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四川省达州市通川区蒲家中学校2025—2026学年八年级上学期期中考试数学试题
1．（2025八上·通川期中）在，，，3.14，，，0.1010010001…（每两个1之间0的个数逐渐增加1个）这7个数中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：是整数，属于有理数；
在，，，3.14，，，0.1010010001…（每两个1之间0的个数逐渐增加1个）这7个数中，无理数有，无理数有，，0.1010010001…（每两个1之间0的个数逐渐增加1个），共3个．
故答案为：C．
【分析】根据无理数的定义分别进行识别，即可得出答案。
2．（2025八上·通川期中）下列四组数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、（）
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D．，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据勾股定理的逆定理：“如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”，对选项逐个判断即可．
3．（2025八上·通川期中）已知点，则点P到原点的距离为（　　）
A．4 B．5 C．7 D．3
【答案】B
【知识点】点的坐标；勾股定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】
解：∵点，
∴点P到原点的距离为，
故答案为：B．
【分析】根据点，可得出点P到连坐标轴的距离分别为4，3，进而根据勾股定理即可求得点P到原点的距离为。
4．（2025八上·通川期中）关于一次函数，下列结论正确的是（　　）
A．图象与轴的交点是
B．图象与坐标轴形成的三角形的面积为36
C．图象不经过第二象限
D．点和都在该函数图象上，若，则
【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：A．令，则，即，图象与轴的交点是，故本选项不符合题意；
B．令，则，图象与轴的交点是，则图象与坐标轴形成的三角形的面积为，故本选项不符合题意；
C．一次函数，，，则图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故本选项不符合题意；
D．一次函数，，函数值随自变量的增大而减小，所以若，则，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】依次分析每一选项，根据一次函数的性质，交点坐标计算，面积计算及增减性判断正误，选出正确的选项.
5．（2025八上·通川期中）如图：数轴上表示1、的对应点分别为A、B，且点A为线段的中点，则点C表示的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵点A为线段的中点，
∴，
∵ 表示1、的对应点分别为A、B ，
∴，
∴，
∴点C到原点的距离为：，
∴C点表示的数.
故答案为：D．
【分析】根据点A为线段的中点得，再根据表示1、的对应点分别为A、B 得，即可得点C到原点的距离为，进一步可得 点C表示的数 .
6．（2025八上·通川期中）已知点与点关于x轴对称，则的值为（　　）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点与点关于x轴对称，
∴，解得，
∴，
故选：B．
【分析】根据x轴对称，x的值不变，y值互为相反数，可以列方程求出m，n的值，然后代入即可.
7．（2025八上·通川期中）如图，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，已知，．求阴影部分面积为（　　）
A．12 B．24 C．18 D．20
【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【解答】解：在上取点G，使得，连结，
，，，
，
，
平分，，，
，，
在与中，
，
，，，
，
，
，
∴阴影部分面积为，
故选：A．
【分析】先根据SAS证明，再证明，然后可根据三角形面积公式求解．
8．（2025八上·通川期中）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在线段上，且，直线与的平分线交于D点，则点D的横坐标与它的纵坐标的和为（　　）
A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4
【答案】A
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：一次函数图象与x轴交于点B
将代入得，，点A的坐标为，
同理可得，点B的坐标为，
，
则，
令边长的高为，
则，
则，
点在线段上，且，
OC即为AB边上的高h，即
，
过点D作的垂线，垂足为H，
，平分，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，
，
解得：，
即点的坐标为，
．
故选：A．
【分析】本题主要对一次函数图象上点的坐标特征进行考查，根据一次函数与x，y轴分别交于A、B两点．可求出点A和点B的坐标分别为点A的坐标为，点B的坐标为，再求出的长，利用面积法求出边上的高h=2.4，由意义中可以得出，过点D作的垂线，垂足为H，证明，可得出，设，则，在中有，解方程计算出。
9．（2025八上·通川期中）比较大小：3　 　．（填“”“”或“”）
【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：，，
，
．
故答案为：．
【分析】首先求出这两个数的平方，进而根据平方的大小，即可得出这两个数的大小。
10．（2025八上·通川期中）如图，已知在中，，，，分别以，、为直径作半圆，则阴影部分的面积等于　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积
，
故答案为：24．
【分析】本题主要运用勾股定理以及扇形面积公式，通过将阴影部分的面积转化为几个规则图形面积的和或差来求解.
