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浙江省衢州市柯城区巨化中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题
1．（2025九上·柯城期中）从盒子里摸出一个球，一定能摸出白球的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解： A、此选项的盒子里全是白球，所以从这个盒子里摸球，摸出的球必然是白球，故此选项符合题意；
B、此选项的盒子里全是黑球，所以从这个盒子里摸球，摸出的球不可能是白球，故此选项不符合题意；
C、此选项的中盒子里既有白球，又有黑球，所以从这个盒子里摸球，摸出的球可能是白球，也有可能是黑球，故此选项不符合题意；
D、此选项的中盒子里既有白球，又有黑球，所以从这个盒子里摸球，摸出的球可能是白球，也有可能是黑球，故此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．（2025九上·柯城期中）把抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线向左平移4个单位长度，
∴变为．
∵再向上平移2个单位长度，
∴．
故选B．
【分析】根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”，分两步进行平移：现象左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到平移后的抛物线解析式，最后与选项对比得出答案.
3．（2025九上·柯城期中）如图，点A，B，C在上，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故选：B．
【分析】本题主要考查圆周角定理，即一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半，据此计算的度数.
4．（2025九上·柯城期中）抛物线的图像经过点，，，则，，大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：函数的解析式是，
对称轴是直线，
点的对称点为，
对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大，
又，
，
故答案为：D．
【分析】利用二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可.
5．（2025九上·柯城期中）某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷3次，都是反面朝上，则该同学抛掷第4次出现正面朝上的概率是（　　）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，前3次的结果都是反面朝上，他第4次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：，
故答案为：C．
【分析】每次抛掷硬币都是一个独立事件，前一次抛掷的结果不会影响下一次抛掷的结果，对于一个质地均匀的硬币，每次抛掷正面朝上的概率为，据此可得答案.
6．（2025九上·柯城期中）已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的弧长为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：l=．
故答案为：D．
【分析】根据弧长公式“ （n为扇形圆心角度数，r为扇形半径）”进行计算即可求解．
7．（2025九上·柯城期中）一个暗箱中放有个除颜色外其他完全相同的球，这个球中只有个红球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以估算的值是（　　）
A．15 B．10 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意得：
解得a=10
答：可以估算a的值是10.
故答案为：B．
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可知摸到红球的概率为20%，从而根据概率公式列出方程，求解即可.
8．（2025九上·柯城期中）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心O到水面的距离是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【知识点】垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：A．
【分析】根据垂直弦的直径平分弦得出BC=AB=8，然后在Rt△BCO中，利用勾股定理算出OC即可.
9．（2025九上·柯城期中）已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　）
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值﹣1，有最大值0
C．有最小值﹣1，有最大值3 D．有最小值﹣1，无最大值
【答案】C
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：根据图象可知此函数有最小值-1，有最大值3．
故答案为：C．
【分析】找出自变量在0≤x≤3范围内对应图象最低点的纵坐标就是函数的最小值，最高点的纵坐标就是函数的最大值.
10．（2025九上·柯城期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：四边形为圆的内接四边形，
，
，
，
为的直径，
点为的中点，
在中，，，
，
，
，，
点为的中点，
，
故选：B．
【分析】根据圆内接四边形性质可得∠ABO，根据圆周角定理的推论可得AB为的直径，根据含30°角的直角三角形性质可得OB，根据勾股定理可得OA，再根据点的坐标即可求出答案.
11．（2025九上·柯城期中）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，
∴随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是：．
故答案为：．
【分析】抛投一枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面共有6种等可能的情况数，其中奇数出现的情况为：1、3、5共3种，从而根据概率公式计算即可.
12．（2025九上·柯城期中）平面内有两点P，O，的半径为5，若，则点P与的位置关系是　 　（填写“圆内”“圆外”和“圆上”其中一个）
【答案】圆内
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为5，，且，
∴点P在内部，即点P与的位置关系是圆内．
故答案为：圆内．
【分析】先明确圆的半径和点到圆心的距离，再通过比较两者大小判断点与圆的位置关系即可．
13．（2025九上·柯城期中）折扇是南京著名的传统手工艺制品之一、某折扇展开后，扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为　 　度．
【答案】144
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：设圆心角为，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】先设扇形的圆心角度数为未知数，再根据扇形面积公式列出方程，最后解方程求出圆心角度数.
