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湖南省岳阳市岳阳县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025九上·岳阳期末）的值等于（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，
，
故选：B．
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，牢记30°角的正切值，直接代入计算即可.
2．（2025九上·岳阳期末）一元二次方程的根是（　　）
A． B．
C．， D．，
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴或，
∴，．
故选：C．
【分析】本题考查了一元二次方程的解法(因式分解），移项将方程化为标准形式，提取公因式x，转化为两个一次方程求解即可．
3．（2025九上·岳阳期末）已知反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象位于第一，三象限，
，
，
故选：B．
【分析】本题考查反比例函数的性质及应用，反比例函数图象在第一，三象限，则比例系数，据此列不等式求解即可.
4．（2025九上·岳阳期末）一元二次方程根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能判定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系结合题意即可求解。
5．（2025九上·岳阳期末）如图所示，△ABC中DE∥BC，若AD∶DB＝1∶2，则下列结论中正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ， ，，
故答案为：D.
【分析】先求出，证明，然后根据相似三角形的性质：相似三角形对应边的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，据此逐项进行分析判断即可.
6．（2025九上·岳阳期末）已知抛物线解析式为，下列说法正确的是（　　）
A．开口方向向上 B．对称轴为直线
C．与轴交点为 D．顶点为
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：A选项，抛物线中，，图像开口向下，故 A 选项错误，不符合题意；
B 选项，抛物线的对称轴是直线，故 B 选项错误，不符合题意；
C 选项，令，函数值，则抛物线与轴的交点是，故 C 选项错误，不符合题意；
D 选项，根据顶点式得，抛物线的顶点为，故 D 选项正确，符合题意；
故选：D．
【分析】本题主要考查二次函数的顶点式性质，数量掌握各参数的意义，逐一分析开口方向、对称轴、顶点、与坐标轴交点.
7．（2025九上·岳阳期末）如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
【答案】B
【知识点】正弦的概念；正切的概念
【解析】【解答】∵中，，、、所对的边分别为a、b、c
∴，即，则A选项不成立，B选项成立
，即，则C、D选项均不成立
故答案为：B．
【分析】根据正弦、正切函数的定义判断即可.
8．（2025九上·岳阳期末）古希腊著名的科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力阻力臂动力动力臂”小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力单位：关于动力臂单位：的函数表达式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，
∴，整理得：，
故答案为：B
【分析】根据“阻力×阻力臂=动力×动力臂”即可列出列出反比例函数关系式。
9．（2025九上·岳阳期末）某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．48（1﹣x）2=36 B．48（1+x）2=36
C．36（1﹣x）2=48 D．36（1+x）2=48
【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】三月份的营业额=一月份的营业额×（1+增长率）2，把相关数值代入即可．
【解答】二月份的营业额为36（1+x），
三月份的营业额为36（1+x）×（1+x）=36（1+x）2，
即所列的方程为36（1+x）2=48，
故选D．
【点评】考查列一元二次方程；得到三月份的营业额的关系是解决本题的关键
10．（2025九上·岳阳期末）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：过A作轴于C，过B作轴于D，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），
故答案为：A．
【分析】
．过A作轴于C，过B作轴于D，利用k的几何意义表示出，，再利用AA证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可解答．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（2025九上·岳阳期末）已知：，则　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查了比例的性质，利用设参数的方法设，根据已知的比例关系代入化简即可得到答案．
12．（2025九上·岳阳期末）如果反比例函数的图像经过点，那么　 　．
【答案】6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
故答案为：6．
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点的横、纵坐标代入函数解析式，直接计算参数值.
13．（2025九上·岳阳期末）若反比例函数的图象上有两点，，则　 　（填“”或“”或“”）．
【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴反比例函数的图象上在第二，第四象限内，且每个象限内y随x的增大而增大．
∵
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查的是反比例函数的增减性，根据，在每个象限内y随x的增大而增大；先判断两点所在象限，再根据增减性比较．
14．（2025九上·岳阳期末）已知关于的方程有一个根是，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵关于的方程有一个根是，
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，方程的根满足方程，代入根的坐标，化简等式得到参数关系.
