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湖南省郴州市北湖区2025-2026学年九年级上学期期中学业水平调研数学试卷
1．（2025九上·北湖期中）下列方程为一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：、是一元一次方程，A选项不合题意；
、是代数式，不是方程，B选项不合题意；
、是一元二次方程，C选项符合题意；
、含有两个未知数，不是一元二次方程，D选项不合题意；
故选：．
【分析】一元二次方程：含有一个未知数且未知数的最高次数是的整式方程，根据一元二次方程的定义依次判断即可．
2．（2025九上·北湖期中）皮影戏是中国民间戏剧，也是国家非物质文化遗产．如图，用灯光照射兽皮或纸板做成的“人物”，屏幕上便出现影子，则实物与其影子之间的变换是（　　）
A．平移变换 B．轴对称变换 C．位似变换 D．旋转变换
【答案】C
【知识点】轴对称的性质；平移的性质；旋转的性质；位似图形的性质
【解析】【解答】解：A：实物与其影子之间的变换不是平移变化，A选项不符合；
B：实物与其影子之间的变换不是轴对称变化，B选项不符合；
C：实物与其影子之间的变换是位似变换 ，C选项符合；
D： 实物与其影子之间的变换不是旋转变化，D选项符合
故选C．
【分析】平移变换：图形沿某一方向移动，对应点连线平行，不改变形状、大小，不符合皮影中实物与影子的关系；
轴对称变换：图形关于某直线对称，对应点到对称轴距离相等，皮影中无“对称轴”类关系，不符合；
位似变换：是相似变换且对应点连线都经过同一位似中心．皮影戏中，灯光为位似中心，实物与影子相似，且实物各点与影子对应点的连线都经过灯光，符合位似变换的定义．
旋转变换：图形绕某点旋转，对应点到旋转中心距离相等，皮影中并非绕点旋转的关系，不符合；
根据以上定义依次判断即可.
3．（2025九上·北湖期中）一元二次方程配方后可化为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】利用配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，第一步移项，第二步系数化1，此题已经化1，跳过此步，第三步配方，第四步写成完全平方式即可．
4．（2025九上·北湖期中）已知某物体对地面的压力为，而物体对地面的压强p与受力面积S之间的关系为，则该函数图象一定过点（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
A、当时，，∴点 在图象上，故选项A符合题意；
B、当时分母为零，P无意义，∴点(0，0)不在图象上，故选项B不符合题意；
C、当时，，∴点不在图象上，故选项C不符合题意；
D、因为受力面积，所以点不在函数图象上，故选项D不符合题意．
故选：A．
【分析】根据反比例函数，将各顶点的横坐标代入S计算P值，与纵坐标比较是否一致，如一致，就代表在函数图象上，不一致就代表不在函数图象上．
5．（2025九上·北湖期中）《感动中国2024年度人物颁奖盛典》节目上线后，第一天的播放量为135万次，第三天的播放量增长到228万次．设该节目播放量的日均增长率为x，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设日均增长率为x，则第二天播放量为，第三天播放量为，
由题意可得．
故选：A．
【分析】根据日均增长率的定义，每天播放量是前一天的倍，故从第一天到第三天的增长倍数为，再乘第一天的初始播放量则等于第三天的播放量．
6．（2025九上·北湖期中）函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：函数的图象是位于第一、三象限的双曲线，大致是
故选：D
【分析】反比例函数，当k＞0时，图像经过一三象限，当k＜0时，图像经过二四象限．
7．（2025九上·北湖期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（　　）
A．8 B． C．16 D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得．
故选：C．
【分析】一元二次方程有两个相等的实数根时，即判别式等于0，列出式子后，就可以求出c．
8．（2025九上·北湖期中）若一元二次方程的两根为，（），则点位于平面直角坐标系中的（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：，
解得，
∵，
∴，，
∴点，
∵横坐标，纵坐标，
∴点在第二象限，
故选：B．
【分析】先解一元二次方程得到两根，再根据已知两根的大小关系确定点P的坐标，最后根据象限点的符号特征判断位置．
9．（2025九上·北湖期中）如图，在中，，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴（三角形相似，对应边成比例）；
故选：C．
【分析】根据DE∥BC可证明，再根据两个三角形相似，对应边成比例即线段之间的关系进行求解即可．
10．（2025九上·北湖期中）若方程的两根满足，则在下列关于、的等量关系式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程 的两根为 和，
由根与系数的关系可得：，，
又 ∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
将 代入：
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】利用根与系数的关系，，，根据已知条件可知，将其代入伟达公式中，可推算出m与n的关系式．
11．（2025九上·北湖期中）若，则　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由可设，（），
则
故答案为：．
【分析】根据已知的比例关系，可设，，再代入所求分式中可约分后得到答案．
12．（2025九上·北湖期中）如图，已知．则的度数为　 　°
【答案】70
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案是：70．
【分析】先根据相似三角形的性质，两三角形相似，对应角相等，可得出，再根据三角形内角和定理可求出∠C．
13．（2025九上·北湖期中）若点在反比例函数的图象上，则的值是　 　．
【答案】4
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得．
故答案为：4．
【分析】点在函数图象上，只需要将点坐标代入反比例函数解析式，就可以求出a的值．
14．（2025九上·北湖期中）如图，、分别是的边、上的点，请你添加一个条件，使与相似，你添加的条件是　 　．
【答案】或或
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：， 使与相似，
∴增加一组角对应相等，或夹角A的一对边对应成比例，
或或.
