资源简介

浙江省杭州市滨江区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024九上·滨江期末）若，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九上·滨江期末）二次函数的图象与y轴的交点坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九上·滨江期末）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示：
种子个数 100 300 400 600 1000 2000 3000
发芽种子个数 96 282 382 567 945 1912 2850
发芽种子频率 0.960 0.940 0.955 0.945 0.945 0.956 0.950
则种子发芽的概率估计值是（　　）
A．0.960 B．0.950 C．0.945 D．0.940
4．（2024九上·滨江期末）如图，点C，D在以为直径的上，连接．若，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九上·滨江期末）半径等于6的圆中，垂直平分半径的弦长为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九上·滨江期末）设二次函数（是常数，），部分对应值如表：
x … 0 1 2 …
y … 5 0 …
当时，（　　）
A．5 B． C． D．0
7．（2024九上·滨江期末）数轴上有点A、点B，点A表示实数6，点B表示实数b，半径为4．若点A在内，则实数b的取值范围是（　　）
A．b＜2 B．b＞10 C．b＜2或b＞10 D．2＜b＜10
8．（2024九上·滨江期末）如图，点E，F在矩形的边上，矩形∽矩形．①若四边形是正方形，则点F是线段的黄金分割点；②若，则矩形矩形．上述命题（　　）
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确②错误 D．①错误②正确
9．（2024九上·滨江期末）如图，线段是的直径，点是上一点，设，．若，，则（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024九上·滨江期末）已知点均在二次函数图象上，若则（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．（2024九上·滨江期末）在比例尺为的地图上，A，B两地间的图上距离为2厘米，则A，B两地间的实际距离是　 　千米．
12．（2024九上·滨江期末）若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为　 　．
13．（2024九上·滨江期末）某单位工会组织内部抽奖活动，共准备100张奖券，其中一等奖10张，二等奖30张，剩余的都是三等奖，则一张奖券中三等奖的概率是　 　．
14．（2024九上·滨江期末）在平面直角坐标系中，顶点A的坐标为．若以坐标原点为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大2倍，则放大后点A的对应点的坐标为　 　．
15．（2024九上·滨江期末）设函数与x轴的交点坐标为，若函数，则时自变量x的取值范围是　 　．
16．（2024九上·滨江期末）如图，点D在的边上，作交于点E，交于点F．点G在线段上，连接并延长交线段于点M，交线段于点N．若，则的值是　 　．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2024九上·滨江期末）小滨和小江一起进行摸球游戏：在一个不透明的箱子中放有2个白球和2个黑球，小球除颜色不同外其余都相同．
小滨：从该箱子中随机摸出一个球，摸出白球的概率和摸出黑球的概率相同．
小江：从该箱子中随机摸出一个球后不放回，摇匀后再从中摸出一个球．摸出一白一黑的小球的概率和摸出颜色相同的小球的概率相同．
请判断小滨和小江的说法是否正确，并说明理由．
18．（2024九上·滨江期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点坐标是．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）该二次函数图象可由的图象经过怎样平移得到？
19．（2024九上·滨江期末）如图，点是的边延长线上一点，与交于点，．
（1）求证：；
（2）若的面积为4，求的面积．
20．（2024九上·滨江期末）如图，某房间的窗户上部分由2个全等的正方形组成，下部分是一个矩形．已知制作一个这样的窗户边框，所需要的材料的总长度为10米，设小正方形的边长为x米，该窗中的透光面积为y平方米（计算透光面积时材料忽略不计）．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x取何值时，透光面积最大？最大透光面积是多少？
21．（2024九上·滨江期末）小滨和小江在研究与圆有关的问题时发现：“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．”进一步思考后，两位同学提出了这样的想法：这四对量中，如果有一对量存在倍数关系，其余三对量是否也会相应的存在倍数关系？因此，在如图所示的⊙O中，他们提出了如下猜想：
小滨：若∠AOB＝2∠BOC，则．
小江：若AB＝2BC，则．
请判断小滨、小江所提的猜想是否正确，并说明理由．
22．（2024九上·滨江期末）课堂上，老师组织同学们一起研究二次函数的最值问题．
（1）当时，求该二次函数的最值；
