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浙江省杭州市公益中学2025-2026学年九年级上册数学期中考试卷
1．（2025九上·杭州期中）“在一副除去大小王的扑克牌中，抽取一张扑克牌恰好是红桃”这一事件是（　　）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件
2．（2025九上·杭州期中）抛物线的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
3．（2025九上·杭州期中）如图，在中，，如果把的各边都扩大为原来的4倍，则的值（　　）
A．不变 B．缩小为原来的倍
C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍
4．（2025九上·杭州期中）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成统计图，如图所示，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（　　）
A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
5．（2025九上·杭州期中）如图，在中，，，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·杭州期中）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． D．
7．（2025九上·杭州期中）凸透镜成像的原理如图所示，.若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九上·杭州期中）已知二次函数中自变量和函数的部分对应值如下表：
则方程 的一个解 的取值范围下列可能的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九上·杭州期中）如图，在中，平分分别交，，延长线于点，，，记与的面积分别为，，若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九上·杭州期中）已知点均在二次函数图象上，若则（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．（2025九上·杭州期中）一个不透明的袋子里装有4个红球、3个黄球和1个黑球，它们除颜色外其余均相同.从袋中任意摸出一个小球为红球的概率是　 　.
12．（2025九上·杭州期中）将二次函数的图象向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，平移后的二次函数解析式为　 　．
13．（2025九上·杭州期中）已知点P是线段的黄金分割点，，若，则　 　．
14．（2025九上·杭州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE=　 　．
15．（2025九上·杭州期中）已知两个不同的点，都在二次函数．的图象上，则代数式的值为　 　．
16．（2025九上·杭州期中）如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与，分别交于点，，连接，则　 　．若，则　 　．
17．（2025九上·杭州期中）（1）计算：；
（2）已知，求的值．
18．（2025九上·杭州期中）数学文化哥德巴赫猜想哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．数学兴趣小组准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7．
（1）小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为 ．
（2）小组成员从中随机抽取2张卡片，求这2张卡片上的数字之和是偶数的概率．
19．（2025九上·杭州期中）已知二次函数经过和．
（1）求该二次函数的表达式和对称轴．
（2）当时，求该二次函数的最大值和最小值．
20．（2025九上·杭州期中）在如图所示的12个小正方形组成的网格中，的三个顶点都在小正方形的格点上．仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图．
（1）在图1网格中找格点D，作射线，使得；
（2）在图2网格中找格点E，作直线交AC于点Q，使得．
21．（2025九上·杭州期中）如图，已知：四边形是平行四边形，点E在边的延长线上，交于点F，
（1）求证：；
（2）若，求的值．
22．（2025九上·杭州期中）某超市为了销售一种新型饮料，对月销售情况作了如下调查，结果发现每月销售量瓶与销售单价元满足一次函数关系.所调查的部分数据如表：已知每瓶进价为元，每瓶利润销售单价进价
单价元
销售量瓶
（1）求关于的函数表达式.
（2）该新型饮料每月的总利润为元，求关于的函数表达式，并指出单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？
（3）由于该新型饮料市场需求量较大，厂家进行了提价.此时超市发现进价提高了元，每月销售量与销售单价仍满足第（1）问函数关系，当销售单价不超过元时，利润随着x的增大而增大，求的最小值.
23．（2025九上·杭州期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；
（2）点在抛物线上，其中．
①若的最小值是，求的值；
②若对于，都有，求t的取值范围．
24．（2025九上·杭州期中）如图，已知正方形的边长为，点 是射线上一点（点不与点、重合）过点作，交边的延长线于点，直线分别交射线、射线于点、．
（1）求证：；
（2）当点在边上时，如果，，求的正切值；
（3）当点在边延长线上时，设线段，求关于的函数解析式．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】 因为必然事件是指在一定条件下必定会发生的事件， 不可能事件是指在一定条件下不可能发生的事件， 而随机事件则是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，而必然事件和不可能事件统称确定性事件；所以“在一副除去大小王的扑克牌中，抽取一张扑克牌恰好是红桃”这一事件是随机事件.故选：C．
【分析】牢固掌握几种事件的概念是关键.