故答案为：或或．
【分析】根据三角形相似的判定进行作答即可.
15．（2025九上·北湖期中）若是方程的一个根，则的值为　 　．
【答案】11
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵是方程 的一个根，
∴，
∴．
∴．
故答案为：11．
【分析】x=a是一元二次方程的根，则只需要将其代入方程中得到a的关系式，再将所求的式子换成一样的格式，用整体代入法计算即可．
16．（2025九上·北湖期中）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水面，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为　 　米．
【答案】4.5
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴（米），
故答案为：4.5．
【分析】BD和AC都垂直AB，则BD∥AC，可知，再根据相似三角形的性质，对应边成比例，列比例式求解即可．
17．（2025九上·北湖期中）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、两点关于轴对称，则称函数和具有“对立关系”，此时点或点的纵坐标称为“对立值”．
（1）满足题设条件的、两点坐标，横坐标互为相反数，纵坐标　 　；
（2）下列结论中，正确的是：　 　．（写出所有正确结论）
①函数与函数不具有“对立关系”；
②函数与函数的“对立值”为；
③若是函数与函数的“对立值”，则．
【答案】相等；②③
【知识点】反比例函数的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（1）已知、两点关于轴对称，即横坐标互为相反数，纵坐标相等；
故答案为：相等；
（2）①设这两个函数具有“对立关系”，
令函数的x值为a，则函数的值是，
∴，
解得：，
∴
∴，
∴存在函数上的点和函数图象上的点关于y轴对称，
即这两个函数图象上存在点关于y轴对称，即这两个函数具有“对立关系”，
故此项说法错误；
②由①函数与函数的“对立值”为，此时函数上所对应的x值为-2，函数上所对应的x值为2，横坐标互为相反数，符合题意，故此项说法正确；
③令函数值为1，分别代入函数与函数，
得：，
根据函数是“对立关系”可得：
，
解得：，
故此项正确；
故答案为：②③．
【分析】（1）由新定义和点关于y轴对称可知，这两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等即可；
（2）①设这两个函数具有“对立关系”，则当两个函数的x值互为相反数时，对应的y值相等，令函数的x值为a，则函数是，将x值代入，通过y值相等建立等式，解出a的值，从而可判断出结果；
②由①联立的结果可知，此项正确；
③先把1分别代入两个函数的解析式中，求出两个x的值后，通过新定义两个横坐标互为相反数，即可求出k的值；
18．（2025九上·北湖期中）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，∴，
解得：
（2）解：，
∴，
∴或，
解得：
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用直接开平方法解答，即可求解．
（2）通过配方法中的十字相乘法将方程化为：，即可求解．
（1）解：，
∴，
解得：．
（2）解：，
∴，
∴或，
解得：．
19．（2025九上·北湖期中）如图，在的正方形网格中，的顶点分别为，，．
（1）作图：以点为位似中心，在位似中心右侧将放大到原来的3倍，得到；
（2）写出、的坐标：（___，___）、（___，___）．
【答案】（1）解：如下图，即为所求；
（2）解：由图可知，，．
故答案为：3，6；6，
【知识点】作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【分析】（1）以原点O为位似中心，把这个三角形向右侧放大为原来的3倍，即将、两点的横纵坐标均乘以3得到点、的横纵坐标，然后将点顺次连接即可；
（2）的横坐标、纵坐标是A的三倍，即，的横坐标，纵坐标是B的三倍，即．
（1）解：如下图，即为所求；
（2）解：由图可知，，．
故答案为：3，6；6，．
20．（2025九上·北湖期中）如图，相交于点，．
（1）求证：；
（2）已知，，的面积为8，求的面积．
【答案】（1）证明：∵，，
∴（SSS）
（2）∵，且，，
∴，即两个三角形的相似比为，
∴
∵的面积为8，
∴
【知识点】8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据“两角分别相等的两个三角形相似”，即可证明结论；
（2）两个三角形相似，对应边成比例，面积比等于相似比的平方，根据题意可知相似比为，从而可算出面积比．
（1）证明：∵，，
∴；
（2）∵，且，，
∴，即两个三角形的相似比为，
∴
∵的面积为8，
∴．
21．（2025九上·北湖期中）已知关于的一元二次方程．
（1）当取最小的正整数时，求方程的解；
（2）求证：无论取任何实数，此方程总有两个实数根．
【答案】（1）解：∵取最小的正整数，
∴，
∴一元二次方程，
，
解得：
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴无论取任何实数，此方程总有两个实数根
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）最小的正整数是1，将k=1代入方程，再根据因式分解的方法求解即可；