（2）当t取不同值时，函数的最小值会随之发生变化．小滨认为，这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0．你认为小滨的想法是否正确？请说明理由．
23．（2024九上·滨江期末）【综合与实践】
小滨学习“图形的旋转”时，剪了一张矩形纸片进行操作．将矩形纸片ABCD绕点A顺时针旋转一定角度，得到矩形，边与直线交于点M，边，分别与直线交于点P，Q．已知．
【特例研究】
如图1，当点M与点重合时，①求证：．②求．
【结论拓展】
如图2，当点M与点不重合时，的值是否会发生变化？请给出判断并说明理由．
24．（2024九上·滨江期末）如图，在中，直径与弦交于点E，且．
（1）求证：；
（2）若是以为腰的等腰三角形，求；
（3）若，求．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴1，
∴，
故答案为：A．
【分析】由已知条件可得，再根据比例的性质求出的值即可．
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：二次函数的图象与y轴的交点的横坐标为0，即x=0，
把x=0代入二次函数，得：y=-1，
∴二次函数的图象与y轴的交点坐标是．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可．
3．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.950左右，
∴估计该作物种子发芽的概率为0.950．
故答案为：B．
【分析】，根据某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验表，可得大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.950左右，所以估计该作物种子发芽的概率为0.950．
4．【答案】C
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵为的直径，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】
由得出，再根据为的直径得出，进而得出答案．
5．【答案】C
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，垂直平分，连接，
∵垂直平分，
∴，，，
∵，
∴，
∴ ，
∴．
故答案为：C．
【分析】由题意和垂径定理得，再根据勾股定理可得，进而得出答案.
6．【答案】D
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：观察表格可知：该函数的对称轴为直线x=1，
∴与对应的函数值相等，
∵当时，，
∴当时，，
故答案为：D．
【分析】观察表格中的数据，根据二次函数的性质可知该函数图象的对称轴，然后根据二次函数图象具有对称性即可得出结论．
7．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵半径为4．若点A在内，
∴4，
∵ 点B表示实数b， 点A所表示的实数为6，
∴|b-6|<4，
∴-4∴.
故答案为：D．
【分析】
由已知可得的取值范围，从而列出关于b的不等式，进而得出答案.
8．【答案】A
【知识点】矩形的性质；黄金分割；相似多边形
【解析】【解答】解：①∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵矩形矩形，
∴，
∴，
∴，
∴点F是线段的黄金分割点，故①正确；
②设，
∵，
∴，
∵AB=CD，
∴CD=m，
∵矩形矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形矩形，故②正确，
故答案为：A．
【分析】①根据矩形矩形可得，再根据等量代换即可得出；
②设利用相似多边形的性质求出，再说明，进而得出答案．
9．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；垂径定理的实际应用；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：直径，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】根据垂径定理得到，即可得到，然后根据圆内接四边形的性质求出，利用等边对等角得到，即可求出，进而得到，即可得到结论解题即可．
10．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意，
∵二次函数为，
∴对称轴是直线，
又∵在二次函数上，且，
∴．
∴为二次函数的顶点．
∴当时，点到顶点的距离比到顶点的距离小，则若时，则；若时，则，故选项A错误，不符合题意；
若，则n为最大值，故抛物线开口向下，可得，故选项B正确，符合题意
当时，点到顶点的距离比到顶点的距离大，则若时，则；若时，则，故选项C错误，不符合题意；
若，则n为最大值，故抛物线开口向下，可得，故选项D错误，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】首先根据抛物线对称轴直线公式得出其对称轴直线为x=-1，然后根据抛物线上点的坐标特点结合n=c-a，可得，则为二次函数的顶点，抛物线y=ax2+2ax+c中，当a＞0时，图象开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，抛物线上的点离对称轴直线距离越远函数值就越大，当a＜0时，图象开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，抛物线上的点离对称轴直线距离越远函数值就越小，据此对各个选项逐一判断即可得出答案.
