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四川省达州市经开区2024--2025学年上学期九年级数学期末考试试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．（2025九上·达州期末）下列叙述正确的是（　　）
A．形如的方程叫一元二次方程
B．方程不含有常数项
C．是一元二次方程
D．一元二次方程中，二次项系数一次项系数及常数项均不能为0
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、形如（当）的方程叫一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、由可得，
∴常数项为-6，故本选项不符合题意；
C、由可得9-6x+x2=0，是一元二次方程，故本选，符合题意；
D、一元二次方程中，二次项系数不能为0，常数项可以为0，故本选，不符合题意；
故选：C．
【分析】
根据一元二次方程的定义逐一判断即可.
2．（2025九上·达州期末）某图书馆的一个装饰品是由几个几何体组合成的，其中一个几何体的三种视图如图所示．这个几何体是（　　）
A．正方体 B．长方体 C．圆柱 D．圆锥
【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：∵若一个几何体的三视图都是长方形，则这个几何体为长方体，∴该几何体为长方体.
故答案为：B．
【分析】根据“若一个几何体的三视图都是长方形，则这个几何体为长方体”即可得出答案
3．（2025九上·达州期末）下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：把线段长度从小到大排列，中间两项的积等于两边两项的积就是答案，判断如下：
A、，四条线段不成比例，不符合题意；
B、，四条线段不成比例，不符合题意；
C、，四条线段成比例，符合题意；
D、，四条线段不成比例，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．
4．（2025九上·达州期末）已知点，都在反比例函数的图象上，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴反比例函数的图象过二，四象限，
∴当x<0时，y>0，当x>0时，y<0，
∵点，都在反比例函数的图象上，且，
∴.
故答案为：D．
【分析】先确定函数图象所在的象限，再根据反比例函数的图象和性质，进行判断即可．
5．（2025九上·达州期末）如图，在中，对角线，相交于点，再添加一个条件，可推出是菱形，则这个条件可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵ 对角线垂直的平行四边形是菱形 ，
∴选项A符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，进行判断即可．
6．（2025九上·达州期末）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（　　）
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，即它们的形状相同，只是大小不同，所以甲与丁是相似形．
故答案为：D．
【分析】根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形，结合方格纸的特点及正方形的性质，逐一判断即可得出答案.
7．（2025九上·达州期末）在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子里白球的个数估计是（　　）
A．8 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵摸到红球的频率稳定在0.4左右，
∴摸到红球的概率为0.4，
∴摸到红球的概率为1-0.4=0.6，
∴白球的个数为20×0.6=12.
故答案为：B．
【分析】根据摸到红球的频率稳定在0.4左右，得到摸到红球的概率为0.4，进而得到摸到红球的概率，再利用概率求数量即可．
8．（2025九上·达州期末）按照党中央、国务院决策部署，为了活跃市场主体、助推各地区经济发展，各省市地区抓紧推动稳经济一揽子政策落实落地．江夏区制定了“黄金十条”，坚定企业疫后发展信心，促进企业稳步高效增长.2022年我区某企业4月份的利润是100万元，第二季度的总利润达到500万元，设利润平均月增长率为x，则依题意列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：该企业4月份的利润是100万元，且利润平均月增长率为，
该企业5月份的利润是万元，6月份的利润是万元．
依题意得：．
故答案为：D．
【分析】根据题意直接列出方程即可。
9．（2025九上·达州期末）如图，在正方形外侧，以为一边向上作等边三角形，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∵，
∴.
故答案为：．
【分析】根据正方形和等边三角形的性质可得，，进而即可求解.
10．（2025九上·达州期末）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：过A作轴于C，过B作轴于D，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），
故答案为：A．
【分析】
．过A作轴于C，过B作轴于D，利用k的几何意义表示出，，再利用AA证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可解答．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．（2025九上·达州期末）若是反比例函数，则此函数解析式为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；反比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵是反比例函数，
∴，
解得：，
∴此函数解析式为，
故答案为：．
【分析】形如“ ”的函数就是反比例函数，根据等式性质可转化为 或xy=k(k≠0)的形式，从而根据反比例函数的定义列出关于字母m的混合组，求解得出m的值，即可得到反比例函数的解析式．
12．（2025九上·达州期末）连续投掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币恰好是一正一反的概率是　 　
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中两枚硬币恰好是一正一反有2种等可能的结果，
∴两枚硬币恰好是一正一反的概率是，
故答案为：．
【分析】画树状图可得所有等可能的结果数，找出符合要求的结果数，再根据概率公式解题．
13．（2025九上·达州期末）已知是方程的一个根，则的值为　 　．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：原式，
∵是方程的一个根，∴，
∴原式=.