11．（2025八上·通川期中）已知点、，且直线平行于x轴，则的值为　 　．
【答案】-6
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【解答】解：∵、，且直线平行于轴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用“ 直线平行于轴 ”可得，再求出a的值即可.
12．（2025八上·通川期中）直线与两坐标轴围成的三角形的面积为　 　.
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当时，；令，则，解得，
∴直线与x轴交于点，与y轴交于点，
∴直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，
故答案为：．
【分析】先求出直线与x轴y轴的交点坐标，确定直角三角形的两条直角边的长度，再根据直角三角形的面积公式计算面积.
13．（2025八上·通川期中）如图，在的正方形方格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则是　 　三角形．
【答案】直角
【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：由图可知，，，，
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角．
【分析】结合网格图，先根据勾股定理求出AB2、AC2和BC2，再根据勾股定理的逆定理“一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形”即可得出结论.
14．（2025八上·通川期中）计算题：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的除法法则即可得出；
（2）首先根据二次根式的性质进行化简，然后再进行二次根式的加减即可；
（3）首先进行二次根式的化简，然后再合并同类二次根式；
（4）根据完全平方公式，平方差公式进行乘法运算，然后再进行加减运算。
（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
15．（2025八上·通川期中）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且．
（1）求边的长；
（2）求这块空地的面积．
【答案】（1）解：∵，
∴．
在中，，，
由勾股定理可得：，
∵E是的中点，
∴．
（2）解：连接，如图，
由题意可得：，E是的中点，
∴为等腰三角形，即．
∵，，
∴，为直角三角形
∴为直角三角形，，
∴，
由（1）可知，，
∴，
四边形的面积为：
答：这块空地的面积为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；多边形的面积；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求得的长度，再根据中点的定义可得即可求解；
（2）连接，把四边形分割成两个三角形，求出两个三角形的面积，即可求解．
（1）解：∵，
∴．
在中，
∵，，
∴，
∵E是的中点，
∴．
（2）解：连接，如图，
∵，E是的中点，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
∵，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴这块空地得面积为：．
答：这块空地的面积为．
16．（2025八上·通川期中）如图，每个小正方形网格的边长均为．已知，两村庄的坐标分别是，．
（1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系；
（2）若村庄，关于轴对称，则村庄的坐标是______；
（3）一辆汽车在轴上行驶，当行驶到点时，汽车到，两村庄的距离和最短，请在图中画出点，并求出此时汽车到，两村庄的距离和．
【答案】（1）解：
（2）．
（3）解：连接，线段与轴的交点即为点．
．
∵点，点关于轴对称，
∴．
∴．
∴此时汽车到，两村庄的距离和为．
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：（2）根据轴对称的性质可知，点的坐标为．
故答案为：．
【分析】（1）根据A，B的坐标分别为，，确定出原点和坐标轴的位置即可；
（2）根据关于y轴对称的点的特征，即可得出点C的坐标；
（3）根据B，C关于y轴对称，即可得出AC与x轴的交点即为点P的位置。
（1）解：
（2）解：根据轴对称的性质可知，点的坐标为．
故答案为：．
（3）解：连接，线段与轴的交点即为点．
．
∵点，点关于轴对称，
∴．
∴．
∴此时汽车到，两村庄的距离和为．
17．（2025八上·通川期中）已知．
（1）求的值；
（2）若为的小数部分，求的值；
（3）在（2）的条件下，求的值．
【答案】（1）解：，
，，
，，
；
（2）解：由（1）可知，，
，
，
，
的整数部分是4，小数部分是，
为的小数部分，
；
（3）解：，
，
．
【知识点】无理数的估值；完全平方公式及运用；分母有理化；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）先根据分母有理化化简a和b，接着根据二次根式乘法法则及加减法法则算得ab以及a-b，然后将待求式子利用配方法变形为(a-b)2+ab，最后整体代入计算即可得出答案；