14．（2025九上·柯城期中）若二次函数的部分图像如图所示，对称轴为直线，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解　 　．
【答案】
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：二次函数的部分图像如图所示，对称轴为直线，
关于的一元二次方程的一个解.
∵与关于对称，
，
即，
∴.
故答案为：.
【分析】根据对称轴可以求出b的值，再借助于韦达定理即可求解.
15．（2025九上·柯城期中）如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升　 　米．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图，以水面所在直线为x轴，的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，
由题意得：C为抛物线顶点且坐标为，
可设抛物线解析式为 ，
∴ 即 ，
∴抛物线解析式为 ，
当水面宽度为米时，即当 ， ，
∴水面上升的高度为米，
故答案为：．
【分析】以水面AB所在直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则点C为抛物线的顶点，且点C(0，2)，易得点B（2，0），然后利用设抛物线的顶点式法求出抛物线的解析式，进而将代入所求的解析式，算出对应的函数值即可得出答案.
16．（2025九上·柯城期中）已知：如图，圆的半径为，点是圆内的一点，且，以弦为斜边作，使，则弦的长为　 　．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：作于，连接，
，
，
，
，
，
设
（舍去），
故答案为.
【分析】作于，连接根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，然后根据等边对等角得到，即可得到，推出，然后根据勾股定理解题即可．
17．（2025九上·柯城期中）学校组织秋游，安排给九年级三辆车，小明和小慧都可以从这三辆车中任选一辆搭乘．小明和小慧同车的概率有多大？（画出树状图或列表）
【答案】设3辆车分别为A，B，C，列表为：
小明 小慧 A B C
A （A，A） （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
由表格可得共有9种等可能的情况，其中小明和小慧同车的情况有3种，则小明和小慧同车的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】此题是抽取放回类型，根据题意列表得出所有等可能的结果，由表格可得共有9种等可能的情况，其中小明和小慧同车的情况有3种，然后根据概率公式求解即可．
18．（2025九上·柯城期中）已知二次函数，当时，函数值是4；当时，函数值是3．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）判断点是否在该抛物线上．
【答案】（1）解：当时，函数值是4；当时，函数值是3，
，
解得，
这个二次函数的表达式为；
（2）解：当时，，
点不在该抛物线上．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）把两组x，y值代入解析式y=x2+bx+c得到关于b，c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值，从而即可得到抛物线的解析式；
（2）把x=3代入（1）所求的解析式，算出对应的y的值，再和所给点的纵坐标比较即可得解．
（1）解：当时，函数值是4；当时，函数值是3，
，
解得，
这个二次函数的表达式为；
（2）解：当时，，
点不在该抛物线上．
19．（2025九上·柯城期中）在超市促销抽奖活动中，抽奖箱里有7个除颜色外毫无差别的乒乓球，其中3个是白色乒乓球，4个是黄色乒乓球．
（1）摇匀后，从中随机取出1个球是黄色乒乓球的概率是多少？
（2）若往抽奖箱里放入若干数量的白色乒乓球，调整后摇匀，随机摸出一个球是白色乒乓球的概率为．问放入了多少个白色乒乓球？
【答案】（1）解：从抽奖箱里随机取出一个球有7种等可能结果，其中是黄色乒乓球的有4种结果，
所以从中随机取出1个球是黄色乒乓球的概率是
（2）解：设放入x个白色乒乓球，
由题意得：
解得：x=5.
经检验x=5符合题意，
答：放入了5个白色乒乓球.
【知识点】概率公式
【解析】【分析】(1)根据概率公式计算即可得解；
(2)设放入x个白色乒乓球，根据随机摸出一个球是白色乒乓球的概率为· 列方程即可得解.
20．（2025九上·柯城期中）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
求证：AC=BD.