（2）方程总有两个实数根，则表明判别式恒≥0，将系数代入后，通过一个数平方的非负性可求证；
（1）解：∵取最小的正整数，
∴，
∴一元二次方程，
，
解得：；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴无论取任何实数，此方程总有两个实数根．
22．（2025九上·北湖期中）如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度，手电间的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为，图中A，B，C，D在同一条直线上，
（1）求的长；
（2）求点E到地面的高度．
【答案】（1）解：由题意可知，，，
∴（AA），
∴（两三角形相似，对应边成比例），
即，
∴
∴，
即的长为
（2）解：由（1）知，，
∴，
由题意知，，
∴，
∴，
∴
∴，
即点E到地面的高度为
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）通过，，可证明，根据相似三角形的性质，对应边成比例，得出，再根据线段之间的等量关系代入数据求出的长即可；
（2）由题意知，得出，由相似三角形的性质，对应边成比例得出，代入数值求解即可．
（1）解：由题意可知，，，
∴，
∴，
即，
∴
∴，
即的长为；
（2）解：由（1）知，，
∴，
由题意知，，
∴，
∴，
∴
∴，
即点E到地面的高度为．
23．（2025九上·北湖期中）湖南郴州东江鱼以其鲜嫩、甜美的口感和独特的制作工艺而闻名于世，且它承载了当地深厚的地方文化和历史内涵．某学习小组为了研究东江鱼的最优销售单价，特到某农副特产专卖店了解到湖南郴州东江鱼成本为30元/千克，并且发现该店在营业期间，通过不断调整销售单价，对东江鱼的销售量统计如下表所示：
东江鱼销售单价（元/千克） … 35 40 45 50 55 …
每天销售数量（千克） … 90 80 70 60 50 …
（1）根据表中信息可知：销售数量与销售单价什么函数关系，请你求出这个函数关系式（不要求写出销售单价的取值范围）；
（2）现专卖店为了扩大销售，让顾客感觉到实惠，并且还需要保证每天销售利润达到1200元，则销售单价应定为多少？
【答案】（1）解：∵销售单价每增加元，销售数量减小千克，
∴销售数量y是销售单价x的一次函数，
设销售单价x与销售数量y的函数关系式为（k，b为常数，）．
当时，；当时，，代入函数关系式可得：
，
解得．
所以，y与x的函数关系式为
（2）解：设销售单价应定为x元/千克．根据利润公式，，
整理得：，
解得：或．
∵让顾客感觉到实惠，
∴，
所以专卖店为了扩大销售，让顾客感觉到实惠，并且还需要保证每天销售利润达到1200元，则销售单价应定为每千克元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）因为销售单价每增加元，销售数量减小千克，可得销售数量y与销售单价x成一次函数关系，所以设，选取表格中两组数据代入，通过解方程组求出k和b的值，从而得到函数关系式．
（2）先根据每天销售利润达到1200元，结合利润公式：（售价-成本价）×销量，列出一元二次方程，得到两个解，再结合题意需要让顾客感觉到实惠，所以取价格低的那个数．
（1）解：∵销售单价每增加元，销售数量减小千克，
∴销售数量y是销售单价x的一次函数，
设销售单价x与销售数量y的函数关系式为（k，b为常数，）．
当时，；当时，，代入函数关系式可得：
，
解得．
所以，y与x的函数关系式为．
（2）解：设销售单价应定为x元/千克．
根据利润公式，，
整理得：，
解得：或．
∵让顾客感觉到实惠，
∴，
所以专卖店为了扩大销售，让顾客感觉到实惠，并且还需要保证每天销售利润达到1200元，则销售单价应定为每千克元．
24．（2025九上·北湖期中）如图1，在直角边长为4的等腰直角三角形中，，点D、E分别是边上的中点，连接．将绕点A逆时针方向旋转，旋转角为．
（1）如图1，求出的长；
（2）如图2，在旋转过程中，试求出的值；
（3）如图3，当绕点A逆时针旋转至C、D、E三点在同一条直线上时，求线段的长．
【答案】（1）解：∵为直角边长为4的等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∵点D、E分别是边上的中点，
∴
（2）∵点D、E分别是边上的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
（3）解：如图1，
根据题意可知，为直角边长为4的等腰直角三角形，，点D、E分别是边上的中点，
则，，，
∴，
若绕点A逆时针旋转至C、D、E三点在同一条直线上，可分两种情况讨论，
①当点在之间时，如下图，
此时，
∴，
∴；
②当点在之间时，如下图，
此时，
∴，
∴．
综上所述，线段的长为或
【知识点】旋转的性质；手拉手相似模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先通过勾股定算出的值，AE是AB的一半，即可获得答案；
（2）因为，将这个式子进行变形，就可以得到，再通过角度之间的等量关系可推算出，进而通过夹角相等，对应边成比例可证明，再通过相似三角形的性质对应边成比例即可获得答案；
（3）首先结合图1确定，的值以及，再分点在之间和点在之间两种情况讨论，结合勾股定理解得的长度，然后计算线段的长即可．
（1）解：∵为直角边长为4的等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∵点D、E分别是边上的中点，
