元？（净利润＝总收入总成本其它各种费用）
24．（2025九上·石门期末）中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图
类型 人数 百分比
纯电 m
混动 n
氢燃料 3
油车 5
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查活动随机抽取了　 　人；表中　 　，　 　；
（2）请补全条形统计图；
（3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；
（4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？
25．（2025九上·石门期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
26．（2025九上·石门期末）如图1，在中，，，，点，分别是边，的中点，连接将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．
（1）问题发现：①当时______；
②当时，______．
（2）拓展探究：试判断当时，的大小有无变化？以下是就图2的情形给出的证明过程，请你补全：
∵，
③ ．
又∵旋转，
∴，
．
（3）用以上结论解决问题：当绕点逆时针旋转至，，三点在同一条直线上时，请在备用图中画出图形，并写出求线段的长 ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】零指数幂；无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A.是无理数，符合题意；B.∵，
∴是有理数，不是无理数，不符合题意；
C.2是有理数，不是无理数，不符合题意；
D.是有理数，不是无理数，不符合题意.
故答案为：A．
【分析】先计算，再根据无理数的定义逐项判断即可．
2．【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值；根据三角函数值（范围）判断锐角的大小
【解析】【解答】解：∵，且，
∴45°﹤α﹤90°
∵，且
∴0°＜α＜60°
∴45°＜α＜60°．
故答案为：B．
【分析】根据特殊角的三角函数值和正弦函数随锐角的增大而增大、正切函数随锐角的增大而增大即可解答．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：7416.7万，
故选：C．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．【答案】C
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A.∵，∴函数图象经过点，故本选项不符合题意；
B.反比例函数的图象关于原点成中心对称，故本选项不符合题意；
C.∵，
∴反比例函数图象分别位于第二、四象限，故本选项符合题意；
D.∵，
∴反比例函数图象分别位于第二、四象限，
∴当时，随的增大而增大，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据反比例函数的性质，逐一判断即可得出答案．
5．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：是一次函数，故A选项错误；
，当时，不是二次函数，故B选项错误；
是二次函数，故C选项正确；
，分母中含有自变量，不是二次函数，故D选项错误．
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的定义，对四个选项逐一判断即可．
6．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
∴，
∴x1=x2=1，
∴有两个相等实数根，故本选项符合题意；
B、∵，
∴，
∴，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴，
∵-1<0，
∴此方程无实根，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴，故本选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】分别解每个方程，再判断方程根的情况，即可得到答案．
7．【答案】D
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：原数据3，4，4，5的平均数为
，中位数为4，众数为4，方差为
，
新数据3，4，4，4，5的平均数为
，中位数为4，众数为4，方差为
，
综合可得：平均数、中位数、众数均未发生变化，方差发生变化，
故答案为：D.
【分析】根据平均数、方差的计算方法求出平均数、方差，将所有数据按由小到大的顺序进行排列，找出最中间的数据即为中位数，找出出现次数最多的数据即为众数，据此解答.
8．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：抛物线的开口向上，与轴的交点位于轴的正半轴，
，，
抛物线的对称轴位于轴的右侧，
，
，
，
由可知，反比例函数的图象位于第二、四象限，
由可知，正比例函数的图象经过原点，且经过第一、三象限，
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的图象判断出系数，，的符号，再根据反比例函数的图象、正比例函数的图象特点即可解答.
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：对称轴为，与轴的其中一个交点在与之间，
与轴的另一个交点在与之间，
由图示得：，，，
，
，，故①②正确；
当时，，故③错误；
当时，有最小值，
，
，故④正确的；
当时，，
，
，故⑤正确；
故答案为：D．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可.
10．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长交于点H，
∵P是线段的中点，
∴，
由题意可知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：B．
【分析】延长交于点H，先根据角角边证明，再根据全等的性质及菱形的性质得，由三线合一可知，进一步可得，即可解答．
11．【答案】±2
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解： 的平方根是±2．
故答案为：±2
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
12．【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值
【解析】【解答】解：∵，
∴AB2=AC2+BC2，
∵，
，
.
