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四川省达州市渠县三汇中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题
1．（2025八上·渠县期中）下列实数中，为无理数的是（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B.0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C．是无理数，故本选项符合题意；
D．，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
2．（2025八上·渠县期中）下列条件中，不能确定是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A. 若，则有，则，故是直角三角形，该选项不符合题意；
B. 若，设，则，由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不符合题意；
C. 若，设，，，则有，解得，则，，，故不是直角三角形，该选项符合题意；
D. 若，则有，
由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理的逆定理（两边平方和等于第三边平方）及三角形的内角和逐项分析判断即可.
3．（2025八上·渠县期中）在直角坐标系中，点A的坐标为，那么下列说法正确的是（　　）
A．点A到x轴的距离为3 B．点A与点关于x轴对称
C．点A与点关于y轴对称 D．点A在第二象限
【答案】D
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣对称；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：A、点A的坐标为，则点A到x轴的距离为4，选项错误；
B、点A关于x轴的对称点的坐标为，选项错误；
C、点A关于y轴的对称点为，选项错误；
D、点A的坐标为，则点A在第二象限，选项正确．
故选：D．
【分析】按照点在坐标平面内的特征以及轴对称的性质，对选项逐个判断即可．
4．（2025八上·渠县期中）若一次函数的图象经过点，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：当x=-1时，y1=2×（-1）+1=-1；当x=2时，y2=2×2+1=5，
∴y1故答案为：A.
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，将x=-1或2代入函数解析式中，求出y1、y2的值，即可比较y1、y2的大小.
5．（2025八上·渠县期中）如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B．3 C． D．9
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
在中，，
∴阴影部分面积为：
，
故答案为：C．
【分析】先由等腰直角三角形的面积公式及勾股定理得出，，根据阴影部分面积为S△AGC+S△BCF+S△ABE=并结合勾股定理进行求解即可．
6．（2025八上·渠县期中）如图所示，正方形ABCD的边长为1，AB在x轴的正半轴上，以A（1，0）为圆心，AC为半径作圆交x轴负半轴于点P，则点P的横坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；点的坐标；坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴AB=BC=1，
∴AC=，
∵以A为圆心，AC为半径画圆交轴负半轴于点P，
∴AP=，
∵点A（1，0），
∴点P的横坐标为：．
故答案为：D．
【分析】首先根据正方形的性质，得出AB=BC=1，进而得出AC=，再根据点A（1，0），即可得出点P的横坐标为：．
7．（2025八上·渠县期中）一次函数与正比例函数（为常数，且），它们在同一坐标系中的大致图象不可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；正比例函数的图象
【解析】【解答】解：A、由一次函数的图象可知，，，故，；由正比例函数的图象可知，两结论相矛盾，故A选项错误，符合题意；
B、由一次函数的图象可知，，，故，；由正比例函数的图象可知，两结论一致，故B选项正确，不符合题意；
C、由一次函数的图象可知，，，故，；由正比例函数的图象可知，两结论一致，故C选项正确，不符合题意；
D、由一次函数的图象可知，，，故，；由正比例函数的图象可知，两结论一致，故D选项正确，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】首先根据一次函数的图象的位置，得出m，n的正负，进而得出mn的正负，即可判断出一次函数图象的位置。对四个选项逐项进行判断，即可得出答案。
8．（2025八上·渠县期中）如图是一个无盖的长方体形盒子，长为，宽为，高为，点M在棱上，并且．一只蚂蚁在盒子内部，想从盒底的点M爬到盒顶的点D，则蚂蚁要爬行的最短路程是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，把侧面展平，侧面展开即为从盒底的点M爬到盒顶的点D的最短路径，则，
如图，把底面展平，即为从盒底的点M爬到盒顶的点D的最短路径，则，
如图，把侧面展平，即为从盒底的点M爬到盒顶的点D的最短路径，则，
，
蚂蚁爬行的最短路程是，
故选：A．
【分析】解决立体图形中“最短路径”问题，关键是将立体面展开为平面，利用“两点之间线段最短”和勾股定理计算不同展开方式下的路径长度，再比较得出最小值.
9．（2025八上·渠县期中）4的算术平方根是　 　．
【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
10．（2025八上·渠县期中）若点在y轴上，则点M的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在y轴上
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据y轴上的点横坐标为零可列出关于字母a的方程，求解得出a的值，从而即可求出点M的坐标.
11．（2025八上·渠县期中）a，b是两个连续整数，若，则的值是　 　．
【答案】7
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵a，b是两个连续的整数且，
∴，
∴，
故答案为：7.
【分析】根据被开方数越大其算术平方根就越大估算出，a，b是两个连续的整数且，据此得到a、b的值，进而再求出a与b的和即可.
12．（2025八上·渠县期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D，E．若，，则的周长为　 　 cm．
【答案】18
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵且平分
∴
中，
∴
∴的周长
故答案为18．
【分析】本题主要涉及垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，首先利用垂直平分线的性质得到线段相等关系，然后通过勾股定理求出斜边长度，最后根据三角形周长的定义求出的周长.
