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湖南省衡阳市衡阳县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题
一、选择题（共10小题，每小题3分共30分）
1．（2025九上·衡阳期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，是最简二次根式，符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式就是最简二次根式，据此逐一判断得出答案.
2．（2025九上·衡阳期末）一元二次方程配方可变形为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程，
移项得：，
配方得：，
即．
故答案为：A．
【分析】此方程是一元二次方程的一般形式，且二次项系数为1，故利用配方法求解时，先将常数项移到方程的右边，再在方程的两边都加上一次项系数一半的平方“25”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
3．（2025九上·衡阳期末）“清明时节雨纷纷”这个事件是（　　）
A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：“清明时节雨纷纷”这个事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件。
故答案为：D.
【分析】随机事件即可能发生，也可能不发生，必然事件是一定会发生，不可能事件是一定不会发生。
4．（2025九上·衡阳期末）点P(m，3)和点Q(2，n)关于轴对称，则的值为（ ）
A．5 B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P（m，3）与点Q（2，n）关于x轴对称，
∴m=2，n=-3，
∴m+n=2-3=-1．
故答案为：C．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点“ 横坐标不变，纵坐标互为相反数 ”可求出m、n的值，进而再根据有理数加法法则求出m与n的和即可.
5．（2025九上·衡阳期末）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＞1 B．k＜1 C．k＞1且k≠0 D．k＜1且k≠0
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即(﹣2)2﹣4×k×1＞0，
解得k＜1且k≠0．
∴k的取值范围为k＜1且k≠0.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得k≠0且△＞0，代入求解可得k的范围.
6．（2025九上·衡阳期末）在中，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余弦的概念；求正切值
【解析】【解答】解：如图所示：
∵ ，
∴设，
则，
则，
故答案为：C．
【分析】根据题意先画出图形，由余弦函数的定义和勾股定理表示出的长，再根据正切函数的定义即可解答．
7．（2025九上·衡阳期末）如图，，，相交于点E，，，则与的周长比是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：，
，
，
，，
，
与的周长比；
故答案为：A．
【分析】由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得出△EAB∽△ECD，由相似三角形周长的比等于相似比可得答案.
8．（2025九上·衡阳期末）关于x的一元二次方程有一个根是0，则a值为（　　）
A．0 B．1或 C． D．1
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有一个根是0，
∴，，
解得：，
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的定义以及方程的根，可知二次项系数不等于0，将根代入方程即可求解.
9．（2025九上·衡阳期末）某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：二月份的产值为：，
三月份的产值为：，
故第一季度总产值为：．
故选：D．
【分析】
由于增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），可根据题意分别表示出二、三月份的产值，然后将三个月的产值相加即可列出方程．
10．（2025九上·衡阳期末）如图，点，，分别是的边，，的中点，分别连接，，，，与相交于点．有下列四个结论：①；②③当时，点到四边形四条边的距离相等；④当时，点到四边形四个顶点的距离相等．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：①点，，分别是的边，，的中点，
，，，，
四边形是平行四边形，
，
是的中位线，
，故①错误；
②点，，分别是的边，，的中点，
，，，，，
四边形和四边形和四边形是平行四边形，
，
，故②正确；
③，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，是菱形两组对角的平分线，
点到四边形四条边的距离相等，故③正确；
④，四边形是平行四边形，
点到四边形四个顶点的距离不相等，故④错误．
综上所述：正确的是②③，
故答案为：C．
【分析】根据题意可知DF、DE、EF为△ABC的中位线，由中位线定理及平行四边形的判定和性质即可判断①②；根据③的条件，可证明四边形是菱形，再根据菱形的性质判断；根据条件先说明四边形是平行四边形，再判断④，即可解决.
二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）
11．（2025九上·衡阳期末）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得x-9≥0，
解得x≥9.
故答案为：x≥9.
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式，求解即可.
12．（2025九上·衡阳期末）计算的结果是　 　．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=（）2-1=4；
故答案为：4.
【分析】利用平方差公式计算即可.