【答案】解：过O作OE⊥AB于点E，
则CE=DE，AE=BE，
∴BE-DE=AE-CE.
即AC=BD.
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【分析】构造辅助线OH垂直于弦AB，利用垂径定理确定AH和BH的长度相等，利用垂径定理确定OH平分了小圆的弦CD，通过等量减等量的方法证明AC和BD 相等即可.
21．（2025九上·柯城期中）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元？
（2）每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每件售价应定为50元；
（2）解：设每天的销售利润为w元．
依题意，得：
整理，得：，
化成顶点式，得，
∴当时．每天的销售利润最大，最大利润是450元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，根据单价商品的利润乘以销售数量等于总利润可得现在每天的销售利润为(x-40)(140-2x)元，原来每天的销售利润为(60-40)×20元，根据每天获取的利润不变列出一元二次方程求解，并舍去不合题意的根即可；
（2）根据单价商品的利润乘以销售数量等于总利润得到利润关于销售单价的函数关系式，进而根据所得函数的性质求解即可.
（1）设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每件售价应定为50元；
（2）设每天的销售利润为w元．
依题意，得：
整理，得：，
化成顶点式，得，
∴当时．每天的销售利润最大，最大利润是450元．
22．（2025九上·柯城期中）如图，在中，，以腰为直径画半圆O，分别交于点D，E．
（1）求证：；
（2）若，求阴影部分弓形的面积．
【答案】（1）解：如图，连接
为直径，
，
，
，
弧弧，
；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
，
，
，，
为等边三角形，
，
又，
为等边三角形，
，，，
．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，再根据等边对等角可得，再根据弧与弦之间的关系即可求出答案.
（2）连接，过点作于点，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，，，再根据，结合三角形面积即可求出答案.
（1）解：如图，连接，
为直径，
，
，
，
弧弧，
；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
，
，
，，
为等边三角形，
，
又，
为等边三角形，
，，，
．
23．（2025九上·柯城期中）二次函数的图象经过点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．
求这个函数“倍值点”的坐标；
若是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差．
【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过点，∴，解得：，
∴这个二次函数的解析式为；
（2）解：把代入得，，整理得：，
解得：或，
∴这个函数“倍值点”的坐标为或；
∵是该二次函数图象上“倍值点”和之间的点，
∴，
由得，抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，取最小值，当时，取最大值，
∴的最大值与最小值的差为．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（）利用对称轴求b，代入点（4，3）求c即可；
（）利用倍值法求出对应点的坐标；
因为是该二次函数图象上“倍值点”（包括端点），求n的最大值和最小值的差即可.
（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，解得：，
∴这个二次函数的解析式为；
（2）解：把代入得，，
整理得：，
解得：或，
∴这个函数“倍值点”的坐标为或；
∵是该二次函数图象上“倍值点”和之间的点，
∴，
由得，抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，取最小值，当时，取最大值，
∴的最大值与最小值的差为．
24．（2025九上·柯城期中）如图1，弹球从原点以一定的方向拋出，弹球抛出的路线是拋物线的一部分，若弹球到达最高点的坐标为，弹球遇挡板后会反弹，反弹后的弹球的运动轨迹仍是拋物线的一部分，且开口大小和方向均与相同．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，弹球在轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度是．
①求点A的横坐标；②反弹后的小球是否经过点？请说明理由．
（3）如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数刻画，弹球落到挡板上的点处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是．若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，直接写出挡板端点横坐标的取值范围______．
【答案】（1）解：根据题意，设抛物线L的解析式为，将代入，得，解得，
∴抛物线L的解析式为
（2）解：①令，由得，，∴点A的横坐标为8；
②反弹后的小球不经过点，理由为：
∵反弹后的弹球的运动轨迹仍是拋物线的一部分，且开口大小和方向均与相同，且最大高度是，
∴反弹后的抛物线的解析式为，
由①得，代入解析式中，得，
解得或（舍去），
∴设反弹后的抛物线的解析式为，
当时，，
∴反弹后的小球不经过点
（3）
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：（3）联立方程组，解得 （舍去），，
∴点D坐标为，