故答案为：2．
【分析】由已知条件可得，变形可得，最后代入即可．
14．（2025九上·达州期末）在平面直角坐标系中，与位似比为，位似中心为原点，若点的坐标为，则其对应点的坐标是　 　．
【答案】或
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵与位似比为，且点的坐标为，
∴它的对应点的坐标是：或．
故答案为：或．
【分析】在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，新图形与原图形的位似比为k，与原图形上（x，y）对应的位似图形上的点的坐标是（-kx，-ky）或（kx，ky），根据性质即可直接得出答案.
15．（2025九上·达州期末）如图，身高m的某学生沿着树影由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得m，m，则树的高度为　 　．
【答案】m
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设树的高度为m，
由题意得：
∵m，m，
∴，
解得：
故答案为：m.
【分析】设树的高度为m，根据同一时刻，同一地点、同一平面上，物体的高度与影长成比例建立方程，求解即可.
三、解答题（本大题共10个小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（2025九上·达州期末）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：移项的，，
配方得，，
即，
∴，
，.
（2）解：移项得，，
提取公因式得，，
即x+1=0或3x-3=0，
∴，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
（1）解：，
，
则，即，
则，
，；
（2）解：，
，
则，
解得：，．
17．（2025九上·达州期末）从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛．
（1）若甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中乙的概率是________；
（2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有丁的概率．（用树状图或列表的方法求得）
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 甲、乙 甲、丙 甲、丁
乙 乙、甲 乙、丙 乙、丁
丙 丙、甲 丙、乙 丙、丁
丁 丁、甲 丁、乙 丁、丙
由树状图可得所有可能的结果为12种，符合条件的情况数有6种，
则一定有丁的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：由题意可得所有可能结果为甲、乙或甲、丙或甲、丁三种等可能，
恰好选中乙的结果有1种，
则甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中乙的概率是.
故答案为：.
【分析】（1）利用列举法求出答案；
（2）先画树状图，再根据树状图及概率公式即可得出答案.
（1）解：由甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，共有甲、乙，甲、丙，甲、丁三种等可能，符合条件的情况数有1种，
∴甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中乙的概率是；
故答案为：；
（2）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲
甲、乙 甲、丙 甲、丁
乙 乙、甲
乙、丙 乙、丁
丙 丙、甲 丙、乙
丙、丁
丁 丁、甲 丁、乙 丁、丙
所有的等可能的情况数有12种，符合条件的情况数有6种，
所以一定有丁的概率为：．
18．（2025九上·达州期末）已知关于的方程．
（1）求证：无论取何值，关于的方程都有两个不相等的实数根；
（2）若是此方程的一个根，求的值．
【答案】（1）证明：∵，
∴
；
∵，
∴；
∴无论取何值，关于的方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：把代入，
得：，
解得：．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】（1）题干给出的方程是一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由结合偶数次幂的非负性，由判别式的值恒大于0可知方程有两个不相等的实数根；
（2）把x=-1代入原方程，进行求解即可．
（1）证明：∵，
∴
；
∵，
∴；
∴无论取何值，关于的方程都有两个不相等的实数根；
（2）把代入，得：，
解得：．
19．（2025九上·达州期末）已知蓄电池的电压为定值.使用此蓄电池作为电源时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么该用电器的可变电阻至少是多少？
【答案】解：（1）设反比例函数表达式为，
∵在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数表达式为.
（2）当时，
即，
∴，
∵随着的增大而减小，
∴当时，，
答：用电器可变电阻至少．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设反比例函数表达式为，将（10，4）代入反比例函数式，求出k值，即可得出答案；
（2）先求出当I=8时，R的值，再根据图象可知反比例函数的单调性，进而得出答案．
20．（2025九上·达州期末）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接OM、CM，且CM交BD于点N，ND=1．
（1）证明：△MNO～△CND；
（2）求BD的长．
【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD为平行四边形，且对角线AC、BD交于点O，
∴点为AC中点，
∵M为AD中点，
∴ＯＭ∥ＣＤ，
（2）由（1）知M为AD中点，
∴
∴，
又由（1）知，
∴.，
四边形为平行四边形，
∴.
