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四川省达州市宣汉县新华中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学测试题
1．（2025八上·宣汉期中）下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B．3.14 C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】A.是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B.3.14是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C.是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D.是无理数，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率π都是无理数；据此判断即可.
2．（2025八上·宣汉期中）若一个直角三角形的两边长分别为4和5，则第三边长的平方为（　　）
A．6或9 B．3或9 C．9或41 D．6或41
【答案】C
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：当第三边是斜边时，
，
当第三边是直角边时，
，
∴第三边长的平方为9或41，
故选：C．
【分析】分两种情况讨论，当5为直角边时和当5为斜边时，利用勾股定理分别计算第三边的平方.
3．（2025八上·宣汉期中）如果，那么点在（　　）
A．第二象限 B．第四象限
C．第二象限或第四象限 D．第一象限或第三象限
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，的符号相反；
∴点在第二或第四象限．
故选：C．
【分析】先根据成绩小于0判断x和y的符号关系，再依据各象限坐标符号特点确定点P所在象限.
4．（2025八上·宣汉期中）下列图象中，表示是的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：A、对于部分x的值，y都有两个值与之对应，故不是的函数，不符合题意；
B、对于部分x的值，y都有两个值与之对应，故不是的函数，不符合题意；
C、对于部分x的值，y都有两个值与之对应，故不是的函数，不符合题意；
D、对于x的任意值，y都有唯一值与之对应，故是的函数，符合题意；
故选：D．
【分析】根据函数的定义，判断对于自变量x的每一个确定的值，因变量y是否有唯一确定的值与之对应，以此来确定y是否为x的函数.
5．（2025八上·宣汉期中）下列结论中，其中正确的是（　　）
A．的平方根是 B．
C．立方根等于本身的数只有0和1 D．
【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、∵，而9的平方根是±3，∴的平方根是±3，此选项错误，不符合题意；
B、∵，∴此选项错误，不符合题意；
C、∵立方根等于本身的数有-1、0和1，∴此选项错误，不符合题意；
D、∵，∴选项正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】先根据算术平方根定义化简得9，再根据平方根定义求9的平方根为±3，从而可判断A选项；求的是100的算术平方根，根据一个正数的算术平方根就是一个正数，可判断B选项；如果一个数x的立方等于a，则x就是a的立方根，据此可得立方根等于本身的数有-1、0和1，从而可判断C选项；根据立方根的性质，互为相反数的两个数的立方根相等，可判断D选项.
6．（2025八上·宣汉期中）点P在第二象限，若该点到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点p的坐标是 （　　）
A．(-1，3) B．(-3，1) C．(3，-1) D．(1，3)
【答案】A
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点P在第二象限
∴点P的横坐标小于0，纵坐标大于0
又∵点P到x轴的距离是3，到y轴的距离为1
∴点P的纵坐标为3，横坐标为-1
∴P的坐标是（-1，3）
故答案为：A.
【分析】先由点P的位置确定出它的横坐标与纵坐标的符号，然后根据它到x轴、y轴的距离求出坐标即可。
7．（2025八上·宣汉期中）若函数是正比例函数，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵函数是正比例函数，
∴且，
∴，
故选：．
【分析】要确定k的值，需根据正比例函数的定义列出关于k的条件，先求常数项为0时k的值，再排除系数为0的情况，从而得出k的值.
8．（2025八上·宣汉期中）如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：），计算两圆孔中心和的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵AC＝150 60＝90mm，BC＝180 60＝120mm，∴AB＝mm．
故答案为：D．
【分析】通过构造直角三角形，利用勾股定理求出两圆孔中心点A和点B之间的距离.
9．（2025八上·宣汉期中）在函数中，当时，函数值为　 　；当函数值为4时，自变量x的值为　 　．
【答案】9；
【知识点】函数自变量的取值范围；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当时，，
∴当时，函数的值为9；
当时，即，
解得，
∴当函数值为4时，自变量x的值为．
故答案为：9；．
【分析】这道题考查的是函数值的求解以及已知函数值求自变量的值，涉及二次函数的基本运算.