13．（2025八上·渠县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为　 　．
【答案】1
【知识点】一次函数的概念；关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点A（2，m）关于x轴的对称点B的坐标为（2，﹣m），
∵ 点B在直线y＝﹣x+1上
将点B（2，﹣m）的坐标代入直线y＝﹣x+1
得：﹣m＝﹣2+1，
解得：m＝1，
故答案为1．
【分析】 点A（2，m）关于x轴的对称点B的坐标为（2， m），然后再把B点坐标代入y＝ x＋1可得m的值．
14．（2025八上·渠县期中）计算．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）首先根据二次根式的性质进行化简，然后再合并同类二次根式即可；
（2）先进行二次根式的乘除运算，再进行合并即可；
（3）利用二次根式的四则混合法则进行计算即可；
（4）首先根据完全平方公式和平方差公式，进行二次根式的乘法运算，再合并同类二次根式。
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
15．（2025八上·渠县期中）已知：且a的立方根是它本身，的算术平方根是4．
（1）直接写出：______，______；
（2）求的平方根；
（3）若的整数部分是x，小数部分是y，求的值．
【答案】（1）1，5
（2）解：∵，，∴，
∴的平方根为
（3）解：∵，，，
∵，
∴，即，
∴的整数部分是2，小数部分是，
即，，
，
则的值为
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】（1）解：∵且的立方根是它本身，
，
∵的算术平方根是4，
∴，
，
故答案为：1，5．
【分析】（1）根据立方根的性质求出a的值，再根据算术平方根的定义求出b的值即可；
（2）先将a，b的值代入5a+8b求出其值，再根据平方根的定义求出结果即可；
（3）先求出的值，确定其整数部分x和小数部分y，最后计算出xy的值即可．
（1）解：∵且的立方根是它本身，
，
∵的算术平方根是4，
∴，
，
故答案为：1，5．
（2）解：∵，，
∴，
∴的平方根为．
（3）解：∵，，
，
∵，
∴，即，
∴的整数部分是2，小数部分是，
即，，
，
则的值为．
16．（2025八上·渠县期中）勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）求秋千的长度；
（2）如果将秋千往前推送，求此时踏板离地的垂直高度为多少？
【答案】（1）解：由题意知，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵，
∴，
设秋千的长度为，则，，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
即秋千的长度是；
（2）解：设时，，
∵，
∴，
由（1）可知，，
∴，
在中，，
由勾股定理得，则，
解得：或（舍去），
即此时踏板离地的垂直高度为．
【知识点】矩形的判定与性质；一元二次方程的应用-几何问题；利用开平方求未知数；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）首先判定四边形是矩形，即可得出，设秋千的长度为，根据勾股定理即可得出，解方程即可求解；
（2）设时，，在中，由勾股定理可得出，列方程求解即可。
（1）解：由题意知，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵，
∴，
设秋千的长度为，则，，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
即秋千的长度是；
（2）解：设时，，
∵，
∴，
由（1）可知，，
∴，
在中，，
由勾股定理得，则，
解得：或（舍去），
即此时踏板离地的垂直高度为．
17．（2025八上·渠县期中）如图，在平面直角坐标系中，，，将平移得到，其中的对应点是；
（1）写出点，的对应点，的坐标：_____，_____；
（2）在图中画出；
（3）设点在轴上，且的面积等于的面积，求出点的坐标．
【答案】（1），
（2）解：，，，
如图，即为所求．
（3）解：设点的坐标为，∵的面积等于的面积，
∴，
解得，，或，
∴点的坐标为或
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，
∴将向右平移个单位，向下平移个单位，得到，
∵，，
∴，，，，
∴，，
故答案为：，．
【分析】（1）根据平移的规律，确定平移后的点的坐标即可；
（2）画出平移后的即可；
（3）根据轴上的点的坐标特征，设出点的坐标，由面积相等列方程，求解即可得点的坐标．
（1）解：∵，，
∴，
∴将向右平移个单位，向下平移个单位，得到，
∵，，
∴，，，，
∴，，
故答案为：，．
（2）解：，，，
如图，即为所求．
（3）解：设点的坐标为，
∵的面积等于的面积，
∴，
解得，，或，
∴点的坐标为或．
18．（2025八上·渠县期中）已知，，且厘米，厘米，点P以每秒2厘米的速度从点B开始沿射线运动，同时点Q在线段上由点C向终点D运动，设运动时间为t秒．
（1）当时，______厘米，______厘米；
（2）如图①，点P在线段上时，经过几秒时，与全等 此时点Q的速度是多少
（3）如图②，是否存在点P，使得是直角三角形 若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）4，6
（2）解：由题意得厘米，当时，(厘米)，当时，(厘米)，
若使与全等，需分两种情况：
①当且时，如解图1，则，
∴，
解得，此时，
∴点的速度为（厘米/秒）；
②当且时，，
即，
解得，此时，
∴点的速度为（厘米/秒）
综上所述，当时，Q的速度为厘米/秒或当时，Q的速度为2厘米/秒；
（3）解：如图②中，作于H，
在中，
，，
∴，
∵，
，
①当为斜边时，
由勾股定理得，
整理得，
，
此情况不存在；
②当为斜边时，
由勾股定理得，
解得；
③当为斜边时，
由勾股定理得，
解得；
综上所述，满足条件的t的值为或．
【知识点】勾股定理；三角形-动点问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（1）解：时，(厘米)，
∵厘米，
∴(厘米) ，
故答案为：4；6；
【分析】（1）根据路程与速度的关系求出BP的长度，再根据CP=BC-BP求解即可；
（2）全等三角形满足对应边相等分两种情形讨论：①当AB=PC且BP=CQ；②当AB=CQ且BP=PC，分别构建方程解决问题即可；
（3）分三种情形：①直角顶点为A；②直角顶点为D；③直角顶点为P，利用勾股定理分别构建方程即可解决问题．
（1）解：时，(厘米)，
∵厘米，
∴(厘米) ，
