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吉林省吉林市松花江中学2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2025九上·吉林期末）我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理，下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（　　）
A．是轴对称图形
B．是中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：“赵爽弦图”是中心对称图形，不是轴对称图形，故A、C、D都错误，不符合题意，只有B选项正确，符合题意.
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可判断得出答案.
2．（2025九上·吉林期末）二次函数的最大值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：在中，
，
∴二次函数的图象开口向下，函数有最大值，
∴当时，有最大值，最大值为，
故答案为：D
【分析】根据二次函数的图象与性质结合题意得到二次函数的图象开口向下，函数有最大值，进而即可求解。
3．（2025九上·吉林期末）若反比例函数的图象经过点，则的值为（　　）
A． B．3 C． D．6
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：把已知点，代入 可得，，
∴．
故答案为：C
【分析】根据题意反比例函数图象上的点的坐标特征结合题意代入点即可求解。
4．（2025九上·吉林期末）若关于x的方程x2﹣x+a=0有实根，则a的值可以是（　　）
A．2 B．1 C．0.5 D．0.25
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程式x2﹣x+a=0有实根，
∴△=（﹣1）2﹣4a≥0，
解得a≤0.25．
故答案为：D．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此列出关于字母a的不等式，求解得出a的取值范围，即可判断得出答案.
5．（2025九上·吉林期末）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：∵与相似，且相似比为，
∴与的周长比为．
故答案为：C
【分析】根据相似三角形的性质结合相似比即可得到周长比。
6．（2025九上·吉林期末）如图，为的直径，圆周角为的切线，则度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】连接，根据等腰三角形的性质得到，再根据切线的性质得到，则，代入数值即可求解。
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（2025九上·吉林期末）方程的根是　 　．
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
提公因式，得
，
∴x=0或x+2=0，
解得x=0或x=-2.
故答案为，
【分析】利用因式分解——提公因式法解方程即可.
8．（2025九上·吉林期末）反比例函数的图象位于第　 　象限．
【答案】一、三
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，
故答案为：一、三
【分析】根据反比例函数的图象与系数的关系结合题意即可求解。
9．（2025九上·吉林期末）在句子“”中，字母“”出现的概率是　 　．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：根据题意得：字母“o”出现2次，句子“”中共14个字母，
即字母“o”出现的概率是．
故答案为：
【分析】根据简单事件的概率结合题意用字母“o”的个数除以总字母数即可求解。
10．（2025九上·吉林期末）如图，在平直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为．以，为边作矩形，若将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形，点在第二象限，
∴，，，
∴点的坐标为，
故答案为：
【分析】先根据点A和点C的坐标得到，，进而根据矩形的性质得到，，，根据旋转结合题意得到，，，从而即可得到点B'的坐标。
11．（2025九上·吉林期末）如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则　 　．
【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】根据平行线的性质（同位角）得到，再根据圆内接四边形的性质得到，代入数值即可求解。
12．（2025九上·吉林期末）已知抛物线与轴交于两点，则关于的一元二次方程的解是　 　．
【答案】，
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线与轴交于两点，
∴一元二次方程的解是，，
故答案为：，
【分析】根据抛物线与坐标轴的交点结合一元二次方程的解即可求解。
13．（2025九上·吉林期末）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是12cm，当重物上升时，滑轮的一条半径OA绕轴心按逆时针方向旋转的度数　 　．
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设旋转的角度是，
根据题意得：，
解得：，
滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为，
故答案为：．
【分析】设旋转的角度是，利用弧长公式及重物上升列出方程，求出n的值即可.
14．（2025九上·吉林期末）距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足： (其中g是常数，通常取10m/s2).若m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面　 　m.
【答案】7
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：将和代入，可得：，
则最大值为：=5，
则离地面的距离为：（m）．
故答案为：7．
【分析】根据题意将和代入，进而根据二次函数的最值结合题意即可求解。
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（2025九上·吉林期末）用适当的方法解方程：．
【答案】解：
，
或，
，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用十字相乘法（先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数）的计算方法及步骤分析求解即可.