15．（2025九上·岳阳期末）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为，则投影三角板的对应边长为　 　．
【答案】
【知识点】中心投影；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设投影三角尺的对应边长为x，
∵三角板与投影三角板相似，
∴，
解得．
故答案为：．
【分析】本题主要考查相似三角形的性质（对应边的比等于相似比），设投影边长为x，根据相似比例式求解.
16．（2025九上·岳阳期末）若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为　 　．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a、b是一元二次方程的两个实数根，
∴a+b=3，ab=1，
∴，
故答案为：2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得到a+b=3，ab=1，进而即可求解。
17．（2025九上·岳阳期末）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵AH=4，CH=3，
∴AC==5，
∴sin∠ACH=，
故答案为：．
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，如图，过点A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出AC，再根据正弦的定义计算．
18．（2025九上·岳阳期末）定义： 若x， y满足 ，且（t为常数），则称点为“和谐点”．若是“和谐点”，则　 　
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：若是“和谐点”，则，
则，，
∴，
即，解得，（不合题意，舍去），
∴，
故答案为：．
【分析】根据“和谐点”的定义得到，，整理得到，解方程即可求出答案.
三、解答题：（共66分）
19．（2025九上·岳阳期末）解方程： .
【答案】解：因式分解得：（x+1）（x-3）=0，
即x+1=0或x-3=0，
解得：x1=-1，x2=3
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】将方程的左边因式分解后即可求得方程的解
20．（2025九上·岳阳期末）如图，．求证．
【答案】证明：∵，∴，即：，
又，
∴
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定（两角分别相等）．由，可得，结合已知，即可证相似.
21．（2025九上·岳阳期末）为促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的体育活动．为了解学生引体向上的训练成果，调查了七年级部分学生，根据成绩，分成了四组，制成了不完整的统计图．分组：，，，．
（1）组的人数为______：
（2）七年级400人中，估计引体向上每分钟不低于10个的有多少人？
（3）从众数、中位数、平均数中任选一个，说明其意义．
【答案】（1）12
（2）解：（人），
答：估计引体向上每分钟不低于10个的有180人；
（3）解：从A，B，C，D组人数来看，最中间的两个数据是第20，21个，中位数落在B组，
说明B组靠后的成绩处于中等水平；
由于统计图中没有具体体现学生引体向上的训练成绩，只给出训练成绩的范围，无法计算出训练成绩的众数和平均数．
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人），
A组人数为：（人），
故答案为：12；
【分析】（1）利用“C组”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出“A组”的人数即可；
（2）先求出“ 引体向上每分钟不低于10个 ”的百分比，再乘以400可得答案；
（3）利用众数、中位数和平均数的定义分析求解即可.
（1）解：（人），
A组人数为：（人），
故答案为：12；
（2）解：（人），
答：估计引体向上每分钟不低于10个的有180人；
（3）解：从A，B，C，D组人数来看，最中间的两个数据是第20，21个，中位数落在B组，
说明B组靠后的成绩处于中等水平；
由于统计图中没有具体体现学生引体向上的训练成绩，只给出训练成绩的范围，无法计算出训练成绩的众数和平均数．
22．（2025九上·岳阳期末）已知二次函数的解析式为，根据下列条件解答问题．
（1）若该二次函数的图象经过点，求的值；
（2）若该二次函数的图象与轴有交点，求的取值范围．
【答案】（1）解：把代入得，
解得：，
即的值为
（2）解：∵该二次函数的图象与轴有交点，，
解得：，
即的取值范围为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】本题考查二次函数图象上点的特征、二次函数与x轴的交点.
（1）图像过点（2，1），将坐标代入函数解析式，解方程求c；
（2）图像与x轴有交点，等价于一元二次方程的判别式，然后解不等式即可．
（1）解：把代入得，
解得：，
即的值为 ；
（2）解：∵该二次函数的图象与轴有交点，
，
解得：，
即的取值范围为．
23．（2025九上·岳阳期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设，矩形的面积为．
（1）写出与的函数关系式（不需写出的取值范围）；
（2）若花园的面积为，求的值；
（3）若在处有一棵树与墙的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值．
【答案】（1）
（2）解：由题意得：，整理得：，
解得：，
∴的值为 12 或 16
（3）解：由题意得：，解得：，∵，
此时，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，，
∴花园面积的最大值为
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）由题意得：；
【分析】
本题考查了二次函数的应用（面积最值）.