10．（2025八上·宣汉期中）已知点的坐标为，且点在轴上，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵在轴上，
∴
解得：
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】现根据点在y轴上的横坐标为0的特征列出方程求出m的值，再讲m的值代入纵坐标表达式求出纵坐标，从而得到点M的坐标.
11．（2025八上·宣汉期中）若，其中a、b为两个连续的整数，则ab的值为　 　
【答案】30
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】，
，
即，
a、b为两个连续的整数，
，
，
故答案为：．
【分析】先将转化为根号形式，估计其范围确定a，b的值，再计算ab的值.
12．（2025八上·宣汉期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则a=　 　．
【答案】4
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵二次根式与是同类二次根式，
∴3a-5=a+3，解得a=4．
故答案是：4.
【分析】先根据同类二次根式的定义得出被开方数相等，列出关于A的方程，再解方程求出A的值.
13．（2025八上·宣汉期中）如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，则AB边上的高为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设AB边上的高为h。
如图，
由网格的特点得：，，，，
解得：.
故答案为：.
【分析】先根据网格的特点求出，，，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AB的长，再根据三角形的面积公式即可求解.
14．（2025八上·宣汉期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：
（2）解：

（3）解：
（4）解：
∴或
【知识点】二次根式的混合运算；利用开平方求未知数
【解析】【分析】（1）根据平方差公式和完全平方公式分别化简式子中的两项，再进行计算；
（2）分别计算零指数幂，化简二次根式和绝对值的性质以及分母有理化分别化简式子中的各项，再进行计算；；
（3）根据二次根式的除法法则，二次根式的性质以及绝对值得性质分别化简式子中的各项，再进行计算；
（4）可先移项，再利用直接开平方法求解方程．
（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
∴或
15．（2025八上·宣汉期中）已知x﹣2的平方根是±1，2x+y+17的立方根是3，
（1）求x，y的值；
（2）求x2+y2的平方根；
（3）若将平面坐标系内点P(x，y)先向左再向下分别平移个单位，则对应点在第　象限．
【答案】解：（1）∵x﹣2的平方根是±1，2x+y+17的立方根是3，∴x﹣2＝1，2x+y+17＝27，
∴解得x＝3，y＝4；
（2）∵x＝3，y＝4，
∴x2+y2＝32+42＝9+16＝25，
则x2+y2的平方根为±5；
（3）二
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；点的坐标与象限的关系；平方根的概念与表示
【解析】【解答】（3）由题意知，点P的坐标为（3，4），
平移后点的坐标为（3﹣，4﹣），
∵3﹣＜0，4﹣＞0，
∴点P的对应点P'在第二象限．
故填二．
【分析】（1）根据平方根和立方根的定义求解即可；
（2）先求出x2+y2，再运用平方根的定义求解即可；
（3）根据坐标的变化规律求出点P的坐标，再根据坐标的特点，找到点P所在的象限即可．
16．（2025八上·宣汉期中）已知点，解答下列各题．
（1）若点P在x轴上，求点P的坐标；
（2）若点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标；
（3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的立方根．
【答案】（1）解：因为点在轴上，
所以，
解得，
所以，
所以
（2）解：因为直线轴，
所以，
解得，
所以，
所以
（3）解：因为点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，
所以，
解得，
所以，
所以的立方根是
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）在平面直角坐标系中，x轴上的点纵坐标都等于0，可得到方程即可求解；
（2）在平面直角坐标系中，平行于y轴的直线上的所有点横坐标都相等，列出方程并求解即可；
（3）在平面直角坐标系中，第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，列方程求解即可．
（1）解：因为点在轴上，
所以，
解得，
所以，
所以．
（2）解：因为直线轴，
所以，
解得，
所以，
所以．
（3）解：因为点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，
所以，
解得，