（2）根据被开方数越大其算术平方根越大得出，然后根据不等式性质得出，从而得出其整数部分，再通过减去其整数部分算出其小数部分即可；
（3）先算出m2，将目标式子变形为m2(m+2)+m2-5m+2022，然后代入m2和m，算得答案即可．
（1）解：，
，，
，，
；
（2）解：由（1）可知，，
，
，
，
的整数部分是4，小数部分是，
为的小数部分，
；
（3）解：，
，
．
18．（2025八上·通川期中）某公共汽车线路收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）该公共汽车线路运营前即乘客数量为0时的前期投入为______万元；
（2）点B的实际意义是什么？
（3）求y与x之间的关系式；
（4）目前这条线路是亏损运营，为了扭亏，公交公司提出了以下两种方案：
方案1：票价不变，将运营前的前期投入降低为0.6万元；
方案2：运营前的前期投入不变，将票价提高为0.9元/人，
如果分别按照上述两种方案运营，那么收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系均发生了变化．
①分别写出方案1和方案2的收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系式，；
②当乘客数量是多少万人时，两种方案的收支差额相等？
【答案】（1）1
（2）解：点B的实际意义是当乘客数量为万人时，公共汽车线路收入万元；
（3）解：设直线的解析式为，把和代入得：，解得：，
∴直线的解析式为，
（4）解：①方案1：票价不变，将运营前的前期投入降低为0.6万元，∴函数关系式为：，
方案2：运营前的前期投入不变，将票价提高为0.9元/人，
∴函数关系式为：，
②令，则，
解得：，
∴当乘客数量是万人时，两种方案的收支差额相等．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；列一次函数关系式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-方案问题；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）当时，，
∴该公共汽车线路运营前即乘客数量为0时的前期投入为万元，
故答案为：；
【分析】（1）结合图象，根据点（0，-1）的实际意义，即可得到前期投入的资金数量；
（2）根据函数关系中x，y的含义可得出B表示的实际意义是当乘客数量为万人时，公共汽车线路收入万元；；
（3）设y与x之间的关系式为，根据点和，根据待定系数法求解解析式即可，
（4）①先分别求解两种方案下的函数解析式；
②令，建立方程求解即可．
（1）解：当时，，
∴该公共汽车线路运营前即乘客数量为0时的前期投入为万元，
故答案为：；
（2）解：点B的实际意义是当乘客数量为万人时，公共汽车线路收入万元；
（3）解：设直线的解析式为，把和代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
（4）解：①方案1：票价不变，将运营前的前期投入降低为0.6万元，
∴函数关系式为：，
方案2：运营前的前期投入不变，将票价提高为0.9元/人，
∴函数关系式为：，
②令，则，
解得：，
∴当乘客数量是万人时，两种方案的收支差额相等．
19．（2025八上·通川期中）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵一次函数的图象与轴交于点，
∴当时，，即时，，
∴关于的方程的解是．
故答案为：．
【分析】利用一次函数与一元一次方程的关系可得，一次函数与x轴的交点的横坐标即是对应的一元一次方程的解求解即可.
20．（2025八上·通川期中）已知实数x、y满足值是　 　．
【答案】9
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
∴，则，
∴．
故答案为：．
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数列出关于字母x的不等式组，求解得出x=2，然后将x的值代入原式算出y的值，最后根据有理数乘方运算法则计算即可得出答案.
21．（2025八上·通川期中）如图，长方形，，将其沿折叠，A点落在O点，C点落在D点，折痕为，则D的坐标为 　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，过D作于G，
∵，
∴，
由折叠的性质得：，，
设，则，
∵，
在中，，
，解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D的坐标为，
故答案为：．
【分析】如图，过D作于G，根据，可得出 长方形的长和宽为8和4，再根据折叠性质可得，，设，则，在中，根据勾股定理可得出，解得，即，进而根据面积法可得出，进而根据勾股定理可得出，即可得出点D的坐标为。
22．（2025八上·通川期中）小荣在中的“”内填入运算符号“×”得到的结果为，小德在中的“”内填入运算符号“ ”得到的结果为，则的值为　 　 ．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【分析】本次考查了二次根式的混合运算，先分别算出小荣和小德所填的运算符号，计算出m和n的值，在计算出mn的值.