由题意，设反弹后的抛物线解析式为，
将代入，得，
解得，（不合题意，舍去），
∴反弹后的抛物线解析式为，
联立方程组，解得（舍去），，
∴反弹后抛物线与挡板交点的横坐标为10，
∴挡板端点横坐标的取值范围为，
故答案为：．
【分析】
本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、抛物线与x轴的交点问题等知识，理解题意，正确求得函数解析式是解答的关键．
（1）根据题意，设抛物线顶点式为，代入原点，解得a的值，故解析式可知；
（2）①令（1）中解析式的，解方程，(x=0舍去)，故A的横坐标为8；
②设反弹后抛物线解析式，代入最大高度条件，再验证是否过某点，即可得出结论；
（3）求得抛物线L与直线的交点D坐标，进而求得反弹后的抛物线的解析式，结合抛物线反弹的性质和最大高度条件，推导得挡板端点E横坐标的取值范围．
（1）解：根据题意，设抛物线L的解析式为，
将代入，得，解得，
∴抛物线L的解析式为；
（2）解：①令，由得，，
∴点A的横坐标为8；
②反弹后的小球不经过点，理由为：
∵反弹后的弹球的运动轨迹仍是拋物线的一部分，且开口大小和方向均与相同，且最大高度是，
∴反弹后的抛物线的解析式为，
由①得，代入解析式中，得，
解得或（舍去），
∴设反弹后的抛物线的解析式为，
当时，，
∴反弹后的小球不经过点；
（3）解：联立方程组，解得 （舍去），，
∴点D坐标为，
由题意，设反弹后的抛物线解析式为，
将代入，得，
解得，（不合题意，舍去），
∴反弹后的抛物线解析式为，
联立方程组，解得（舍去），，
∴反弹后抛物线与挡板交点的横坐标为10，
∴挡板端点横坐标的取值范围为，
故答案为：．
1 / 1浙江省衢州市柯城区巨化中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题
1．（2025九上·柯城期中）从盒子里摸出一个球，一定能摸出白球的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·柯城期中）把抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九上·柯城期中）如图，点A，B，C在上，若，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九上·柯城期中）抛物线的图像经过点，，，则，，大小关系是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九上·柯城期中）某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷3次，都是反面朝上，则该同学抛掷第4次出现正面朝上的概率是（　　）
A． B． C． D．1
6．（2025九上·柯城期中）已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的弧长为（　　）．
A． B． C． D．
7．（2025九上·柯城期中）一个暗箱中放有个除颜色外其他完全相同的球，这个球中只有个红球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以估算的值是（　　）
A．15 B．10 C．4 D．3
8．（2025九上·柯城期中）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心O到水面的距离是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．（2025九上·柯城期中）已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　）
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值﹣1，有最大值0
C．有最小值﹣1，有最大值3 D．有最小值﹣1，无最大值
10．（2025九上·柯城期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025九上·柯城期中）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是　 　．
12．（2025九上·柯城期中）平面内有两点P，O，的半径为5，若，则点P与的位置关系是　 　（填写“圆内”“圆外”和“圆上”其中一个）
13．（2025九上·柯城期中）折扇是南京著名的传统手工艺制品之一、某折扇展开后，扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为　 　度．
14．（2025九上·柯城期中）若二次函数的部分图像如图所示，对称轴为直线，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解　 　．
15．（2025九上·柯城期中）如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升　 　米．
16．（2025九上·柯城期中）已知：如图，圆的半径为，点是圆内的一点，且，以弦为斜边作，使，则弦的长为　 　．
17．（2025九上·柯城期中）学校组织秋游，安排给九年级三辆车，小明和小慧都可以从这三辆车中任选一辆搭乘．小明和小慧同车的概率有多大？（画出树状图或列表）
18．（2025九上·柯城期中）已知二次函数，当时，函数值是4；当时，函数值是3．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）判断点是否在该抛物线上．
19．（2025九上·柯城期中）在超市促销抽奖活动中，抽奖箱里有7个除颜色外毫无差别的乒乓球，其中3个是白色乒乓球，4个是黄色乒乓球．
（1）摇匀后，从中随机取出1个球是黄色乒乓球的概率是多少？
（2）若往抽奖箱里放入若干数量的白色乒乓球，调整后摇匀，随机摸出一个球是白色乒乓球的概率为．问放入了多少个白色乒乓球？
20．（2025九上·柯城期中）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
求证：AC=BD.