2．【答案】C
【知识点】利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（-1，0），
∴抛物线的对称轴是直线x=-1.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的顶点式的解析式确定对称轴公式，再对比题目中的函数解析式求出对称轴，最后分析各选项得出答案.
3．【答案】A
【知识点】求正弦值
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴．
如果把的各边都扩大为原来的4倍，
∴，
∴的值不变．
故选：A．
【分析】根据锐角三角形的相关知识正弦=解答即可.
4．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由图可得，这种树苗成活的频率稳定在0.90，故成活的概率约为0.90.
故答案为：B．
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此结合折线统计图提供的信息可得答案.
5．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵在中，，，，，
∴，即：，
∴AE=4，
故答案为：B．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，将数据代入求解即可.
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A．当∠ABP=∠C时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
B．当∠APB=∠ABC时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
C．当时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵， ， ，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即
∴物体被缩小到原来的.
故答案为：A.
【分析】由题意可得：四边形OBCG为矩形，则OB=CG，证明△AHF1∽△BOF1，然后根据相似三角形的性质进行解答.
8．【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax²的性质；用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由图标可知，∵或时，，
∴二次函数的对称轴为直线，
又由表可知，当时，随的增大而增大，
∴当时，其中一个解，
故答案为：．
【分析】观察表格结合二次函数的对称性可得抛物线的对称轴为直线，由于在对称轴的右侧y随x的增大而增大，则观察表格知抛物线与x轴的一个交点的横坐标介于-1和0之间，由对称性可知另一个点的横坐标必然介于-3和-4之间，再逐项判断即可．
9．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
故答案为：C．
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义得到，即可得到，设，然后根据平行得到，，即可得到，，然后得到解题即可．
10．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意，
∵二次函数为，
∴对称轴是直线，
又∵在二次函数上，且，
∴．
∴为二次函数的顶点．
∴当时，点到顶点的距离比到顶点的距离小，则若时，则；若时，则，故选项A错误，不符合题意；
若，则n为最大值，故抛物线开口向下，可得，故选项B正确，符合题意
当时，点到顶点的距离比到顶点的距离大，则若时，则；若时，则，故选项C错误，不符合题意；
若，则n为最大值，故抛物线开口向下，可得，故选项D错误，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】首先根据抛物线对称轴直线公式得出其对称轴直线为x=-1，然后根据抛物线上点的坐标特点结合n=c-a，可得，则为二次函数的顶点，抛物线y=ax2+2ax+c中，当a＞0时，图象开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，抛物线上的点离对称轴直线距离越远函数值就越大，当a＜0时，图象开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，抛物线上的点离对称轴直线距离越远函数值就越小，据此对各个选项逐一判断即可得出答案.
11．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一个不透明的袋子里装有4个红球、3个黄球和1个黑球，
∴从袋中任意摸出一个小球为红球的概率是，
故答案为：.
【分析】根据一个不透明的袋子里装有4个红球、3个黄球和1个黑球，可以计算出从袋中任意摸出一个小球为红球的概率.
12．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意得：平移后的二次函数解析式为：，
即：，
故答案为：.
【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减改变自变量的值 ，上加下减改变因变量的值”直接求解即可.
13．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点P是线段的黄金分割点，且，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】根据黄金分割的定义，知AP是较长线段，则代入数据即可得出AP的长．
14．【答案】
【知识点】已知正弦值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，sinA=
∴，
又∵BC=6，
∴AB=10
∴．
∵D是AB的中点，
∴AD=AB=5．
∵∠C=∠EDA=90°，∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB，
∴
即
解得：DE=．
故答案为：.
【分析】由正弦函数的定义结合∠A的正弦值可求出AB的长，然后根据勾股定理算出AC的长，进而根据线段中点定义求出AD的长；由有两组角相等的两个三角形相似得出△ADE∽△ACB，由相似三角形对应边成比例建立方程，求解得出DE的长.