故答案为：．
【分析】根据勾股定理求出的长度，再根据正弦定义进行计算即可得出答案．
13．【答案】10
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵ 的方程有一个根是，
∴，
∴．
故答案为：10．
【分析】把代入方程中，即可得出答案．
14．【答案】15；
【知识点】加权平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：平均数=，
∵这组数据中出现的次数最多是15，
∴该班同学年龄的众数是15.
故答案为：15；．
【分析】根据众数和平均数的定义进行作答即可.
15．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵平均每次降价的百分率为
∴第一次降价后的单价=原价×（1-x）
∴第二次降价后的单价=原价×（1-x）×（1-x）
∴可得
故答案为：.
【分析】根据降价后的售价=降价前的售价×（1-x）×（1-x），列一元二次方程即可.
16．【答案】（﹣1，3）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：一抛物线的对称轴为x＝1，且经过点A（3，3），点A关于对称轴的对称点B，
设点B（x，3），
∴，
解之：x=-1
∴点B（-1，3）.
故答案为：（-1，3）
【分析】利用点A关于对称轴的对称点B，可知点A，B的纵坐标相等，因此设点B（x，3），利用对称轴为直线x=1，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点B的坐标.
17．【答案】y=
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连接OA，
设反比例函数解析式为 y=(k≠0)，
∵反比例函数图象位于第二象限，
∴k＜0，
∵ AB⊥y轴 ，
∴AB∥X轴，
∴S△AOB=S△ABP=|k|=8，
∴k=-16，
∴反比例函数解析式为 y=.
故答案为 ：y=.
【分析】先设反比例函数解析式为y=(k≠0) ， 连接OA，根据AB∥X轴可得△ABO的面积和△ABP的面积相等，再利用反比例函数k的几何意义，进而得出答案.
18．【答案】18
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；余角
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，∴AB⊥BC，
∴∠B=90°，
∵，，
，
∴∠B，
，，
，
，
，
设，，则，
∵平分，
∴，
∵，
，
∵∠FGC=90°，
∴∠CFG=，
，，
，
∴，
，
∴当时，的面积最大，即．
故答案为：18．
【分析】先根据同角的余角相等得，再根据AA证明，则可得，设、，则可得、，整理可得．根据三角形的面积公式可得，根据二次函数的最值即可得出答案.
19．【答案】解：，
方程变形得：，
配方得：，即，
开方得，，
解得：，
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】解一元二次方程，可以用配方法或公式法求解．
20．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值、立方根、零指数幂及绝对值的性质进行化简，然后进行加减运算．
21．【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB∥DC，
∵AD∥BC，
∴∠C+∠ADE=180°，
∵∠BFE=∠C，
∴∠AFB=∠EDA，
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠AED，
∴△ABF∽△EAD；
（2）解：∵AB∥CD，BE⊥CD，
∴∠ABE=90°，
∵AB=4，∠BAE=30°，
∴AE=2BE，
由勾股定理可求得AE=
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形对边平行，再由平行的性质得到∠AFB=∠EDA和∠BAE=∠AED，即可求证；（2）由平行可知∠ABE=90°，在Rt△ABE中，根据30°直角三角形的性质及勾股定理可求得AE．
22．【答案】（1）解：∵，．
∴ (米)，
∴该小区高层的高度约为64米；
（2）解：如图，过点C作于点E，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴四边形为矩形，
∴米，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴米，
∵米，
∴ (米)，
∴ (米)，
∵小高层层高为3米，
∴ (层)，
∴该小区小高层有8层．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）利用的正切求解；
（2）过点C作于点E，则四边形为矩形，，证明为等腰直角三角形得米，求出米，进而可求出该小区小高层有多少层．
23．【答案】（1）解：设年平均增长率为，
∵今年的“国庆”假期间，接待游客达万人次，预计后年的“国庆”假期接待游客万人次，
∴，
∴，（舍去），
答：预计该景区明、后两年“国庆”假期间游客人次的年平均增长率为.