所以，
所以的立方根是．
17．（2025八上·宣汉期中）如图，在中，于点D，，，．
（1）求的长；
（2）求的长；
（3）求证：是直角三角形．
【答案】（1）解：在中，于点D，
故在中，
（2）解：在中，于点D，
在中，
（3）证明：，
，
故是直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）利用垂直得到直角三角形，再用勾股定理计算直角边；
（2）先确定直角三角形，再用勾股定理计算；
（3）先求AB的长度，再用勾股定理的逆定理（若三角形三边满足，则为直角三角形）证明．
（1）解：在中，于点D，
故在中，
；
（2）解：在中，于点D，
在中，
；
（3）证明：，
，
故是直角三角形．
18．（2025八上·宣汉期中）我市电费实行阶梯式收费，标准如下：
一户居民一个月用电量的范围 电费价格/（元/千瓦时）
不超过200千瓦时的部分
超过200千瓦时，但不超过400千瓦时的部分
超过400千瓦时的部分
（1）设该市一户居民某月用电量千瓦时，当月的电费元，写出与的关系式：
当时，_____；当时，_____；
（2）某户居民七月份用电量为260千瓦时，求该户这个月的电费；
（3）某户居民八月份缴电费170元，那么该户居民八月份用电量为多少千瓦时？
【答案】（1）；
（2）解：在中，当时，，
答：该户这个月的电费为146元
（3）解：∵，且，∴该户居民八月份用电量超过200千瓦时，但不超过400千瓦时，
在中，当时，，
答：该户居民八月份用电量为300千瓦时
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：由题意得，当时，；
当时，；
故答案为：；
【分析】（1）利用表中所给出的标准，写出y与x的关系式即可；
（2）把代入中，求出y的值即可得到答案；
（3）先计算说明170元的电费，用电量大于200千瓦，小于400千瓦，然后再代入求值即可．
（1）解：由题意得，当时，；
当时，；
（2）解：在中，当时，，
答：该户这个月的电费为146元；
（3）解：∵，且，
∴该户居民八月份用电量超过200千瓦时，但不超过400千瓦时，
在中，当时，，
答：该户居民八月份用电量为300千瓦时．
19．（2025八上·宣汉期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≥4
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：依题意有x﹣4≥0，
解得x≥4．
故答案为：x≥4．
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
20．（2025八上·宣汉期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使点C落在上的点E处，若，则的值为　 　．
【答案】16
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，
，，
，
，
，
∴，
在中，，
在中，，
，
故答案为：16．
【分析】根据折叠的性质得到AE=AC，DE=CD，，由勾股定理得到两式相减，通过整式的化简即可得到结论．
21．（2025八上·宣汉期中）将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为　 　．
【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：设张白纸粘合后的总长度为，
∵长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为，
可得
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了根据实际问题列一次函数，运用方程求一次函数的解析式的运用，解答此题时求出函数的解析式是关键.
22．（2025八上·宣汉期中）如图，有一个圆柱形食品盒，它的高为10cm，底面圆周长为24cm，如果在盒外AD的中点P处有一只蚂蚁，蚂蚁爬行的速度为2cm/s，它想吃到点B处（点A、B正好相对）的食物，那么它至少需要爬行　 　s．
【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题；圆柱的展开图
【解析】【解答】分两种情况讨论：
第一种情况，蚂蚁沿着圆柱体的侧面直接到达B点，
此时：将圆柱体的侧面展开，连接PB，即PB为最短路径，如图，
根据题意有：AD=10，AB为底面圆周长的一半，即AB=24÷2=12，
∵P点为AD中点，
∴AP=5，
在Rt△APB中，（cm），
∵蚂蚁的速度为2cm/s，
∴蚂蚁需要的时间为：13÷2=6.5（s），
即此时蚂蚁需要6.5s；
第二种情况：蚂蚁由P点直接到达A点，再由A点经过底面圆直达B点，
连接AB，可知AB为底面圆的直径，圆柱体展开如图，
∵底面圆的周长为24，
∴底面圆的直径AB=，
∵AP=5，
∴此时蚂蚁行走的距离为AP+AB=+5（cm），
∴此时蚂蚁需要的时间为：（s），
∵，
∴蚂蚁需要的最短时间为：s，
故答案为：．
【分析】分情况进行讨论：第一种情况，蚂蚁沿着圆柱体的侧面直接到达点B，利用勾股定理计算即可；第二种情况，蚂蚁由点P直接到达点A，再由点A经过底面圆直达点B，再进行计算即可.
