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湖南省湘潭市韶山市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题
1．（2025八上·韶山期末）若分式 的值为0，则x的值为（　　）
A．-2 B．0 C．2 D．±2
2．（2025八上·韶山期末）下列计算错误的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八上·韶山期末）在下列实数中：，0，，，，，无理数的个是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2025八上·韶山期末）已知，则代数式的值为（　　）
A．28 B．20 C． D．
5．（2025八上·韶山期末）若则它们的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八上·韶山期末）在下列数学表达式中，①，②，③，④，⑤，是不等式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（2025八上·韶山期末）一元一次不等式组解集为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025八上·韶山期末）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八上·韶山期末）如图，的外角的平分线交的延长线于点，若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八上·韶山期末）如图，在中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，则的长是（　　）
A．4 B．5 C．1 D．2
11．（2025八上·韶山期末）若的立方根是，则　 　．
12．（2025八上·韶山期末）计算：　 　．
13．（2025八上·韶山期末）如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为　 　．
14．（2025八上·韶山期末）若，且，则的取值范围是　 　．
15．（2025八上·韶山期末）不等式的正整数解为　 　．
16．（2025八上·韶山期末）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为　 　．
17．（2025八上·韶山期末）“如果，互为倒数，那么”的逆命题是　 　命题（填“真”或“假”）．
18．（2025八上·韶山期末）对于正数x，规定，则的值为　 　．
19．（2025八上·韶山期末）计算：
（1）；
（2）．
20．（2025八上·韶山期末）先化简，后求值：，其中，．
21．（2025八上·韶山期末）如图，点E在上，与交于点F，，，，求证：．
22．（2025八上·韶山期末）根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产件产品．解答下列问题：
（1）更新设备后每天生产________件产品（用含的式子表示）；
（2）更新设备前生产2500件产品比更新设备后生产3000件产品多用1天，求更新设备后每天生产多少件产品．
23．（2025八上·韶山期末）某业主用货款万元购进一台机器，生产印有巴黎奥运会吉祥物的水杯，已知产品的成本是每个5元，售价是每个8元，应付的税款和其他费用是售价的．若每天能生产、销售2000个产品，问至少几天能够赚回这台机器的贷款．
24．（2025八上·韶山期末）如图，为等边三角形，在内作射线，点关于射线的对称点为点，连接，作射线交于点，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）设，写出的大小：________（用含的代数式表示）；
（3）用等式表示，，之间的数量关系，并证明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件；直接开平方法解一元二次方程；解一元一次不等式
【解析】【解答】由题意可知： ，
解得：x=2，
故答案为：C.
【分析】根据分式的值为0的条件是：分子等于0且分母不等于0，建立一元二次方程和不等式求解即可。
2．【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则；求算术平方根
【解析】【解答】解：A．，计算正确，不符合题意；
B．，计算正确，不符合题意；
C．，原选项错误，符合题意；
D．，计算正确，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用有理数的乘方，算术平方根和平方根运算解题即可．
3．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：依题意，，
，都是无理数，
∴无理数的个数是2个，
故选：B.
【分析】
本题考查了无理数的定义，需先化简立方根、算术平方根，再依据“无限不循环小数是无理数”的本质特征区分有理数和无理数.
4．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
，，
，
∴原式．
故答案为：B．
【分析】先利用完全平方公式求出，再求出求出的值，最后代入计算即可．
5．【答案】A
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：a=3-2=，
，，，
∵4>1>>-9，
∴.
故答案为：A．
【分析】先计算再比较即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：不等式有①④⑤，共3个.
故答案为：B．
【分析】根据不等式的定义逐个判断即可．
7．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
，
故答案为：B．
【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
8．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【分析】
本题考查最简二次根式的判定条件，需紧扣“被开方数不含能开得尽方的因数或因式、被开方数的因数是整数且因式是整式”两个核心要求.