11．【答案】180
【知识点】比例尺应用题
【解析】【解答】解：（cm），
18000000厘米千米．
故答案为：180．
【分析】根据比例尺的定义即可得出 A，B两地间的实际距离是，然后把单位化为千米即可．
12．【答案】π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】根据扇形的面积公式计算即可．
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵有100张奖券，则三等奖个，
∴一张奖券中三等奖的概率为．
故答案为：．
【分析】根据概率公式即可求解．
14．【答案】或
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵A的坐标为，
∴放大后点A的对应点的坐标为或．
∴放大后点A的对应点的坐标为或．
故答案为：或．
【分析】根据“如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或”进行计算即可．
15．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵函数与x轴的交点坐标为，
∴对称轴为直线x，
∴=，
∴ ，
∴函数表达式，，
∴函数的图象是由函数的图象向右平移2个单位长度所得，
∴则函数的图象与x轴的交点坐标向右平移2个单位长度所得，
∴函数的图象与x轴的交点坐标为，
∵a>0，
∴该函数图象开口向上，
∴时自变量x的取值范围为，
故答案为：．
【分析】先求得h的值，然后根据二次函数的平移性质求得与x轴的交点，最后根据二次函数性质求得答案即可．
16．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】设，则，由得，再说明四边形为平行四边形，进而可得，再利用等线段成比例和相似三角形的性质得到，接着说明，利用相似比得到，则，然后证明，进而得出答案．
17．【答案】解：小滨的说法正确，小江的说法不正确．理由如下：
小滨的说法：∵摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为，
∴摸出白球的概率和摸出黑球的概率相同，
∴小滨的说法正确；
小江的说法：
列表如下：
　 白 白 黑 黑
白 　 （白，白） （白，黑） （白，黑）
白 （白，白） 　 （白，黑） （白，黑）
黑 （黑，白） （黑，白） 　 （黑，黑）
黑 （黑，白） （黑，白） （黑，黑） 　
根据表格可得，摸出一白一黑的小球的概率为，
摸出颜色相同的小球的概率为，
则摸出一白一黑的小球的概率和摸出颜色相同的小球的概率不相同，
故小江的说法不正确．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】根据题意求出小滨摸出白球和黑球的概率分别是多少，再判定即可；
根据题意用列表法求出小江摸出白球和黑球的概率分别是多少，再判定即可.
18．【答案】（1）解：∵ 二次函数图象的顶点坐标是 ，
∴二次函数为，
∴二次函数的表达式为.
（2）解：∵二次函数为，
∴二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数，
∴的图象先向右平移2个单位，再向下平移4个单位可得到的图象．
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据顶点坐标写出二次函数的顶点式表达式，再整理即可；
（2）根据两个函数的顶点式坐标即可确定平移方向和单位．
（1）解：∵二次函数的顶点式为，顶点坐标为，
∴二次函数为
∵二次函数
∴，
∴
∴二次函数的表达式为：；
（2）解：∵的顶点坐标为的顶点坐标为，
∴从到，
∴横坐标的变化是，即向右平移2个单位，
纵坐标的变化是，即向下平移4个单位．
∴的图象先向右平移2个单位，再向下平移4个单位可得到的图象．
19．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∴．
（2）解：∵ ，
∴，
，
，
的相似比为，
，
∵，
，
，
，，
，，
，
∵，
，
，
的面积为48．
【知识点】平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）分别求出，，再根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明；
（2）现证明，得，再由可得，根据“相似三角形的面积比=相似比的平方”可得，求得，结合，即可得到答案．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
．
（2）解：，
，
，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
的面积为48．
20．【答案】（1）解：∵小正方形的边长为x米 ，
∴矩形的两边长分别为2x 米、米，
∴，
∴y关于x的函数表达式为.