故答案为：4；6；
（2）解：由题意得厘米，当时，(厘米)，
当时，(厘米)，
若使与全等，需分两种情况：
①当且时，如解图1，则，
∴，
解得，此时，
∴点的速度为（厘米/秒）；
②当且时，，
即，
解得，此时，
∴点的速度为（厘米/秒）
综上所述，当时，Q的速度为厘米/秒或当时，Q的速度为2厘米/秒；
（3）解：如图②中，作于H，
在中，
，，
∴，
∵，
，
①当为斜边时，
由勾股定理得，
整理得，
，
此情况不存在；
②当为斜边时，
由勾股定理得，
解得；
③当为斜边时，
由勾股定理得，
解得；
综上所述，满足条件的t的值为或．
19．（2025八上·渠县期中）比较大小：　 　．（填“”，“”或者“”）
【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：，
而5＜9，
，
，
，
故答案为：．
【分析】本题利用“作差法”列式并进行化简，然后利用平方比较和3的大小，即可得出答案。
20．（2025八上·渠县期中）将直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】将直线向上平移3个单位长度后所得直线的解析式为，
将代入得
解得，
故答案为：．
【分析】首先根据平移规律可得出向上平移3个单位长度后所得直线的解析式为，进而根据求得平移后的解析式为，即可得出k的值。
21．（2025八上·渠县期中）若，则代数式　 　．
【答案】1
【知识点】二次根式有无意义的条件；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
∴，
∴代数式，
故答案为：．
【分析】为了是表达式有意义，被开方数必须是非负数，需要根据x的值确定其具体形式，通过确定x和y的值求解即可.
22．（2025八上·渠县期中）如图所示，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走，又往北走，遇到障碍后又往西走，再折回向北走到处往东一拐，仅走就找到宝藏．问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，过点B作BC⊥AG于点C，交EH于点D，
易得四边形BDEF是矩形，四边形CDHG是矩形，
∴BF=ED=0.5，BD=FE=4.5，CD=HG=1.5，CG=DH=2-0.5=1.5，
∴AC=4-1.5=2.5，BC=BD+CD=4.5+1.5=6，
.
故答案为：．
【分析】如图，过点B作BC⊥AG于点C，交EH于点D，易得四边形BDEF是矩形，四边形CDHG是矩形，由矩形对边相等可得BF=ED=0.5，BD=FE=4.5，CD=HG=1.5，CG=DH=2-0.5=1.5，进而根据线段和差求出AC与BC，最后根据勾股定理算出AB即可.
23．（2025八上·渠县期中）如图已知点，，，点关于轴对称，点关于轴对称，是等腰直角三角形，，点在四边形边上从点A出发，以每秒5个单位长度沿方向运动，则第2025秒时，点的坐标为　 　．
【答案】或
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣对称；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，点关于轴对称，点关于轴对称，
∴，，
∴，，
∴，
∵点在四边形边上以每秒5个单位长度沿方向运动，
又∵，
∴第2025秒时，点运动到点，如下图所示，
此时可分两种情况讨论，
当点在第四象限时，过点作轴于点，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
当点在第一象限时，过点作轴于点，
同理可证明，
∴，，
∴，
∴．
综上所述，点的坐标为或．
故答案为：或．
【分析】先求出 点在四边形边上以每秒5个单位长度沿方向运动，再求出第2025秒时，点运动到点，分类讨论：①当点在第四象限时，②当点在第一象限时，再分别画出图形并利用全等三角形的判定方法和性质分析求解即可.
24．（2025八上·渠县期中）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”．小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和4的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是______．
（2）类比迁移：已知a，b均为正数，且．求的最小值．
（3）方法应用：已知a，b均为正数，且，，是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）．
【答案】解：（2）如图所示，，，，，
在Rt△ACD中，，
在Rt△BED中，，
∴，
∴要想的值最小，则的值最小，
∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，
过点B作交延长线于F，
∵，，，
∴四边形BECF是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为13；
（3）如图所示，，，，，
∴，，，
∴的面积即为所求，
∴
．
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）如图所示，，，，，
在Rt△ACD中，，在Rt△BED中，，
∴，
∴要想的值最小，则的值最小，
∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，
过点B作交延长线于F，
∵，，，
∴四边形BECF是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为10，
故答案为：10；
【分析】（1）如图，把看成两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，看成两直角边分别为8-x和4的直角三角形斜边长，构造几何图形，把代数和转化为线段和，再利用两点之间线段最短求最小值，即当A、D、B三点共线时，AD+BD的值最小，最小值为AB，从而利用勾股定理计算出线段AB的长度即可；
（2）如图，把看成直角边分别为a和2的直角三角形的斜边长，看成直角边分别为b和3的直角三角形的斜边长，构造几何图形， 把代数和转化为线段和，再利用两点之间线段最短求最小值，即当A、D、B三点共线时，AD+BD的值最小，最小值为AB，从而利用勾股定理计算出线段AB的长度即可；
（3）如图，把看成两直角边分别为a和b的直角三角形斜边长， 把看成两直角边分别为2a和b的直角三角形斜边长， 把看成两直角边分别为a和2b的直角三角形斜边长， 构造包含三边的△ADF，利用割补法，由S△ADF=S△ABF+S梯形BCDF-S△ACD，结合三角形面积公式及直角梯形面积公式，列式计算即可.