9．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：．
．
平分．
．
是的外角．
．
故选：B．
【分析】
本题考查了三角形外角的性质与角平分线的定义．先由邻补角求得的度数，再利用角平分线得的度数，最后根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”得出与的等量关系求解．
10．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
则，故C正确．
故选：C．
【分析】根据等角的余角相等得出，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等证明与全等，根据全等三角形的对应边相等得到，即可求解.
11．【答案】
【知识点】立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：若的立方根是，则，
故答案为：．
【分析】
本题考查立方根的定义，核心是利用已知的立方根进行立方运算.
12．【答案】
【知识点】分式的乘法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据分式的乘法计算法则，能约分的先约分，最后相乘即可得答案.
13．【答案】
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作图知，，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了作图-基本作图的基本原理．从尺规作图痕迹确定，结合已知角度进行计算即可．
14．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：.
【分析】不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不改变，据此结合题意列出关于字母m的不等式，求解即可.
15．【答案】
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：移项得：，
系数化为1得：，
∴不等式的正整数解为，
故答案为：．
【分析】
本题考查一元一次不等式的解法，需掌握移项、系数化为1的不等式基本性质，再筛选正整数解.
16．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：且，
解得：，
故答案为：.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，分式的分母不等于，列出关于字母x的不等式组，求解即可.
17．【答案】真
【知识点】有理数的倒数；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：命题“如果，互为倒数，那么”的逆命题是“如果，那么，互为倒数”，
逆命题是真命题；
故答案为：真
【分析】根据互逆命题各部分之间的关系，首先可得出逆命题，再判断逆命题是否正确即可。
18．【答案】
【知识点】分式的加减法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【分析】是解题的关键．根据已知规定，可得，即可求出结果.
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、绝对值、立方根、乘方的运算规则．
（1）按照先乘方、开方，再乘除，最后加减的运算顺序计算即可；
（2）先计算算术平方根、立方根、负整数指数幂、绝对值，再计算加减即可得解．
（1）解：
；
（2）解：
．
20．【答案】解：
，
当，时，
原式
．

【知识点】分式的化简求值；二次根式的化简求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【分析】先化简二次根式，再代入进行计算即可求解．
21．【答案】证明：在和中，
，
，
，
．
即．
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．根据，， ，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，再利用角的运算可证明．
22．【答案】（1）
（2）解：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
则（件），
答： 更新设备后每天生产125件产品．
【知识点】分式方程的实际应用；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：（1）（件）.
故答案为：.
【分析】（1）根据题意列代数式，再整理即可；
（2）根据题意找出等量关系，再列分式方程，解方程即可．
（1）解：因为更新设备后生产效率比更新前提高了，
所以更新设备后每天生产件产品，
故答案为：；
（2）解：由题意知：，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，
所以更新设备后每天生产件．
23．【答案】解：设x天能够赚回这台机器的贷款，根据题意得：，
解得：，
∵x为正整数，
∴x的最小值为5，
答：至少5天能够赚回这台机器的贷款．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题主要考查了一元一次不等式在实际问题中的应用，关键是根据”总利润≥机器货款“的不等关系列出不等式，结合实际意义取正整数解的最小值.
24．【答案】（1）
（2）
（3）解：，证明如下：如图2，在上取一点F，使，
由（2）知，，
∵，
∴，
∴，
由折叠知，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴．
即．
【知识点】角的运算；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（2）∵是等边三角形，
∴，，
∵点B关于射线的对称点为点D，
∴，，
∴，，
∴；
【分析】本题考查几何作图、轴对称的性质及等边三角形的性质，涉及图形的补全、角度表示与线段数量关系证明.
（1）根据对称点的作图方法补全图形；
（2）先得出，，再得出，，进而得出，，得出，即可得出答案；
（3）如图2，在上取一点F，使，通过构造全等三角形，将EB、EC转化为同一直线上的线段，进而证明EA与EB、EC的数量关系.