16．（2025九上·吉林期末）今年是农历癸卯年，即兔年，如图，现有三张正面印有不同兔图案的不透明卡片A、B、C，卡片除正面图案不同外其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小希从中随机抽取一张卡片，记下图案并放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求小希两次抽出的卡片图案相同的概率．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：根据题意画树状图如下：
共有6个等可能的结果，小希两次抽出的卡片图案相同的结果有3种，
∴（小希两次抽出的卡片图案相同）．
故答案为：
【分析】根据题意画出树状图，进而得到共有6个等可能的结果，小希两次抽出的卡片图案相同的结果有3种，再根据等可能事件的概率即可求解。
17．（2025九上·吉林期末）已知是的反比例函数，并且当时，．
⑴求关于的函数解析式；
⑵当时，求的值．
【答案】解：（1）y是x的反例函数，
所以，设，
当x=2时，y=6．
所以，k=xy=12，
所以，；
（2）当x=4时，=3．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】（1）根据反比例函数的定义，设，然后将x=2与y=6代入解析式算出k的值，即可得到反比例函数的解析式；（2）直接将x=4代入（1）所求函数解析式，算出对应函数值即可.
18．（2025九上·吉林期末）如图，，，是上的三点，，，．
（1）__________．
（2）求阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）解：阴影部分的面积为
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】（1）解：是所对的圆周角，是所对的圆周角，
，
，，
，
，，，
，，
；
故答案为：
【分析】（1）先根据圆周角定理得到，进而结合题意进行角的运算得到，从而得到，再结合题意即可得到的度数；
（2）根据扇形面积公式即可求解。
（1）解：是所对的圆周角，是所对的圆周角，
，
，，
，
，，，
，，
；
故答案为：
（2）解：阴影部分的面积为．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（2025九上·吉林期末）图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点．
（1）在图①，图②中，以4个标注点为顶点，各画一个中心对称图形．（两个中心对称图形不全等）
（2）图①中所画的中心对称图形的面积为　 　．
【答案】（1）解：如图所示为所求：
（2）6
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；作图﹣中心对称
【解析】【解答】（2）解：图①中所画的中心对称图形的面积为：，
故答案为：6
【分析】（1）根据题意结合平行四边形是中心对称图形画图即可求解；
（2）根据割补法结合题意计算面积即可求解。
（1）解：如图所示为所求：
（2）解：图①中所画的中心对称图形的面积为：．
20．（2025九上·吉林期末）据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图，如果木杆长，它的影长为，测得为，求金字塔的高度．
【答案】解：
又
即（m）
【知识点】相似三角形的实际应用；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】先根据平行线的性质（同位角）得到，再根据相似三角形的判定与性质证明得到，从而代入数值即可求解。
21．（2025九上·吉林期末）如图，反比例函数的图象与直线在第一象限交于点，是反比例函数上的点，且点的横坐标为3，过点作轴，与直线的交点为，连接．
（1）直接写出的值．
（2）求的面积．
【答案】（1）解：；
（2）解：是反比例函数上的点，点的横坐标为3，
，
，
轴，
点的纵坐标为1，
，
，
，
的高为，
的面积为．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）解：将点分别代入反比例函数与直线中，
则，
；
【分析】（1）根据题意将点P代入反比例函数和一次函数解析式中即可求解；
（2）根据反比例函数图象上的点的坐标特征结合题意代入得到点A的坐标，进而根据平行即可得到AB，从而根据三角形的面积公式即可求解。
（1）解：将点分别代入反比例函数与直线中，
则，
；
（2）解：是反比例函数上的点，点的横坐标为3，
，
，
轴，
点的纵坐标为1，
，
，
，
的高为，
的面积为．
22．（2025九上·吉林期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其“勾股”中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高，广各几何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈尺），那么门的高和宽各是多少？”（结果精确到）（参考数据：）
【答案】解：设门的宽为尺，则门的高为尺，由题意得，
解得：，（舍去），
∴门的高为（尺），
答：门的高和宽各是尺和尺．
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设门的宽为尺，则门的高为尺，根据勾股定理列出方程，进而解方程即可。
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（2025九上·吉林期末）如图，点在外，点在上，连接．过点的直线与交于两点，半径，垂足为点交于点．当时，解答下列问题．
（1）是否为的切线？请说明理由．
（2）若是的中点，，则的长为　 　．