25．（2025八上·渠县期中）如图1，已知和为等腰直角三角形，按如图的位置摆放，直角顶点C重合．
（1）直接写出与的关系；
（2）将按如图2的位置摆放，使点A、D、E在同一直线上，求证：；
（3）将按如图3的位置摆放，使，，，求的长．
【答案】（1）解：且
（2）证明：如图2中，设交于O．
同（1）可得≌，
∴，.
∵，
∴，
∴.
∵，，
∴，
即，
∴；
（3）解：如图3中，连接，
∵，，
∴，.
∵，
∴.
∵，，
∴.
∵，
∴.
∵，，
∴≌，
∴.
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；猜想与证明
【解析】【解答】解：（1）结论：且．
理由：如图1中，延长AD交BC于点O，交BE于点H．
∵和为等腰直角三角形，
∴，，∠ACB=∠DCE=90°，
∴，
∴≌，
∴，.
∵，
∴，
∴．
【分析】（1）延长AD交BC于点O，交BE于点H，由等腰直角三角形的性质得AC=BC，DC=CE，∠ACB=∠DCE=90°，由同角的余角相等得∠ACD=∠BCE，用“SAS”证△ACD≌△BCE，由全等三角形的对应边相等，对应角相等得AD=BE，∠CACO=∠OBH，根据“8”字形图可推出∠OHB=∠ACO=90°，从而格努垂直的定义得出结论；
（2）设交于O，同（1）证得，AD=BE，在Rt△AEB中，利用勾股定理得出AE2+BE2=AB2，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，且AC=BC，从而即可得出结论；
（3）连接，由等腰直角三角形的性质得，，结合已知易得，利用勾股定理求出线段的长，再利用“SAS”证明≌，由全等三角形的对应边相等得BE=AD=9.
（1）结论：且．
理由：如图1中，延长交一点O．
∵和为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴≌，
∴，.
∵，
∴，
∴．
（2）如图2中，设交于O．
由（1）可知≌，
∴，.
∵，
∴，
∴.
∵，，
∴，
即，
∴；
（3）如图3中，连接，
∵，，
∴，.
∵，
∴.
∵，，
∴.
∵，
∴.
∵，，
∴≌，
∴，
∴．
26．（2025八上·渠县期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与轴、轴分别交于点、点，直线与交于点．
（1）求点、点、点的坐标，并求出的面积；
（2）在轴右侧有一动直线平行于轴，分别与，交于点、，
①若线段，此时点的坐标为__________；
②轴上有一点，使为等腰直角三角形，当点在点的下方时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：∵直线：与x轴、y轴分别交于点A、点B，故把代入得：；
把代入得：，
∴与轴、轴分别交于点、点坐标分别为、，
∵直线与交于点C，
联立得方程组：，
解得：，
故点；
则的面积；
（2）①，；②，，
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形全等及其性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰直角三角形；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（2）①设点、的坐标分别为、根据题意可得：，
解得：或，
所以点N的坐标为，；
②设、、的坐标分别为、、，
当时，如图：
，，
，，，
，
，，
即：，
解得：，
∴Q点坐标为：
当时，如图：
则，即：，
解得：，
；
∴Q点坐标为：
当时，如图：
则，即：，
解得：，
；
∴Q点坐标为：
综上，点的坐标为或或．
【分析】（1）令中的y=0，可求得A；令x=0，可求得B，再通过解方程组，即可得出；
（2）①设点、的坐标分别为、根据题意可得：，解得：或，即可得出点N的坐标为，；
②分、、三种情况，当时，Q点坐标为：；当时，Q点坐标为：；当时，Q点坐标为：．
（1）解：∵直线：与x轴、y轴分别交于点A、点B，
故把代入得：；
把代入得：，
∴与轴、轴分别交于点、点坐标分别为、，
∵直线与交于点C，
联立得方程组：，
解得：，
故点；
则的面积；
（2）解：①设点、的坐标分别为、
根据题意可得：，
解得：或，
所以点N的坐标为，；
②设、、的坐标分别为、、，
当时，如图：
，，
，，，
，
，，
即：，
解得：，
∴Q点坐标为：
当时，如图：
则，即：，
解得：，
；
∴Q点坐标为：
当时，如图：
则，即：，
解得：，
；
∴Q点坐标为：
综上，点的坐标为或或．
1 / 1四川省达州市渠县三汇中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题
1．（2025八上·渠县期中）下列实数中，为无理数的是（　　）
A． B．0 C． D．
2．（2025八上·渠县期中）下列条件中，不能确定是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八上·渠县期中）在直角坐标系中，点A的坐标为，那么下列说法正确的是（　　）
A．点A到x轴的距离为3 B．点A与点关于x轴对称
C．点A与点关于y轴对称 D．点A在第二象限
4．（2025八上·渠县期中）若一次函数的图象经过点，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八上·渠县期中）如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B．3 C． D．9
6．（2025八上·渠县期中）如图所示，正方形ABCD的边长为1，AB在x轴的正半轴上，以A（1，0）为圆心，AC为半径作圆交x轴负半轴于点P，则点P的横坐标是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八上·渠县期中）一次函数与正比例函数（为常数，且），它们在同一坐标系中的大致图象不可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025八上·渠县期中）如图是一个无盖的长方体形盒子，长为，宽为，高为，点M在棱上，并且．一只蚂蚁在盒子内部，想从盒底的点M爬到盒顶的点D，则蚂蚁要爬行的最短路程是（ ）．
A． B． C． D．