13．（2025九上·衡阳期末）已知方程的两个根是，，则　 　．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程的两个根是，，
，，
∴
，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：若，是方程的两个根，则，．得出，，再将根据多项式乘多项式的运算法则展开，然后将值代入计算即可得出答案．
14．（2025九上·衡阳期末）若，则　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质；利用等式的性质将等式变形；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
故答案为：
【分析】首先根据等式的性质可得出，通过计算即可得出。
15．（2025九上·衡阳期末）已知，斜坡的坡度，小明沿斜坡的坡面走了米，则小明上升的距离是　 　米．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如下图所示，
斜坡的坡度，
，
设，则，
，
，
当小明沿斜坡的坡面走了米，则，
，
(米)．
故答案为： ．
【分析】根据坡度的定义，坡度就是斜坡的竖直高度与水平长度之比，设，则，再由勾股定理可以求出斜边，列出方程后即可解答.
16．（2025九上·衡阳期末）三角形的每条边的长都是方程 的根，则三角形的周长是　 　.
【答案】6或10或12
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】由方程 ，得 =2或4.
当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6；
当三角形的三边是4，4，4时，则周长是12；
当三角形的三边长是2，2，4时，2+2=4，不符合三角形的三边关系，应舍去；
当三角形的三边是4，4，2时，则三角形的周长是4+4+2=10.
综上所述此三角形的周长是6或12或10.
【分析】先解方程求出方程的根为2或4，然后分①三边长都为2，②三边长都为4，③三边长是2，2，4，④三边是4，4，2，四种情况讨论，舍去不能组成三角形的即可。
17．（2025九上·衡阳期末）如图，在中，，是的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接，平分，若，则的长为　 　．
【答案】6
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵平分，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得，，根据等腰三角形”等边对等角“性质得，然后根据角平分线的定义与性质得，，从而利用三角形内角和定理求出，进而根据含30°的直角三角形的性质即可求解.
18．（2025九上·衡阳期末）如图，在中，是中线，，，则线段的长为　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；三角形的中线
【解析】【解答】解：是的中线，，
，
，，
，
，
，
解得：（负值舍去），
故答案为：．
【分析】根据三角形的中线得到，然后证明，即可根据相似三角形对应边成比例性质得到线段的长.
三、解答题（共8小题，共66分，19、20题各6分，21、22题各8分，23、24题各9分，25、26题各10分）
19．（2025九上·衡阳期末）计算：．
【答案】解：
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据特殊角的三角函数值和零指数幂，绝对值化简、求立方根，将原式化简后按照实数的混合运算法则及运算顺序计算即可．
20．（2025九上·衡阳期末）解方程：
（1）；
（2）（用公式法）．
【答案】（1）解：分解因式得：，
∴或，
∴
（2）解：∵，
，
∴，
∴
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）由因式分解（十字相乘）法解一元二次方程即可；
（2）根据公式法的步骤，先求出，再由一元二次方程的求根公式求解．
（1）解：分解因式得：，
∴或，
∴；
（2）解：∵，
，
∴，
∴．
21．（2025九上·衡阳期末）观察与计算：
；；
__________；__________．
像上面各式左边两因式均为无理数，右边结果为有理数，我们把符合上述等式的左边两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简．例如：；；；
【应用】
（1）化简：
①；
②；
（2）化简：．
【答案】（1）①；
②；
（2）∴
【知识点】二次根式的乘除混合运算；分母有理化
【解析】【解答】
解：观察与计算：
；
；
故答案为：，，
【分析】
根据二次根式的乘法运算及平方差公式计算，即可填空；
（1）根据例题示范，先确定有理化因式，再分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简即可解答；
（2）先对原式每一项进行分母有理化，再整理计算即可解答.