∴；
（2）∵点D、E分别是边上的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：如图1，
根据题意可知，为直角边长为4的等腰直角三角形，，点D、E分别是边上的中点，
则，，，
∴，
若绕点A逆时针旋转至C、D、E三点在同一条直线上，可分两种情况讨论，
①当点在之间时，如下图，
此时，
∴，
∴；
②当点在之间时，如下图，
此时，
∴，
∴．
综上所述，线段的长为或．
25．（2025九上·北湖期中）如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点．
（1）求的值和反比例函数的表达式；
（2）若在线段上存在点，使得，请求出点的坐标；
（3）若点在反比例函数图象上，是第一象限反比例函数图象上一动点，连接分别与轴，轴交于点，，连接分别与轴，轴交于点，，判断的值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：把点代入直线中，
可得：，
解得：，
点的坐标是，
把点的坐标代入比例函数中，
可得：，
反比例函数的解析式是
（2）解：如下图所示，连接、，
解方程组，
可得：，，
点的坐标是，点的坐标是，
，，
设点的坐标是，
则中边上的高是，中边上的高是，
，，
，
，
解得：，，
点的坐标是
（3）解：的值为定值，
点在反比例函数图象上，
可得：，
解得：，
点的坐标是，
是第一象限反比例函数图象上一动点，
设点的坐标是，
设直线的解析式为，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，可得：，
点的坐标是，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标是，
设直线的解析式是，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，可得：，
点的坐标是，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标是，
，，

【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】两个函数均过B点，只需要将点代入直线中，求出点坐标中的m值，再把求出的点的坐标代入求出k值，从而可知反比例函数的解析式；
通过将两个函数联立方程组，可求出两个函数相交点的坐标，可算出BD=2，AC=3，E点的坐标不确定，但E点在一次函数图象上，故设点的坐标是，则中边上的高是，中边上的高是，根据三角形的面积公式可得：，解方程求出的值，即可得到点的坐标；
设点的坐标是，用待定系数法求出直线、的解析式，根据直线的解析式分别求出点、、、的坐标，根据坐标求出和的长度，从而可得：的值．
（1）解：把点代入直线中，
可得：，
解得：，
点的坐标是，
把点的坐标代入比例函数中，
可得：，
反比例函数的解析式是；
（2）解：如下图所示，连接、，
解方程组，
可得：，，
点的坐标是，点的坐标是，
，，
设点的坐标是，
则中边上的高是，中边上的高是，
，，
，
，
解得：，，
点的坐标是；
（3）解：的值为定值，
点在反比例函数图象上，
可得：，
解得：，
点的坐标是，
是第一象限反比例函数图象上一动点，
设点的坐标是，
设直线的解析式为，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，可得：，
点的坐标是，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标是，
设直线的解析式是，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，可得：，
点的坐标是，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标是，
，，
．
1 / 1湖南省郴州市北湖区2025-2026学年九年级上学期期中学业水平调研数学试卷
1．（2025九上·北湖期中）下列方程为一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·北湖期中）皮影戏是中国民间戏剧，也是国家非物质文化遗产．如图，用灯光照射兽皮或纸板做成的“人物”，屏幕上便出现影子，则实物与其影子之间的变换是（　　）
A．平移变换 B．轴对称变换 C．位似变换 D．旋转变换
3．（2025九上·北湖期中）一元二次方程配方后可化为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九上·北湖期中）已知某物体对地面的压力为，而物体对地面的压强p与受力面积S之间的关系为，则该函数图象一定过点（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九上·北湖期中）《感动中国2024年度人物颁奖盛典》节目上线后，第一天的播放量为135万次，第三天的播放量增长到228万次．设该节目播放量的日均增长率为x，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025九上·北湖期中）函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025九上·北湖期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（　　）
A．8 B． C．16 D．