9．（2025八上·渠县期中）4的算术平方根是　 　．
10．（2025八上·渠县期中）若点在y轴上，则点M的坐标是　 　．
11．（2025八上·渠县期中）a，b是两个连续整数，若，则的值是　 　．
12．（2025八上·渠县期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D，E．若，，则的周长为　 　 cm．
13．（2025八上·渠县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为　 　．
14．（2025八上·渠县期中）计算．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
15．（2025八上·渠县期中）已知：且a的立方根是它本身，的算术平方根是4．
（1）直接写出：______，______；
（2）求的平方根；
（3）若的整数部分是x，小数部分是y，求的值．
16．（2025八上·渠县期中）勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）求秋千的长度；
（2）如果将秋千往前推送，求此时踏板离地的垂直高度为多少？
17．（2025八上·渠县期中）如图，在平面直角坐标系中，，，将平移得到，其中的对应点是；
（1）写出点，的对应点，的坐标：_____，_____；
（2）在图中画出；
（3）设点在轴上，且的面积等于的面积，求出点的坐标．
18．（2025八上·渠县期中）已知，，且厘米，厘米，点P以每秒2厘米的速度从点B开始沿射线运动，同时点Q在线段上由点C向终点D运动，设运动时间为t秒．
（1）当时，______厘米，______厘米；
（2）如图①，点P在线段上时，经过几秒时，与全等 此时点Q的速度是多少
（3）如图②，是否存在点P，使得是直角三角形 若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由．
19．（2025八上·渠县期中）比较大小：　 　．（填“”，“”或者“”）
20．（2025八上·渠县期中）将直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值是　 　．
21．（2025八上·渠县期中）若，则代数式　 　．
22．（2025八上·渠县期中）如图所示，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走，又往北走，遇到障碍后又往西走，再折回向北走到处往东一拐，仅走就找到宝藏．问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是　 　．
23．（2025八上·渠县期中）如图已知点，，，点关于轴对称，点关于轴对称，是等腰直角三角形，，点在四边形边上从点A出发，以每秒5个单位长度沿方向运动，则第2025秒时，点的坐标为　 　．
24．（2025八上·渠县期中）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”．小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和4的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是______．
（2）类比迁移：已知a，b均为正数，且．求的最小值．
（3）方法应用：已知a，b均为正数，且，，是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）．
25．（2025八上·渠县期中）如图1，已知和为等腰直角三角形，按如图的位置摆放，直角顶点C重合．
（1）直接写出与的关系；
（2）将按如图2的位置摆放，使点A、D、E在同一直线上，求证：；
（3）将按如图3的位置摆放，使，，，求的长．
26．（2025八上·渠县期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与轴、轴分别交于点、点，直线与交于点．
（1）求点、点、点的坐标，并求出的面积；
（2）在轴右侧有一动直线平行于轴，分别与，交于点、，
①若线段，此时点的坐标为__________；
②轴上有一点，使为等腰直角三角形，当点在点的下方时，请直接写出点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B.0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C．是无理数，故本选项符合题意；
D．，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A. 若，则有，则，故是直角三角形，该选项不符合题意；
B. 若，设，则，由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不符合题意；
C. 若，设，，，则有，解得，则，，，故不是直角三角形，该选项符合题意；
D. 若，则有，
由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理的逆定理（两边平方和等于第三边平方）及三角形的内角和逐项分析判断即可.
3．【答案】D
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣对称；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：A、点A的坐标为，则点A到x轴的距离为4，选项错误；
B、点A关于x轴的对称点的坐标为，选项错误；
C、点A关于y轴的对称点为，选项错误；
D、点A的坐标为，则点A在第二象限，选项正确．
故选：D．
【分析】按照点在坐标平面内的特征以及轴对称的性质，对选项逐个判断即可．
4．【答案】A
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：当x=-1时，y1=2×（-1）+1=-1；当x=2时，y2=2×2+1=5，
∴y1故答案为：A.
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，将x=-1或2代入函数解析式中，求出y1、y2的值，即可比较y1、y2的大小.