22．（2025九上·衡阳期末）某校为丰富学生的课余生活，开设了五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．书法社团；C．文学社团；D．话剧社团；E．科创社团．该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次调查一共抽取了______名学生；请补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中E所在扇形圆心角的度数；
（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中甲、乙两名同学的概率．
【答案】（1）解：根据题意，得本次调查的学生人数为：（人），
∴C类活动的人数为：（人），
∴补全条形统计图如下：
故答案为：200；
（2）解：扇形统计图中E所在扇形圆心角的度数为：；
（3）解：画树状图如下：
∴共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为：．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）由B的人数除以其所占百分比得出此次调查的学生人数，从而得到C类活动的人数，进而补全条形统计图；
（2）由乘以E的人数所占的比即可求解；
（3）画树状图得到所有的等可能结果数，从而得到其中恰好选中甲和乙两名同学的结果数，进而利用概率公式求解即可．
（1）本次调查一共随机抽取的学生人数为：（名）
∴C的人数为：（名）
故答案为：200
补全条形统计图如下：
（2）解：扇形统计图中E所在扇形圆心角的度数为．
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
23．（2025九上·衡阳期末）某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度（假定该塔与地面垂直），他们在与塔底B在同一水平线上的C处测得塔顶A的仰角为，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内．
（1）求点D到直线的距离；
（2）求古塔的高度．
【答案】（1）解：过点D作于点M，
∵斜坡的斜面坡度，
∴，
∴，
∴．
即点D到直线的距离为
（2）解：由（1）知，，∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
答：古塔的高度是．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点D作于点M，根据坡度的定义及tan30°的值，即可求出；
（2）由（1）可知，在和中，分别直角三角形求出AC和．
（1）解：过点D作于点M，
∵斜坡的斜面坡度，
∴，
∴，
∴．
即点D到直线的距离为；
（2）解：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
答：古塔的高度是．
24．（2025九上·衡阳期末）据统计某公仔在某电商平台6月份的销量是5万件，8月份的销量是7.2万件．
（1）若该平台6月份到8月份销量的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降低元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则售价应降低多少元？
【答案】（1）解：设月平均增长率是，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：月平均增长率是
（2）解：∵售价每降低元，每天可多售出2件，∴售价每降低元，每天可多售出4件，
设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要尽量减少库存，
．
答：售价应降低元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设月平均增长率是，根据8月份的销售量=6月份的销售量月平均增长率，列出关于的一元二次方程，解方程后检验根即可解答；
（2）设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据每天销售该公仔获得的利润每件的销售利润日销售量，列出关于的一元二次方程，解方程后根据具体实际情况检验根即可.
（1）解：设月平均增长率是，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：月平均增长率是．
（2）解：∵售价每降低元，每天可多售出2件，
∴售价每降低元，每天可多售出4件，
设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要尽量减少库存，
．
答：售价应降低元．
25．（2025九上·衡阳期末）如图，正方形的边长为4，点E为的中点，连接，过点E作与交于点G，交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）求的面积．
【答案】（1）证明：正方形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：正方形的边长为4，点E为的中点，
，，，
，
，即，
，
，
，
，
，即，
，
．
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先利用角的运算及等量代换求出，再结合，证出即可；
（2）利用相似三角形的性质可得，即，求出BG的长，再证出，可得，即，求出AF的长，最后利用三角形的面积公式求出即可．
（1）解：正方形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：正方形的边长为4，点E为的中点，
，，，
，
，即，
，
，
，
，
，即，
，
．
26．（2025九上·衡阳期末）如图（1），在四边形中，，，，，动点P从点D开始沿边匀速运动，动点Q从点A开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s），．
（1）用含t的代数式表示；
（2）当以点A、P、Q为顶点的三角形与相似时，求t的值；
（3）如图（2），延长、，两延长线相交于点M，当为直角三角形时，直接写出t的值．
【答案】（1）解：过点D作于H，如图所示，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵动点P从点D开始沿边匀速运动，速度为，
∴
（2）解：①当时，由（1）得：，
由题意得：，，
∴，解得：，
∴当时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似；
②当时，
∴，解得：，
∴当时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似；
综上所述，或
（3）当或时，为直角三角形
【知识点】正方形的判定与性质；四边形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（3）解：①当时，
过点P作，如图所示，
由（1）可得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）得：四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（1）得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，
经检验，是分式方程的解；
②当时，如图所示，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
∴当时，，即为直角三角形，
综上所述，当或时，为直角三角形；
【分析】（1）过点D作于H，先证明是正方形，根据正方形的性质及勾股定理求出，从而表示出AP；
（2） 以点A、P、Q为顶点的三角形与相似需分两种情况讨论：①当时，②当时，分别列出关于t的方程，解方程即可；
（3）为直角三角形按直角分为两种情况讨论：①当时，过点P作，根据条件证明，，根据相似三角形的性质即可求出，②当时，根据条件证明即可求出．
（1）解：过点D作，如图所示，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵动点P从点D开始沿边匀速运动，速度为，
∴；
（2）解：①当时，
由（1）得：，
由题意得：，，
∴，解得：，
∴当时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似；
②当时，
∴，解得：，
∴当时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似；
综上所述，或；
（3）解：①当时，
过点P作，如图所示，
由（1）可得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）得：四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（1）得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，
经检验，是分式方程的解；
②当时，如图所示，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
∴当时，，即为直角三角形，
综上所述，当或时，为直角三角形；
1 / 1湖南省衡阳市衡阳县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题
一、选择题（共10小题，每小题3分共30分）
1．（2025九上·衡阳期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·衡阳期末）一元二次方程配方可变形为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九上·衡阳期末）“清明时节雨纷纷”这个事件是（　　）
A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件
4．（2025九上·衡阳期末）点P(m，3)和点Q(2，n)关于轴对称，则的值为（ ）
A．5 B．1 C． D．
5．（2025九上·衡阳期末）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＞1 B．k＜1 C．k＞1且k≠0 D．k＜1且k≠0
6．（2025九上·衡阳期末）在中，，，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九上·衡阳期末）如图，，，相交于点E，，，则与的周长比是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九上·衡阳期末）关于x的一元二次方程有一个根是0，则a值为（　　）
A．0 B．1或 C． D．1
9．（2025九上·衡阳期末）某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025九上·衡阳期末）如图，点，，分别是的边，，的中点，分别连接，，，，与相交于点．有下列四个结论：①；②③当时，点到四边形四条边的距离相等；④当时，点到四边形四个顶点的距离相等．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）
11．（2025九上·衡阳期末）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　.