（1）根据矩形面积公式列函数关系式；
（2）利用（1）的结论，将面积代入函数式解方程求解即可；
（3）根据题意可得：，从而可得：，然后结合二次函数的增减性求面积最大值.
（1）解：由题意得：；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，
∴的值为 12 或 16 ；
（3）解：由题意得：，解得：，
∵，
此时，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，，
∴花园面积的最大值为．
24．（2025九上·岳阳期末）某数学小组要测量学校路灯的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仅进行测量，测量结果如下：
测量项目 测量数据
从A处测得路灯顶部P的仰角
从D处测得路灯顶部P的仰角
测角仪到地面的距离
两次测量时测角仪之间的水平距离
计算路灯顶部到地面的距离约为多少米 （结果精确到0.1米．参考数据；）
【答案】解：如图：延长DA，交PE于点F，则DF⊥PE，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
同理：四边形CDFE是矩形；
∴，，
在直角△PDF中，有，
在直角△PAF中，有，
∴，
即，
∴，
解得：；
∴；
∴（米）；
∴路灯顶部到地面的距离约为3.5米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】延长DA交PE于点F，则可构造直角三角形PDF和PAF，再分别证明四边形ABCD、CDFE是矩形，然后再解直角三角形依次求出AF和PF的长度，再利用线段的和差关系求出PF即可．
25．（2025九上·岳阳期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标；
（3）将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值．
【答案】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，，
，
，
反比例函数的表达式为，
把代入得，
，
，
，
把，代入得，
，
解得，
一次函数的表达式为；
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，
此时，的周长最小，
点，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为；
（3）解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，
直线的解析式为，
，，
，
，
解得或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；一次函数中的线段周长问题
【解析】【分析】
（1）直接利用待定系数法即可；
（2）利用将军饮马模型（两定一动）作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，此时则的周长最小，再由轴对称可得到，再利用待定系数法求出直线BE的解析式为，再利用直线上点的坐标特征可得点P；
（3）先由一次函数图象的平移变换规律可得直线的解析式为，再由直线上点的坐标特征可分别得E、F两点的坐标为，再由两点距离公式可得EF、AB的长，再由线段的倍积关系列方程并求解即可．
（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，，
，
，
反比例函数的表达式为，
把代入得，
，
，
，
把，代入得，
，
解得，
一次函数的表达式为；
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，
此时，的周长最小，
点，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为；
（3）解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，
直线的解析式为，
，，
，
，
解得或．
26．（2025九上·岳阳期末）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．
【初步感知】
（1）如图1，连接，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】
（2）在纸片绕点旋转到如图2所示，当时．求的面积．
【拓展延伸】
（3）如图3，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长．
【答案】解：（1）∵．在和中，
，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
即，
，
，
；
（2）如图2，过点作于点，
，
，
，
∴四边形是矩形，
，
，
故；
（3）连接，延长交于点，连接交于点，延长交于点，根据（1）得，
，
∵是中线，
，
，
，
，即，
，
，
在和中，
，
∴，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形矩形，
∴，
∴，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
，
设，则，
在和中，
，
，
，
由直角三角形中，由勾股定理得：，
，
解得：；
，
，
，
，
，
，
解得：，
【知识点】矩形的判定与性质；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】本题是图形旋转的综合问题，涉及到图形旋转的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点.（1）根据全等三角得，由勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到；
（2）如图 2 ，过点作于点，根据等腰的性质得到，根据矩形的性质得到，求得，最后利用三角形面积公式即可求解；
（3）连接，延长交于点，连接交于点，延长交于点，根据（1）得，由是中线，得到，由全等得，根据勾股得，由全等得，根据勾股定理得到；求得，再由相似三角形的性质即可得到结论．
1 / 1湖南省岳阳市岳阳县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025九上·岳阳期末）的值等于（　　）
A． B． C．3 D．
2．（2025九上·岳阳期末）一元二次方程的根是（　　）