23．（2025八上·宣汉期中）如图，在直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为(0，8)和(6，0)，将一根橡皮筋两端固定在A、B两点处，然后用手勾住橡皮筋向右上方拉升，使橡皮筋与坐标轴围成一个矩形AOBC，则橡皮筋被拉长了　 　个单位长度．
【答案】4
【知识点】坐标与图形性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵A、B两点的坐标分别为(0，8)和(6，0)，
∴OA＝8，OB＝6，
∴，
∵四边形AOBC是矩形，
∴AC=OB=6，CB=OA8，
∵AC+BC-AB=6+8-10=4，
∴橡皮筋被拉长了4个单位长度，
故答案为：4．
【分析】由A、B两点的坐标得出OA、OB的长，然后根据勾股定理算出AB，进而根据矩形对边相等可得AC+BC=OB+OA，然后用AC+BC-AB即可得出答案.
24．（2025八上·宣汉期中）已知，
（1）求的值；
（2）若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求的值．
【答案】（1）解：
（2）解：
由（1）知，
，
又∵的小数部分为的小数部分为，
【知识点】无理数的估值；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】 【分析】（1）先分母有理化求出、的值，求出x+y和xy的值，变形后代入求出即可；
（2）求出m，n的值，代入求值即可．
（1）解：
；
（2）解：
由（1）知，
，
又∵的小数部分为的小数部分为，
．
25．（2025八上·宣汉期中）【问题背景】
（1）如图1，点是线段，的中点，求证：；
【变式迁移】
（2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在等腰中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长．
【答案】（1）证明：∵点是线段，的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图，
∵是等腰三角形，是底边上的高线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：延长到T，使，连接，延长交于点J，如图，
∵点为中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）利用已知条件得到AP=PB，CP=DP，再利用对顶角相等，可证的即可证明；
（2）通过构造全等三角形，将AF，BE转化为直角三角形的直角边，再用勾股定理推导出关系；
（3）通过构造全等三角形，将分散的线段（AF，CF）集中到直角三角形中，再结合等腰直角三角形性质计算》．
26．（2025八上·宣汉期中）如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段，点对应点，点对应点，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上．
（1）直接写出、、三点的坐标；
（2）如图，点是轴上的一个动点，当三角形面积是三角形的面积的一半时，求点的坐标；
（3）如图，若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比是：，运动过程中直线和交于点，若三角形的面积等于，求出点的坐标．
【答案】（1）解：，
，，
，，
，，
平移到向下平移了，
到向下平移了，
；
（2）解：，，，
，
设交轴于，作轴于，如图：
设，
，
，
解得：，
，
设，
，，
，
当或时，，
解得：，
当时，，
解得：，
或
（3）解：，
不在内，
设，
，运动速度之比是，
，
设，，
当在轴上方时，如图：
，
，
，
又，
，
解得：，，
；
当在轴下方时，作轴于，轴于，如图：
，
，
，
，
，
解得：，，
，
综上所述，点坐标为或
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；算术平方根的性质（双重非负性）；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）利用非负数的性质确定a，b的值，再结合平移的性质求C得坐标；
(2)先确定点D的坐标，再通过面积公式列方程，化简后再讨论绝对值（）求出解即可；
（3）利用速度比设参数，结合面积分割法分情况讨论：N点在x轴上方和N点在x轴下方列方程求解．
（1）解：，
，，
，，
，，
平移到向下平移了，
到向下平移了，
；
（2）解：，，，
，
设交轴于，作轴于，如图：
设，
，
，
解得：，
，
设，
，，
，
当或时，，
解得：，
当时，，
解得：，
或；
（3）解：，
不在内，
设，
，运动速度之比是，
，
设，，
当在轴上方时，如图：
，
，
，
又，
，
解得：，，
；
当在轴下方时，作轴于，轴于，如图：
，
，
，
，
，
解得：，，
，
综上所述，点坐标为或．
1 / 1四川省达州市宣汉县新华中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学测试题
1．（2025八上·宣汉期中）下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B．3.14 C． D．
2．（2025八上·宣汉期中）若一个直角三角形的两边长分别为4和5，则第三边长的平方为（　　）
A．6或9 B．3或9 C．9或41 D．6或41
3．（2025八上·宣汉期中）如果，那么点在（　　）
A．第二象限 B．第四象限
C．第二象限或第四象限 D．第一象限或第三象限
4．（2025八上·宣汉期中）下列图象中，表示是的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八上·宣汉期中）下列结论中，其中正确的是（　　）
A．的平方根是 B．