12．（2025九上·衡阳期末）计算的结果是　 　．
13．（2025九上·衡阳期末）已知方程的两个根是，，则　 　．
14．（2025九上·衡阳期末）若，则　 　．
15．（2025九上·衡阳期末）已知，斜坡的坡度，小明沿斜坡的坡面走了米，则小明上升的距离是　 　米．
16．（2025九上·衡阳期末）三角形的每条边的长都是方程 的根，则三角形的周长是　 　.
17．（2025九上·衡阳期末）如图，在中，，是的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接，平分，若，则的长为　 　．
18．（2025九上·衡阳期末）如图，在中，是中线，，，则线段的长为　 　．
三、解答题（共8小题，共66分，19、20题各6分，21、22题各8分，23、24题各9分，25、26题各10分）
19．（2025九上·衡阳期末）计算：．
20．（2025九上·衡阳期末）解方程：
（1）；
（2）（用公式法）．
21．（2025九上·衡阳期末）观察与计算：
；；
__________；__________．
像上面各式左边两因式均为无理数，右边结果为有理数，我们把符合上述等式的左边两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简．例如：；；；
【应用】
（1）化简：
①；
②；
（2）化简：．
22．（2025九上·衡阳期末）某校为丰富学生的课余生活，开设了五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．书法社团；C．文学社团；D．话剧社团；E．科创社团．该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次调查一共抽取了______名学生；请补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中E所在扇形圆心角的度数；
（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中甲、乙两名同学的概率．
23．（2025九上·衡阳期末）某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度（假定该塔与地面垂直），他们在与塔底B在同一水平线上的C处测得塔顶A的仰角为，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内．
（1）求点D到直线的距离；
（2）求古塔的高度．
24．（2025九上·衡阳期末）据统计某公仔在某电商平台6月份的销量是5万件，8月份的销量是7.2万件．
（1）若该平台6月份到8月份销量的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降低元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则售价应降低多少元？
25．（2025九上·衡阳期末）如图，正方形的边长为4，点E为的中点，连接，过点E作与交于点G，交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）求的面积．
26．（2025九上·衡阳期末）如图（1），在四边形中，，，，，动点P从点D开始沿边匀速运动，动点Q从点A开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s），．
（1）用含t的代数式表示；
（2）当以点A、P、Q为顶点的三角形与相似时，求t的值；
（3）如图（2），延长、，两延长线相交于点M，当为直角三角形时，直接写出t的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，是最简二次根式，符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式就是最简二次根式，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程，
移项得：，
配方得：，
即．
故答案为：A．
【分析】此方程是一元二次方程的一般形式，且二次项系数为1，故利用配方法求解时，先将常数项移到方程的右边，再在方程的两边都加上一次项系数一半的平方“25”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
3．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：“清明时节雨纷纷”这个事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件。
故答案为：D.
【分析】随机事件即可能发生，也可能不发生，必然事件是一定会发生，不可能事件是一定不会发生。
4．【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P（m，3）与点Q（2，n）关于x轴对称，
∴m=2，n=-3，
∴m+n=2-3=-1．
故答案为：C．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点“ 横坐标不变，纵坐标互为相反数 ”可求出m、n的值，进而再根据有理数加法法则求出m与n的和即可.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即(﹣2)2﹣4×k×1＞0，
解得k＜1且k≠0．
∴k的取值范围为k＜1且k≠0.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得k≠0且△＞0，代入求解可得k的范围.