（2）解：由（1）可知，
∵x>0，，
∴，
∵，
∴的图象开口向下，且有最高点，即（，），
∴当时，透光面积最大，最大透光面积是平方米．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）先求出矩形的两边长分别为2x 米和米，再根据矩形的面积公式列式整理即可；
（2）将（1）中表达式写成顶点式，再根据已知条件求出x的取值范围，最后根据二次函数的性质即可得出答案.
（1）解：由题意知，下部分矩形的长米，
∴，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：，
∵，
∴，
∵，
∴当时，y最大，最大值为，
∴当时，透光面积最大，最大透光面积是平方米．
21．【答案】证明：小滨的猜想是正确的，小江的猜想是错误的，理由如下：
小滨：过点O作的平分线交圆弧于点D，
∴
又∵，
∴，
∴，
∵
∴＝2，
∴小滨的猜想是正确的；
小江：取的中点E，连接并延长交于点D，
又∵OA=OB，
∴OD⊥AB，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴2．
【知识点】三角形三边关系；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；角平分线的概念
【解析】【分析】根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系以及三角形三边关系进行解答即可．
22．【答案】（1）解：根据题意可知：当t=3时，
，
∴当x=2时，y=（2-2）2-1=-1，
答：当t=3时，该二次函数取得最小值，最小值为.
（2）解：小滨的想法正确；
理由：二次函数，
∴当时，二次函数y取得最小值，最小值为，
设二次函数m=，
∵a＜0，
∴二次函数m开口向下，
当t=4时，函数m取得最大值，最大值为0，
由此可知，这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的最值，熟练掌握并灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意，当时，，从而可以判断得解；
（2）依据题意，由，从而当时，y取最小值为，进而可以判断得解．
（1）解：由题意，当时，
，
∴当时，
y取最小值为；
（2）解：小滨的想法正确．理由如下：
由题意，，
∴当时，y取最小值为．
∴这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0．
23．【答案】【特例研究】①证明：由旋转可得：，
∵，
∴，
∵
∴∠C'AD'=∠QMB，
∵
∴，
∴．
②解：∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵BC'=AC'-AB=10-6=4，
∴=，
∴，
∴，
∴.
【结论拓展】解：不变，理由如下：
过Q作交AD'于点H，
∴∠QHD'=90°，
∵四边形为矩形，
∴∠B'=∠B'AD'=90°，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当点M与点不重合时，的值不会发生变化.
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定；旋转的性质；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】【特例研究】①根据旋转的性质得到，再根据勾股定理得到的值，再根据AA得到．
②先求出，根据相似三角形的判定定理得到，再求得，得到，进而得出答案；
【结论拓展】过Q作于H，得出四边形是矩形，接着得到，再根据全等三角形的性质得到，最后根据相似三角形的性质即可得到结论.
24．【答案】（1）证明：连接并延长交于H点，连接OC，
∵，
∴，
∵AO=AO，OB=OC，
∴△AOB≌△AOB（SSS），
∴∠BAO=∠CAO，
∴AH⊥BC，BH=CH，
∴垂直平分，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
∴，
∵为直径，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴
∴，
∴的度数为或．
（3）解：∵由（1）知，BC=6，
∴，
∵AH2=AB2-BH2，AB=5，
∴，
设的半径为r，
则，
∵OB2=BH2+OH2，
∴，
∴，
∴，
∵BD为直径，
∴∠BAD=90°，∠BCD=90°，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）连接并延长交于H点，连接OC，先说明垂直平分，则根据等腰三角形的性质得到平分，即，进而得出结论；
（2）设，则，，根据圆周角定理得到，分两种情况进行计算，即当时，，所以；当时，，则，进而得出答案；
（3）利用垂径定理得到，再勾股定理得出，设的半径为r，则，，再根据勾股定理求出r，则直径，再次利用勾股定理得出、，然后证明，利用相似三角形的性质得到，即可得出答案.