23．（2025八上·通川期中）棱长分别为，的两个正方体如图放置，点，，在同一直线上，顶点在棱上，点是棱的靠近点的三等分点，一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点爬到点，它爬行的最短距离是　 　
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题；已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【解答】解：如图，有两种展开方法：
方法一：∵，
∴，
方法二：∵，
∴．
∵，
∴最短距离是： ．
故答案为： ．
【分析】这道题目要求我们计算一只蚂蚁从点A爬到点P的最短距离，其中A和P分别位于两个正方体的顶点上，我们需要结合几何知识和展开图的方法来解决这个过程.
24．（2025八上·通川期中）阅读下列材料，解答相应的问题．
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；；
．
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简：__________．
（2）请直接写出的化简结果：________．
（3）计算：．
【答案】（1）
（2）
（3）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：，
故答案为：.
【分析】（1）参照题干中的计算方法并利用分母有理化的计算方法分析求解即可；
（2）参照题干中的计算方法并利用分母有理化的计算方法分析求解即可；
（3）利用分母有理化的计算方法化简，再计算即可.
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：
．
25．（2025八上·通川期中）综合实践
【问题情境】
某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离．
（1）【独立思考】
这架云梯顶端距地面的距离有多高？
（2）【深入探究】
消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么梯子的底端下滑的距离是多少米？
（3）【问题解决】
在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？
【答案】（1）解：根据题意，，
∴这架云梯顶端距地面的距离的高为；
（2）解：，，
∴，
∴；
（3）解：能，理由如下，
云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，
∴相对安全的距离为不小于，
∵高的墙头有求救声，云梯的长为，
∴，
∴云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员．
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）由题意可得，，根据勾股定理可得B'C，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）根据题意可得相对安全的距离为不小于，运用勾股定理可得高的墙头处墙角与云梯底端的距离，再比较大小即可求出答案.
（1）解：根据题意，，
∴这架云梯顶端距地面的距离的高为；
（2）解：，，
∴，
∴；
（3）解：能，理由如下，
云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，
∴相对安全的距离为不小于，
∵高的墙头有求救声，云梯的长为，
∴，
∴云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员．
26．（2025八上·通川期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点．
（1）求m和b的值；
（2）若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．
①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点．将点代入得：，
将点代入直线得：
∴，
解得：；
（2）解：由（1）知：，
当时，，
，
，
，
，
；
①设，则，过C作于E，如图1所示：
，
，
的面积为10，
，
解得：；
②存在t的值，使为等腰三角形；理由如下：
过C作于E，如图1所示：
，
，，
∴，
∴；
a．当时，，
，
；
b．当时，如图2所示：
则，
，，
或；
c．当时，如图3所示：
设，则，，
，
解得：，
∴P与E重合，
，，
；
综上所述，存在t的值，使为等腰三角形，t的值为8或或或12．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一元一次方程的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）首先根据直线经过点，即可得出，再根据点C在直线上，即可得出；
（2）①根据的面积为10， 可得出，解得t=11；
②存在t的值，使为等腰三角形。根据为等腰三角形可分为三种情况：当时，；当时，或；当时，；
（1）解：在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点．将点代入得：
，
将点代入直线得：
∴，
解得：；
（2）解：由（1）知：，
当时，，
，
，
，
，
；
①设，则，过C作于E，如图1所示：
，
，
的面积为10，
∴，
解得：；
②存在t的值，使为等腰三角形；理由如下：
过C作于E，如图1所示：
，
，，
∴，
∴；
a．当时，，
，
；
b．当时，如图2所示：
则，
，，
或；
c．当时，如图3所示：
设，则，，
，
解得：，
∴P与E重合，
，，
；
综上所述，存在t的值，使为等腰三角形，t的值为8或或或12．
1 / 1四川省达州市通川区蒲家中学校2025—2026学年八年级上学期期中考试数学试题
1．（2025八上·通川期中）在，，，3.14，，，0.1010010001…（每两个1之间0的个数逐渐增加1个）这7个数中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2025八上·通川期中）下列四组数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、（）
3．（2025八上·通川期中）已知点，则点P到原点的距离为（　　）
A．4 B．5 C．7 D．3
4．（2025八上·通川期中）关于一次函数，下列结论正确的是（　　）
A．图象与轴的交点是
B．图象与坐标轴形成的三角形的面积为36
C．图象不经过第二象限
D．点和都在该函数图象上，若，则
5．（2025八上·通川期中）如图：数轴上表示1、的对应点分别为A、B，且点A为线段的中点，则点C表示的数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八上·通川期中）已知点与点关于x轴对称，则的值为（　　）
A．0 B．1 C． D．