21．（2025九上·柯城期中）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元？
（2）每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
22．（2025九上·柯城期中）如图，在中，，以腰为直径画半圆O，分别交于点D，E．
（1）求证：；
（2）若，求阴影部分弓形的面积．
23．（2025九上·柯城期中）二次函数的图象经过点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．
求这个函数“倍值点”的坐标；
若是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差．
24．（2025九上·柯城期中）如图1，弹球从原点以一定的方向拋出，弹球抛出的路线是拋物线的一部分，若弹球到达最高点的坐标为，弹球遇挡板后会反弹，反弹后的弹球的运动轨迹仍是拋物线的一部分，且开口大小和方向均与相同．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，弹球在轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度是．
①求点A的横坐标；②反弹后的小球是否经过点？请说明理由．
（3）如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数刻画，弹球落到挡板上的点处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是．若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，直接写出挡板端点横坐标的取值范围______．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解： A、此选项的盒子里全是白球，所以从这个盒子里摸球，摸出的球必然是白球，故此选项符合题意；
B、此选项的盒子里全是黑球，所以从这个盒子里摸球，摸出的球不可能是白球，故此选项不符合题意；
C、此选项的中盒子里既有白球，又有黑球，所以从这个盒子里摸球，摸出的球可能是白球，也有可能是黑球，故此选项不符合题意；
D、此选项的中盒子里既有白球，又有黑球，所以从这个盒子里摸球，摸出的球可能是白球，也有可能是黑球，故此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线向左平移4个单位长度，
∴变为．
∵再向上平移2个单位长度，
∴．
故选B．
【分析】根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”，分两步进行平移：现象左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到平移后的抛物线解析式，最后与选项对比得出答案.
3．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故选：B．
【分析】本题主要考查圆周角定理，即一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半，据此计算的度数.
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：函数的解析式是，
对称轴是直线，
点的对称点为，
对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大，
又，
，
故答案为：D．
【分析】利用二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可.
5．【答案】C
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，前3次的结果都是反面朝上，他第4次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：，
故答案为：C．
【分析】每次抛掷硬币都是一个独立事件，前一次抛掷的结果不会影响下一次抛掷的结果，对于一个质地均匀的硬币，每次抛掷正面朝上的概率为，据此可得答案.
6．【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：l=．
故答案为：D．
【分析】根据弧长公式“ （n为扇形圆心角度数，r为扇形半径）”进行计算即可求解．
7．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意得：
解得a=10
答：可以估算a的值是10.
故答案为：B．
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可知摸到红球的概率为20%，从而根据概率公式列出方程，求解即可.
8．【答案】A
【知识点】垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：A．
【分析】根据垂直弦的直径平分弦得出BC=AB=8，然后在Rt△BCO中，利用勾股定理算出OC即可.
9．【答案】C
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：根据图象可知此函数有最小值-1，有最大值3．
故答案为：C．
【分析】找出自变量在0≤x≤3范围内对应图象最低点的纵坐标就是函数的最小值，最高点的纵坐标就是函数的最大值.
10．【答案】B
【知识点】点的坐标；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：四边形为圆的内接四边形，
，
，
，
为的直径，
点为的中点，
在中，，，
，
，
，，
点为的中点，
，
故选：B．
【分析】根据圆内接四边形性质可得∠ABO，根据圆周角定理的推论可得AB为的直径，根据含30°角的直角三角形性质可得OB，根据勾股定理可得OA，再根据点的坐标即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，
∴随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是：．
故答案为：．
【分析】抛投一枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面共有6种等可能的情况数，其中奇数出现的情况为：1、3、5共3种，从而根据概率公式计算即可.