（1）证明：如图：连接并延长交于H点，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴平分，即，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
∴，
∵为直径，
∴，
当时，，
∴，解得；
当时，，
∴，解得．
综上所述，的度数为或．
（3）解：∵，
∴，
在中，，
设的半径为r，则，
在中，，解得，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
1 / 1浙江省杭州市滨江区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024九上·滨江期末）若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴1，
∴，
故答案为：A．
【分析】由已知条件可得，再根据比例的性质求出的值即可．
2．（2024九上·滨江期末）二次函数的图象与y轴的交点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：二次函数的图象与y轴的交点的横坐标为0，即x=0，
把x=0代入二次函数，得：y=-1，
∴二次函数的图象与y轴的交点坐标是．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可．
3．（2024九上·滨江期末）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示：
种子个数 100 300 400 600 1000 2000 3000
发芽种子个数 96 282 382 567 945 1912 2850
发芽种子频率 0.960 0.940 0.955 0.945 0.945 0.956 0.950
则种子发芽的概率估计值是（　　）
A．0.960 B．0.950 C．0.945 D．0.940
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.950左右，
∴估计该作物种子发芽的概率为0.950．
故答案为：B．
【分析】，根据某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验表，可得大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.950左右，所以估计该作物种子发芽的概率为0.950．
4．（2024九上·滨江期末）如图，点C，D在以为直径的上，连接．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵为的直径，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】
由得出，再根据为的直径得出，进而得出答案．
5．（2024九上·滨江期末）半径等于6的圆中，垂直平分半径的弦长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，垂直平分，连接，
∵垂直平分，
∴，，，
∵，
∴，
∴ ，
∴．
故答案为：C．
【分析】由题意和垂径定理得，再根据勾股定理可得，进而得出答案.
6．（2024九上·滨江期末）设二次函数（是常数，），部分对应值如表：
x … 0 1 2 …
y … 5 0 …
当时，（　　）
A．5 B． C． D．0
【答案】D
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：观察表格可知：该函数的对称轴为直线x=1，
∴与对应的函数值相等，
∵当时，，
∴当时，，
故答案为：D．
【分析】观察表格中的数据，根据二次函数的性质可知该函数图象的对称轴，然后根据二次函数图象具有对称性即可得出结论．
7．（2024九上·滨江期末）数轴上有点A、点B，点A表示实数6，点B表示实数b，半径为4．若点A在内，则实数b的取值范围是（　　）
A．b＜2 B．b＞10 C．b＜2或b＞10 D．2＜b＜10
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵半径为4．若点A在内，
∴4，
∵ 点B表示实数b， 点A所表示的实数为6，
∴|b-6|<4，
∴-4∴.
故答案为：D．
【分析】
由已知可得的取值范围，从而列出关于b的不等式，进而得出答案.
8．（2024九上·滨江期末）如图，点E，F在矩形的边上，矩形∽矩形．①若四边形是正方形，则点F是线段的黄金分割点；②若，则矩形矩形．上述命题（　　）
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确②错误 D．①错误②正确
【答案】A
【知识点】矩形的性质；黄金分割；相似多边形
【解析】【解答】解：①∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵矩形矩形，
∴，
∴，
∴，
∴点F是线段的黄金分割点，故①正确；
②设，
∵，
∴，
∵AB=CD，
∴CD=m，
∵矩形矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形矩形，故②正确，
故答案为：A．
【分析】①根据矩形矩形可得，再根据等量代换即可得出；
②设利用相似多边形的性质求出，再说明，进而得出答案．
9．（2024九上·滨江期末）如图，线段是的直径，点是上一点，设，．若，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；垂径定理的实际应用；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：直径，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】根据垂径定理得到，即可得到，然后根据圆内接四边形的性质求出，利用等边对等角得到，即可求出，进而得到，即可得到结论解题即可．
10．（2024九上·滨江期末）已知点均在二次函数图象上，若则（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意，
∵二次函数为，
∴对称轴是直线，
又∵在二次函数上，且，
∴．
∴为二次函数的顶点．
∴当时，点到顶点的距离比到顶点的距离小，则若时，则；若时，则，故选项A错误，不符合题意；
若，则n为最大值，故抛物线开口向下，可得，故选项B正确，符合题意
当时，点到顶点的距离比到顶点的距离大，则若时，则；若时，则，故选项C错误，不符合题意；
若，则n为最大值，故抛物线开口向下，可得，故选项D错误，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】首先根据抛物线对称轴直线公式得出其对称轴直线为x=-1，然后根据抛物线上点的坐标特点结合n=c-a，可得，则为二次函数的顶点，抛物线y=ax2+2ax+c中，当a＞0时，图象开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，抛物线上的点离对称轴直线距离越远函数值就越大，当a＜0时，图象开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，抛物线上的点离对称轴直线距离越远函数值就越小，据此对各个选项逐一判断即可得出答案.