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得为AC中点，再根据M为AD中点，则OM为△ACD的中位线，根据中位线的性质得到ＯＭ∥ＣＤ，即可证得；（2）由OM为△ACD的中位线可得，再由可得到根据即可求出，最后根据平行四边形的性质，即可得出答案.
21．（2025九上·达州期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场每件降价4元，问商场每天可盈利多少元．
（2）若商场平均每天要盈利1200元，且让顾客尽可能多得实惠，每件衬衫应降价多少元．
【答案】解：（1）因为每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴若商场每件降价4元，商场平均每天可多售出2×4=8（件），
∴每天共盈利（8+20）×（40-4）=1008（元），
答：若商场每件降价4元，问商场每天可盈利1008元；
（2）设每件衬衫应降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，
根据题意得：（40-x）（20+2x）=1200，
整理得：x2-30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20．
∵要扩大销售量，减少库存，
∴x=20．
答：每件衬衫应降价20元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件”得出商场每天销售该衬衫的数量为20+2×4=28件，每件衬衫获得的利润为40-4=36元，最后根据总利润等于单件利润乘以销售数量，列式计算即可；
（2）设每件衬衫应降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，每件衬衫获得的利润为(40-x)元，根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之求出x的值，进而根据“要扩大销售量，减少库存”确定符合题意的x的值即可.
22．（2025九上·达州期末）如图，在四边形中，点，，，分别是各边的中点，且，，四边形是矩形．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若矩形的周长为24，四边形的面积为12，求的长．
【答案】（1）证明：连接AC、BD，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点，分别是各边的中点，
∴，
同理可得，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴四边形是菱形.
（2）解：∵矩形的周长为24，
∴，
∴，
由（1）可得，
∴，
∵四边形是菱形，
∴OA=AC，OB=BD，
∴，
∵四边形的面积为12，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴∠AOB=90°，
∴，
∴．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）连接AC、BD，根据四边形是矩形可得，再根据三角形的中位线定理推出，再根据四边形为平行四边形，即可得证；
（2）根据周长求出，进而求出的长，再根据面积求出的值，根据完全平方公式求出的值，最后利用菱形的性质和勾股定理求出的长即可．
（1）证明：连接，
∵点，，，分别是各边的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴：四边形是菱形；
（2）∵矩形的周长为24，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵四边形的面积为12，
∴，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．（2025九上·达州期末）如图，一次函数的图象分别与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，且．
（1）求函数和的表达式；
（2）已知点，试在该反比例函数图象上确定一点，使得，求此时点的坐标．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
∵，
∴，
把，代入，得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：∵，
∴在线段的中垂线上，
∵，，
∴BC的中点纵坐标坐标为：，
∴点在直线上，
∴点的纵坐标为：1，
∴点的横坐标为：，
∴点的坐标为：．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）先直接利用待定系数法求出反比例函数的解析式；根据两点间的距离公式求出OA的长，再根据OA=OB求出B点的坐标，进而再利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）根据到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上得到M在线段BC的中垂线上，利用中点坐标公式及点的坐标与图形性质求出点的纵坐标，将点M的纵坐标代入反比例函数的解析式算出对应的自变量x的值，即可求出M的坐标．
（1）解：∵，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
∵，
∴，
把，代入，得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）∵，
∴在线段的中垂线上，
∵，，
∴的中点坐标为：，
∴点在直线上，
∴点的纵坐标为：1，
∴点的横坐标为：，
∴点的坐标为：．
24．（2025九上·达州期末）解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为①，
解得，．
当时，，；
当时，，；
原方程有四个根：，，，．
（1）解方程．
（2）解方程
【答案】（1）解：设，
原方程可化为，
解得：，．
由，得，．
由，得方程，
，此时方程无解．
∴原方程的解为：，．
（2）解：原方程可化为，
设，原方程可化为，
解得，，
由，得，，
由，此时方程无解，
∴原方程的解为，．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；换元法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）设，则原方程可化为，先利用因式分解法解该关于字母y的一元二次方程，求出y的值，从而可得关于字母x的一元二次方程，再利用根的判别式及因式分解法解方程即可；
（2）根据偶数次幂及绝对值的非负性，原方程可化为，设，原方程可化为，利用因式分解法解该关于字母y的一元二次方程，求出y的值，再根据绝对值性质再求出即可．
（1）解：设，原方程可化为，
解得：，．
由，得，．
由，得方程，
，此时方程无解．
∴原方程的解为：，．
（2）解：原方程可化为，
设，原方程可化为，
解得，，
由，得，，
由，此时方程无解，
∴原方程的解为，．
25．（2025九上·达州期末）如图，在正方形中，，点是对角线的中点，点是边上一动点，连接，将射线绕点逆时针方向旋转交射线于点．
（1）求证：；
（2）延长，，分别交线段，射线于点，，当四边形是矩形时，求的长；
（3）当时，问：的周长是否是定值？说明理由．
【答案】（1）证明：标角如图所示，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
由旋转可得，
∴，
∴，
∴.