5．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
在中，，
∴阴影部分面积为：
，
故答案为：C．
【分析】先由等腰直角三角形的面积公式及勾股定理得出，，根据阴影部分面积为S△AGC+S△BCF+S△ABE=并结合勾股定理进行求解即可．
6．【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；点的坐标；坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴AB=BC=1，
∴AC=，
∵以A为圆心，AC为半径画圆交轴负半轴于点P，
∴AP=，
∵点A（1，0），
∴点P的横坐标为：．
故答案为：D．
【分析】首先根据正方形的性质，得出AB=BC=1，进而得出AC=，再根据点A（1，0），即可得出点P的横坐标为：．
7．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；正比例函数的图象
【解析】【解答】解：A、由一次函数的图象可知，，，故，；由正比例函数的图象可知，两结论相矛盾，故A选项错误，符合题意；
B、由一次函数的图象可知，，，故，；由正比例函数的图象可知，两结论一致，故B选项正确，不符合题意；
C、由一次函数的图象可知，，，故，；由正比例函数的图象可知，两结论一致，故C选项正确，不符合题意；
D、由一次函数的图象可知，，，故，；由正比例函数的图象可知，两结论一致，故D选项正确，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】首先根据一次函数的图象的位置，得出m，n的正负，进而得出mn的正负，即可判断出一次函数图象的位置。对四个选项逐项进行判断，即可得出答案。
8．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，把侧面展平，侧面展开即为从盒底的点M爬到盒顶的点D的最短路径，则，
如图，把底面展平，即为从盒底的点M爬到盒顶的点D的最短路径，则，
如图，把侧面展平，即为从盒底的点M爬到盒顶的点D的最短路径，则，
，
蚂蚁爬行的最短路程是，
故选：A．
【分析】解决立体图形中“最短路径”问题，关键是将立体面展开为平面，利用“两点之间线段最短”和勾股定理计算不同展开方式下的路径长度，再比较得出最小值.
9．【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
10．【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在y轴上
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据y轴上的点横坐标为零可列出关于字母a的方程，求解得出a的值，从而即可求出点M的坐标.
11．【答案】7
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵a，b是两个连续的整数且，
∴，
∴，
故答案为：7.
【分析】根据被开方数越大其算术平方根就越大估算出，a，b是两个连续的整数且，据此得到a、b的值，进而再求出a与b的和即可.
12．【答案】18
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵且平分
∴
中，
∴
∴的周长
故答案为18．
【分析】本题主要涉及垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，首先利用垂直平分线的性质得到线段相等关系，然后通过勾股定理求出斜边长度，最后根据三角形周长的定义求出的周长.
13．【答案】1
【知识点】一次函数的概念；关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点A（2，m）关于x轴的对称点B的坐标为（2，﹣m），
∵ 点B在直线y＝﹣x+1上
将点B（2，﹣m）的坐标代入直线y＝﹣x+1
得：﹣m＝﹣2+1，
解得：m＝1，
故答案为1．
【分析】 点A（2，m）关于x轴的对称点B的坐标为（2， m），然后再把B点坐标代入y＝ x＋1可得m的值．
14．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）首先根据二次根式的性质进行化简，然后再合并同类二次根式即可；
（2）先进行二次根式的乘除运算，再进行合并即可；
（3）利用二次根式的四则混合法则进行计算即可；
（4）首先根据完全平方公式和平方差公式，进行二次根式的乘法运算，再合并同类二次根式。
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
15．【答案】（1）1，5
（2）解：∵，，∴，
∴的平方根为
（3）解：∵，，，
∵，
∴，即，
∴的整数部分是2，小数部分是，
即，，
，
则的值为
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】（1）解：∵且的立方根是它本身，
，
∵的算术平方根是4，
∴，
，
故答案为：1，5．
【分析】（1）根据立方根的性质求出a的值，再根据算术平方根的定义求出b的值即可；
（2）先将a，b的值代入5a+8b求出其值，再根据平方根的定义求出结果即可；
（3）先求出的值，确定其整数部分x和小数部分y，最后计算出xy的值即可．
（1）解：∵且的立方根是它本身，
，
∵的算术平方根是4，
∴，
，
故答案为：1，5．
（2）解：∵，，
∴，
∴的平方根为．
（3）解：∵，，
，
∵，
∴，即，
∴的整数部分是2，小数部分是，
即，，
，
则的值为．
16．【答案】（1）解：由题意知，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵，
∴，
设秋千的长度为，则，，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
即秋千的长度是；
（2）解：设时，，
∵，
∴，
由（1）可知，，
∴，
在中，，
由勾股定理得，则，
解得：或（舍去），
即此时踏板离地的垂直高度为．