C．立方根等于本身的数只有0和1 D．
6．（2025八上·宣汉期中）点P在第二象限，若该点到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点p的坐标是 （　　）
A．(-1，3) B．(-3，1) C．(3，-1) D．(1，3)
7．（2025八上·宣汉期中）若函数是正比例函数，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八上·宣汉期中）如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：），计算两圆孔中心和的距离为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八上·宣汉期中）在函数中，当时，函数值为　 　；当函数值为4时，自变量x的值为　 　．
10．（2025八上·宣汉期中）已知点的坐标为，且点在轴上，则点的坐标为　 　．
11．（2025八上·宣汉期中）若，其中a、b为两个连续的整数，则ab的值为　 　
12．（2025八上·宣汉期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则a=　 　．
13．（2025八上·宣汉期中）如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，则AB边上的高为　 　．
14．（2025八上·宣汉期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
15．（2025八上·宣汉期中）已知x﹣2的平方根是±1，2x+y+17的立方根是3，
（1）求x，y的值；
（2）求x2+y2的平方根；
（3）若将平面坐标系内点P(x，y)先向左再向下分别平移个单位，则对应点在第　象限．
16．（2025八上·宣汉期中）已知点，解答下列各题．
（1）若点P在x轴上，求点P的坐标；
（2）若点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标；
（3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的立方根．
17．（2025八上·宣汉期中）如图，在中，于点D，，，．
（1）求的长；
（2）求的长；
（3）求证：是直角三角形．
18．（2025八上·宣汉期中）我市电费实行阶梯式收费，标准如下：
一户居民一个月用电量的范围 电费价格/（元/千瓦时）
不超过200千瓦时的部分
超过200千瓦时，但不超过400千瓦时的部分
超过400千瓦时的部分
（1）设该市一户居民某月用电量千瓦时，当月的电费元，写出与的关系式：
当时，_____；当时，_____；
（2）某户居民七月份用电量为260千瓦时，求该户这个月的电费；
（3）某户居民八月份缴电费170元，那么该户居民八月份用电量为多少千瓦时？
19．（2025八上·宣汉期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
20．（2025八上·宣汉期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使点C落在上的点E处，若，则的值为　 　．
21．（2025八上·宣汉期中）将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为　 　．
22．（2025八上·宣汉期中）如图，有一个圆柱形食品盒，它的高为10cm，底面圆周长为24cm，如果在盒外AD的中点P处有一只蚂蚁，蚂蚁爬行的速度为2cm/s，它想吃到点B处（点A、B正好相对）的食物，那么它至少需要爬行　 　s．
23．（2025八上·宣汉期中）如图，在直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为(0，8)和(6，0)，将一根橡皮筋两端固定在A、B两点处，然后用手勾住橡皮筋向右上方拉升，使橡皮筋与坐标轴围成一个矩形AOBC，则橡皮筋被拉长了　 　个单位长度．
24．（2025八上·宣汉期中）已知，
（1）求的值；
（2）若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求的值．
25．（2025八上·宣汉期中）【问题背景】
（1）如图1，点是线段，的中点，求证：；
【变式迁移】
（2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在等腰中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长．
26．（2025八上·宣汉期中）如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段，点对应点，点对应点，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上．
（1）直接写出、、三点的坐标；
（2）如图，点是轴上的一个动点，当三角形面积是三角形的面积的一半时，求点的坐标；
（3）如图，若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比是：，运动过程中直线和交于点，若三角形的面积等于，求出点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】A.是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B.3.14是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C.是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D.是无理数，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率π都是无理数；据此判断即可.