【答案】（1）解：是的切线，理由如下：∵半径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）3
【知识点】垂径定理；切线的性质；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】（2）解：∵半径，是的中点，
∴，
∴，即，
∵，
∴．
故答案为：3
【分析】（1）先根据直角得到，进而根据等腰三角形的性质等量代换得到，再根据等腰三角形的性质得到，则，根据切线的判定结合题意即可求解；
（2）根据垂径定理得到，则，再代入即可求解。
（1）解：是的切线，理由如下：
∵半径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵半径，是的中点，
∴，
∴，即，
∵，
∴．
24．（2025九上·吉林期末）【综合与探究】数学课上，李老师布置了一道题目：如图①，点，分别在正方形的边，上，，连接，求证：．
（1）【思路梳理】“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整：
，将绕点逆时针旋转至，可使与重合，
，，，，
，即点，，共线，
，
，，
又，__________（__________________）（写依据）
．
（2）【类比引申】“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图②，在四边形中，，点，分别在边，上，，连接．若，都不是直角，且，则（1）中的结论是否还成立？并说明理由．
（3）【联想拓展】“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图③，在中，，，点，均在边上，且．当，时，直接写出的长度．
【答案】（1）；
（2）解：成立
，
将绕点逆时针旋转至，可使与重合，
则，又，
，
即，，，三点共线，
，，
，
由旋转可知，，，
，
即，
，
，
，
，
，，
；
（3）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：，
将绕点逆时针旋转至，可使与重合，
，，，，
，
，
即点，，共线，
，
，
，
又，
，
；
故答案为：；；
（3）解：，
∴将绕点逆时针旋转至，可使与重合，连接，
由旋转可知，，，，
，，
，
，
即，
，
，
，
，
，，
，
，
，
在中，，
，，，
【分析】（1）根据三角形全等的判定结合题意即可求解；
（2）根据旋转的性质得到，，进而结合题意根据三角形全等的判定证明即可求解；
（3）将绕点逆时针旋转至，可使与重合，连接，根据旋转的性质得到，，，进而根据三角形全等的判定与性质证明，从而根据勾股定理即可求解．
（1）解：，
将绕点逆时针旋转至，可使与重合，
，，，，
，
，
即点，，共线，
，
，
，
又，
，
；
故答案为：；；
（2）解：，
将绕点逆时针旋转至，可使与重合，
则，又，
，
即，，，三点共线，
，，
，
由旋转可知，，，
，
即，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：，
∴将绕点逆时针旋转至，可使与重合，连接，
由旋转可知，，，，
，，
，
，
即，
，
，
，
，
，，
，
，
，
在中，，
，，，
．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（2025九上·吉林期末）如图，在中，．动点从点出发，沿折线方向以的速度向终点运动，过点作，交射线于点．设点的运动时间为与重合部分图形的面积为．
（1）当点于点重合时，求的值．
（2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（3）当直线经过线段的中点时，直接写出的值．
【答案】（1）解：如图，当在上，点于点重合时，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当、都与重合时，
∵，
∴，
∴的值为或；
（2）解：①当时，点在线段上，如图所示．
，，
，，即
∴，，
．
②当时，点在边上，点在延长线上，如图所示．
，，
∴，，
∵，
∴，
，，即
∴，
．
③当时，点在边上，点在延长线上时，如图所示．
，
，
综上，当时，；当时，，当时，．
（3）或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；含30°角的直角三角形；勾股定理；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】（3）解：如图，当在线段上时，令交于点，则，
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，当在线段上时，此时点为的中点，
，
∴
∴，
∴，
综上，当直线经过线段的中点时，的值为或．
【分析】（1）根据题意得到当在上，点于点重合和、都与重合，再根据勾股定理将解含30°角的直角三角形的性质即可求解；
（2）根据题意分类讨论：①当时，点在线段上，②当时，点在边上，点在延长线上，③当时，点在边上，点在延长线上，进而画图，根据勾股定理结合三角形的面积即可求解；
（3）根据题意分类讨论：在线段上和在线段上，进而根据两种情况画出图形，进而根据含30°角的直角三角形的性质进行计算即可求解。
（1）解：如图，当在上，点于点重合时，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当、都与重合时，
∵，
∴，
∴的值为或；
（2）解：①当时，点在线段上，如图所示．
，，
，，即
∴，，
．
②当时，点在边上，点在延长线上，如图所示．
，，
∴，，
∵，
∴，
，，即
∴，
．
③当时，点在边上，点在延长线上时，如图所示．
，
，
综上，当时，；当时，，当时，．
（3）解：如图，当在线段上时，令交于点，则，
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，当在线段上时，此时点为的中点，
，