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象上点的坐标特征；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：点，都在二次函数的图象上，
是方程的两个根，
，且，，
即，
．
故答案为：．
【分析】
先由二次函数图象上点的坐标特征知，，即是方程的两个不相等的实数根，则由根与系数的关系得、，再由方程解的概念可对所求代数式变形得，再利用分式的加法运算通分，最后再整体代入计算即可．
16．【答案】；
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵将沿直线翻折得到，
∴垂直平分线段，
∴，
∵为上的中线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：
∴，即：
故答案为：，．
【分析】
第1空：由中线的概念及折叠的性质知，即，再由三角形内角和定理可得；
第2空：由折叠的性质知AD垂直平分CC`，则由中位线定理可得，设，则，则由平行线的性质可证明，由相似比可得OA的长，则AD长可得，同理再证，由相似比可得的值，即可分别得BF、BE在AB中的占比，则EF在AB中的占比可得，则的值可求．
17．【答案】解：（1）
；
（2）由得，
，
解得，
∴．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】此题考查了特殊角的三角函数值、分式的基本性质．
（1）直接代入特殊角（45°，60°，30°）的三角函数值进行计算；
（2）利用分式的基本性质，通过交叉相乘将分式方程转化为整式方程，进而求出比值．
18．【答案】（1）
（2）解：根据题意，画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中和是偶数的结果共有6种，
∴ 这2张卡片上的数字之和是偶数的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：根据题意：小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为，
故答案为：；
【分析】（1） 小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字可能是2、3、5、7四种等可能的结果，其中卡片上的数是偶数的只有2这1种等可能的结果，从而利用概率公式计算概率即可；
（2）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中和是偶数的结果共有6种，然后利用概率公式计算概率即可．
（1）解：根据题意：小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为，
故答案为：；
（2）解：根据题意，画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中和是偶数的结果共有6种，
∴ 这2张卡片上的数字之和是偶数的概率为．
19．【答案】（1）解：∵经过和，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为；
∴对称轴为直线；
（2）解：由（1）可知的开口向上，
∵二次函数的对称轴为直线在内，
∴当时，有最小值；
∵直线距直线最远，
∴当时，有最大值．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）先将和分别代入可得关于字母b、c的二元一次方程组，解该方程组求出b、c的值，从而得到二次函数的解析式；进而根据二次函数的对称轴公式求出该抛物线的对称轴直线；
（2）由于抛物线中二次项系数1＞0，故抛物线开口向上，又因其对称轴直线为x=在-1≤x≤3内，故当x=时函数值最小，抛物线上的点离对称轴直线距离越远其函数值就越大，从而得出当x=3时，二次函数的值最大.
（1）∵经过和，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为；
∴对称轴为直线；
（2）由（1）可知的开口向上，
∵二次函数的对称轴为直线在内，
∴当时，有最小值；
∵直线距直线最远，
∴当时，有最大值．
20．【答案】（1）解：如图，格点D，射线即为所作，
；
（2）解：格点E，直线即为所作，
∵，，，，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定；尺规作图-直线、射线、线段；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）找出格点D，利用等腰直角三角形的性质得到即可；
（2）找出格点E，利用相似三角形的判定和性质求得，即可．
（1）解：如图，格点D，射线即为所作，
；
（2）解：格点E，直线即为所作，
∵，，，，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴．
21．【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，即，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质及等量代换可得，再结合，即可证出；
（2）先证出，利用相似三角形的性质可得，再求出，再利用相似三角形的性质可得，将数据代入可得，再求出即可.
22．【答案】（1）解：设关于的函数表达式为
由题意得：
解得：
关于的函数表达式为.
（2）解：由题意得：
，
当时，有最大值元.
∴w关于x的函数表达式为w=-10x2+240x-800，单价为元时利润最大，最大利润是元.
（3）解：由题意得：
二次函数的对称轴为：
，当销售单价不超过元时，利润随着的增大而增大
，
的最小值为.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据表格提供的数据，利用待定系数法即可求出y关于x的函数解析式；
（2）根据w=每瓶的利润×销售数量建立出函数解析式，进而根据所得函数的性质即可解决本题；
（3）根据w=每瓶的利润×销售数量建立出函数解析式，由当销售单价不超过14元时，利润随着x的增大而增大，可得该函数的对称轴直线x≥14，从而利用对称轴直线公式建立关于字母a的不等式，求出a的最小值即可.