7．（2025八上·通川期中）如图，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，已知，．求阴影部分面积为（　　）
A．12 B．24 C．18 D．20
8．（2025八上·通川期中）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在线段上，且，直线与的平分线交于D点，则点D的横坐标与它的纵坐标的和为（　　）
A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4
9．（2025八上·通川期中）比较大小：3　 　．（填“”“”或“”）
10．（2025八上·通川期中）如图，已知在中，，，，分别以，、为直径作半圆，则阴影部分的面积等于　 　．
11．（2025八上·通川期中）已知点、，且直线平行于x轴，则的值为　 　．
12．（2025八上·通川期中）直线与两坐标轴围成的三角形的面积为　 　.
13．（2025八上·通川期中）如图，在的正方形方格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则是　 　三角形．
14．（2025八上·通川期中）计算题：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
15．（2025八上·通川期中）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且．
（1）求边的长；
（2）求这块空地的面积．
16．（2025八上·通川期中）如图，每个小正方形网格的边长均为．已知，两村庄的坐标分别是，．
（1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系；
（2）若村庄，关于轴对称，则村庄的坐标是______；
（3）一辆汽车在轴上行驶，当行驶到点时，汽车到，两村庄的距离和最短，请在图中画出点，并求出此时汽车到，两村庄的距离和．
17．（2025八上·通川期中）已知．
（1）求的值；
（2）若为的小数部分，求的值；
（3）在（2）的条件下，求的值．
18．（2025八上·通川期中）某公共汽车线路收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）该公共汽车线路运营前即乘客数量为0时的前期投入为______万元；
（2）点B的实际意义是什么？
（3）求y与x之间的关系式；
（4）目前这条线路是亏损运营，为了扭亏，公交公司提出了以下两种方案：
方案1：票价不变，将运营前的前期投入降低为0.6万元；
方案2：运营前的前期投入不变，将票价提高为0.9元/人，
如果分别按照上述两种方案运营，那么收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系均发生了变化．
①分别写出方案1和方案2的收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系式，；
②当乘客数量是多少万人时，两种方案的收支差额相等？
19．（2025八上·通川期中）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为　 　．
20．（2025八上·通川期中）已知实数x、y满足值是　 　．
21．（2025八上·通川期中）如图，长方形，，将其沿折叠，A点落在O点，C点落在D点，折痕为，则D的坐标为 　 　．
22．（2025八上·通川期中）小荣在中的“”内填入运算符号“×”得到的结果为，小德在中的“”内填入运算符号“ ”得到的结果为，则的值为　 　 ．
23．（2025八上·通川期中）棱长分别为，的两个正方体如图放置，点，，在同一直线上，顶点在棱上，点是棱的靠近点的三等分点，一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点爬到点，它爬行的最短距离是　 　
24．（2025八上·通川期中）阅读下列材料，解答相应的问题．
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；；
．
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简：__________．
（2）请直接写出的化简结果：________．
（3）计算：．
25．（2025八上·通川期中）综合实践
【问题情境】
某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离．
（1）【独立思考】
这架云梯顶端距地面的距离有多高？
（2）【深入探究】
消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么梯子的底端下滑的距离是多少米？
（3）【问题解决】
在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？
26．（2025八上·通川期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点．
（1）求m和b的值；
（2）若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．
①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：是整数，属于有理数；
在，，，3.14，，，0.1010010001…（每两个1之间0的个数逐渐增加1个）这7个数中，无理数有，无理数有，，0.1010010001…（每两个1之间0的个数逐渐增加1个），共3个．
故答案为：C．
【分析】根据无理数的定义分别进行识别，即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D．，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据勾股定理的逆定理：“如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”，对选项逐个判断即可．
3．【答案】B
【知识点】点的坐标；勾股定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】
解：∵点，
∴点P到原点的距离为，
故答案为：B．
【分析】根据点，可得出点P到连坐标轴的距离分别为4，3，进而根据勾股定理即可求得点P到原点的距离为。
4．【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：A．令，则，即，图象与轴的交点是，故本选项不符合题意；
B．令，则，图象与轴的交点是，则图象与坐标轴形成的三角形的面积为，故本选项不符合题意；
C．一次函数，，，则图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故本选项不符合题意；
D．一次函数，，函数值随自变量的增大而减小，所以若，则，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】依次分析每一选项，根据一次函数的性质，交点坐标计算，面积计算及增减性判断正误，选出正确的选项.