∴
∴，
∴，
综上，当直线经过线段的中点时，的值为或．
26．（2025九上·吉林期末）小强利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序图如图①所示，输入x的值为1时，输出y的值为1；输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为时，输出y的值为2．根据以上信息解答下列问题．
（1）求k，a，b的值．
（2）图②中，根据程序图请你画出一次函数和二次函数的大致图象．
（3）当y随x的增大而减小时，求x的取值范围．
（4）当关于x的方程（，t为实数）只有一个实数解时，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）解：∵输入x的值为1时，输出y的值为1，且1＞0，
∴，
∴；
∵输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为时，输出y的值为2，，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴一次函数解析式为，二次函数解析式为，
令一次函数中，则，
对于二次函数：，
列表为：
x … 0 1 …
y … 5 2 1 2 5 …
函数图象如下：
（3）解：当时，的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小；
当时，，，
∴时，y随x的增大而减小；
综上，x的取值范围为或；
（4）解：或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；作图-二次函数图象
【解析】【解答】（4）解：∵关于x的方程（，t为实数）只有一个实数解，
∴抛物线与直线只有一个交点，
由（1）知，，则，
当抛物线与直线只有一个交点时，
联立得，即方程有两等根，
∴，
解得或，
当时，则，符合题意；
当时，则，不符合题意；
当直线过时，，
∵直线过定点，
∴结合（2）中图象可以发现，当抛物线与直线只有一个交点时，直线与轴交点在上方，
∴；
综上所述，当抛物线与直线只有一个交点时，或．
【分析】（1）由计算程序提供信息，先将x=1与y=1代入y=kx+2算出k的值；将x=-1、y=1与x=-2、y=2代入y=ax2+bx+2可得关于字母a、b的方程组，求解即可得到a、b的值；
（2）由（1）可知一次函数解析式为：，二次函数解析式为：，利用两点法画出一次函数y=-x+2(x＞0)的图象；然后利用列表，描点，连线即可画出二次函数的图象y=x2+2x+2（x＜0）的图象；
（3）根据（2）中函数图象找出图象从左至右依次下降部分对应的自变量的取值范围即可；
（4）方程可以看成抛物线与直线只有一个交点，联立两函数解析式可得关于字母x的一元二次方程，由方程有两相等实数根可得判别式b2-4ac=0，据此建立出关于字母t的方程，求解得出符号t的值，结合函数图象求解即可．
（1）解：∵输入x的值为1时，输出y的值为1，
∴，
∴；
∵输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为时，输出y的值为2，，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴一次函数解析式为，二次函数解析式为，
令一次函数中，则，
对于二次函数：，
列表为：
x … 0 1 …
y … 5 2 1 2 5 …
函数图象如下：
（3）解：当时，的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小；
当时，，，
∴时，y随x的增大而减小；
综上，x的取值范围为或；
（4）解：∵关于x的方程（，t为实数）只有一个实数解，
∴抛物线与直线只有一个交点，
由（1）知，，则，
当抛物线与直线只有一个交点时，
联立得，即方程有两等根，
∴，
解得或，
当时，则，符合题意；
当时，则，不符合题意；
当直线过时，，
∵直线过定点，
∴结合（2）中图象可以发现，当抛物线与直线只有一个交点时，直线与轴交点在上方，
∴；
综上所述，当抛物线与直线只有一个交点时，或．
1 / 1吉林省吉林市松花江中学2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2025九上·吉林期末）我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理，下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（　　）
A．是轴对称图形
B．是中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
2．（2025九上·吉林期末）二次函数的最大值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2025九上·吉林期末）若反比例函数的图象经过点，则的值为（　　）
A． B．3 C． D．6
4．（2025九上·吉林期末）若关于x的方程x2﹣x+a=0有实根，则a的值可以是（　　）
A．2 B．1 C．0.5 D．0.25
5．（2025九上·吉林期末）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·吉林期末）如图，为的直径，圆周角为的切线，则度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（2025九上·吉林期末）方程的根是　 　．
8．（2025九上·吉林期末）反比例函数的图象位于第　 　象限．
9．（2025九上·吉林期末）在句子“”中，字母“”出现的概率是　 　．
10．（2025九上·吉林期末）如图，在平直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为．以，为边作矩形，若将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为　 　．