23．【答案】（1）解：，
抛物线的顶点坐标为；

（2）①7 ②或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】（2）解：①由（1）知，
抛物线开口向上，其对称轴为，
，
当时，取得最小值为，
又的最小值是，
，
，
抛物线表达式为，
又，
；
②因为点在抛物线上，
所以，
因为对于，都有，
所以，
或，
当时，
，
，
又，
，
；
，
，
又，
，
，
，
即；
当时，
，
，
又，
，
；
，
，
又，
，
，
，
即；
综上所述，t的取值范围是或．
【分析】（1）根据抛物线解析式配方为顶点式求得顶点坐标；
（2）①根据抛物线的对称轴 为，结合的取值范围，可确定在对称轴处取得最小值，代入即可求解；②根据题意，先表示 ，分情况讨论： 当时，解得 ；当时，解得t
（1）解：，
抛物线的顶点坐标为；
（2）①由（1）知，
抛物线开口向上，其对称轴为，
，
当时，取得最小值为，
又的最小值是，
，
，
抛物线表达式为，
又，
；
②因为点在抛物线上，
所以，
因为对于，都有，
所以，
或，
当时，
，
，
又，
，
；
，
，
又，
，
，
，
即；
当时，
，
，
又，
，
；
，
，
又，
，
，
，
即；
综上所述，t的取值范围是或．
24．【答案】（1）证明：
正方形，
，，
，
，
，
在△ABE和△ADF中
，

（2）解：
，，
，，
，，
，
，
设则FC=12+x
，
解得或，
经检验，，都是原方程的根，
或，
在中，
或 ；
所以∠BAE的正切值是
（3）解：如图2，由（1）得，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
即
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角得出AB=AD，∠B=∠ADC=90°=∠ADF，根据同角的与角相等得∠BAE=∠DAF，利用两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等即可得△ABE≌△ADF；
（2）根据全等三角形的对应边相等得出，、求出DN=2，AN=10，根据平行线分线段成比例得出，进而求得BE=4或BE=6，再根据锐角三角函数的定义即可求解；
（3）根据等腰直角三角形的性质得出∠AEF=∠AFE=45°，根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出△MAN∽△MFA，根据相似三角形的对应角相等得出∠ANE=∠MAF，同样得出△ANE∽△MAF，根据相似三角形的对应边之比相等得出，由（1）得AE=AF，BE=x，再根据在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方得出即可．
1 / 1浙江省杭州市公益中学2025-2026学年九年级上册数学期中考试卷
1．（2025九上·杭州期中）“在一副除去大小王的扑克牌中，抽取一张扑克牌恰好是红桃”这一事件是（　　）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】 因为必然事件是指在一定条件下必定会发生的事件， 不可能事件是指在一定条件下不可能发生的事件， 而随机事件则是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，而必然事件和不可能事件统称确定性事件；所以“在一副除去大小王的扑克牌中，抽取一张扑克牌恰好是红桃”这一事件是随机事件.故选：C．
【分析】牢固掌握几种事件的概念是关键.
2．（2025九上·杭州期中）抛物线的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】C
【知识点】利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（-1，0），
∴抛物线的对称轴是直线x=-1.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的顶点式的解析式确定对称轴公式，再对比题目中的函数解析式求出对称轴，最后分析各选项得出答案.
3．（2025九上·杭州期中）如图，在中，，如果把的各边都扩大为原来的4倍，则的值（　　）
A．不变 B．缩小为原来的倍
C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍
【答案】A
【知识点】求正弦值
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴．
如果把的各边都扩大为原来的4倍，
∴，
∴的值不变．
故选：A．
【分析】根据锐角三角形的相关知识正弦=解答即可.
4．（2025九上·杭州期中）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成统计图，如图所示，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（　　）
A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由图可得，这种树苗成活的频率稳定在0.90，故成活的概率约为0.90.
故答案为：B．
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此结合折线统计图提供的信息可得答案.
5．（2025九上·杭州期中）如图，在中，，，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵在中，，，，，
∴，即：，
∴AE=4，
故答案为：B．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，将数据代入求解即可.
6．（2025九上·杭州期中）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A．当∠ABP=∠C时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
B．当∠APB=∠ABC时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
C．当时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7．（2025九上·杭州期中）凸透镜成像的原理如图所示，.若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵， ， ，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即
∴物体被缩小到原来的.
故答案为：A.