8．（2025九上·北湖期中）若一元二次方程的两根为，（），则点位于平面直角坐标系中的（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（2025九上·北湖期中）如图，在中，，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九上·北湖期中）若方程的两根满足，则在下列关于、的等量关系式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025九上·北湖期中）若，则　 　．
12．（2025九上·北湖期中）如图，已知．则的度数为　 　°
13．（2025九上·北湖期中）若点在反比例函数的图象上，则的值是　 　．
14．（2025九上·北湖期中）如图，、分别是的边、上的点，请你添加一个条件，使与相似，你添加的条件是　 　．
15．（2025九上·北湖期中）若是方程的一个根，则的值为　 　．
16．（2025九上·北湖期中）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水面，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为　 　米．
17．（2025九上·北湖期中）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、两点关于轴对称，则称函数和具有“对立关系”，此时点或点的纵坐标称为“对立值”．
（1）满足题设条件的、两点坐标，横坐标互为相反数，纵坐标　 　；
（2）下列结论中，正确的是：　 　．（写出所有正确结论）
①函数与函数不具有“对立关系”；
②函数与函数的“对立值”为；
③若是函数与函数的“对立值”，则．
18．（2025九上·北湖期中）解方程：
（1）；
（2）．
19．（2025九上·北湖期中）如图，在的正方形网格中，的顶点分别为，，．
（1）作图：以点为位似中心，在位似中心右侧将放大到原来的3倍，得到；
（2）写出、的坐标：（___，___）、（___，___）．
20．（2025九上·北湖期中）如图，相交于点，．
（1）求证：；
（2）已知，，的面积为8，求的面积．
21．（2025九上·北湖期中）已知关于的一元二次方程．
（1）当取最小的正整数时，求方程的解；
（2）求证：无论取任何实数，此方程总有两个实数根．
22．（2025九上·北湖期中）如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度，手电间的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为，图中A，B，C，D在同一条直线上，
（1）求的长；
（2）求点E到地面的高度．
23．（2025九上·北湖期中）湖南郴州东江鱼以其鲜嫩、甜美的口感和独特的制作工艺而闻名于世，且它承载了当地深厚的地方文化和历史内涵．某学习小组为了研究东江鱼的最优销售单价，特到某农副特产专卖店了解到湖南郴州东江鱼成本为30元/千克，并且发现该店在营业期间，通过不断调整销售单价，对东江鱼的销售量统计如下表所示：
东江鱼销售单价（元/千克） … 35 40 45 50 55 …
每天销售数量（千克） … 90 80 70 60 50 …
（1）根据表中信息可知：销售数量与销售单价什么函数关系，请你求出这个函数关系式（不要求写出销售单价的取值范围）；
（2）现专卖店为了扩大销售，让顾客感觉到实惠，并且还需要保证每天销售利润达到1200元，则销售单价应定为多少？
24．（2025九上·北湖期中）如图1，在直角边长为4的等腰直角三角形中，，点D、E分别是边上的中点，连接．将绕点A逆时针方向旋转，旋转角为．
（1）如图1，求出的长；
（2）如图2，在旋转过程中，试求出的值；
（3）如图3，当绕点A逆时针旋转至C、D、E三点在同一条直线上时，求线段的长．
25．（2025九上·北湖期中）如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点．
（1）求的值和反比例函数的表达式；
（2）若在线段上存在点，使得，请求出点的坐标；
（3）若点在反比例函数图象上，是第一象限反比例函数图象上一动点，连接分别与轴，轴交于点，，连接分别与轴，轴交于点，，判断的值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：、是一元一次方程，A选项不合题意；
、是代数式，不是方程，B选项不合题意；
、是一元二次方程，C选项符合题意；
、含有两个未知数，不是一元二次方程，D选项不合题意；
故选：．
【分析】一元二次方程：含有一个未知数且未知数的最高次数是的整式方程，根据一元二次方程的定义依次判断即可．
2．【答案】C
【知识点】轴对称的性质；平移的性质；旋转的性质；位似图形的性质
【解析】【解答】解：A：实物与其影子之间的变换不是平移变化，A选项不符合；
B：实物与其影子之间的变换不是轴对称变化，B选项不符合；
C：实物与其影子之间的变换是位似变换 ，C选项符合；
D： 实物与其影子之间的变换不是旋转变化，D选项符合
故选C．
【分析】平移变换：图形沿某一方向移动，对应点连线平行，不改变形状、大小，不符合皮影中实物与影子的关系；
轴对称变换：图形关于某直线对称，对应点到对称轴距离相等，皮影中无“对称轴”类关系，不符合；
位似变换：是相似变换且对应点连线都经过同一位似中心．皮影戏中，灯光为位似中心，实物与影子相似，且实物各点与影子对应点的连线都经过灯光，符合位似变换的定义．
旋转变换：图形绕某点旋转，对应点到旋转中心距离相等，皮影中并非绕点旋转的关系，不符合；
根据以上定义依次判断即可.