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．（2024九上·滨江期末）在比例尺为的地图上，A，B两地间的图上距离为2厘米，则A，B两地间的实际距离是　 　千米．
【答案】180
【知识点】比例尺应用题
【解析】【解答】解：（cm），
18000000厘米千米．
故答案为：180．
【分析】根据比例尺的定义即可得出 A，B两地间的实际距离是，然后把单位化为千米即可．
12．（2024九上·滨江期末）若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为　 　．
【答案】π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】根据扇形的面积公式计算即可．
13．（2024九上·滨江期末）某单位工会组织内部抽奖活动，共准备100张奖券，其中一等奖10张，二等奖30张，剩余的都是三等奖，则一张奖券中三等奖的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵有100张奖券，则三等奖个，
∴一张奖券中三等奖的概率为．
故答案为：．
【分析】根据概率公式即可求解．
14．（2024九上·滨江期末）在平面直角坐标系中，顶点A的坐标为．若以坐标原点为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大2倍，则放大后点A的对应点的坐标为　 　．
【答案】或
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵A的坐标为，
∴放大后点A的对应点的坐标为或．
∴放大后点A的对应点的坐标为或．
故答案为：或．
【分析】根据“如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或”进行计算即可．
15．（2024九上·滨江期末）设函数与x轴的交点坐标为，若函数，则时自变量x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵函数与x轴的交点坐标为，
∴对称轴为直线x，
∴=，
∴ ，
∴函数表达式，，
∴函数的图象是由函数的图象向右平移2个单位长度所得，
∴则函数的图象与x轴的交点坐标向右平移2个单位长度所得，
∴函数的图象与x轴的交点坐标为，
∵a>0，
∴该函数图象开口向上，
∴时自变量x的取值范围为，
故答案为：．
【分析】先求得h的值，然后根据二次函数的平移性质求得与x轴的交点，最后根据二次函数性质求得答案即可．
16．（2024九上·滨江期末）如图，点D在的边上，作交于点E，交于点F．点G在线段上，连接并延长交线段于点M，交线段于点N．若，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】设，则，由得，再说明四边形为平行四边形，进而可得，再利用等线段成比例和相似三角形的性质得到，接着说明，利用相似比得到，则，然后证明，进而得出答案．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2024九上·滨江期末）小滨和小江一起进行摸球游戏：在一个不透明的箱子中放有2个白球和2个黑球，小球除颜色不同外其余都相同．
小滨：从该箱子中随机摸出一个球，摸出白球的概率和摸出黑球的概率相同．
小江：从该箱子中随机摸出一个球后不放回，摇匀后再从中摸出一个球．摸出一白一黑的小球的概率和摸出颜色相同的小球的概率相同．
请判断小滨和小江的说法是否正确，并说明理由．
【答案】解：小滨的说法正确，小江的说法不正确．理由如下：
小滨的说法：∵摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为，
∴摸出白球的概率和摸出黑球的概率相同，
∴小滨的说法正确；
小江的说法：
列表如下：
　 白 白 黑 黑
白 　 （白，白） （白，黑） （白，黑）
白 （白，白） 　 （白，黑） （白，黑）
黑 （黑，白） （黑，白） 　 （黑，黑）
黑 （黑，白） （黑，白） （黑，黑） 　
根据表格可得，摸出一白一黑的小球的概率为，
摸出颜色相同的小球的概率为，
则摸出一白一黑的小球的概率和摸出颜色相同的小球的概率不相同，
故小江的说法不正确．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】根据题意求出小滨摸出白球和黑球的概率分别是多少，再判定即可；
根据题意用列表法求出小江摸出白球和黑球的概率分别是多少，再判定即可.