12．【答案】圆内
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为5，，且，
∴点P在内部，即点P与的位置关系是圆内．
故答案为：圆内．
【分析】先明确圆的半径和点到圆心的距离，再通过比较两者大小判断点与圆的位置关系即可．
13．【答案】144
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：设圆心角为，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】先设扇形的圆心角度数为未知数，再根据扇形面积公式列出方程，最后解方程求出圆心角度数.
14．【答案】
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：二次函数的部分图像如图所示，对称轴为直线，
关于的一元二次方程的一个解.
∵与关于对称，
，
即，
∴.
故答案为：.
【分析】根据对称轴可以求出b的值，再借助于韦达定理即可求解.
15．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图，以水面所在直线为x轴，的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，
由题意得：C为抛物线顶点且坐标为，
可设抛物线解析式为 ，
∴ 即 ，
∴抛物线解析式为 ，
当水面宽度为米时，即当 ， ，
∴水面上升的高度为米，
故答案为：．
【分析】以水面AB所在直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则点C为抛物线的顶点，且点C(0，2)，易得点B（2，0），然后利用设抛物线的顶点式法求出抛物线的解析式，进而将代入所求的解析式，算出对应的函数值即可得出答案.
16．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：作于，连接，
，
，
，
，
，
设
（舍去），
故答案为.
【分析】作于，连接根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，然后根据等边对等角得到，即可得到，推出，然后根据勾股定理解题即可．
17．【答案】设3辆车分别为A，B，C，列表为：
小明 小慧 A B C
A （A，A） （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
由表格可得共有9种等可能的情况，其中小明和小慧同车的情况有3种，则小明和小慧同车的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】此题是抽取放回类型，根据题意列表得出所有等可能的结果，由表格可得共有9种等可能的情况，其中小明和小慧同车的情况有3种，然后根据概率公式求解即可．
18．【答案】（1）解：当时，函数值是4；当时，函数值是3，
，
解得，
这个二次函数的表达式为；
（2）解：当时，，
点不在该抛物线上．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）把两组x，y值代入解析式y=x2+bx+c得到关于b，c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值，从而即可得到抛物线的解析式；
（2）把x=3代入（1）所求的解析式，算出对应的y的值，再和所给点的纵坐标比较即可得解．
（1）解：当时，函数值是4；当时，函数值是3，
，
解得，
这个二次函数的表达式为；
（2）解：当时，，
点不在该抛物线上．
19．【答案】（1）解：从抽奖箱里随机取出一个球有7种等可能结果，其中是黄色乒乓球的有4种结果，
所以从中随机取出1个球是黄色乒乓球的概率是
（2）解：设放入x个白色乒乓球，
由题意得：
解得：x=5.
经检验x=5符合题意，
答：放入了5个白色乒乓球.
【知识点】概率公式
【解析】【分析】(1)根据概率公式计算即可得解；
(2)设放入x个白色乒乓球，根据随机摸出一个球是白色乒乓球的概率为· 列方程即可得解.
20．【答案】解：过O作OE⊥AB于点E，
则CE=DE，AE=BE，
∴BE-DE=AE-CE.
即AC=BD.
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【分析】构造辅助线OH垂直于弦AB，利用垂径定理确定AH和BH的长度相等，利用垂径定理确定OH平分了小圆的弦CD，通过等量减等量的方法证明AC和BD 相等即可.
21．【答案】（1）解：设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每件售价应定为50元；
（2）解：设每天的销售利润为w元．
依题意，得：
整理，得：，
化成顶点式，得，
∴当时．每天的销售利润最大，最大利润是450元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，根据单价商品的利润乘以销售数量等于总利润可得现在每天的销售利润为(x-40)(140-2x)元，原来每天的销售利润为(60-40)×20元，根据每天获取的利润不变列出一元二次方程求解，并舍去不合题意的根即可；
（2）根据单价商品的利润乘以销售数量等于总利润得到利润关于销售单价的函数关系式，进而根据所得函数的性质求解即可.