2．【答案】C
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：当第三边是斜边时，
，
当第三边是直角边时，
，
∴第三边长的平方为9或41，
故选：C．
【分析】分两种情况讨论，当5为直角边时和当5为斜边时，利用勾股定理分别计算第三边的平方.
3．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，的符号相反；
∴点在第二或第四象限．
故选：C．
【分析】先根据成绩小于0判断x和y的符号关系，再依据各象限坐标符号特点确定点P所在象限.
4．【答案】D
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：A、对于部分x的值，y都有两个值与之对应，故不是的函数，不符合题意；
B、对于部分x的值，y都有两个值与之对应，故不是的函数，不符合题意；
C、对于部分x的值，y都有两个值与之对应，故不是的函数，不符合题意；
D、对于x的任意值，y都有唯一值与之对应，故是的函数，符合题意；
故选：D．
【分析】根据函数的定义，判断对于自变量x的每一个确定的值，因变量y是否有唯一确定的值与之对应，以此来确定y是否为x的函数.
5．【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、∵，而9的平方根是±3，∴的平方根是±3，此选项错误，不符合题意；
B、∵，∴此选项错误，不符合题意；
C、∵立方根等于本身的数有-1、0和1，∴此选项错误，不符合题意；
D、∵，∴选项正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】先根据算术平方根定义化简得9，再根据平方根定义求9的平方根为±3，从而可判断A选项；求的是100的算术平方根，根据一个正数的算术平方根就是一个正数，可判断B选项；如果一个数x的立方等于a，则x就是a的立方根，据此可得立方根等于本身的数有-1、0和1，从而可判断C选项；根据立方根的性质，互为相反数的两个数的立方根相等，可判断D选项.
6．【答案】A
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点P在第二象限
∴点P的横坐标小于0，纵坐标大于0
又∵点P到x轴的距离是3，到y轴的距离为1
∴点P的纵坐标为3，横坐标为-1
∴P的坐标是（-1，3）
故答案为：A.
【分析】先由点P的位置确定出它的横坐标与纵坐标的符号，然后根据它到x轴、y轴的距离求出坐标即可。
7．【答案】B
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵函数是正比例函数，
∴且，
∴，
故选：．
【分析】要确定k的值，需根据正比例函数的定义列出关于k的条件，先求常数项为0时k的值，再排除系数为0的情况，从而得出k的值.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵AC＝150 60＝90mm，BC＝180 60＝120mm，∴AB＝mm．
故答案为：D．
【分析】通过构造直角三角形，利用勾股定理求出两圆孔中心点A和点B之间的距离.
9．【答案】9；
【知识点】函数自变量的取值范围；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当时，，
∴当时，函数的值为9；
当时，即，
解得，
∴当函数值为4时，自变量x的值为．
故答案为：9；．
【分析】这道题考查的是函数值的求解以及已知函数值求自变量的值，涉及二次函数的基本运算.
10．【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵在轴上，
∴
解得：
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】现根据点在y轴上的横坐标为0的特征列出方程求出m的值，再讲m的值代入纵坐标表达式求出纵坐标，从而得到点M的坐标.
11．【答案】30
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】，
，
即，
a、b为两个连续的整数，
，
，
故答案为：．
【分析】先将转化为根号形式，估计其范围确定a，b的值，再计算ab的值.
12．【答案】4
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵二次根式与是同类二次根式，
∴3a-5=a+3，解得a=4．
故答案是：4.
【分析】先根据同类二次根式的定义得出被开方数相等，列出关于A的方程，再解方程求出A的值.
13．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设AB边上的高为h。
如图，
由网格的特点得：，，，，
解得：.
故答案为：.
【分析】先根据网格的特点求出，，，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AB的长，再根据三角形的面积公式即可求解.