【分析】由题意可得：四边形OBCG为矩形，则OB=CG，证明△AHF1∽△BOF1，然后根据相似三角形的性质进行解答.
8．（2025九上·杭州期中）已知二次函数中自变量和函数的部分对应值如下表：
则方程 的一个解 的取值范围下列可能的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax²的性质；用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由图标可知，∵或时，，
∴二次函数的对称轴为直线，
又由表可知，当时，随的增大而增大，
∴当时，其中一个解，
故答案为：．
【分析】观察表格结合二次函数的对称性可得抛物线的对称轴为直线，由于在对称轴的右侧y随x的增大而增大，则观察表格知抛物线与x轴的一个交点的横坐标介于-1和0之间，由对称性可知另一个点的横坐标必然介于-3和-4之间，再逐项判断即可．
9．（2025九上·杭州期中）如图，在中，平分分别交，，延长线于点，，，记与的面积分别为，，若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
故答案为：C．
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义得到，即可得到，设，然后根据平行得到，，即可得到，，然后得到解题即可．
10．（2025九上·杭州期中）已知点均在二次函数图象上，若则（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意，
∵二次函数为，
∴对称轴是直线，
又∵在二次函数上，且，
∴．
∴为二次函数的顶点．
∴当时，点到顶点的距离比到顶点的距离小，则若时，则；若时，则，故选项A错误，不符合题意；
若，则n为最大值，故抛物线开口向下，可得，故选项B正确，符合题意
当时，点到顶点的距离比到顶点的距离大，则若时，则；若时，则，故选项C错误，不符合题意；
若，则n为最大值，故抛物线开口向下，可得，故选项D错误，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】首先根据抛物线对称轴直线公式得出其对称轴直线为x=-1，然后根据抛物线上点的坐标特点结合n=c-a，可得，则为二次函数的顶点，抛物线y=ax2+2ax+c中，当a＞0时，图象开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，抛物线上的点离对称轴直线距离越远函数值就越大，当a＜0时，图象开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，抛物线上的点离对称轴直线距离越远函数值就越小，据此对各个选项逐一判断即可得出答案.
11．（2025九上·杭州期中）一个不透明的袋子里装有4个红球、3个黄球和1个黑球，它们除颜色外其余均相同.从袋中任意摸出一个小球为红球的概率是　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一个不透明的袋子里装有4个红球、3个黄球和1个黑球，
∴从袋中任意摸出一个小球为红球的概率是，
故答案为：.
【分析】根据一个不透明的袋子里装有4个红球、3个黄球和1个黑球，可以计算出从袋中任意摸出一个小球为红球的概率.
12．（2025九上·杭州期中）将二次函数的图象向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，平移后的二次函数解析式为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意得：平移后的二次函数解析式为：，
即：，
故答案为：.
【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减改变自变量的值 ，上加下减改变因变量的值”直接求解即可.
13．（2025九上·杭州期中）已知点P是线段的黄金分割点，，若，则　 　．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点P是线段的黄金分割点，且，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】根据黄金分割的定义，知AP是较长线段，则代入数据即可得出AP的长．
14．（2025九上·杭州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE=　 　．
【答案】
【知识点】已知正弦值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，sinA=
∴，
又∵BC=6，
∴AB=10
∴．
∵D是AB的中点，
∴AD=AB=5．
∵∠C=∠EDA=90°，∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB，
∴
即
解得：DE=．
故答案为：.
【分析】由正弦函数的定义结合∠A的正弦值可求出AB的长，然后根据勾股定理算出AC的长，进而根据线段中点定义求出AD的长；由有两组角相等的两个三角形相似得出△ADE∽△ACB，由相似三角形对应边成比例建立方程，求解得出DE的长.