（1）设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每件售价应定为50元；
（2）设每天的销售利润为w元．
依题意，得：
整理，得：，
化成顶点式，得，
∴当时．每天的销售利润最大，最大利润是450元．
22．【答案】（1）解：如图，连接
为直径，
，
，
，
弧弧，
；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
，
，
，，
为等边三角形，
，
又，
为等边三角形，
，，，
．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，再根据等边对等角可得，再根据弧与弦之间的关系即可求出答案.
（2）连接，过点作于点，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，，，再根据，结合三角形面积即可求出答案.
（1）解：如图，连接，
为直径，
，
，
，
弧弧，
；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
，
，
，，
为等边三角形，
，
又，
为等边三角形，
，，，
．
23．【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过点，∴，解得：，
∴这个二次函数的解析式为；
（2）解：把代入得，，整理得：，
解得：或，
∴这个函数“倍值点”的坐标为或；
∵是该二次函数图象上“倍值点”和之间的点，
∴，
由得，抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，取最小值，当时，取最大值，
∴的最大值与最小值的差为．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（）利用对称轴求b，代入点（4，3）求c即可；
（）利用倍值法求出对应点的坐标；
因为是该二次函数图象上“倍值点”（包括端点），求n的最大值和最小值的差即可.
（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，解得：，
∴这个二次函数的解析式为；
（2）解：把代入得，，
整理得：，
解得：或，
∴这个函数“倍值点”的坐标为或；
∵是该二次函数图象上“倍值点”和之间的点，
∴，
由得，抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，取最小值，当时，取最大值，
∴的最大值与最小值的差为．
24．【答案】（1）解：根据题意，设抛物线L的解析式为，将代入，得，解得，
∴抛物线L的解析式为
（2）解：①令，由得，，∴点A的横坐标为8；
②反弹后的小球不经过点，理由为：
∵反弹后的弹球的运动轨迹仍是拋物线的一部分，且开口大小和方向均与相同，且最大高度是，
∴反弹后的抛物线的解析式为，
由①得，代入解析式中，得，
解得或（舍去），
∴设反弹后的抛物线的解析式为，
当时，，
∴反弹后的小球不经过点
（3）
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：（3）联立方程组，解得 （舍去），，
∴点D坐标为，
由题意，设反弹后的抛物线解析式为，
将代入，得，
解得，（不合题意，舍去），
∴反弹后的抛物线解析式为，
联立方程组，解得（舍去），，
∴反弹后抛物线与挡板交点的横坐标为10，
∴挡板端点横坐标的取值范围为，
故答案为：．
【分析】
本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、抛物线与x轴的交点问题等知识，理解题意，正确求得函数解析式是解答的关键．
（1）根据题意，设抛物线顶点式为，代入原点，解得a的值，故解析式可知；
（2）①令（1）中解析式的，解方程，(x=0舍去)，故A的横坐标为8；
②设反弹后抛物线解析式，代入最大高度条件，再验证是否过某点，即可得出结论；
（3）求得抛物线L与直线的交点D坐标，进而求得反弹后的抛物线的解析式，结合抛物线反弹的性质和最大高度条件，推导得挡板端点E横坐标的取值范围．
（1）解：根据题意，设抛物线L的解析式为，
将代入，得，解得，
∴抛物线L的解析式为；
（2）解：①令，由得，，
∴点A的横坐标为8；
②反弹后的小球不经过点，理由为：
∵反弹后的弹球的运动轨迹仍是拋物线的一部分，且开口大小和方向均与相同，且最大高度是，
∴反弹后的抛物线的解析式为，
由①得，代入解析式中，得，
解得或（舍去），
∴设反弹后的抛物线的解析式为，
当时，，
∴反弹后的小球不经过点；
（3）解：联立方程组，解得 （舍去），，
∴点D坐标为，
由题意，设反弹后的抛物线解析式为，
将代入，得，
解得，（不合题意，舍去），
∴反弹后的抛物线解析式为，
联立方程组，解得（舍去），，
∴反弹后抛物线与挡板交点的横坐标为10，
∴挡板端点横坐标的取值范围为，
故答案为：．
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