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
由（1）可知，
∴，，
在中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴.
（3）解：的周长是定值，理由如下：
连接，过点O作交BC于M，交CD于N，在上作一点P，使，
∵ 在正方形中，点是对角线的中点，
∴OC是∠BCD的角平分线，
又∵，
∴，，
在中，
∵，
∴（SAS），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∵ 在正方形中，，
∴CD=2，
∴，
∴的周长是定值．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）先说明，再说明，最后根据两角对应相等即可得证；
（2）由（1）可知，则，，再根据AAS证明，再由勾股定理即可得出答案；
（3）连接，过点O作于M，于N，在上作一点P，使，再根据SAS证明，，，最后结合，即可得出答案.
（1）证明：如图：
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
又∵
∴，
又∵，
∴
∴，
∴
（2）解：由（1）可知，
∴，，
又∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵且，
∴，
∴；
（3）解：连接，过点O作于M，于N，在上作一点P，使，则，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
又∵，，
∴
∴，
又∵，且
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长是定值．
1 / 1四川省达州市经开区2024--2025学年上学期九年级数学期末考试试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．（2025九上·达州期末）下列叙述正确的是（　　）
A．形如的方程叫一元二次方程
B．方程不含有常数项
C．是一元二次方程
D．一元二次方程中，二次项系数一次项系数及常数项均不能为0
2．（2025九上·达州期末）某图书馆的一个装饰品是由几个几何体组合成的，其中一个几何体的三种视图如图所示．这个几何体是（　　）
A．正方体 B．长方体 C．圆柱 D．圆锥
3．（2025九上·达州期末）下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025九上·达州期末）已知点，都在反比例函数的图象上，若，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九上·达州期末）如图，在中，对角线，相交于点，再添加一个条件，可推出是菱形，则这个条件可以是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·达州期末）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（　　）
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
7．（2025九上·达州期末）在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子里白球的个数估计是（　　）
A．8 B．12 C．14 D．16
8．（2025九上·达州期末）按照党中央、国务院决策部署，为了活跃市场主体、助推各地区经济发展，各省市地区抓紧推动稳经济一揽子政策落实落地．江夏区制定了“黄金十条”，坚定企业疫后发展信心，促进企业稳步高效增长.2022年我区某企业4月份的利润是100万元，第二季度的总利润达到500万元，设利润平均月增长率为x，则依题意列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025九上·达州期末）如图，在正方形外侧，以为一边向上作等边三角形，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九上·达州期末）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．（2025九上·达州期末）若是反比例函数，则此函数解析式为　 　．
12．（2025九上·达州期末）连续投掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币恰好是一正一反的概率是　 　
13．（2025九上·达州期末）已知是方程的一个根，则的值为　 　．
14．（2025九上·达州期末）在平面直角坐标系中，与位似比为，位似中心为原点，若点的坐标为，则其对应点的坐标是　 　．
15．（2025九上·达州期末）如图，身高m的某学生沿着树影由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得m，m，则树的高度为　 　．
三、解答题（本大题共10个小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（2025九上·达州期末）解方程：
（1）；
（2）．
17．（2025九上·达州期末）从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛．
（1）若甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中乙的概率是________；
（2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有丁的概率．（用树状图或列表的方法求得）
18．（2025九上·达州期末）已知关于的方程．
（1）求证：无论取何值，关于的方程都有两个不相等的实数根；
（2）若是此方程的一个根，求的值．
19．（2025九上·达州期末）已知蓄电池的电压为定值.使用此蓄电池作为电源时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么该用电器的可变电阻至少是多少？
20．（2025九上·达州期末）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接OM、CM，且CM交BD于点N，ND=1．
（1）证明：△MNO～△CND；
（2）求BD的长．