A． B．
C．， D．，
3．（2025九上·岳阳期末）已知反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九上·岳阳期末）一元二次方程根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能判定
5．（2025九上·岳阳期末）如图所示，△ABC中DE∥BC，若AD∶DB＝1∶2，则下列结论中正确的是(　　)
A． B．
C． D．
6．（2025九上·岳阳期末）已知抛物线解析式为，下列说法正确的是（　　）
A．开口方向向上 B．对称轴为直线
C．与轴交点为 D．顶点为
7．（2025九上·岳阳期末）如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
8．（2025九上·岳阳期末）古希腊著名的科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力阻力臂动力动力臂”小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力单位：关于动力臂单位：的函数表达式正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九上·岳阳期末）某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．48（1﹣x）2=36 B．48（1+x）2=36
C．36（1﹣x）2=48 D．36（1+x）2=48
10．（2025九上·岳阳期末）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（2025九上·岳阳期末）已知：，则　 　．
12．（2025九上·岳阳期末）如果反比例函数的图像经过点，那么　 　．
13．（2025九上·岳阳期末）若反比例函数的图象上有两点，，则　 　（填“”或“”或“”）．
14．（2025九上·岳阳期末）已知关于的方程有一个根是，则的值为　 　．
15．（2025九上·岳阳期末）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为，则投影三角板的对应边长为　 　．
16．（2025九上·岳阳期末）若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为　 　．
17．（2025九上·岳阳期末）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为　 　．
18．（2025九上·岳阳期末）定义： 若x， y满足 ，且（t为常数），则称点为“和谐点”．若是“和谐点”，则　 　
三、解答题：（共66分）
19．（2025九上·岳阳期末）解方程： .
20．（2025九上·岳阳期末）如图，．求证．
21．（2025九上·岳阳期末）为促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的体育活动．为了解学生引体向上的训练成果，调查了七年级部分学生，根据成绩，分成了四组，制成了不完整的统计图．分组：，，，．
（1）组的人数为______：
（2）七年级400人中，估计引体向上每分钟不低于10个的有多少人？
（3）从众数、中位数、平均数中任选一个，说明其意义．
22．（2025九上·岳阳期末）已知二次函数的解析式为，根据下列条件解答问题．
（1）若该二次函数的图象经过点，求的值；
（2）若该二次函数的图象与轴有交点，求的取值范围．
23．（2025九上·岳阳期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设，矩形的面积为．
（1）写出与的函数关系式（不需写出的取值范围）；
（2）若花园的面积为，求的值；
（3）若在处有一棵树与墙的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值．
24．（2025九上·岳阳期末）某数学小组要测量学校路灯的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仅进行测量，测量结果如下：
测量项目 测量数据
从A处测得路灯顶部P的仰角
从D处测得路灯顶部P的仰角
测角仪到地面的距离
两次测量时测角仪之间的水平距离
计算路灯顶部到地面的距离约为多少米 （结果精确到0.1米．参考数据；）
25．（2025九上·岳阳期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标；
（3）将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值．
26．（2025九上·岳阳期末）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．
【初步感知】
（1）如图1，连接，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】
（2）在纸片绕点旋转到如图2所示，当时．求的面积．
【拓展延伸】
（3）如图3，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，
，
故选：B．
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，牢记30°角的正切值，直接代入计算即可.
2．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴或，
∴，．
故选：C．
【分析】本题考查了一元二次方程的解法(因式分解），移项将方程化为标准形式，提取公因式x，转化为两个一次方程求解即可．
3．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象位于第一，三象限，
，
，
故选：B．
【分析】本题考查反比例函数的性质及应用，反比例函数图象在第一，三象限，则比例系数，据此列不等式求解即可.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系结合题意即可求解。
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ， ，，
故答案为：D.
【分析】先求出，证明，然后根据相似三角形的性质：相似三角形对应边的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，据此逐项进行分析判断即可.