5．【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵点A为线段的中点，
∴，
∵ 表示1、的对应点分别为A、B ，
∴，
∴，
∴点C到原点的距离为：，
∴C点表示的数.
故答案为：D．
【分析】根据点A为线段的中点得，再根据表示1、的对应点分别为A、B 得，即可得点C到原点的距离为，进一步可得 点C表示的数 .
6．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点与点关于x轴对称，
∴，解得，
∴，
故选：B．
【分析】根据x轴对称，x的值不变，y值互为相反数，可以列方程求出m，n的值，然后代入即可.
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【解答】解：在上取点G，使得，连结，
，，，
，
，
平分，，，
，，
在与中，
，
，，，
，
，
，
∴阴影部分面积为，
故选：A．
【分析】先根据SAS证明，再证明，然后可根据三角形面积公式求解．
8．【答案】A
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：一次函数图象与x轴交于点B
将代入得，，点A的坐标为，
同理可得，点B的坐标为，
，
则，
令边长的高为，
则，
则，
点在线段上，且，
OC即为AB边上的高h，即
，
过点D作的垂线，垂足为H，
，平分，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，
，
解得：，
即点的坐标为，
．
故选：A．
【分析】本题主要对一次函数图象上点的坐标特征进行考查，根据一次函数与x，y轴分别交于A、B两点．可求出点A和点B的坐标分别为点A的坐标为，点B的坐标为，再求出的长，利用面积法求出边上的高h=2.4，由意义中可以得出，过点D作的垂线，垂足为H，证明，可得出，设，则，在中有，解方程计算出。
9．【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：，，
，
．
故答案为：．
【分析】首先求出这两个数的平方，进而根据平方的大小，即可得出这两个数的大小。
10．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积
，
故答案为：24．
【分析】本题主要运用勾股定理以及扇形面积公式，通过将阴影部分的面积转化为几个规则图形面积的和或差来求解.
11．【答案】-6
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【解答】解：∵、，且直线平行于轴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用“ 直线平行于轴 ”可得，再求出a的值即可.
12．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当时，；令，则，解得，
∴直线与x轴交于点，与y轴交于点，
∴直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，
故答案为：．
【分析】先求出直线与x轴y轴的交点坐标，确定直角三角形的两条直角边的长度，再根据直角三角形的面积公式计算面积.
13．【答案】直角
【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：由图可知，，，，
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角．
【分析】结合网格图，先根据勾股定理求出AB2、AC2和BC2，再根据勾股定理的逆定理“一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形”即可得出结论.