11．（2025九上·吉林期末）如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则　 　．
12．（2025九上·吉林期末）已知抛物线与轴交于两点，则关于的一元二次方程的解是　 　．
13．（2025九上·吉林期末）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是12cm，当重物上升时，滑轮的一条半径OA绕轴心按逆时针方向旋转的度数　 　．
14．（2025九上·吉林期末）距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足： (其中g是常数，通常取10m/s2).若m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面　 　m.
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（2025九上·吉林期末）用适当的方法解方程：．
16．（2025九上·吉林期末）今年是农历癸卯年，即兔年，如图，现有三张正面印有不同兔图案的不透明卡片A、B、C，卡片除正面图案不同外其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小希从中随机抽取一张卡片，记下图案并放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求小希两次抽出的卡片图案相同的概率．
17．（2025九上·吉林期末）已知是的反比例函数，并且当时，．
⑴求关于的函数解析式；
⑵当时，求的值．
18．（2025九上·吉林期末）如图，，，是上的三点，，，．
（1）__________．
（2）求阴影部分的面积．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（2025九上·吉林期末）图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点．
（1）在图①，图②中，以4个标注点为顶点，各画一个中心对称图形．（两个中心对称图形不全等）
（2）图①中所画的中心对称图形的面积为　 　．
20．（2025九上·吉林期末）据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图，如果木杆长，它的影长为，测得为，求金字塔的高度．
21．（2025九上·吉林期末）如图，反比例函数的图象与直线在第一象限交于点，是反比例函数上的点，且点的横坐标为3，过点作轴，与直线的交点为，连接．
（1）直接写出的值．
（2）求的面积．
22．（2025九上·吉林期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其“勾股”中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高，广各几何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈尺），那么门的高和宽各是多少？”（结果精确到）（参考数据：）
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（2025九上·吉林期末）如图，点在外，点在上，连接．过点的直线与交于两点，半径，垂足为点交于点．当时，解答下列问题．
（1）是否为的切线？请说明理由．
（2）若是的中点，，则的长为　 　．
24．（2025九上·吉林期末）【综合与探究】数学课上，李老师布置了一道题目：如图①，点，分别在正方形的边，上，，连接，求证：．
（1）【思路梳理】“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整：
，将绕点逆时针旋转至，可使与重合，
，，，，
，即点，，共线，
，
，，
又，__________（__________________）（写依据）
．
（2）【类比引申】“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图②，在四边形中，，点，分别在边，上，，连接．若，都不是直角，且，则（1）中的结论是否还成立？并说明理由．
（3）【联想拓展】“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图③，在中，，，点，均在边上，且．当，时，直接写出的长度．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（2025九上·吉林期末）如图，在中，．动点从点出发，沿折线方向以的速度向终点运动，过点作，交射线于点．设点的运动时间为与重合部分图形的面积为．
（1）当点于点重合时，求的值．
（2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（3）当直线经过线段的中点时，直接写出的值．
26．（2025九上·吉林期末）小强利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序图如图①所示，输入x的值为1时，输出y的值为1；输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为时，输出y的值为2．根据以上信息解答下列问题．
（1）求k，a，b的值．
（2）图②中，根据程序图请你画出一次函数和二次函数的大致图象．
（3）当y随x的增大而减小时，求x的取值范围．
（4）当关于x的方程（，t为实数）只有一个实数解时，直接写出t的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：“赵爽弦图”是中心对称图形，不是轴对称图形，故A、C、D都错误，不符合题意，只有B选项正确，符合题意.