15．（2025九上·杭州期中）已知两个不同的点，都在二次函数．的图象上，则代数式的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象上点的坐标特征；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：点，都在二次函数的图象上，
是方程的两个根，
，且，，
即，
．
故答案为：．
【分析】
先由二次函数图象上点的坐标特征知，，即是方程的两个不相等的实数根，则由根与系数的关系得、，再由方程解的概念可对所求代数式变形得，再利用分式的加法运算通分，最后再整体代入计算即可．
16．（2025九上·杭州期中）如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与，分别交于点，，连接，则　 　．若，则　 　．
【答案】；
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵将沿直线翻折得到，
∴垂直平分线段，
∴，
∵为上的中线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：
∴，即：
故答案为：，．
【分析】
第1空：由中线的概念及折叠的性质知，即，再由三角形内角和定理可得；
第2空：由折叠的性质知AD垂直平分CC`，则由中位线定理可得，设，则，则由平行线的性质可证明，由相似比可得OA的长，则AD长可得，同理再证，由相似比可得的值，即可分别得BF、BE在AB中的占比，则EF在AB中的占比可得，则的值可求．
17．（2025九上·杭州期中）（1）计算：；
（2）已知，求的值．
【答案】解：（1）
；
（2）由得，
，
解得，
∴．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】此题考查了特殊角的三角函数值、分式的基本性质．
（1）直接代入特殊角（45°，60°，30°）的三角函数值进行计算；
（2）利用分式的基本性质，通过交叉相乘将分式方程转化为整式方程，进而求出比值．
18．（2025九上·杭州期中）数学文化哥德巴赫猜想哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．数学兴趣小组准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7．
（1）小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为 ．
（2）小组成员从中随机抽取2张卡片，求这2张卡片上的数字之和是偶数的概率．
【答案】（1）
（2）解：根据题意，画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中和是偶数的结果共有6种，
∴ 这2张卡片上的数字之和是偶数的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：根据题意：小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为，
故答案为：；
【分析】（1） 小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字可能是2、3、5、7四种等可能的结果，其中卡片上的数是偶数的只有2这1种等可能的结果，从而利用概率公式计算概率即可；
（2）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中和是偶数的结果共有6种，然后利用概率公式计算概率即可．
（1）解：根据题意：小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为，
故答案为：；
（2）解：根据题意，画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中和是偶数的结果共有6种，
∴ 这2张卡片上的数字之和是偶数的概率为．
19．（2025九上·杭州期中）已知二次函数经过和．
（1）求该二次函数的表达式和对称轴．
（2）当时，求该二次函数的最大值和最小值．
【答案】（1）解：∵经过和，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为；
∴对称轴为直线；
（2）解：由（1）可知的开口向上，
∵二次函数的对称轴为直线在内，
∴当时，有最小值；
∵直线距直线最远，
∴当时，有最大值．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）先将和分别代入可得关于字母b、c的二元一次方程组，解该方程组求出b、c的值，从而得到二次函数的解析式；进而根据二次函数的对称轴公式求出该抛物线的对称轴直线；
（2）由于抛物线中二次项系数1＞0，故抛物线开口向上，又因其对称轴直线为x=在-1≤x≤3内，故当x=时函数值最小，抛物线上的点离对称轴直线距离越远其函数值就越大，从而得出当x=3时，二次函数的值最大.
（1）∵经过和，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为；
∴对称轴为直线；
（2）由（1）可知的开口向上，
∵二次函数的对称轴为直线在内，
∴当时，有最小值；
∵直线距直线最远，
∴当时，有最大值．
20．（2025九上·杭州期中）在如图所示的12个小正方形组成的网格中，的三个顶点都在小正方形的格点上．仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图．
（1）在图1网格中找格点D，作射线，使得；
（2）在图2网格中找格点E，作直线交AC于点Q，使得．
【答案】（1）解：如图，格点D，射线即为所作，
；
（2）解：格点E，直线即为所作，
∵，，，，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定；尺规作图-直线、射线、线段；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）找出格点D，利用等腰直角三角形的性质得到即可；
（2）找出格点E，利用相似三角形的判定和性质求得，即可．
（1）解：如图，格点D，射线即为所作，
；
（2）解：格点E，直线即为所作，
∵，，，，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴．
21．（2025九上·杭州期中）如图，已知：四边形是平行四边形，点E在边的延长线上，交于点F，
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，即，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质及等量代换可得，再结合，即可证出；
（2）先证出，利用相似三角形的性质可得，再求出，再利用相似三角形的性质可得，将数据代入可得，再求出即可.
22．（2025九上·杭州期中）某超市为了销售一种新型饮料，对月销售情况作了如下调查，结果发现每月销售量瓶与销售单价元满足一次函数关系.所调查的部分数据如表：已知每瓶进价为元，每瓶利润销售单价进价
单价元
销售量瓶
（1）求关于的函数表达式.