（2）解：设当每碗面提高元时，店家才能实现每天净利润元，，
整理得，，
解得：，，
∵ 每碗面售价不得超过元，
∴当时，售价为，符合题意；
当时，售价为，不符题意，舍去．
答：每碗面提高元时，店家能实现每天净利润元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设年平均增长率为，根据题意列出方程式，即可得出答案；
（2）根据题意设当每碗面提高元时，店家才能实现每天净利润元，根据题意列出方程式，即可得出答案.
（1）解：根据题意，设年平均增长率为，
∴，解方程得，，（舍去），
∴预计该景区明、后两年“国庆”假期间游客人次的年平均增长率为.
（2）解：设当每碗面提高元时，店家才能实现每天净利润元，
∴，
即，
解方程得，，，
当时，售价为，符合题意；
当时，售价为，不符题意，舍去．
答：每碗面提高元时，店家能实现每天净利润元．
24．【答案】（1）50；30；6
（2）解：∵，∴补全条形统计图如图所示：
（3）解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为；
（4）解：（人）．
答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人．
【知识点】统计表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：因为喜欢油车人数有5人，油车人数所占的百分比为，
所以本次调查活动随机抽取人数为（人），
，则，
，则，
所以本次调查活动随机抽取了50人；表中30，6；
故填：50；30，6；
【分析】（1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，用喜欢氢燃料人数除以调查人数可求得b，进而用1减去喜欢其他车型所占的百分比可求解a；
（2）先求得n，进而可补全条形统计图；
（3）用360度乘以喜欢混动所占的百分比即可求解；
（4）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比即可求解．
（1）解：本次调查活动随机抽取人数为（人），
，则，
，则，
故答案为：50；30，6；
（2）解：∵，
∴补全条形统计图如图所示：
（3）解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为；
（4）解：（人）．
答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人．
25．【答案】解：（1）设OB＝t，
∵ OA＝2OB，
∴OA＝2t，
∴点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），
∵ 抛物线对称轴为直线x＝，
∴（2t﹣t）=，
∴t＝1，
∴点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0），
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2，
即ax2-ax-2a=ax2+bx+2，
∴a=-1，b=-a=-（-1）=1，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2.
（2）∵点C的横坐标为0，
∴当x＝0时，y＝2，
∴点C的坐标为（0，2），
又∵点A的坐标分别为（2，0），
∴设直线AC的表达式为y=kx+d，
∴，
∴，
∴直线AC的表达式为y=-x+2，
设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），点F（m，﹣m+2），
则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m=-（m-1）2+1，
∵﹣1＜0，
∴当m＝1时，DF有最大值，此时点D（1，2）.
（3）存在，理由如下：
点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则OD＝m，DE＝﹣m2+m+2，
以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，
则或，即＝2或，即＝2或，
∴m＝1或﹣2（舍去）或或（舍去），
故m＝1或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题；相似三角形的性质-对应边；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）设点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），再根据 抛物线对称轴为直线x＝，列出关于t的方程式，求解即可得出答案；
（2）先求出直线AC的表达式，再设点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，最后根据二次函数的性质即可求解；
（3）以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，则或，即＝2或，即可求解．
26．【答案】（1）①；②
（2），
（3）或
【知识点】旋转的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
，
①当时，
∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
，，
∴.
故答案为：.
②∵点，分别是边，的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵，
∴，，
，；
当时，
由旋转的性质得：=，=，=，
，，
，
.
故答案为：.
（2）当时，，大小没有变化；
，
（相似三角形的对应边成比例），
又∵旋转，
，
.
故答案为：；.
（3）情况一：当点在的延长线上时，
∵∠EBC=90°，
，
∵，，
，
∵，
，
∵，
，
情况二：点在线段上时，
∵∠EBC=90°，
，
∵，，
，
∵，
，
∵，
，
∴线段的长为或．
【分析】
（1）①先求出，即可得出，，再代入即可得出答案；
②先画出图形，再利用勾股定理可得，然后根据线段和差分别求出，的长，由此即可得；
（2）先说明，再根据相似三角形的性质即可得；
（3）分两种情况进行讨论：情况一：点在的延长线上，情况二：点在线段上，进而得出答案.