14．【答案】（1）解：
（2）解：

（3）解：
（4）解：
∴或
【知识点】二次根式的混合运算；利用开平方求未知数
【解析】【分析】（1）根据平方差公式和完全平方公式分别化简式子中的两项，再进行计算；
（2）分别计算零指数幂，化简二次根式和绝对值的性质以及分母有理化分别化简式子中的各项，再进行计算；；
（3）根据二次根式的除法法则，二次根式的性质以及绝对值得性质分别化简式子中的各项，再进行计算；
（4）可先移项，再利用直接开平方法求解方程．
（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
∴或
15．【答案】解：（1）∵x﹣2的平方根是±1，2x+y+17的立方根是3，∴x﹣2＝1，2x+y+17＝27，
∴解得x＝3，y＝4；
（2）∵x＝3，y＝4，
∴x2+y2＝32+42＝9+16＝25，
则x2+y2的平方根为±5；
（3）二
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；点的坐标与象限的关系；平方根的概念与表示
【解析】【解答】（3）由题意知，点P的坐标为（3，4），
平移后点的坐标为（3﹣，4﹣），
∵3﹣＜0，4﹣＞0，
∴点P的对应点P'在第二象限．
故填二．
【分析】（1）根据平方根和立方根的定义求解即可；
（2）先求出x2+y2，再运用平方根的定义求解即可；
（3）根据坐标的变化规律求出点P的坐标，再根据坐标的特点，找到点P所在的象限即可．
16．【答案】（1）解：因为点在轴上，
所以，
解得，
所以，
所以
（2）解：因为直线轴，
所以，
解得，
所以，
所以
（3）解：因为点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，
所以，
解得，
所以，
所以的立方根是
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）在平面直角坐标系中，x轴上的点纵坐标都等于0，可得到方程即可求解；
（2）在平面直角坐标系中，平行于y轴的直线上的所有点横坐标都相等，列出方程并求解即可；
（3）在平面直角坐标系中，第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，列方程求解即可．
（1）解：因为点在轴上，
所以，
解得，
所以，
所以．
（2）解：因为直线轴，
所以，
解得，
所以，
所以．
（3）解：因为点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，
所以，
解得，
所以，
所以的立方根是．
17．【答案】（1）解：在中，于点D，
故在中，
（2）解：在中，于点D，
在中，
（3）证明：，
，
故是直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）利用垂直得到直角三角形，再用勾股定理计算直角边；
（2）先确定直角三角形，再用勾股定理计算；
（3）先求AB的长度，再用勾股定理的逆定理（若三角形三边满足，则为直角三角形）证明．
（1）解：在中，于点D，
故在中，
；
（2）解：在中，于点D，
在中，
；
（3）证明：，
，
故是直角三角形．
18．【答案】（1）；
（2）解：在中，当时，，
答：该户这个月的电费为146元
（3）解：∵，且，∴该户居民八月份用电量超过200千瓦时，但不超过400千瓦时，
在中，当时，，
答：该户居民八月份用电量为300千瓦时
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：由题意得，当时，；
当时，；
故答案为：；
【分析】（1）利用表中所给出的标准，写出y与x的关系式即可；
（2）把代入中，求出y的值即可得到答案；
（3）先计算说明170元的电费，用电量大于200千瓦，小于400千瓦，然后再代入求值即可．
（1）解：由题意得，当时，；
当时，；
（2）解：在中，当时，，
答：该户这个月的电费为146元；
（3）解：∵，且，
∴该户居民八月份用电量超过200千瓦时，但不超过400千瓦时，
在中，当时，，
答：该户居民八月份用电量为300千瓦时．
19．【答案】x≥4
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：依题意有x﹣4≥0，
解得x≥4．
故答案为：x≥4．
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
20．【答案】16
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，
，，
，
，
，
∴，
在中，，
在中，，
，
故答案为：16．
【分析】根据折叠的性质得到AE=AC，DE=CD，，由勾股定理得到两式相减，通过整式的化简即可得到结论．
21．【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：设张白纸粘合后的总长度为，
∵长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为，
可得
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了根据实际问题列一次函数，运用方程求一次函数的解析式的运用，解答此题时求出函数的解析式是关键.