（1）解：依题意，补全图形如图1所示
（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵点B关于射线的对称点为点D，
∴，，
∴，，
∴；
（3）解：，证明如下：
如图2，在上取一点F，使，
由（2）知，，
∵，
∴，
∴，
由折叠知，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴．
即．
1 / 1湖南省湘潭市韶山市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题
1．（2025八上·韶山期末）若分式 的值为0，则x的值为（　　）
A．-2 B．0 C．2 D．±2
【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件；直接开平方法解一元二次方程；解一元一次不等式
【解析】【解答】由题意可知： ，
解得：x=2，
故答案为：C.
【分析】根据分式的值为0的条件是：分子等于0且分母不等于0，建立一元二次方程和不等式求解即可。
2．（2025八上·韶山期末）下列计算错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则；求算术平方根
【解析】【解答】解：A．，计算正确，不符合题意；
B．，计算正确，不符合题意；
C．，原选项错误，符合题意；
D．，计算正确，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用有理数的乘方，算术平方根和平方根运算解题即可．
3．（2025八上·韶山期末）在下列实数中：，0，，，，，无理数的个是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：依题意，，
，都是无理数，
∴无理数的个数是2个，
故选：B.
【分析】
本题考查了无理数的定义，需先化简立方根、算术平方根，再依据“无限不循环小数是无理数”的本质特征区分有理数和无理数.
4．（2025八上·韶山期末）已知，则代数式的值为（　　）
A．28 B．20 C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
，，
，
∴原式．
故答案为：B．
【分析】先利用完全平方公式求出，再求出求出的值，最后代入计算即可．
5．（2025八上·韶山期末）若则它们的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：a=3-2=，
，，，
∵4>1>>-9，
∴.
故答案为：A．
【分析】先计算再比较即可得出答案.
6．（2025八上·韶山期末）在下列数学表达式中，①，②，③，④，⑤，是不等式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：不等式有①④⑤，共3个.
故答案为：B．
【分析】根据不等式的定义逐个判断即可．
7．（2025八上·韶山期末）一元一次不等式组解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
，
故答案为：B．
【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
8．（2025八上·韶山期末）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【分析】
本题考查最简二次根式的判定条件，需紧扣“被开方数不含能开得尽方的因数或因式、被开方数的因数是整数且因式是整式”两个核心要求.
9．（2025八上·韶山期末）如图，的外角的平分线交的延长线于点，若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：．
．
平分．
．
是的外角．
．
故选：B．
【分析】
本题考查了三角形外角的性质与角平分线的定义．先由邻补角求得的度数，再利用角平分线得的度数，最后根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”得出与的等量关系求解．
10．（2025八上·韶山期末）如图，在中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，则的长是（　　）
A．4 B．5 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
则，故C正确．
故选：C．
【分析】根据等角的余角相等得出，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等证明与全等，根据全等三角形的对应边相等得到，即可求解.
11．（2025八上·韶山期末）若的立方根是，则　 　．
【答案】
【知识点】立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：若的立方根是，则，
故答案为：．
【分析】
本题考查立方根的定义，核心是利用已知的立方根进行立方运算.
12．（2025八上·韶山期末）计算：　 　．
【答案】
【知识点】分式的乘法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据分式的乘法计算法则，能约分的先约分，最后相乘即可得答案.
13．（2025八上·韶山期末）如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作图知，，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了作图-基本作图的基本原理．从尺规作图痕迹确定，结合已知角度进行计算即可．
14．（2025八上·韶山期末）若，且，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：.
【分析】不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不改变，据此结合题意列出关于字母m的不等式，求解即可.
15．（2025八上·韶山期末）不等式的正整数解为　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：移项得：，
系数化为1得：，
∴不等式的正整数解为，
故答案为：．
【分析】
本题考查一元一次不等式的解法，需掌握移项、系数化为1的不等式基本性质，再筛选正整数解.
16．（2025八上·韶山期末）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：且，
解得：，
故答案为：.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，分式的分母不等于，列出关于字母x的不等式组，求解即可.