1 / 1湖南省常德市石门县2024－2025学年九年级上学期期末教学质量抽检数学试卷
一、选择题（共10个小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共30分）
1．（2025九上·石门期末）下列实数中是无理数的是（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】零指数幂；无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A.是无理数，符合题意；B.∵，
∴是有理数，不是无理数，不符合题意；
C.2是有理数，不是无理数，不符合题意；
D.是有理数，不是无理数，不符合题意.
故答案为：A．
【分析】先计算，再根据无理数的定义逐项判断即可．
2．（2025九上·石门期末）锐角α满足，且，则α的取值范围为（　　）
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°
C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值；根据三角函数值（范围）判断锐角的大小
【解析】【解答】解：∵，且，
∴45°﹤α﹤90°
∵，且
∴0°＜α＜60°
∴45°＜α＜60°．
故答案为：B．
【分析】根据特殊角的三角函数值和正弦函数随锐角的增大而增大、正切函数随锐角的增大而增大即可解答．
3．（2025九上·石门期末）中国共产主义青年团是中国青年的先锋队，是中国共产党的忠实助手和可靠后备军．截至2023年12月底，全国共有共青团员7416.7万名．数据“7416.7万”用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：7416.7万，
故选：C．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．（2025九上·石门期末）关于反比例函数，下列说法不正确的是（　　）
A．函数图象经过点
B．函数图象关于原点成中心对称
C．函数图象分别位于第一、三象限
D．当时，随的增大而增大
【答案】C
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A.∵，∴函数图象经过点，故本选项不符合题意；
B.反比例函数的图象关于原点成中心对称，故本选项不符合题意；
C.∵，
∴反比例函数图象分别位于第二、四象限，故本选项符合题意；
D.∵，
∴反比例函数图象分别位于第二、四象限，
∴当时，随的增大而增大，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据反比例函数的性质，逐一判断即可得出答案．
5．（2025九上·石门期末）下列函数表达式中，一定是二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：是一次函数，故A选项错误；
，当时，不是二次函数，故B选项错误；
是二次函数，故C选项正确；
，分母中含有自变量，不是二次函数，故D选项错误．
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的定义，对四个选项逐一判断即可．
6．（2025九上·石门期末）下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
∴，
∴x1=x2=1，
∴有两个相等实数根，故本选项符合题意；
B、∵，
∴，
∴，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴，
∵-1<0，
∴此方程无实根，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴，故本选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】分别解每个方程，再判断方程根的情况，即可得到答案．
7．（2025九上·石门期末）一组数据3、4、4、5，若添加一个数4后得到一组新数据，则前后两组数据的统计量会发生变化的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】D
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：原数据3，4，4，5的平均数为
，中位数为4，众数为4，方差为
，
新数据3，4，4，4，5的平均数为
，中位数为4，众数为4，方差为
，
综合可得：平均数、中位数、众数均未发生变化，方差发生变化，
故答案为：D.
【分析】根据平均数、方差的计算方法求出平均数、方差，将所有数据按由小到大的顺序进行排列，找出最中间的数据即为中位数，找出出现次数最多的数据即为众数，据此解答.
8．（2025九上·石门期末）二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：抛物线的开口向上，与轴的交点位于轴的正半轴，
，，
抛物线的对称轴位于轴的右侧，
，
，
，
由可知，反比例函数的图象位于第二、四象限，
由可知，正比例函数的图象经过原点，且经过第一、三象限，
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的图象判断出系数，，的符号，再根据反比例函数的图象、正比例函数的图象特点即可解答.