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：A选项，抛物线中，，图像开口向下，故 A 选项错误，不符合题意；
B 选项，抛物线的对称轴是直线，故 B 选项错误，不符合题意；
C 选项，令，函数值，则抛物线与轴的交点是，故 C 选项错误，不符合题意；
D 选项，根据顶点式得，抛物线的顶点为，故 D 选项正确，符合题意；
故选：D．
【分析】本题主要考查二次函数的顶点式性质，数量掌握各参数的意义，逐一分析开口方向、对称轴、顶点、与坐标轴交点.
7．【答案】B
【知识点】正弦的概念；正切的概念
【解析】【解答】∵中，，、、所对的边分别为a、b、c
∴，即，则A选项不成立，B选项成立
，即，则C、D选项均不成立
故答案为：B．
【分析】根据正弦、正切函数的定义判断即可.
8．【答案】B
【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，
∴，整理得：，
故答案为：B
【分析】根据“阻力×阻力臂=动力×动力臂”即可列出列出反比例函数关系式。
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】三月份的营业额=一月份的营业额×（1+增长率）2，把相关数值代入即可．
【解答】二月份的营业额为36（1+x），
三月份的营业额为36（1+x）×（1+x）=36（1+x）2，
即所列的方程为36（1+x）2=48，
故选D．
【点评】考查列一元二次方程；得到三月份的营业额的关系是解决本题的关键
10．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：过A作轴于C，过B作轴于D，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），
故答案为：A．
【分析】
．过A作轴于C，过B作轴于D，利用k的几何意义表示出，，再利用AA证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可解答．
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查了比例的性质，利用设参数的方法设，根据已知的比例关系代入化简即可得到答案．
12．【答案】6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
故答案为：6．
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点的横、纵坐标代入函数解析式，直接计算参数值.
13．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴反比例函数的图象上在第二，第四象限内，且每个象限内y随x的增大而增大．
∵
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查的是反比例函数的增减性，根据，在每个象限内y随x的增大而增大；先判断两点所在象限，再根据增减性比较．
14．【答案】
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵关于的方程有一个根是，
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，方程的根满足方程，代入根的坐标，化简等式得到参数关系.
15．【答案】
【知识点】中心投影；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设投影三角尺的对应边长为x，
∵三角板与投影三角板相似，
∴，
解得．
故答案为：．
【分析】本题主要考查相似三角形的性质（对应边的比等于相似比），设投影边长为x，根据相似比例式求解.
16．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a、b是一元二次方程的两个实数根，
∴a+b=3，ab=1，
∴，
故答案为：2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得到a+b=3，ab=1，进而即可求解。
17．【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵AH=4，CH=3，
∴AC==5，
∴sin∠ACH=，
故答案为：．
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，如图，过点A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出AC，再根据正弦的定义计算．
18．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：若是“和谐点”，则，
则，，
∴，
即，解得，（不合题意，舍去），
∴，
故答案为：．
【分析】根据“和谐点”的定义得到，，整理得到，解方程即可求出答案.
19．【答案】解：因式分解得：（x+1）（x-3）=0，
即x+1=0或x-3=0，
解得：x1=-1，x2=3
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】将方程的左边因式分解后即可求得方程的解
20．【答案】证明：∵，∴，即：，
又，
∴
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定（两角分别相等）．由，可得，结合已知，即可证相似.
21．【答案】（1）12
（2）解：（人），
答：估计引体向上每分钟不低于10个的有180人；
（3）解：从A，B，C，D组人数来看，最中间的两个数据是第20，21个，中位数落在B组，
说明B组靠后的成绩处于中等水平；
由于统计图中没有具体体现学生引体向上的训练成绩，只给出训练成绩的范围，无法计算出训练成绩的众数和平均数．
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人），
A组人数为：（人），
故答案为：12；
【分析】（1）利用“C组”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出“A组”的人数即可；
（2）先求出“ 引体向上每分钟不低于10个 ”的百分比，再乘以400可得答案；
（3）利用众数、中位数和平均数的定义分析求解即可.