14．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的除法法则即可得出；
（2）首先根据二次根式的性质进行化简，然后再进行二次根式的加减即可；
（3）首先进行二次根式的化简，然后再合并同类二次根式；
（4）根据完全平方公式，平方差公式进行乘法运算，然后再进行加减运算。
（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
15．【答案】（1）解：∵，
∴．
在中，，，
由勾股定理可得：，
∵E是的中点，
∴．
（2）解：连接，如图，
由题意可得：，E是的中点，
∴为等腰三角形，即．
∵，，
∴，为直角三角形
∴为直角三角形，，
∴，
由（1）可知，，
∴，
四边形的面积为：
答：这块空地的面积为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；多边形的面积；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求得的长度，再根据中点的定义可得即可求解；
（2）连接，把四边形分割成两个三角形，求出两个三角形的面积，即可求解．
（1）解：∵，
∴．
在中，
∵，，
∴，
∵E是的中点，
∴．
（2）解：连接，如图，
∵，E是的中点，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
∵，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴这块空地得面积为：．
答：这块空地的面积为．
16．【答案】（1）解：
（2）．
（3）解：连接，线段与轴的交点即为点．
．
∵点，点关于轴对称，
∴．
∴．
∴此时汽车到，两村庄的距离和为．
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：（2）根据轴对称的性质可知，点的坐标为．
故答案为：．
【分析】（1）根据A，B的坐标分别为，，确定出原点和坐标轴的位置即可；
（2）根据关于y轴对称的点的特征，即可得出点C的坐标；
（3）根据B，C关于y轴对称，即可得出AC与x轴的交点即为点P的位置。
（1）解：
（2）解：根据轴对称的性质可知，点的坐标为．
故答案为：．
（3）解：连接，线段与轴的交点即为点．
．
∵点，点关于轴对称，
∴．
∴．
∴此时汽车到，两村庄的距离和为．
17．【答案】（1）解：，
，，
，，
；
（2）解：由（1）可知，，
，
，
，
的整数部分是4，小数部分是，
为的小数部分，
；
（3）解：，
，
．
【知识点】无理数的估值；完全平方公式及运用；分母有理化；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）先根据分母有理化化简a和b，接着根据二次根式乘法法则及加减法法则算得ab以及a-b，然后将待求式子利用配方法变形为(a-b)2+ab，最后整体代入计算即可得出答案；
（2）根据被开方数越大其算术平方根越大得出，然后根据不等式性质得出，从而得出其整数部分，再通过减去其整数部分算出其小数部分即可；
（3）先算出m2，将目标式子变形为m2(m+2)+m2-5m+2022，然后代入m2和m，算得答案即可．
（1）解：，
，，
，，
；
（2）解：由（1）可知，，
，
，
，
的整数部分是4，小数部分是，
为的小数部分，
；
（3）解：，
，
．
18．【答案】（1）1
（2）解：点B的实际意义是当乘客数量为万人时，公共汽车线路收入万元；
（3）解：设直线的解析式为，把和代入得：，解得：，
∴直线的解析式为，
（4）解：①方案1：票价不变，将运营前的前期投入降低为0.6万元，∴函数关系式为：，
方案2：运营前的前期投入不变，将票价提高为0.9元/人，
∴函数关系式为：，
②令，则，
解得：，
∴当乘客数量是万人时，两种方案的收支差额相等．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；列一次函数关系式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-方案问题；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）当时，，
∴该公共汽车线路运营前即乘客数量为0时的前期投入为万元，
故答案为：；
【分析】（1）结合图象，根据点（0，-1）的实际意义，即可得到前期投入的资金数量；
（2）根据函数关系中x，y的含义可得出B表示的实际意义是当乘客数量为万人时，公共汽车线路收入万元；；
（3）设y与x之间的关系式为，根据点和，根据待定系数法求解解析式即可，
（4）①先分别求解两种方案下的函数解析式；
②令，建立方程求解即可．
（1）解：当时，，
∴该公共汽车线路运营前即乘客数量为0时的前期投入为万元，
故答案为：；
（2）解：点B的实际意义是当乘客数量为万人时，公共汽车线路收入万元；
（3）解：设直线的解析式为，把和代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
（4）解：①方案1：票价不变，将运营前的前期投入降低为0.6万元，
∴函数关系式为：，
方案2：运营前的前期投入不变，将票价提高为0.9元/人，
∴函数关系式为：，
②令，则，
解得：，
∴当乘客数量是万人时，两种方案的收支差额相等．
19．【答案】
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵一次函数的图象与轴交于点，
∴当时，，即时，，
∴关于的方程的解是．
故答案为：．
【分析】利用一次函数与一元一次方程的关系可得，一次函数与x轴的交点的横坐标即是对应的一元一次方程的解求解即可.