18．（2024九上·滨江期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点坐标是．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）该二次函数图象可由的图象经过怎样平移得到？
【答案】（1）解：∵ 二次函数图象的顶点坐标是 ，
∴二次函数为，
∴二次函数的表达式为.
（2）解：∵二次函数为，
∴二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数，
∴的图象先向右平移2个单位，再向下平移4个单位可得到的图象．
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据顶点坐标写出二次函数的顶点式表达式，再整理即可；
（2）根据两个函数的顶点式坐标即可确定平移方向和单位．
（1）解：∵二次函数的顶点式为，顶点坐标为，
∴二次函数为
∵二次函数
∴，
∴
∴二次函数的表达式为：；
（2）解：∵的顶点坐标为的顶点坐标为，
∴从到，
∴横坐标的变化是，即向右平移2个单位，
纵坐标的变化是，即向下平移4个单位．
∴的图象先向右平移2个单位，再向下平移4个单位可得到的图象．
19．（2024九上·滨江期末）如图，点是的边延长线上一点，与交于点，．
（1）求证：；
（2）若的面积为4，求的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∴．
（2）解：∵ ，
∴，
，
，
的相似比为，
，
∵，
，
，
，，
，，
，
∵，
，
，
的面积为48．
【知识点】平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）分别求出，，再根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明；
（2）现证明，得，再由可得，根据“相似三角形的面积比=相似比的平方”可得，求得，结合，即可得到答案．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
．
（2）解：，
，
，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
的面积为48．
20．（2024九上·滨江期末）如图，某房间的窗户上部分由2个全等的正方形组成，下部分是一个矩形．已知制作一个这样的窗户边框，所需要的材料的总长度为10米，设小正方形的边长为x米，该窗中的透光面积为y平方米（计算透光面积时材料忽略不计）．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x取何值时，透光面积最大？最大透光面积是多少？
【答案】（1）解：∵小正方形的边长为x米 ，
∴矩形的两边长分别为2x 米、米，
∴，
∴y关于x的函数表达式为.
（2）解：由（1）可知，
∵x>0，，
∴，
∵，
∴的图象开口向下，且有最高点，即（，），
∴当时，透光面积最大，最大透光面积是平方米．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）先求出矩形的两边长分别为2x 米和米，再根据矩形的面积公式列式整理即可；
（2）将（1）中表达式写成顶点式，再根据已知条件求出x的取值范围，最后根据二次函数的性质即可得出答案.
（1）解：由题意知，下部分矩形的长米，
∴，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：，
∵，
∴，
∵，
∴当时，y最大，最大值为，
∴当时，透光面积最大，最大透光面积是平方米．
21．（2024九上·滨江期末）小滨和小江在研究与圆有关的问题时发现：“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．”进一步思考后，两位同学提出了这样的想法：这四对量中，如果有一对量存在倍数关系，其余三对量是否也会相应的存在倍数关系？因此，在如图所示的⊙O中，他们提出了如下猜想：
小滨：若∠AOB＝2∠BOC，则．
小江：若AB＝2BC，则．
请判断小滨、小江所提的猜想是否正确，并说明理由．
【答案】证明：小滨的猜想是正确的，小江的猜想是错误的，理由如下：
小滨：过点O作的平分线交圆弧于点D，
∴
又∵，
∴，
∴，
∵
∴＝2，
∴小滨的猜想是正确的；
小江：取的中点E，连接并延长交于点D，
又∵OA=OB，
∴OD⊥AB，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴2．
【知识点】三角形三边关系；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；角平分线的概念
【解析】【分析】根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系以及三角形三边关系进行解答即可．
22．（2024九上·滨江期末）课堂上，老师组织同学们一起研究二次函数的最值问题．
（1）当时，求该二次函数的最值；
（2）当t取不同值时，函数的最小值会随之发生变化．小滨认为，这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0．你认为小滨的想法是否正确？请说明理由．
【答案】（1）解：根据题意可知：当t=3时，
，
∴当x=2时，y=（2-2）2-1=-1，
答：当t=3时，该二次函数取得最小值，最小值为.