3．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】利用配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，第一步移项，第二步系数化1，此题已经化1，跳过此步，第三步配方，第四步写成完全平方式即可．
4．【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
A、当时，，∴点 在图象上，故选项A符合题意；
B、当时分母为零，P无意义，∴点(0，0)不在图象上，故选项B不符合题意；
C、当时，，∴点不在图象上，故选项C不符合题意；
D、因为受力面积，所以点不在函数图象上，故选项D不符合题意．
故选：A．
【分析】根据反比例函数，将各顶点的横坐标代入S计算P值，与纵坐标比较是否一致，如一致，就代表在函数图象上，不一致就代表不在函数图象上．
5．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设日均增长率为x，则第二天播放量为，第三天播放量为，
由题意可得．
故选：A．
【分析】根据日均增长率的定义，每天播放量是前一天的倍，故从第一天到第三天的增长倍数为，再乘第一天的初始播放量则等于第三天的播放量．
6．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：函数的图象是位于第一、三象限的双曲线，大致是
故选：D
【分析】反比例函数，当k＞0时，图像经过一三象限，当k＜0时，图像经过二四象限．
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得．
故选：C．
【分析】一元二次方程有两个相等的实数根时，即判别式等于0，列出式子后，就可以求出c．
8．【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：，
解得，
∵，
∴，，
∴点，
∵横坐标，纵坐标，
∴点在第二象限，
故选：B．
【分析】先解一元二次方程得到两根，再根据已知两根的大小关系确定点P的坐标，最后根据象限点的符号特征判断位置．
9．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴（三角形相似，对应边成比例）；
故选：C．
【分析】根据DE∥BC可证明，再根据两个三角形相似，对应边成比例即线段之间的关系进行求解即可．
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程 的两根为 和，
由根与系数的关系可得：，，
又 ∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
将 代入：
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】利用根与系数的关系，，，根据已知条件可知，将其代入伟达公式中，可推算出m与n的关系式．
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由可设，（），
则
故答案为：．
【分析】根据已知的比例关系，可设，，再代入所求分式中可约分后得到答案．
12．【答案】70
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案是：70．
【分析】先根据相似三角形的性质，两三角形相似，对应角相等，可得出，再根据三角形内角和定理可求出∠C．
13．【答案】4
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得．
故答案为：4．
【分析】点在函数图象上，只需要将点坐标代入反比例函数解析式，就可以求出a的值．
14．【答案】或或
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：， 使与相似，
∴增加一组角对应相等，或夹角A的一对边对应成比例，
或或.
故答案为：或或．
【分析】根据三角形相似的判定进行作答即可.