【知识点】矩形的判定与性质；一元二次方程的应用-几何问题；利用开平方求未知数；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）首先判定四边形是矩形，即可得出，设秋千的长度为，根据勾股定理即可得出，解方程即可求解；
（2）设时，，在中，由勾股定理可得出，列方程求解即可。
（1）解：由题意知，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵，
∴，
设秋千的长度为，则，，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
即秋千的长度是；
（2）解：设时，，
∵，
∴，
由（1）可知，，
∴，
在中，，
由勾股定理得，则，
解得：或（舍去），
即此时踏板离地的垂直高度为．
17．【答案】（1），
（2）解：，，，
如图，即为所求．
（3）解：设点的坐标为，∵的面积等于的面积，
∴，
解得，，或，
∴点的坐标为或
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，
∴将向右平移个单位，向下平移个单位，得到，
∵，，
∴，，，，
∴，，
故答案为：，．
【分析】（1）根据平移的规律，确定平移后的点的坐标即可；
（2）画出平移后的即可；
（3）根据轴上的点的坐标特征，设出点的坐标，由面积相等列方程，求解即可得点的坐标．
（1）解：∵，，
∴，
∴将向右平移个单位，向下平移个单位，得到，
∵，，
∴，，，，
∴，，
故答案为：，．
（2）解：，，，
如图，即为所求．
（3）解：设点的坐标为，
∵的面积等于的面积，
∴，
解得，，或，
∴点的坐标为或．
18．【答案】（1）4，6
（2）解：由题意得厘米，当时，(厘米)，当时，(厘米)，
若使与全等，需分两种情况：
①当且时，如解图1，则，
∴，
解得，此时，
∴点的速度为（厘米/秒）；
②当且时，，
即，
解得，此时，
∴点的速度为（厘米/秒）
综上所述，当时，Q的速度为厘米/秒或当时，Q的速度为2厘米/秒；
（3）解：如图②中，作于H，
在中，
，，
∴，
∵，
，
①当为斜边时，
由勾股定理得，
整理得，
，
此情况不存在；
②当为斜边时，
由勾股定理得，
解得；
③当为斜边时，
由勾股定理得，
解得；
综上所述，满足条件的t的值为或．
【知识点】勾股定理；三角形-动点问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（1）解：时，(厘米)，
∵厘米，
∴(厘米) ，
故答案为：4；6；
【分析】（1）根据路程与速度的关系求出BP的长度，再根据CP=BC-BP求解即可；
（2）全等三角形满足对应边相等分两种情形讨论：①当AB=PC且BP=CQ；②当AB=CQ且BP=PC，分别构建方程解决问题即可；
（3）分三种情形：①直角顶点为A；②直角顶点为D；③直角顶点为P，利用勾股定理分别构建方程即可解决问题．
（1）解：时，(厘米)，
∵厘米，
∴(厘米) ，
故答案为：4；6；
（2）解：由题意得厘米，当时，(厘米)，
当时，(厘米)，
若使与全等，需分两种情况：
①当且时，如解图1，则，
∴，
解得，此时，
∴点的速度为（厘米/秒）；
②当且时，，
即，
解得，此时，
∴点的速度为（厘米/秒）
综上所述，当时，Q的速度为厘米/秒或当时，Q的速度为2厘米/秒；
（3）解：如图②中，作于H，
在中，
，，
∴，
∵，
，
①当为斜边时，
由勾股定理得，
整理得，
，
此情况不存在；
②当为斜边时，
由勾股定理得，
解得；
③当为斜边时，
由勾股定理得，
解得；
综上所述，满足条件的t的值为或．
19．【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：，
而5＜9，
，
，
，
故答案为：．
【分析】本题利用“作差法”列式并进行化简，然后利用平方比较和3的大小，即可得出答案。
20．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】将直线向上平移3个单位长度后所得直线的解析式为，
将代入得
解得，
故答案为：．
【分析】首先根据平移规律可得出向上平移3个单位长度后所得直线的解析式为，进而根据求得平移后的解析式为，即可得出k的值。
21．【答案】1
【知识点】二次根式有无意义的条件；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
∴，
∴代数式，
故答案为：．
【分析】为了是表达式有意义，被开方数必须是非负数，需要根据x的值确定其具体形式，通过确定x和y的值求解即可.
22．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，过点B作BC⊥AG于点C，交EH于点D，
易得四边形BDEF是矩形，四边形CDHG是矩形，
∴BF=ED=0.5，BD=FE=4.5，CD=HG=1.5，CG=DH=2-0.5=1.5，
∴AC=4-1.5=2.5，BC=BD+CD=4.5+1.5=6，
.
故答案为：．
【分析】如图，过点B作BC⊥AG于点C，交EH于点D，易得四边形BDEF是矩形，四边形CDHG是矩形，由矩形对边相等可得BF=ED=0.5，BD=FE=4.5，CD=HG=1.5，CG=DH=2-0.5=1.5，进而根据线段和差求出AC与BC，最后根据勾股定理算出AB即可.
23．【答案】或
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣对称；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，点关于轴对称，点关于轴对称，
∴，，
∴，，
∴，
∵点在四边形边上以每秒5个单位长度沿方向运动，
又∵，
∴第2025秒时，点运动到点，如下图所示，
此时可分两种情况讨论，
当点在第四象限时，过点作轴于点，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
当点在第一象限时，过点作轴于点，
同理可证明，
∴，，
∴，
∴．
综上所述，点的坐标为或．
故答案为：或．
【分析】先求出 点在四边形边上以每秒5个单位长度沿方向运动，再求出第2025秒时，点运动到点，分类讨论：①当点在第四象限时，②当点在第一象限时，再分别画出图形并利用全等三角形的判定方法和性质分析求解即可.