（2）解：小滨的想法正确；
理由：二次函数，
∴当时，二次函数y取得最小值，最小值为，
设二次函数m=，
∵a＜0，
∴二次函数m开口向下，
当t=4时，函数m取得最大值，最大值为0，
由此可知，这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的最值，熟练掌握并灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意，当时，，从而可以判断得解；
（2）依据题意，由，从而当时，y取最小值为，进而可以判断得解．
（1）解：由题意，当时，
，
∴当时，
y取最小值为；
（2）解：小滨的想法正确．理由如下：
由题意，，
∴当时，y取最小值为．
∴这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0．
23．（2024九上·滨江期末）【综合与实践】
小滨学习“图形的旋转”时，剪了一张矩形纸片进行操作．将矩形纸片ABCD绕点A顺时针旋转一定角度，得到矩形，边与直线交于点M，边，分别与直线交于点P，Q．已知．
【特例研究】
如图1，当点M与点重合时，①求证：．②求．
【结论拓展】
如图2，当点M与点不重合时，的值是否会发生变化？请给出判断并说明理由．
【答案】【特例研究】①证明：由旋转可得：，
∵，
∴，
∵
∴∠C'AD'=∠QMB，
∵
∴，
∴．
②解：∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵BC'=AC'-AB=10-6=4，
∴=，
∴，
∴，
∴.
【结论拓展】解：不变，理由如下：
过Q作交AD'于点H，
∴∠QHD'=90°，
∵四边形为矩形，
∴∠B'=∠B'AD'=90°，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当点M与点不重合时，的值不会发生变化.
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定；旋转的性质；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】【特例研究】①根据旋转的性质得到，再根据勾股定理得到的值，再根据AA得到．
②先求出，根据相似三角形的判定定理得到，再求得，得到，进而得出答案；
【结论拓展】过Q作于H，得出四边形是矩形，接着得到，再根据全等三角形的性质得到，最后根据相似三角形的性质即可得到结论.
24．（2024九上·滨江期末）如图，在中，直径与弦交于点E，且．
（1）求证：；
（2）若是以为腰的等腰三角形，求；
（3）若，求．
【答案】（1）证明：连接并延长交于H点，连接OC，
∵，
∴，
∵AO=AO，OB=OC，
∴△AOB≌△AOB（SSS），
∴∠BAO=∠CAO，
∴AH⊥BC，BH=CH，
∴垂直平分，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
∴，
∵为直径，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴
∴，
∴的度数为或．
（3）解：∵由（1）知，BC=6，
∴，
∵AH2=AB2-BH2，AB=5，
∴，
设的半径为r，
则，
∵OB2=BH2+OH2，
∴，
∴，
∴，
∵BD为直径，
∴∠BAD=90°，∠BCD=90°，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）连接并延长交于H点，连接OC，先说明垂直平分，则根据等腰三角形的性质得到平分，即，进而得出结论；
（2）设，则，，根据圆周角定理得到，分两种情况进行计算，即当时，，所以；当时，，则，进而得出答案；
（3）利用垂径定理得到，再勾股定理得出，设的半径为r，则，，再根据勾股定理求出r，则直径，再次利用勾股定理得出、，然后证明，利用相似三角形的性质得到，即可得出答案.
（1）证明：如图：连接并延长交于H点，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴平分，即，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
∴，
∵为直径，
∴，
当时，，
∴，解得；
当时，，
∴，解得．
综上所述，的度数为或．
（3）解：∵，
∴，
在中，，
设的半径为r，则，
在中，，解得，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
1 / 1

展开更多......

收起↑