21．（2025九上·达州期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场每件降价4元，问商场每天可盈利多少元．
（2）若商场平均每天要盈利1200元，且让顾客尽可能多得实惠，每件衬衫应降价多少元．
22．（2025九上·达州期末）如图，在四边形中，点，，，分别是各边的中点，且，，四边形是矩形．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若矩形的周长为24，四边形的面积为12，求的长．
23．（2025九上·达州期末）如图，一次函数的图象分别与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，且．
（1）求函数和的表达式；
（2）已知点，试在该反比例函数图象上确定一点，使得，求此时点的坐标．
24．（2025九上·达州期末）解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为①，
解得，．
当时，，；
当时，，；
原方程有四个根：，，，．
（1）解方程．
（2）解方程
25．（2025九上·达州期末）如图，在正方形中，，点是对角线的中点，点是边上一动点，连接，将射线绕点逆时针方向旋转交射线于点．
（1）求证：；
（2）延长，，分别交线段，射线于点，，当四边形是矩形时，求的长；
（3）当时，问：的周长是否是定值？说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、形如（当）的方程叫一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、由可得，
∴常数项为-6，故本选项不符合题意；
C、由可得9-6x+x2=0，是一元二次方程，故本选，符合题意；
D、一元二次方程中，二次项系数不能为0，常数项可以为0，故本选，不符合题意；
故选：C．
【分析】
根据一元二次方程的定义逐一判断即可.
2．【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：∵若一个几何体的三视图都是长方形，则这个几何体为长方体，∴该几何体为长方体.
故答案为：B．
【分析】根据“若一个几何体的三视图都是长方形，则这个几何体为长方体”即可得出答案
3．【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：把线段长度从小到大排列，中间两项的积等于两边两项的积就是答案，判断如下：
A、，四条线段不成比例，不符合题意；
B、，四条线段不成比例，不符合题意；
C、，四条线段成比例，符合题意；
D、，四条线段不成比例，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．
4．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴反比例函数的图象过二，四象限，
∴当x<0时，y>0，当x>0时，y<0，
∵点，都在反比例函数的图象上，且，
∴.
故答案为：D．
【分析】先确定函数图象所在的象限，再根据反比例函数的图象和性质，进行判断即可．
5．【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵ 对角线垂直的平行四边形是菱形 ，
∴选项A符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，进行判断即可．
6．【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，即它们的形状相同，只是大小不同，所以甲与丁是相似形．
故答案为：D．
【分析】根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形，结合方格纸的特点及正方形的性质，逐一判断即可得出答案.
7．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵摸到红球的频率稳定在0.4左右，
∴摸到红球的概率为0.4，
∴摸到红球的概率为1-0.4=0.6，
∴白球的个数为20×0.6=12.
故答案为：B．
【分析】根据摸到红球的频率稳定在0.4左右，得到摸到红球的概率为0.4，进而得到摸到红球的概率，再利用概率求数量即可．
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：该企业4月份的利润是100万元，且利润平均月增长率为，
该企业5月份的利润是万元，6月份的利润是万元．
依题意得：．
故答案为：D．
【分析】根据题意直接列出方程即可。
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∵，
∴.
故答案为：．
【分析】根据正方形和等边三角形的性质可得，，进而即可求解.
10．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：过A作轴于C，过B作轴于D，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），
故答案为：A．
【分析】
．过A作轴于C，过B作轴于D，利用k的几何意义表示出，，再利用AA证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可解答．
11．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；反比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵是反比例函数，
∴，
解得：，
∴此函数解析式为，
故答案为：．
【分析】形如“ ”的函数就是反比例函数，根据等式性质可转化为 或xy=k(k≠0)的形式，从而根据反比例函数的定义列出关于字母m的混合组，求解得出m的值，即可得到反比例函数的解析式．
12．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中两枚硬币恰好是一正一反有2种等可能的结果，
∴两枚硬币恰好是一正一反的概率是，
故答案为：．
【分析】画树状图可得所有等可能的结果数，找出符合要求的结果数，再根据概率公式解题．
13．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：原式，
∵是方程的一个根，∴，
∴原式=.