20．【答案】9
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
∴，则，
∴．
故答案为：．
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数列出关于字母x的不等式组，求解得出x=2，然后将x的值代入原式算出y的值，最后根据有理数乘方运算法则计算即可得出答案.
21．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，过D作于G，
∵，
∴，
由折叠的性质得：，，
设，则，
∵，
在中，，
，解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D的坐标为，
故答案为：．
【分析】如图，过D作于G，根据，可得出 长方形的长和宽为8和4，再根据折叠性质可得，，设，则，在中，根据勾股定理可得出，解得，即，进而根据面积法可得出，进而根据勾股定理可得出，即可得出点D的坐标为。
22．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【分析】本次考查了二次根式的混合运算，先分别算出小荣和小德所填的运算符号，计算出m和n的值，在计算出mn的值.
23．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题；已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【解答】解：如图，有两种展开方法：
方法一：∵，
∴，
方法二：∵，
∴．
∵，
∴最短距离是： ．
故答案为： ．
【分析】这道题目要求我们计算一只蚂蚁从点A爬到点P的最短距离，其中A和P分别位于两个正方体的顶点上，我们需要结合几何知识和展开图的方法来解决这个过程.
24．【答案】（1）
（2）
（3）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：，
故答案为：.
【分析】（1）参照题干中的计算方法并利用分母有理化的计算方法分析求解即可；
（2）参照题干中的计算方法并利用分母有理化的计算方法分析求解即可；
（3）利用分母有理化的计算方法化简，再计算即可.
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：
．
25．【答案】（1）解：根据题意，，
∴这架云梯顶端距地面的距离的高为；
（2）解：，，
∴，
∴；
（3）解：能，理由如下，
云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，
∴相对安全的距离为不小于，
∵高的墙头有求救声，云梯的长为，
∴，
∴云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员．
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）由题意可得，，根据勾股定理可得B'C，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）根据题意可得相对安全的距离为不小于，运用勾股定理可得高的墙头处墙角与云梯底端的距离，再比较大小即可求出答案.
（1）解：根据题意，，
∴这架云梯顶端距地面的距离的高为；
（2）解：，，
∴，
∴；
（3）解：能，理由如下，
云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，
∴相对安全的距离为不小于，
∵高的墙头有求救声，云梯的长为，
∴，
∴云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员．
26．【答案】（1）解：在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点．将点代入得：，
将点代入直线得：
∴，
解得：；
（2）解：由（1）知：，
当时，，
，
，
，
，
；
①设，则，过C作于E，如图1所示：
，
，
的面积为10，
，
解得：；
②存在t的值，使为等腰三角形；理由如下：
过C作于E，如图1所示：
，
，，
∴，
∴；
a．当时，，
，
；
b．当时，如图2所示：
则，
，，
或；
c．当时，如图3所示：
设，则，，
，
解得：，
∴P与E重合，
，，
；
综上所述，存在t的值，使为等腰三角形，t的值为8或或或12．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一元一次方程的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）首先根据直线经过点，即可得出，再根据点C在直线上，即可得出；
（2）①根据的面积为10， 可得出，解得t=11；
②存在t的值，使为等腰三角形。根据为等腰三角形可分为三种情况：当时，；当时，或；当时，；
（1）解：在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点．将点代入得：
，
将点代入直线得：
∴，
解得：；
（2）解：由（1）知：，
当时，，
，
，
，
，
；
①设，则，过C作于E，如图1所示：
，
，
的面积为10，
∴，
解得：；
②存在t的值，使为等腰三角形；理由如下：
过C作于E，如图1所示：
，
，，
∴，
∴；
a．当时，，
，
；
b．当时，如图2所示：
则，
，，
或；
c．当时，如图3所示：
设，则，，
，
解得：，
∴P与E重合，
，，
；
综上所述，存在t的值，使为等腰三角形，t的值为8或或或12．
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