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：在中，
，
∴二次函数的图象开口向下，函数有最大值，
∴当时，有最大值，最大值为，
故答案为：D
【分析】根据二次函数的图象与性质结合题意得到二次函数的图象开口向下，函数有最大值，进而即可求解。
3．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：把已知点，代入 可得，，
∴．
故答案为：C
【分析】根据题意反比例函数图象上的点的坐标特征结合题意代入点即可求解。
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程式x2﹣x+a=0有实根，
∴△=（﹣1）2﹣4a≥0，
解得a≤0.25．
故答案为：D．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此列出关于字母a的不等式，求解得出a的取值范围，即可判断得出答案.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：∵与相似，且相似比为，
∴与的周长比为．
故答案为：C
【分析】根据相似三角形的性质结合相似比即可得到周长比。
6．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】连接，根据等腰三角形的性质得到，再根据切线的性质得到，则，代入数值即可求解。
7．【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
提公因式，得
，
∴x=0或x+2=0，
解得x=0或x=-2.
故答案为，
【分析】利用因式分解——提公因式法解方程即可.
8．【答案】一、三
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，
故答案为：一、三
【分析】根据反比例函数的图象与系数的关系结合题意即可求解。
9．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：根据题意得：字母“o”出现2次，句子“”中共14个字母，
即字母“o”出现的概率是．
故答案为：
【分析】根据简单事件的概率结合题意用字母“o”的个数除以总字母数即可求解。
10．【答案】
【知识点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形，点在第二象限，
∴，，，
∴点的坐标为，
故答案为：
【分析】先根据点A和点C的坐标得到，，进而根据矩形的性质得到，，，根据旋转结合题意得到，，，从而即可得到点B'的坐标。
11．【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】根据平行线的性质（同位角）得到，再根据圆内接四边形的性质得到，代入数值即可求解。
12．【答案】，
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线与轴交于两点，
∴一元二次方程的解是，，
故答案为：，
【分析】根据抛物线与坐标轴的交点结合一元二次方程的解即可求解。
13．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设旋转的角度是，
根据题意得：，
解得：，
滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为，
故答案为：．
【分析】设旋转的角度是，利用弧长公式及重物上升列出方程，求出n的值即可.
14．【答案】7
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：将和代入，可得：，
则最大值为：=5，
则离地面的距离为：（m）．
故答案为：7．
【分析】根据题意将和代入，进而根据二次函数的最值结合题意即可求解。
15．【答案】解：
，
或，
，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用十字相乘法（先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数）的计算方法及步骤分析求解即可.
16．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：根据题意画树状图如下：
共有6个等可能的结果，小希两次抽出的卡片图案相同的结果有3种，
∴（小希两次抽出的卡片图案相同）．
故答案为：
【分析】根据题意画出树状图，进而得到共有6个等可能的结果，小希两次抽出的卡片图案相同的结果有3种，再根据等可能事件的概率即可求解。
17．【答案】解：（1）y是x的反例函数，
所以，设，
当x=2时，y=6．
所以，k=xy=12，
所以，；
（2）当x=4时，=3．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】（1）根据反比例函数的定义，设，然后将x=2与y=6代入解析式算出k的值，即可得到反比例函数的解析式；（2）直接将x=4代入（1）所求函数解析式，算出对应函数值即可.