17．（2025八上·韶山期末）“如果，互为倒数，那么”的逆命题是　 　命题（填“真”或“假”）．
【答案】真
【知识点】有理数的倒数；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：命题“如果，互为倒数，那么”的逆命题是“如果，那么，互为倒数”，
逆命题是真命题；
故答案为：真
【分析】根据互逆命题各部分之间的关系，首先可得出逆命题，再判断逆命题是否正确即可。
18．（2025八上·韶山期末）对于正数x，规定，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】分式的加减法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【分析】是解题的关键．根据已知规定，可得，即可求出结果.
19．（2025八上·韶山期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、绝对值、立方根、乘方的运算规则．
（1）按照先乘方、开方，再乘除，最后加减的运算顺序计算即可；
（2）先计算算术平方根、立方根、负整数指数幂、绝对值，再计算加减即可得解．
（1）解：
；
（2）解：
．
20．（2025八上·韶山期末）先化简，后求值：，其中，．
【答案】解：
，
当，时，
原式
．

【知识点】分式的化简求值；二次根式的化简求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【分析】先化简二次根式，再代入进行计算即可求解．
21．（2025八上·韶山期末）如图，点E在上，与交于点F，，，，求证：．
【答案】证明：在和中，
，
，
，
．
即．
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．根据，， ，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，再利用角的运算可证明．
22．（2025八上·韶山期末）根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产件产品．解答下列问题：
（1）更新设备后每天生产________件产品（用含的式子表示）；
（2）更新设备前生产2500件产品比更新设备后生产3000件产品多用1天，求更新设备后每天生产多少件产品．
【答案】（1）
（2）解：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
则（件），
答： 更新设备后每天生产125件产品．
【知识点】分式方程的实际应用；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：（1）（件）.
故答案为：.
【分析】（1）根据题意列代数式，再整理即可；
（2）根据题意找出等量关系，再列分式方程，解方程即可．
（1）解：因为更新设备后生产效率比更新前提高了，
所以更新设备后每天生产件产品，
故答案为：；
（2）解：由题意知：，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，
所以更新设备后每天生产件．
23．（2025八上·韶山期末）某业主用货款万元购进一台机器，生产印有巴黎奥运会吉祥物的水杯，已知产品的成本是每个5元，售价是每个8元，应付的税款和其他费用是售价的．若每天能生产、销售2000个产品，问至少几天能够赚回这台机器的贷款．
【答案】解：设x天能够赚回这台机器的贷款，根据题意得：，
解得：，
∵x为正整数，
∴x的最小值为5，
答：至少5天能够赚回这台机器的贷款．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题主要考查了一元一次不等式在实际问题中的应用，关键是根据”总利润≥机器货款“的不等关系列出不等式，结合实际意义取正整数解的最小值.
24．（2025八上·韶山期末）如图，为等边三角形，在内作射线，点关于射线的对称点为点，连接，作射线交于点，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）设，写出的大小：________（用含的代数式表示）；
（3）用等式表示，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2）
（3）解：，证明如下：如图2，在上取一点F，使，
由（2）知，，
∵，
∴，
∴，
由折叠知，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴．
即．
【知识点】角的运算；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（2）∵是等边三角形，
∴，，
∵点B关于射线的对称点为点D，
∴，，
∴，，
∴；
【分析】本题考查几何作图、轴对称的性质及等边三角形的性质，涉及图形的补全、角度表示与线段数量关系证明.
（1）根据对称点的作图方法补全图形；
（2）先得出，，再得出，，进而得出，，得出，即可得出答案；
（3）如图2，在上取一点F，使，通过构造全等三角形，将EB、EC转化为同一直线上的线段，进而证明EA与EB、EC的数量关系.
（1）解：依题意，补全图形如图1所示
（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵点B关于射线的对称点为点D，
∴，，
∴，，
∴；
（3）解：，证明如下：
如图2，在上取一点F，使，
由（2）知，，
∵，
∴，
∴，
由折叠知，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴．
即．
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