（2）该新型饮料每月的总利润为元，求关于的函数表达式，并指出单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？
（3）由于该新型饮料市场需求量较大，厂家进行了提价.此时超市发现进价提高了元，每月销售量与销售单价仍满足第（1）问函数关系，当销售单价不超过元时，利润随着x的增大而增大，求的最小值.
【答案】（1）解：设关于的函数表达式为
由题意得：
解得：
关于的函数表达式为.
（2）解：由题意得：
，
当时，有最大值元.
∴w关于x的函数表达式为w=-10x2+240x-800，单价为元时利润最大，最大利润是元.
（3）解：由题意得：
二次函数的对称轴为：
，当销售单价不超过元时，利润随着的增大而增大
，
的最小值为.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据表格提供的数据，利用待定系数法即可求出y关于x的函数解析式；
（2）根据w=每瓶的利润×销售数量建立出函数解析式，进而根据所得函数的性质即可解决本题；
（3）根据w=每瓶的利润×销售数量建立出函数解析式，由当销售单价不超过14元时，利润随着x的增大而增大，可得该函数的对称轴直线x≥14，从而利用对称轴直线公式建立关于字母a的不等式，求出a的最小值即可.
23．（2025九上·杭州期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；
（2）点在抛物线上，其中．
①若的最小值是，求的值；
②若对于，都有，求t的取值范围．
【答案】（1）解：，
抛物线的顶点坐标为；

（2）①7 ②或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】（2）解：①由（1）知，
抛物线开口向上，其对称轴为，
，
当时，取得最小值为，
又的最小值是，
，
，
抛物线表达式为，
又，
；
②因为点在抛物线上，
所以，
因为对于，都有，
所以，
或，
当时，
，
，
又，
，
；
，
，
又，
，
，
，
即；
当时，
，
，
又，
，
；
，
，
又，
，
，
，
即；
综上所述，t的取值范围是或．
【分析】（1）根据抛物线解析式配方为顶点式求得顶点坐标；
（2）①根据抛物线的对称轴 为，结合的取值范围，可确定在对称轴处取得最小值，代入即可求解；②根据题意，先表示 ，分情况讨论： 当时，解得 ；当时，解得t
（1）解：，
抛物线的顶点坐标为；
（2）①由（1）知，
抛物线开口向上，其对称轴为，
，
当时，取得最小值为，
又的最小值是，
，
，
抛物线表达式为，
又，
；
②因为点在抛物线上，
所以，
因为对于，都有，
所以，
或，
当时，
，
，
又，
，
；
，
，
又，
，
，
，
即；
当时，
，
，
又，
，
；
，
，
又，
，
，
，
即；
综上所述，t的取值范围是或．
24．（2025九上·杭州期中）如图，已知正方形的边长为，点 是射线上一点（点不与点、重合）过点作，交边的延长线于点，直线分别交射线、射线于点、．
（1）求证：；
（2）当点在边上时，如果，，求的正切值；
（3）当点在边延长线上时，设线段，求关于的函数解析式．
【答案】（1）证明：
正方形，
，，
，
，
，
在△ABE和△ADF中
，

（2）解：
，，
，，
，，
，
，
设则FC=12+x
，
解得或，
经检验，，都是原方程的根，
或，
在中，
或 ；
所以∠BAE的正切值是
（3）解：如图2，由（1）得，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
即
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角得出AB=AD，∠B=∠ADC=90°=∠ADF，根据同角的与角相等得∠BAE=∠DAF，利用两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等即可得△ABE≌△ADF；
（2）根据全等三角形的对应边相等得出，、求出DN=2，AN=10，根据平行线分线段成比例得出，进而求得BE=4或BE=6，再根据锐角三角函数的定义即可求解；
（3）根据等腰直角三角形的性质得出∠AEF=∠AFE=45°，根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出△MAN∽△MFA，根据相似三角形的对应角相等得出∠ANE=∠MAF，同样得出△ANE∽△MAF，根据相似三角形的对应边之比相等得出，由（1）得AE=AF，BE=x，再根据在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方得出即可．
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