15．【答案】11
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵是方程 的一个根，
∴，
∴．
∴．
故答案为：11．
【分析】x=a是一元二次方程的根，则只需要将其代入方程中得到a的关系式，再将所求的式子换成一样的格式，用整体代入法计算即可．
16．【答案】4.5
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴（米），
故答案为：4.5．
【分析】BD和AC都垂直AB，则BD∥AC，可知，再根据相似三角形的性质，对应边成比例，列比例式求解即可．
17．【答案】相等；②③
【知识点】反比例函数的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（1）已知、两点关于轴对称，即横坐标互为相反数，纵坐标相等；
故答案为：相等；
（2）①设这两个函数具有“对立关系”，
令函数的x值为a，则函数的值是，
∴，
解得：，
∴
∴，
∴存在函数上的点和函数图象上的点关于y轴对称，
即这两个函数图象上存在点关于y轴对称，即这两个函数具有“对立关系”，
故此项说法错误；
②由①函数与函数的“对立值”为，此时函数上所对应的x值为-2，函数上所对应的x值为2，横坐标互为相反数，符合题意，故此项说法正确；
③令函数值为1，分别代入函数与函数，
得：，
根据函数是“对立关系”可得：
，
解得：，
故此项正确；
故答案为：②③．
【分析】（1）由新定义和点关于y轴对称可知，这两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等即可；
（2）①设这两个函数具有“对立关系”，则当两个函数的x值互为相反数时，对应的y值相等，令函数的x值为a，则函数是，将x值代入，通过y值相等建立等式，解出a的值，从而可判断出结果；
②由①联立的结果可知，此项正确；
③先把1分别代入两个函数的解析式中，求出两个x的值后，通过新定义两个横坐标互为相反数，即可求出k的值；
18．【答案】（1）解：，∴，
解得：
（2）解：，
∴，
∴或，
解得：
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用直接开平方法解答，即可求解．
（2）通过配方法中的十字相乘法将方程化为：，即可求解．
（1）解：，
∴，
解得：．
（2）解：，
∴，
∴或，
解得：．
19．【答案】（1）解：如下图，即为所求；
（2）解：由图可知，，．
故答案为：3，6；6，
【知识点】作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【分析】（1）以原点O为位似中心，把这个三角形向右侧放大为原来的3倍，即将、两点的横纵坐标均乘以3得到点、的横纵坐标，然后将点顺次连接即可；
（2）的横坐标、纵坐标是A的三倍，即，的横坐标，纵坐标是B的三倍，即．
（1）解：如下图，即为所求；
（2）解：由图可知，，．
故答案为：3，6；6，．
20．【答案】（1）证明：∵，，
∴（SSS）
（2）∵，且，，
∴，即两个三角形的相似比为，
∴
∵的面积为8，
∴
【知识点】8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据“两角分别相等的两个三角形相似”，即可证明结论；
（2）两个三角形相似，对应边成比例，面积比等于相似比的平方，根据题意可知相似比为，从而可算出面积比．
（1）证明：∵，，
∴；
（2）∵，且，，
∴，即两个三角形的相似比为，
∴
∵的面积为8，
∴．
21．【答案】（1）解：∵取最小的正整数，
∴，
∴一元二次方程，
，
解得：
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴无论取任何实数，此方程总有两个实数根
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）最小的正整数是1，将k=1代入方程，再根据因式分解的方法求解即可；
（2）方程总有两个实数根，则表明判别式恒≥0，将系数代入后，通过一个数平方的非负性可求证；
（1）解：∵取最小的正整数，
∴，
∴一元二次方程，
，
解得：；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴无论取任何实数，此方程总有两个实数根．
22．【答案】（1）解：由题意可知，，，
∴（AA），
∴（两三角形相似，对应边成比例），
即，
∴
∴，
即的长为
（2）解：由（1）知，，
∴，
由题意知，，
∴，
∴，
∴
∴，
即点E到地面的高度为
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）通过，，可证明，根据相似三角形的性质，对应边成比例，得出，再根据线段之间的等量关系代入数据求出的长即可；
（2）由题意知，得出，由相似三角形的性质，对应边成比例得出，代入数值求解即可．
（1）解：由题意可知，，，
∴，
∴，
即，
∴
∴，
即的长为；
（2）解：由（1）知，，
∴，
由题意知，，
∴，
∴，
∴
∴，
即点E到地面的高度为．
23．【答案】（1）解：∵销售单价每增加元，销售数量减小千克，
∴销售数量y是销售单价x的一次函数，
设销售单价x与销售数量y的函数关系式为（k，b为常数，）．
当时，；当时，，代入函数关系式可得：
，
解得．
所以，y与x的函数关系式为
（2）解：设销售单价应定为x元/千克．根据利润公式，，
整理得：，
解得：或．
∵让顾客感觉到实惠，
∴，
所以专卖店为了扩大销售，让顾客感觉到实惠，并且还需要保证每天销售利润达到1200元，则销售单价应定为每千克元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）因为销售单价每增加元，销售数量减小千克，可得销售数量y与销售单价x成一次函数关系，所以设，选取表格中两组数据代入，通过解方程组求出k和b的值，从而得到函数关系式．