18．【答案】（1）
（2）解：阴影部分的面积为
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】（1）解：是所对的圆周角，是所对的圆周角，
，
，，
，
，，，
，，
；
故答案为：
【分析】（1）先根据圆周角定理得到，进而结合题意进行角的运算得到，从而得到，再结合题意即可得到的度数；
（2）根据扇形面积公式即可求解。
（1）解：是所对的圆周角，是所对的圆周角，
，
，，
，
，，，
，，
；
故答案为：
（2）解：阴影部分的面积为．
19．【答案】（1）解：如图所示为所求：
（2）6
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；作图﹣中心对称
【解析】【解答】（2）解：图①中所画的中心对称图形的面积为：，
故答案为：6
【分析】（1）根据题意结合平行四边形是中心对称图形画图即可求解；
（2）根据割补法结合题意计算面积即可求解。
（1）解：如图所示为所求：
（2）解：图①中所画的中心对称图形的面积为：．
20．【答案】解：
又
即（m）
【知识点】相似三角形的实际应用；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】先根据平行线的性质（同位角）得到，再根据相似三角形的判定与性质证明得到，从而代入数值即可求解。
21．【答案】（1）解：；
（2）解：是反比例函数上的点，点的横坐标为3，
，
，
轴，
点的纵坐标为1，
，
，
，
的高为，
的面积为．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）解：将点分别代入反比例函数与直线中，
则，
；
【分析】（1）根据题意将点P代入反比例函数和一次函数解析式中即可求解；
（2）根据反比例函数图象上的点的坐标特征结合题意代入得到点A的坐标，进而根据平行即可得到AB，从而根据三角形的面积公式即可求解。
（1）解：将点分别代入反比例函数与直线中，
则，
；
（2）解：是反比例函数上的点，点的横坐标为3，
，
，
轴，
点的纵坐标为1，
，
，
，
的高为，
的面积为．
22．【答案】解：设门的宽为尺，则门的高为尺，由题意得，
解得：，（舍去），
∴门的高为（尺），
答：门的高和宽各是尺和尺．
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设门的宽为尺，则门的高为尺，根据勾股定理列出方程，进而解方程即可。
23．【答案】（1）解：是的切线，理由如下：∵半径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）3
【知识点】垂径定理；切线的性质；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】（2）解：∵半径，是的中点，
∴，
∴，即，
∵，
∴．
故答案为：3
【分析】（1）先根据直角得到，进而根据等腰三角形的性质等量代换得到，再根据等腰三角形的性质得到，则，根据切线的判定结合题意即可求解；
（2）根据垂径定理得到，则，再代入即可求解。
（1）解：是的切线，理由如下：
∵半径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵半径，是的中点，
∴，
∴，即，
∵，
∴．
24．【答案】（1）；
（2）解：成立
，
将绕点逆时针旋转至，可使与重合，
则，又，
，
即，，，三点共线，
，，
，
由旋转可知，，，
，
即，
，
，
，
，
，，
；
（3）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：，
将绕点逆时针旋转至，可使与重合，
，，，，
，
，
即点，，共线，
，
，
，
又，
，
；
故答案为：；；
（3）解：，
∴将绕点逆时针旋转至，可使与重合，连接，
由旋转可知，，，，
，，
，
，
即，
，
，
，
，
，，
，
，
，
在中，，
，，，
【分析】（1）根据三角形全等的判定结合题意即可求解；
（2）根据旋转的性质得到，，进而结合题意根据三角形全等的判定证明即可求解；
（3）将绕点逆时针旋转至，可使与重合，连接，根据旋转的性质得到，，，进而根据三角形全等的判定与性质证明，从而根据勾股定理即可求解．
（1）解：，
将绕点逆时针旋转至，可使与重合，
，，，，
，
，
即点，，共线，
，
，
，
又，
，
；
故答案为：；；
（2）解：，
将绕点逆时针旋转至，可使与重合，
则，又，
，
即，，，三点共线，
，，
，
由旋转可知，，，
，
即，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：，
∴将绕点逆时针旋转至，可使与重合，连接，
由旋转可知，，，，
，，
，
，
即，
，
，
，
，
，，
，
，
，
在中，，
，，，
．
25．【答案】（1）解：如图，当在上，点于点重合时，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当、都与重合时，
∵，
∴，
∴的值为或；
（2）解：①当时，点在线段上，如图所示．
，，
，，即
∴，，
．
②当时，点在边上，点在延长线上，如图所示．
，，
∴，，
∵，
∴，
，，即
∴，
．
③当时，点在边上，点在延长线上时，如图所示．
，
，