6．【答案】C
【知识点】余弦的概念；求正切值
【解析】【解答】解：如图所示：
∵ ，
∴设，
则，
则，
故答案为：C．
【分析】根据题意先画出图形，由余弦函数的定义和勾股定理表示出的长，再根据正切函数的定义即可解答．
7．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：，
，
，
，，
，
与的周长比；
故答案为：A．
【分析】由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得出△EAB∽△ECD，由相似三角形周长的比等于相似比可得答案.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有一个根是0，
∴，，
解得：，
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的定义以及方程的根，可知二次项系数不等于0，将根代入方程即可求解.
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：二月份的产值为：，
三月份的产值为：，
故第一季度总产值为：．
故选：D．
【分析】
由于增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），可根据题意分别表示出二、三月份的产值，然后将三个月的产值相加即可列出方程．
10．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：①点，，分别是的边，，的中点，
，，，，
四边形是平行四边形，
，
是的中位线，
，故①错误；
②点，，分别是的边，，的中点，
，，，，，
四边形和四边形和四边形是平行四边形，
，
，故②正确；
③，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，是菱形两组对角的平分线，
点到四边形四条边的距离相等，故③正确；
④，四边形是平行四边形，
点到四边形四个顶点的距离不相等，故④错误．
综上所述：正确的是②③，
故答案为：C．
【分析】根据题意可知DF、DE、EF为△ABC的中位线，由中位线定理及平行四边形的判定和性质即可判断①②；根据③的条件，可证明四边形是菱形，再根据菱形的性质判断；根据条件先说明四边形是平行四边形，再判断④，即可解决.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得x-9≥0，
解得x≥9.
故答案为：x≥9.
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式，求解即可.
12．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=（）2-1=4；
故答案为：4.
【分析】利用平方差公式计算即可.
13．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程的两个根是，，
，，
∴
，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：若，是方程的两个根，则，．得出，，再将根据多项式乘多项式的运算法则展开，然后将值代入计算即可得出答案．
14．【答案】
【知识点】比例的性质；利用等式的性质将等式变形；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
故答案为：
【分析】首先根据等式的性质可得出，通过计算即可得出。
15．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如下图所示，
斜坡的坡度，
，
设，则，
，
，
当小明沿斜坡的坡面走了米，则，
，
(米)．
故答案为： ．
【分析】根据坡度的定义，坡度就是斜坡的竖直高度与水平长度之比，设，则，再由勾股定理可以求出斜边，列出方程后即可解答.
16．【答案】6或10或12
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】由方程 ，得 =2或4.
当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6；
当三角形的三边是4，4，4时，则周长是12；
当三角形的三边长是2，2，4时，2+2=4，不符合三角形的三边关系，应舍去；
当三角形的三边是4，4，2时，则三角形的周长是4+4+2=10.
综上所述此三角形的周长是6或12或10.
【分析】先解方程求出方程的根为2或4，然后分①三边长都为2，②三边长都为4，③三边长是2，2，4，④三边是4，4，2，四种情况讨论，舍去不能组成三角形的即可。
17．【答案】6
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵平分，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得，，根据等腰三角形”等边对等角“性质得，然后根据角平分线的定义与性质得，，从而利用三角形内角和定理求出，进而根据含30°的直角三角形的性质即可求解.
18．【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；三角形的中线
【解析】【解答】解：是的中线，，
，
，，
，
，
，
解得：（负值舍去），
故答案为：．
【分析】根据三角形的中线得到，然后证明，即可根据相似三角形对应边成比例性质得到线段的长.
19．【答案】解：
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据特殊角的三角函数值和零指数幂，绝对值化简、求立方根，将原式化简后按照实数的混合运算法则及运算顺序计算即可．
20．【答案】（1）解：分解因式得：，
∴或，
∴
（2）解：∵，
，
∴，
∴
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）由因式分解（十字相乘）法解一元二次方程即可；
（2）根据公式法的步骤，先求出，再由一元二次方程的求根公式求解．
（1）解：分解因式得：，
∴或，
∴；
（2）解：∵，
，
∴，
∴．
21．【答案】（1）①；
②；
（2）∴
【知识点】二次根式的乘除混合运算；分母有理化
【解析】【解答】
解：观察与计算：
；
；
故答案为：，，
【分析】
根据二次根式的乘法运算及平方差公式计算，即可填空；
（1）根据例题示范，先确定有理化因式，再分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简即可解答；
（2）先对原式每一项进行分母有理化，再整理计算即可解答.