22．【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题；圆柱的展开图
【解析】【解答】分两种情况讨论：
第一种情况，蚂蚁沿着圆柱体的侧面直接到达B点，
此时：将圆柱体的侧面展开，连接PB，即PB为最短路径，如图，
根据题意有：AD=10，AB为底面圆周长的一半，即AB=24÷2=12，
∵P点为AD中点，
∴AP=5，
在Rt△APB中，（cm），
∵蚂蚁的速度为2cm/s，
∴蚂蚁需要的时间为：13÷2=6.5（s），
即此时蚂蚁需要6.5s；
第二种情况：蚂蚁由P点直接到达A点，再由A点经过底面圆直达B点，
连接AB，可知AB为底面圆的直径，圆柱体展开如图，
∵底面圆的周长为24，
∴底面圆的直径AB=，
∵AP=5，
∴此时蚂蚁行走的距离为AP+AB=+5（cm），
∴此时蚂蚁需要的时间为：（s），
∵，
∴蚂蚁需要的最短时间为：s，
故答案为：．
【分析】分情况进行讨论：第一种情况，蚂蚁沿着圆柱体的侧面直接到达点B，利用勾股定理计算即可；第二种情况，蚂蚁由点P直接到达点A，再由点A经过底面圆直达点B，再进行计算即可.
23．【答案】4
【知识点】坐标与图形性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵A、B两点的坐标分别为(0，8)和(6，0)，
∴OA＝8，OB＝6，
∴，
∵四边形AOBC是矩形，
∴AC=OB=6，CB=OA8，
∵AC+BC-AB=6+8-10=4，
∴橡皮筋被拉长了4个单位长度，
故答案为：4．
【分析】由A、B两点的坐标得出OA、OB的长，然后根据勾股定理算出AB，进而根据矩形对边相等可得AC+BC=OB+OA，然后用AC+BC-AB即可得出答案.
24．【答案】（1）解：
（2）解：
由（1）知，
，
又∵的小数部分为的小数部分为，
【知识点】无理数的估值；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】 【分析】（1）先分母有理化求出、的值，求出x+y和xy的值，变形后代入求出即可；
（2）求出m，n的值，代入求值即可．
（1）解：
；
（2）解：
由（1）知，
，
又∵的小数部分为的小数部分为，
．
25．【答案】（1）证明：∵点是线段，的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图，
∵是等腰三角形，是底边上的高线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：延长到T，使，连接，延长交于点J，如图，
∵点为中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）利用已知条件得到AP=PB，CP=DP，再利用对顶角相等，可证的即可证明；
（2）通过构造全等三角形，将AF，BE转化为直角三角形的直角边，再用勾股定理推导出关系；
（3）通过构造全等三角形，将分散的线段（AF，CF）集中到直角三角形中，再结合等腰直角三角形性质计算》．
26．【答案】（1）解：，
，，
，，
，，
平移到向下平移了，
到向下平移了，
；
（2）解：，，，
，
设交轴于，作轴于，如图：
设，
，
，
解得：，
，
设，
，，
，
当或时，，
解得：，
当时，，
解得：，
或
（3）解：，
不在内，
设，
，运动速度之比是，
，
设，，
当在轴上方时，如图：
，
，
，
又，
，
解得：，，
；
当在轴下方时，作轴于，轴于，如图：
，
，
，
，
，
解得：，，
，
综上所述，点坐标为或
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；算术平方根的性质（双重非负性）；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）利用非负数的性质确定a，b的值，再结合平移的性质求C得坐标；
(2)先确定点D的坐标，再通过面积公式列方程，化简后再讨论绝对值（）求出解即可；
（3）利用速度比设参数，结合面积分割法分情况讨论：N点在x轴上方和N点在x轴下方列方程求解．
（1）解：，
，，
，，
，，
平移到向下平移了，
到向下平移了，
；
（2）解：，，，
，
设交轴于，作轴于，如图：
设，
，
，
解得：，
，
设，
，，
，
当或时，，
解得：，
当时，，
解得：，
或；
（3）解：，
不在内，
设，
，运动速度之比是，
，
设，，
当在轴上方时，如图：
，
，
，
又，
，
解得：，，
；
当在轴下方时，作轴于，轴于，如图：
，
，
，
，
，
解得：，，
，
综上所述，点坐标为或．
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