9．（2025九上·石门期末）二次函数的图象如图所示，其对称轴为，与x轴的其中一个交点在与之间，以下结论：①；②；③；④（m为实数）；⑤，其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：对称轴为，与轴的其中一个交点在与之间，
与轴的另一个交点在与之间，
由图示得：，，，
，
，，故①②正确；
当时，，故③错误；
当时，有最小值，
，
，故④正确的；
当时，，
，
，故⑤正确；
故答案为：D．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可.
10．（2025九上·石门期末）如图，在菱形和菱形中，点A、B、E在同一直线上，P是线段的中点，连接．若，则＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长交于点H，
∵P是线段的中点，
∴，
由题意可知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：B．
【分析】延长交于点H，先根据角角边证明，再根据全等的性质及菱形的性质得，由三线合一可知，进一步可得，即可解答．
二、填空题（共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2025九上·石门期末）的平方根是 　 　．
【答案】±2
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解： 的平方根是±2．
故答案为：±2
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
12．（2025九上·石门期末）在中，，，，则　 　
【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值
【解析】【解答】解：∵，
∴AB2=AC2+BC2，
∵，
，
.
故答案为：．
【分析】根据勾股定理求出的长度，再根据正弦定义进行计算即可得出答案．
13．（2025九上·石门期末）关于x的方程有一个根是，则m的值为　 　．
【答案】10
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵ 的方程有一个根是，
∴，
∴．
故答案为：10．
【分析】把代入方程中，即可得出答案．
14．（2025九上·石门期末）中考某班40 位同学的年龄如下表所示：
年龄(岁) 13 14 15 16
人数 3 16 19 2
则该班40名同学年龄的众数是　 　，平均数是　 　．
【答案】15；
【知识点】加权平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：平均数=，
∵这组数据中出现的次数最多是15，
∴该班同学年龄的众数是15.
故答案为：15；．
【分析】根据众数和平均数的定义进行作答即可.
15．（2025九上·石门期末） 某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，该商品两次降价的百分率相同，若设平均每次降价的百分率为，则可列方程为　 　．
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵平均每次降价的百分率为
∴第一次降价后的单价=原价×（1-x）
∴第二次降价后的单价=原价×（1-x）×（1-x）
∴可得
故答案为：.
【分析】根据降价后的售价=降价前的售价×（1-x）×（1-x），列一元二次方程即可.
16．（2025九上·石门期末）如果一抛物线的对称轴为x＝1，且经过点A（3，3），那么点A关于对称轴的对称点B的坐标为　 　．
【答案】（﹣1，3）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：一抛物线的对称轴为x＝1，且经过点A（3，3），点A关于对称轴的对称点B，
设点B（x，3），
∴，
解之：x=-1
∴点B（-1，3）.
故答案为：（-1，3）
【分析】利用点A关于对称轴的对称点B，可知点A，B的纵坐标相等，因此设点B（x，3），利用对称轴为直线x=1，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点B的坐标.
17．（2025九上·石门期末）如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP的面积为8，则这个反比例函数的解析式为　 　 ．
【答案】y=
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连接OA，
设反比例函数解析式为 y=(k≠0)，
∵反比例函数图象位于第二象限，
∴k＜0，
∵ AB⊥y轴 ，
∴AB∥X轴，
∴S△AOB=S△ABP=|k|=8，
∴k=-16，
∴反比例函数解析式为 y=.
故答案为 ：y=.
【分析】先设反比例函数解析式为y=(k≠0) ， 连接OA，根据AB∥X轴可得△ABO的面积和△ABP的面积相等，再利用反比例函数k的几何意义，进而得出答案.
18．（2025九上·石门期末）如图，已知边长为12的正方形，是边上一动点（与、不重合），连接，是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若，则的最大面积为　 　．
【答案】18
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；余角
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，∴AB⊥BC，
∴∠B=90°，
∵，，
，
∴∠B，
，，
，
，
，
设，，则，
∵平分，
∴，
∵，
，
∵∠FGC=90°，
∴∠CFG=，
，，
，
∴，
，
∴当时，的面积最大，即．
故答案为：18．
【分析】先根据同角的余角相等得，再根据AA证明，则可得，设、，则可得、，整理可得．根据三角形的面积公式可得，根据二次函数的最值即可得出答案.