24．【答案】解：（2）如图所示，，，，，
在Rt△ACD中，，
在Rt△BED中，，
∴，
∴要想的值最小，则的值最小，
∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，
过点B作交延长线于F，
∵，，，
∴四边形BECF是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为13；
（3）如图所示，，，，，
∴，，，
∴的面积即为所求，
∴
．
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）如图所示，，，，，
在Rt△ACD中，，在Rt△BED中，，
∴，
∴要想的值最小，则的值最小，
∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，
过点B作交延长线于F，
∵，，，
∴四边形BECF是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为10，
故答案为：10；
【分析】（1）如图，把看成两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，看成两直角边分别为8-x和4的直角三角形斜边长，构造几何图形，把代数和转化为线段和，再利用两点之间线段最短求最小值，即当A、D、B三点共线时，AD+BD的值最小，最小值为AB，从而利用勾股定理计算出线段AB的长度即可；
（2）如图，把看成直角边分别为a和2的直角三角形的斜边长，看成直角边分别为b和3的直角三角形的斜边长，构造几何图形， 把代数和转化为线段和，再利用两点之间线段最短求最小值，即当A、D、B三点共线时，AD+BD的值最小，最小值为AB，从而利用勾股定理计算出线段AB的长度即可；
（3）如图，把看成两直角边分别为a和b的直角三角形斜边长， 把看成两直角边分别为2a和b的直角三角形斜边长， 把看成两直角边分别为a和2b的直角三角形斜边长， 构造包含三边的△ADF，利用割补法，由S△ADF=S△ABF+S梯形BCDF-S△ACD，结合三角形面积公式及直角梯形面积公式，列式计算即可.
25．【答案】（1）解：且
（2）证明：如图2中，设交于O．
同（1）可得≌，
∴，.
∵，
∴，
∴.
∵，，
∴，
即，
∴；
（3）解：如图3中，连接，
∵，，
∴，.
∵，
∴.
∵，，
∴.
∵，
∴.
∵，，
∴≌，
∴.
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；猜想与证明
【解析】【解答】解：（1）结论：且．
理由：如图1中，延长AD交BC于点O，交BE于点H．
∵和为等腰直角三角形，
∴，，∠ACB=∠DCE=90°，
∴，
∴≌，
∴，.
∵，
∴，
∴．
【分析】（1）延长AD交BC于点O，交BE于点H，由等腰直角三角形的性质得AC=BC，DC=CE，∠ACB=∠DCE=90°，由同角的余角相等得∠ACD=∠BCE，用“SAS”证△ACD≌△BCE，由全等三角形的对应边相等，对应角相等得AD=BE，∠CACO=∠OBH，根据“8”字形图可推出∠OHB=∠ACO=90°，从而格努垂直的定义得出结论；
（2）设交于O，同（1）证得，AD=BE，在Rt△AEB中，利用勾股定理得出AE2+BE2=AB2，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，且AC=BC，从而即可得出结论；
（3）连接，由等腰直角三角形的性质得，，结合已知易得，利用勾股定理求出线段的长，再利用“SAS”证明≌，由全等三角形的对应边相等得BE=AD=9.
（1）结论：且．
理由：如图1中，延长交一点O．
∵和为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴≌，
∴，.
∵，
∴，
∴．
（2）如图2中，设交于O．
由（1）可知≌，
∴，.
∵，
∴，
∴.
∵，，
∴，
即，
∴；
（3）如图3中，连接，
∵，，
∴，.
∵，
∴.
∵，，
∴.
∵，
∴.
∵，，
∴≌，
∴，
∴．
26．【答案】（1）解：∵直线：与x轴、y轴分别交于点A、点B，故把代入得：；
把代入得：，
∴与轴、轴分别交于点、点坐标分别为、，
∵直线与交于点C，
联立得方程组：，
解得：，
故点；
则的面积；
（2）①，；②，，
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形全等及其性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰直角三角形；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（2）①设点、的坐标分别为、根据题意可得：，
解得：或，
所以点N的坐标为，；
②设、、的坐标分别为、、，
当时，如图：
，，
，，，
，
，，
即：，
解得：，
∴Q点坐标为：
当时，如图：
则，即：，
解得：，
；
∴Q点坐标为：
当时，如图：
则，即：，
解得：，
；
∴Q点坐标为：
综上，点的坐标为或或．
【分析】（1）令中的y=0，可求得A；令x=0，可求得B，再通过解方程组，即可得出；
（2）①设点、的坐标分别为、根据题意可得：，解得：或，即可得出点N的坐标为，；
②分、、三种情况，当时，Q点坐标为：；当时，Q点坐标为：；当时，Q点坐标为：．
（1）解：∵直线：与x轴、y轴分别交于点A、点B，
故把代入得：；
把代入得：，
∴与轴、轴分别交于点、点坐标分别为、，
∵直线与交于点C，
联立得方程组：，
解得：，
故点；
则的面积；
（2）解：①设点、的坐标分别为、
根据题意可得：，
解得：或，
所以点N的坐标为，；
②设、、的坐标分别为、、，
当时，如图：
，，
，，，
，
，，
即：，
解得：，
∴Q点坐标为：
当时，如图：
则，即：，
解得：，
；
∴Q点坐标为：
当时，如图：
则，即：，
解得：，
；
∴Q点坐标为：
综上，点的坐标为或或．
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