（1）解：（人），
A组人数为：（人），
故答案为：12；
（2）解：（人），
答：估计引体向上每分钟不低于10个的有180人；
（3）解：从A，B，C，D组人数来看，最中间的两个数据是第20，21个，中位数落在B组，
说明B组靠后的成绩处于中等水平；
由于统计图中没有具体体现学生引体向上的训练成绩，只给出训练成绩的范围，无法计算出训练成绩的众数和平均数．
22．【答案】（1）解：把代入得，
解得：，
即的值为
（2）解：∵该二次函数的图象与轴有交点，，
解得：，
即的取值范围为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】本题考查二次函数图象上点的特征、二次函数与x轴的交点.
（1）图像过点（2，1），将坐标代入函数解析式，解方程求c；
（2）图像与x轴有交点，等价于一元二次方程的判别式，然后解不等式即可．
（1）解：把代入得，
解得：，
即的值为 ；
（2）解：∵该二次函数的图象与轴有交点，
，
解得：，
即的取值范围为．
23．【答案】（1）
（2）解：由题意得：，整理得：，
解得：，
∴的值为 12 或 16
（3）解：由题意得：，解得：，∵，
此时，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，，
∴花园面积的最大值为
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）由题意得：；
【分析】
本题考查了二次函数的应用（面积最值）.
（1）根据矩形面积公式列函数关系式；
（2）利用（1）的结论，将面积代入函数式解方程求解即可；
（3）根据题意可得：，从而可得：，然后结合二次函数的增减性求面积最大值.
（1）解：由题意得：；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，
∴的值为 12 或 16 ；
（3）解：由题意得：，解得：，
∵，
此时，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，，
∴花园面积的最大值为．
24．【答案】解：如图：延长DA，交PE于点F，则DF⊥PE，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
同理：四边形CDFE是矩形；
∴，，
在直角△PDF中，有，
在直角△PAF中，有，
∴，
即，
∴，
解得：；
∴；
∴（米）；
∴路灯顶部到地面的距离约为3.5米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】延长DA交PE于点F，则可构造直角三角形PDF和PAF，再分别证明四边形ABCD、CDFE是矩形，然后再解直角三角形依次求出AF和PF的长度，再利用线段的和差关系求出PF即可．
25．【答案】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，，
，
，
反比例函数的表达式为，
把代入得，
，
，
，
把，代入得，
，
解得，
一次函数的表达式为；
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，
此时，的周长最小，
点，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为；
（3）解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，
直线的解析式为，
，，
，
，
解得或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；一次函数中的线段周长问题
【解析】【分析】
（1）直接利用待定系数法即可；
（2）利用将军饮马模型（两定一动）作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，此时则的周长最小，再由轴对称可得到，再利用待定系数法求出直线BE的解析式为，再利用直线上点的坐标特征可得点P；
（3）先由一次函数图象的平移变换规律可得直线的解析式为，再由直线上点的坐标特征可分别得E、F两点的坐标为，再由两点距离公式可得EF、AB的长，再由线段的倍积关系列方程并求解即可．
（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，，
，
，
反比例函数的表达式为，
把代入得，
，
，
，
把，代入得，
，
解得，
一次函数的表达式为；
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，
此时，的周长最小，
点，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为；
（3）解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，
直线的解析式为，
，，
，
，
解得或．
26．【答案】解：（1）∵．在和中，
，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
即，
，
，
；
（2）如图2，过点作于点，
，
，
，
∴四边形是矩形，
，
，
故；
（3）连接，延长交于点，连接交于点，延长交于点，根据（1）得，
，
∵是中线，
，
，
，
，即，
，
，
在和中，
，
∴，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形矩形，
∴，
∴，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
，
设，则，
在和中，
，
，
，
由直角三角形中，由勾股定理得：，
，
解得：；
，
，
，
，
，
，
解得：，
【知识点】矩形的判定与性质；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】本题是图形旋转的综合问题，涉及到图形旋转的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点.（1）根据全等三角得，由勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到；
（2）如图 2 ，过点作于点，根据等腰的性质得到，根据矩形的性质得到，求得，最后利用三角形面积公式即可求解；
（3）连接，延长交于点，连接交于点，延长交于点，根据（1）得，由是中线，得到，由全等得，根据勾股得，由全等得，根据勾股定理得到；求得，再由相似三角形的性质即可得到结论．
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