综上，当时，；当时，，当时，．
（3）或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；含30°角的直角三角形；勾股定理；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】（3）解：如图，当在线段上时，令交于点，则，
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，当在线段上时，此时点为的中点，
，
∴
∴，
∴，
综上，当直线经过线段的中点时，的值为或．
【分析】（1）根据题意得到当在上，点于点重合和、都与重合，再根据勾股定理将解含30°角的直角三角形的性质即可求解；
（2）根据题意分类讨论：①当时，点在线段上，②当时，点在边上，点在延长线上，③当时，点在边上，点在延长线上，进而画图，根据勾股定理结合三角形的面积即可求解；
（3）根据题意分类讨论：在线段上和在线段上，进而根据两种情况画出图形，进而根据含30°角的直角三角形的性质进行计算即可求解。
（1）解：如图，当在上，点于点重合时，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当、都与重合时，
∵，
∴，
∴的值为或；
（2）解：①当时，点在线段上，如图所示．
，，
，，即
∴，，
．
②当时，点在边上，点在延长线上，如图所示．
，，
∴，，
∵，
∴，
，，即
∴，
．
③当时，点在边上，点在延长线上时，如图所示．
，
，
综上，当时，；当时，，当时，．
（3）解：如图，当在线段上时，令交于点，则，
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，当在线段上时，此时点为的中点，
，
∴
∴，
∴，
综上，当直线经过线段的中点时，的值为或．
26．【答案】（1）解：∵输入x的值为1时，输出y的值为1，且1＞0，
∴，
∴；
∵输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为时，输出y的值为2，，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴一次函数解析式为，二次函数解析式为，
令一次函数中，则，
对于二次函数：，
列表为：
x … 0 1 …
y … 5 2 1 2 5 …
函数图象如下：
（3）解：当时，的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小；
当时，，，
∴时，y随x的增大而减小；
综上，x的取值范围为或；
（4）解：或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；作图-二次函数图象
【解析】【解答】（4）解：∵关于x的方程（，t为实数）只有一个实数解，
∴抛物线与直线只有一个交点，
由（1）知，，则，
当抛物线与直线只有一个交点时，
联立得，即方程有两等根，
∴，
解得或，
当时，则，符合题意；
当时，则，不符合题意；
当直线过时，，
∵直线过定点，
∴结合（2）中图象可以发现，当抛物线与直线只有一个交点时，直线与轴交点在上方，
∴；
综上所述，当抛物线与直线只有一个交点时，或．
【分析】（1）由计算程序提供信息，先将x=1与y=1代入y=kx+2算出k的值；将x=-1、y=1与x=-2、y=2代入y=ax2+bx+2可得关于字母a、b的方程组，求解即可得到a、b的值；
（2）由（1）可知一次函数解析式为：，二次函数解析式为：，利用两点法画出一次函数y=-x+2(x＞0)的图象；然后利用列表，描点，连线即可画出二次函数的图象y=x2+2x+2（x＜0）的图象；
（3）根据（2）中函数图象找出图象从左至右依次下降部分对应的自变量的取值范围即可；
（4）方程可以看成抛物线与直线只有一个交点，联立两函数解析式可得关于字母x的一元二次方程，由方程有两相等实数根可得判别式b2-4ac=0，据此建立出关于字母t的方程，求解得出符号t的值，结合函数图象求解即可．
（1）解：∵输入x的值为1时，输出y的值为1，
∴，
∴；
∵输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为时，输出y的值为2，，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴一次函数解析式为，二次函数解析式为，
令一次函数中，则，
对于二次函数：，
列表为：
x … 0 1 …
y … 5 2 1 2 5 …
函数图象如下：
（3）解：当时，的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小；
当时，，，
∴时，y随x的增大而减小；
综上，x的取值范围为或；
（4）解：∵关于x的方程（，t为实数）只有一个实数解，
∴抛物线与直线只有一个交点，
由（1）知，，则，
当抛物线与直线只有一个交点时，
联立得，即方程有两等根，
∴，
解得或，
当时，则，符合题意；
当时，则，不符合题意；
当直线过时，，
∵直线过定点，
∴结合（2）中图象可以发现，当抛物线与直线只有一个交点时，直线与轴交点在上方，
∴；
综上所述，当抛物线与直线只有一个交点时，或．
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