三、解答题（共8小题，共66分）
19．（2025九上·石门期末）用适当的方法解下列一元二次方程：．
【答案】解：，
方程变形得：，
配方得：，即，
开方得，，
解得：，
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】解一元二次方程，可以用配方法或公式法求解．
20．（2025九上·石门期末）计算．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值、立方根、零指数幂及绝对值的性质进行化简，然后进行加减运算．
21．（2025九上·石门期末）如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长．
【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB∥DC，
∵AD∥BC，
∴∠C+∠ADE=180°，
∵∠BFE=∠C，
∴∠AFB=∠EDA，
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠AED，
∴△ABF∽△EAD；
（2）解：∵AB∥CD，BE⊥CD，
∴∠ABE=90°，
∵AB=4，∠BAE=30°，
∴AE=2BE，
由勾股定理可求得AE=
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形对边平行，再由平行的性质得到∠AFB=∠EDA和∠BAE=∠AED，即可求证；（2）由平行可知∠ABE=90°，在Rt△ABE中，根据30°直角三角形的性质及勾股定理可求得AE．
22．（2025九上·石门期末）为了提升居民的居住环境和品质，许多小区采用高层、小高层结合的模式建造．如图，某小区有前后两栋楼分别是高层和小高层，两栋楼的楼间距为40米，当小明站在高层楼顶点A处时，测得对面小高层楼顶C点的俯角为，测得对面小高层楼底D点的俯角为，已知小高层层高为3米．（参考数据：，，，结果精确到1米）
（1）求该小区高层的高度；
（2）求该小区小高层有多少层？
【答案】（1）解：∵，．
∴ (米)，
∴该小区高层的高度约为64米；
（2）解：如图，过点C作于点E，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴四边形为矩形，
∴米，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴米，
∵米，
∴ (米)，
∴ (米)，
∵小高层层高为3米，
∴ (层)，
∴该小区小高层有8层．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）利用的正切求解；
（2）过点C作于点E，则四边形为矩形，，证明为等腰直角三角形得米，求出米，进而可求出该小区小高层有多少层．
23．（2025九上·石门期末）某景区在今年的“国庆”假期间，接待游客达万人次，预计后年的“国庆”假期接待游客万人次，该景区一家特色小面店希望在“国庆”假期间卖面获得好的收益，经测算知，该面成本价为每碗元，若每碗卖元，平均每天将销售碗，若价格每提高元，则平均每天少销售碗，每天店内所需其他各种费用为元．
（1）求预计该景区明、后两年“国庆”假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护景区形象，物价局规定每碗面售价不得超过元，当每碗面提高多少元时，店家才能实现每天净利润元？（净利润＝总收入总成本其它各种费用）
【答案】（1）解：设年平均增长率为，
∵今年的“国庆”假期间，接待游客达万人次，预计后年的“国庆”假期接待游客万人次，
∴，
∴，（舍去），
答：预计该景区明、后两年“国庆”假期间游客人次的年平均增长率为.
（2）解：设当每碗面提高元时，店家才能实现每天净利润元，，
整理得，，
解得：，，
∵ 每碗面售价不得超过元，
∴当时，售价为，符合题意；
当时，售价为，不符题意，舍去．
答：每碗面提高元时，店家能实现每天净利润元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设年平均增长率为，根据题意列出方程式，即可得出答案；
（2）根据题意设当每碗面提高元时，店家才能实现每天净利润元，根据题意列出方程式，即可得出答案.
（1）解：根据题意，设年平均增长率为，
∴，解方程得，，（舍去），
∴预计该景区明、后两年“国庆”假期间游客人次的年平均增长率为.