22．【答案】（1）解：根据题意，得本次调查的学生人数为：（人），
∴C类活动的人数为：（人），
∴补全条形统计图如下：
故答案为：200；
（2）解：扇形统计图中E所在扇形圆心角的度数为：；
（3）解：画树状图如下：
∴共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为：．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）由B的人数除以其所占百分比得出此次调查的学生人数，从而得到C类活动的人数，进而补全条形统计图；
（2）由乘以E的人数所占的比即可求解；
（3）画树状图得到所有的等可能结果数，从而得到其中恰好选中甲和乙两名同学的结果数，进而利用概率公式求解即可．
（1）本次调查一共随机抽取的学生人数为：（名）
∴C的人数为：（名）
故答案为：200
补全条形统计图如下：
（2）解：扇形统计图中E所在扇形圆心角的度数为．
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
23．【答案】（1）解：过点D作于点M，
∵斜坡的斜面坡度，
∴，
∴，
∴．
即点D到直线的距离为
（2）解：由（1）知，，∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
答：古塔的高度是．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点D作于点M，根据坡度的定义及tan30°的值，即可求出；
（2）由（1）可知，在和中，分别直角三角形求出AC和．
（1）解：过点D作于点M，
∵斜坡的斜面坡度，
∴，
∴，
∴．
即点D到直线的距离为；
（2）解：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
答：古塔的高度是．
24．【答案】（1）解：设月平均增长率是，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：月平均增长率是
（2）解：∵售价每降低元，每天可多售出2件，∴售价每降低元，每天可多售出4件，
设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要尽量减少库存，
．
答：售价应降低元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设月平均增长率是，根据8月份的销售量=6月份的销售量月平均增长率，列出关于的一元二次方程，解方程后检验根即可解答；
（2）设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据每天销售该公仔获得的利润每件的销售利润日销售量，列出关于的一元二次方程，解方程后根据具体实际情况检验根即可.
（1）解：设月平均增长率是，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：月平均增长率是．
（2）解：∵售价每降低元，每天可多售出2件，
∴售价每降低元，每天可多售出4件，
设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要尽量减少库存，
．
答：售价应降低元．
25．【答案】（1）证明：正方形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：正方形的边长为4，点E为的中点，
，，，
，
，即，
，
，
，
，
，即，
，
．
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先利用角的运算及等量代换求出，再结合，证出即可；
（2）利用相似三角形的性质可得，即，求出BG的长，再证出，可得，即，求出AF的长，最后利用三角形的面积公式求出即可．
（1）解：正方形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：正方形的边长为4，点E为的中点，
，，，
，
，即，
，
，
，
，
，即，
，
．
26．【答案】（1）解：过点D作于H，如图所示，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵动点P从点D开始沿边匀速运动，速度为，
∴
（2）解：①当时，由（1）得：，
由题意得：，，
∴，解得：，
∴当时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似；
②当时，
∴，解得：，
∴当时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似；
综上所述，或
（3）当或时，为直角三角形
【知识点】正方形的判定与性质；四边形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（3）解：①当时，
过点P作，如图所示，
由（1）可得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）得：四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（1）得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，
经检验，是分式方程的解；
②当时，如图所示，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
∴当时，，即为直角三角形，
综上所述，当或时，为直角三角形；
【分析】（1）过点D作于H，先证明是正方形，根据正方形的性质及勾股定理求出，从而表示出AP；
（2） 以点A、P、Q为顶点的三角形与相似需分两种情况讨论：①当时，②当时，分别列出关于t的方程，解方程即可；
（3）为直角三角形按直角分为两种情况讨论：①当时，过点P作，根据条件证明，，根据相似三角形的性质即可求出，②当时，根据条件证明即可求出．
（1）解：过点D作，如图所示，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵动点P从点D开始沿边匀速运动，速度为，
∴；
（2）解：①当时，
由（1）得：，
由题意得：，，
∴，解得：，
∴当时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似；
②当时，
∴，解得：，
∴当时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似；
综上所述，或；
（3）解：①当时，
过点P作，如图所示，
由（1）可得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）得：四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（1）得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，
经检验，是分式方程的解；
②当时，如图所示，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
∴当时，，即为直角三角形，
综上所述，当或时，为直角三角形；
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