故答案为：2．
【分析】由已知条件可得，变形可得，最后代入即可．
14．【答案】或
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵与位似比为，且点的坐标为，
∴它的对应点的坐标是：或．
故答案为：或．
【分析】在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，新图形与原图形的位似比为k，与原图形上（x，y）对应的位似图形上的点的坐标是（-kx，-ky）或（kx，ky），根据性质即可直接得出答案.
15．【答案】m
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设树的高度为m，
由题意得：
∵m，m，
∴，
解得：
故答案为：m.
【分析】设树的高度为m，根据同一时刻，同一地点、同一平面上，物体的高度与影长成比例建立方程，求解即可.
16．【答案】（1）解：移项的，，
配方得，，
即，
∴，
，.
（2）解：移项得，，
提取公因式得，，
即x+1=0或3x-3=0，
∴，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
（1）解：，
，
则，即，
则，
，；
（2）解：，
，
则，
解得：，．
17．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 甲、乙 甲、丙 甲、丁
乙 乙、甲 乙、丙 乙、丁
丙 丙、甲 丙、乙 丙、丁
丁 丁、甲 丁、乙 丁、丙
由树状图可得所有可能的结果为12种，符合条件的情况数有6种，
则一定有丁的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：由题意可得所有可能结果为甲、乙或甲、丙或甲、丁三种等可能，
恰好选中乙的结果有1种，
则甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中乙的概率是.
故答案为：.
【分析】（1）利用列举法求出答案；
（2）先画树状图，再根据树状图及概率公式即可得出答案.
（1）解：由甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，共有甲、乙，甲、丙，甲、丁三种等可能，符合条件的情况数有1种，
∴甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中乙的概率是；
故答案为：；
（2）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲
甲、乙 甲、丙 甲、丁
乙 乙、甲
乙、丙 乙、丁
丙 丙、甲 丙、乙
丙、丁
丁 丁、甲 丁、乙 丁、丙
所有的等可能的情况数有12种，符合条件的情况数有6种，
所以一定有丁的概率为：．
18．【答案】（1）证明：∵，
∴
；
∵，
∴；
∴无论取何值，关于的方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：把代入，
得：，
解得：．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】（1）题干给出的方程是一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由结合偶数次幂的非负性，由判别式的值恒大于0可知方程有两个不相等的实数根；
（2）把x=-1代入原方程，进行求解即可．
（1）证明：∵，
∴
；
∵，
∴；
∴无论取何值，关于的方程都有两个不相等的实数根；
（2）把代入，得：，
解得：．
19．【答案】解：（1）设反比例函数表达式为，
∵在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数表达式为.
（2）当时，
即，
∴，
∵随着的增大而减小，
∴当时，，
答：用电器可变电阻至少．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设反比例函数表达式为，将（10，4）代入反比例函数式，求出k值，即可得出答案；
（2）先求出当I=8时，R的值，再根据图象可知反比例函数的单调性，进而得出答案．
20．【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD为平行四边形，且对角线AC、BD交于点O，
∴点为AC中点，
∵M为AD中点，
∴ＯＭ∥ＣＤ，
（2）由（1）知M为AD中点，
∴
∴，
又由（1）知，
∴.，
四边形为平行四边形，
∴.
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得为AC中点，再根据M为AD中点，则OM为△ACD的中位线，根据中位线的性质得到ＯＭ∥ＣＤ，即可证得；（2）由OM为△ACD的中位线可得，再由可得到根据即可求出，最后根据平行四边形的性质，即可得出答案.
21．【答案】解：（1）因为每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴若商场每件降价4元，商场平均每天可多售出2×4=8（件），
∴每天共盈利（8+20）×（40-4）=1008（元），
答：若商场每件降价4元，问商场每天可盈利1008元；
（2）设每件衬衫应降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，
根据题意得：（40-x）（20+2x）=1200，
整理得：x2-30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20．
∵要扩大销售量，减少库存，
∴x=20．
答：每件衬衫应降价20元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件”得出商场每天销售该衬衫的数量为20+2×4=28件，每件衬衫获得的利润为40-4=36元，最后根据总利润等于单件利润乘以销售数量，列式计算即可；
（2）设每件衬衫应降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，每件衬衫获得的利润为(40-x)元，根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之求出x的值，进而根据“要扩大销售量，减少库存”确定符合题意的x的值即可.