（2）解：设当每碗面提高元时，店家才能实现每天净利润元，
∴，
即，
解方程得，，，
当时，售价为，符合题意；
当时，售价为，不符题意，舍去．
答：每碗面提高元时，店家能实现每天净利润元．
24．（2025九上·石门期末）中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图
类型 人数 百分比
纯电 m
混动 n
氢燃料 3
油车 5
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查活动随机抽取了　 　人；表中　 　，　 　；
（2）请补全条形统计图；
（3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；
（4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？
【答案】（1）50；30；6
（2）解：∵，∴补全条形统计图如图所示：
（3）解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为；
（4）解：（人）．
答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人．
【知识点】统计表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：因为喜欢油车人数有5人，油车人数所占的百分比为，
所以本次调查活动随机抽取人数为（人），
，则，
，则，
所以本次调查活动随机抽取了50人；表中30，6；
故填：50；30，6；
【分析】（1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，用喜欢氢燃料人数除以调查人数可求得b，进而用1减去喜欢其他车型所占的百分比可求解a；
（2）先求得n，进而可补全条形统计图；
（3）用360度乘以喜欢混动所占的百分比即可求解；
（4）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比即可求解．
（1）解：本次调查活动随机抽取人数为（人），
，则，
，则，
故答案为：50；30，6；
（2）解：∵，
∴补全条形统计图如图所示：
（3）解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为；
（4）解：（人）．
答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人．
25．（2025九上·石门期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）设OB＝t，
∵ OA＝2OB，
∴OA＝2t，
∴点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），
∵ 抛物线对称轴为直线x＝，
∴（2t﹣t）=，
∴t＝1，
∴点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0），
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2，
即ax2-ax-2a=ax2+bx+2，
∴a=-1，b=-a=-（-1）=1，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2.
（2）∵点C的横坐标为0，
∴当x＝0时，y＝2，
∴点C的坐标为（0，2），
又∵点A的坐标分别为（2，0），
∴设直线AC的表达式为y=kx+d，
∴，
∴，
∴直线AC的表达式为y=-x+2，
设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），点F（m，﹣m+2），
则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m=-（m-1）2+1，
∵﹣1＜0，
∴当m＝1时，DF有最大值，此时点D（1，2）.
（3）存在，理由如下：
点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则OD＝m，DE＝﹣m2+m+2，
以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，
则或，即＝2或，即＝2或，
∴m＝1或﹣2（舍去）或或（舍去），
故m＝1或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题；相似三角形的性质-对应边；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）设点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），再根据 抛物线对称轴为直线x＝，列出关于t的方程式，求解即可得出答案；
（2）先求出直线AC的表达式，再设点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，最后根据二次函数的性质即可求解；
（3）以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，则或，即＝2或，即可求解．
26．（2025九上·石门期末）如图1，在中，，，，点，分别是边，的中点，连接将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．
（1）问题发现：①当时______；
②当时，______．
（2）拓展探究：试判断当时，的大小有无变化？以下是就图2的情形给出的证明过程，请你补全：
∵，
③ ．
又∵旋转，
∴，
．
（3）用以上结论解决问题：当绕点逆时针旋转至，，三点在同一条直线上时，请在备用图中画出图形，并写出求线段的长 ．
【答案】（1）①；②
（2），
（3）或
【知识点】旋转的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
，
①当时，
∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
，，
∴.
故答案为：.
②∵点，分别是边，的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵，
∴，，
，；
当时，
由旋转的性质得：=，=，=，
，，
，
.
故答案为：.
（2）当时，，大小没有变化；
，
（相似三角形的对应边成比例），
又∵旋转，
，
.
故答案为：；.
（3）情况一：当点在的延长线上时，
∵∠EBC=90°，
，
∵，，
，
∵，
，
∵，
，
情况二：点在线段上时，
∵∠EBC=90°，
，
∵，，
，
∵，
，
∵，
，
∴线段的长为或．
【分析】
（1）①先求出，即可得出，，再代入即可得出答案；
②先画出图形，再利用勾股定理可得，然后根据线段和差分别求出，的长，由此即可得；
（2）先说明，再根据相似三角形的性质即可得；
（3）分两种情况进行讨论：情况一：点在的延长线上，情况二：点在线段上，进而得出答案.
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