（2）先根据每天销售利润达到1200元，结合利润公式：（售价-成本价）×销量，列出一元二次方程，得到两个解，再结合题意需要让顾客感觉到实惠，所以取价格低的那个数．
（1）解：∵销售单价每增加元，销售数量减小千克，
∴销售数量y是销售单价x的一次函数，
设销售单价x与销售数量y的函数关系式为（k，b为常数，）．
当时，；当时，，代入函数关系式可得：
，
解得．
所以，y与x的函数关系式为．
（2）解：设销售单价应定为x元/千克．
根据利润公式，，
整理得：，
解得：或．
∵让顾客感觉到实惠，
∴，
所以专卖店为了扩大销售，让顾客感觉到实惠，并且还需要保证每天销售利润达到1200元，则销售单价应定为每千克元．
24．【答案】（1）解：∵为直角边长为4的等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∵点D、E分别是边上的中点，
∴
（2）∵点D、E分别是边上的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
（3）解：如图1，
根据题意可知，为直角边长为4的等腰直角三角形，，点D、E分别是边上的中点，
则，，，
∴，
若绕点A逆时针旋转至C、D、E三点在同一条直线上，可分两种情况讨论，
①当点在之间时，如下图，
此时，
∴，
∴；
②当点在之间时，如下图，
此时，
∴，
∴．
综上所述，线段的长为或
【知识点】旋转的性质；手拉手相似模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先通过勾股定算出的值，AE是AB的一半，即可获得答案；
（2）因为，将这个式子进行变形，就可以得到，再通过角度之间的等量关系可推算出，进而通过夹角相等，对应边成比例可证明，再通过相似三角形的性质对应边成比例即可获得答案；
（3）首先结合图1确定，的值以及，再分点在之间和点在之间两种情况讨论，结合勾股定理解得的长度，然后计算线段的长即可．
（1）解：∵为直角边长为4的等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∵点D、E分别是边上的中点，
∴；
（2）∵点D、E分别是边上的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：如图1，
根据题意可知，为直角边长为4的等腰直角三角形，，点D、E分别是边上的中点，
则，，，
∴，
若绕点A逆时针旋转至C、D、E三点在同一条直线上，可分两种情况讨论，
①当点在之间时，如下图，
此时，
∴，
∴；
②当点在之间时，如下图，
此时，
∴，
∴．
综上所述，线段的长为或．
25．【答案】（1）解：把点代入直线中，
可得：，
解得：，
点的坐标是，
把点的坐标代入比例函数中，
可得：，
反比例函数的解析式是
（2）解：如下图所示，连接、，
解方程组，
可得：，，
点的坐标是，点的坐标是，
，，
设点的坐标是，
则中边上的高是，中边上的高是，
，，
，
，
解得：，，
点的坐标是
（3）解：的值为定值，
点在反比例函数图象上，
可得：，
解得：，
点的坐标是，
是第一象限反比例函数图象上一动点，
设点的坐标是，
设直线的解析式为，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，可得：，
点的坐标是，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标是，
设直线的解析式是，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，可得：，
点的坐标是，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标是，
，，

【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】两个函数均过B点，只需要将点代入直线中，求出点坐标中的m值，再把求出的点的坐标代入求出k值，从而可知反比例函数的解析式；
通过将两个函数联立方程组，可求出两个函数相交点的坐标，可算出BD=2，AC=3，E点的坐标不确定，但E点在一次函数图象上，故设点的坐标是，则中边上的高是，中边上的高是，根据三角形的面积公式可得：，解方程求出的值，即可得到点的坐标；
设点的坐标是，用待定系数法求出直线、的解析式，根据直线的解析式分别求出点、、、的坐标，根据坐标求出和的长度，从而可得：的值．
（1）解：把点代入直线中，
可得：，
解得：，
点的坐标是，
把点的坐标代入比例函数中，
可得：，
反比例函数的解析式是；
（2）解：如下图所示，连接、，
解方程组，
可得：，，
点的坐标是，点的坐标是，
，，
设点的坐标是，
则中边上的高是，中边上的高是，
，，
，
，
解得：，，
点的坐标是；
（3）解：的值为定值，
点在反比例函数图象上，
可得：，
解得：，
点的坐标是，
是第一象限反比例函数图象上一动点，
设点的坐标是，
设直线的解析式为，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，可得：，
点的坐标是，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标是，
设直线的解析式是，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，可得：，
点的坐标是，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标是，
，，
．
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