22．【答案】（1）证明：连接AC、BD，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点，分别是各边的中点，
∴，
同理可得，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴四边形是菱形.
（2）解：∵矩形的周长为24，
∴，
∴，
由（1）可得，
∴，
∵四边形是菱形，
∴OA=AC，OB=BD，
∴，
∵四边形的面积为12，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴∠AOB=90°，
∴，
∴．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）连接AC、BD，根据四边形是矩形可得，再根据三角形的中位线定理推出，再根据四边形为平行四边形，即可得证；
（2）根据周长求出，进而求出的长，再根据面积求出的值，根据完全平方公式求出的值，最后利用菱形的性质和勾股定理求出的长即可．
（1）证明：连接，
∵点，，，分别是各边的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴：四边形是菱形；
（2）∵矩形的周长为24，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵四边形的面积为12，
∴，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
∵，
∴，
把，代入，得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：∵，
∴在线段的中垂线上，
∵，，
∴BC的中点纵坐标坐标为：，
∴点在直线上，
∴点的纵坐标为：1，
∴点的横坐标为：，
∴点的坐标为：．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）先直接利用待定系数法求出反比例函数的解析式；根据两点间的距离公式求出OA的长，再根据OA=OB求出B点的坐标，进而再利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）根据到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上得到M在线段BC的中垂线上，利用中点坐标公式及点的坐标与图形性质求出点的纵坐标，将点M的纵坐标代入反比例函数的解析式算出对应的自变量x的值，即可求出M的坐标．
（1）解：∵，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
∵，
∴，
把，代入，得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）∵，
∴在线段的中垂线上，
∵，，
∴的中点坐标为：，
∴点在直线上，
∴点的纵坐标为：1，
∴点的横坐标为：，
∴点的坐标为：．
24．【答案】（1）解：设，
原方程可化为，
解得：，．
由，得，．
由，得方程，
，此时方程无解．
∴原方程的解为：，．
（2）解：原方程可化为，
设，原方程可化为，
解得，，
由，得，，
由，此时方程无解，
∴原方程的解为，．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；换元法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）设，则原方程可化为，先利用因式分解法解该关于字母y的一元二次方程，求出y的值，从而可得关于字母x的一元二次方程，再利用根的判别式及因式分解法解方程即可；
（2）根据偶数次幂及绝对值的非负性，原方程可化为，设，原方程可化为，利用因式分解法解该关于字母y的一元二次方程，求出y的值，再根据绝对值性质再求出即可．
（1）解：设，原方程可化为，
解得：，．
由，得，．
由，得方程，
，此时方程无解．
∴原方程的解为：，．
（2）解：原方程可化为，
设，原方程可化为，
解得，，
由，得，，
由，此时方程无解，
∴原方程的解为，．
25．【答案】（1）证明：标角如图所示，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
由旋转可得，
∴，
∴，
∴.
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
由（1）可知，
∴，，
在中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴.
（3）解：的周长是定值，理由如下：
连接，过点O作交BC于M，交CD于N，在上作一点P，使，
∵ 在正方形中，点是对角线的中点，
∴OC是∠BCD的角平分线，
又∵，
∴，，
在中，
∵，
∴（SAS），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∵ 在正方形中，，
∴CD=2，
∴，
∴的周长是定值．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）先说明，再说明，最后根据两角对应相等即可得证；
（2）由（1）可知，则，，再根据AAS证明，再由勾股定理即可得出答案；
（3）连接，过点O作于M，于N，在上作一点P，使，再根据SAS证明，，，最后结合，即可得出答案.
（1）证明：如图：
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
又∵
∴，
又∵，
∴
∴，
∴
（2）解：由（1）可知，
∴，，
又∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵且，
∴，
∴；
（3）解：连接，过点O作于M，于N，在上作一点P，使，则，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
又∵，，
∴
∴，
又∵，且
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长是定值．
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