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四川省广安市华蓥市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡上）
1．（2025九上·华蓥期末）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，
∴选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形.
故答案为：A．
【分析】根据中心对称图形的定义，逐一判断即可．
2．（2025九上·华蓥期末）一元二次方程的一次项系数是（　　）
A．4 B．6 C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一次项系数是，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的一般形式即可写出一次项的系数．
3．（2025九上·华蓥期末）抛物线的顶点是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由抛物线的解析式可得顶点是.
故答案为：C．
【分析】根据二次函数表达式即可得出顶点坐标．
4．（2025九上·华蓥期末）如图，点A，B，C在上，若．则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵
∴.
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理及，即可得出答案.
5．（2025九上·华蓥期末）下列事件中，属于随机事件的是（　　）
A．一个三角形的内角和是
B．负数大于正数
C．打开电视机，它正在播放动画片
D．明天太阳从西方升起
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、一个三角形的内角和是，这是必然事件，不符合题意；
B、负数大于正数，这是不可能事件，不符合题意；
C、打开电视机，它正在播放动画片，这是随机事件，符合题意；
D、明天太阳从西方升起， 这是不可能事件，不符合题意；
故选：C．
【分析】
必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．（2025九上·华蓥期末）一元二次方程的根为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项得，
配方得，
即
，
∴，，
故答案为：B．
【分析】本题利用配方法求解即可得出．
7．（2025九上·华蓥期末）在一个不透明的口袋中有除颜色外其他均相同的6个黑球和若干个白球，现随机摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅匀，然后再随机摸出一个球，不断重复上述过程，一共摸了180次，其中有60次摸到黑球，由此估计口袋中的白球个数为（　　）
A．24个 B．18个 C．12个 D．6个
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意得摸到黑球的概率为，
设白球有个，则由题意得，
解得：，
∴白球有12个，
故选：C．
【分析】由题意得摸到黑球的概率为，设白球有个，根据概率公式建立方程，解方程即可求出答案.
8．（2025九上·华蓥期末）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用超7200元，求2020年到2022年这两年买书资金的平均增长率．设2020年到2022年这两年买书资金的平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设2020年到2022年这两年买书资金的平均增长率为，
由题意得，，
故答案为：A．
【分析】此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程即可.
9．（2025九上·华蓥期末）如图，是等边三角形内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段，
∴，
∴为等边三角形，
∴∠AED=60°，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴．
故答案为：C．
【分析】根据将线段绕点顺时针旋转，得到线段可得为等边三角形，进而得出，再根据SAS证明，由全等三角形的性质得，最后根据角的和差得出答案.
10．（2025九上·华蓥期末）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，与轴交于，两点，，下列结论：①；②；③；④（为任意实数），正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用；数形结合
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵，
∴，
∵抛物线 与轴交于负半轴，
∴，
∴，故①结论错误；
∵抛物线对称轴是直线，与轴交于，两点，
∴，
∴，故②结论正确；
根据对称轴为直线，，则，
∴时，，
∴，故③结论错误；
④当时，为最小值，
∴，即（为任意实数），故④结论正确；
综上正确的有：②④；
故答案为：B．
【分析】由抛物线的开口向上判断出a＞0，由抛物线的对称轴结合对称轴直线公式得出b=2a＞0，由抛物线与y轴的负半轴相交判断出c＜0，进而根据有理数的乘法法则可判断出①；根据抛物线的对称性，结合中点坐标公式可得， 从而可判断②；由抛物线的对称性可得 ，结合抛物线的图象得出当x=-2时，y＜0，从而可判断③；根据当x=-1时，函数值y=a-b+c值最小，从而得出当x=m时y=am2+bm+c≥a-b+c，据此可判断④.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将最简答案填写在答题卡相应位置）
11．（2025九上·华蓥期末）做抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下数据：
抛掷次数 50 100 500 800 1500 3000 5000
“杯口朝上”的次数 5 15 99 158 302 599 1001
“杯口朝上”的频率 0.100 0.150 0.198 0.198 0.201 0.200 0.200
估计抛掷一只纸杯，“杯口朝上”的概率为　 　（结果保留小数点后一位）．
【答案】0.2
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据表格数据，纸杯的杯口朝上的频率稳定在0.2左右，故抛掷一只纸杯，“杯口朝上”的概率为0.2，
故答案为：0.2．
【分析】根据通过大量实验，某事件发生的频率稳定的数值即为此事件发生的概率解答．
12．（2025九上·华蓥期末）将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得到的抛物线解析式为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，
∴平移后的抛物线解析式为：，
故答案为：．
【分析】由二次函数图象平移规律：上加下减常数项，左加右减自变量，即可得到答案.
13．（2025九上·华蓥期末）在直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵关于原点对称的点的特征为横纵坐标都互为相反数，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据“关于原点对称的点的特征为横纵坐标都互为相反数”求出，再代入即可．
14．（2025九上·华蓥期末）若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵ 关于的一元二次方程有两个不等的实数根，
∴，
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】根据题意得到判别式大于0，列不等式，求解即可．
15．（2025九上·华蓥期末）如图，是的两条切线，是切点，若，，则的半径等于 　 　．
【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质；切线长定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵是的两条切线，
∴，平分，
∴，，
∴，即的半径等于，
故答案为：．
【分析】根据切线性质可得，平分，再根据角平分线定义可得，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
16．（2025九上·华蓥期末）如图，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝∠AOC，且AD＝CD，则图中阴影部分的面积等于　 　．
【答案】π﹣
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接AC，OD，过点O作OE⊥AD，垂足为E，
∵∠ABC＝∠AOC，∠AOC＝2∠ADC，∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，
∵AD＝CD，
∴△ACD是正三角形，
∴∠AOD＝120°，OE＝2×cos60°＝1，AD＝2×sin60°×2＝2，
∴S阴影部分＝S扇形OAD﹣S△AOD＝×π×22﹣×2×1＝π﹣，
故答案为：π﹣．
【分析】由圆内接四边形的对角互补得∠ABC+∠ADC＝180°，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠AOC＝2∠ADC，结合已知可求出∠ADC＝60°，根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△ACD是等边三角形，进而由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AOD，根据等腰三角形的三线合一及余弦函数的定义求出OE的长，由正弦函数的定义求出DE，进而得到AD，最后根据S阴影=S扇形AOD-S△AOD结合扇形面积公式，列式计算即可.
三、解答题（本大题共4小题．第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）
17．（2025九上·华蓥期末）用公式法解方程：．
【答案】解：∵，
∴，
∵112>0，
∴，
∴．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】先根据的符号判断根的情况，再代入求根公式求解即可．
18．（2025九上·华蓥期末）如图，是正方形的边上一点，将绕点逆时针旋转一定角度后得到，连接．
（1）旋转角为_____度．；
（2）请判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）90
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
∵绕点A逆时针旋转后能够与重合．
∴，，
∵是正方形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；等腰三角形的概念
【解析】【解答】（1）解：∵四边形是正方形，
∴
∵旋转角=.
故答案为：90.
【分析】（1）根据正方形的性质即可得出答案．
（2）根据旋转的性质及正方形的性质即可得出答案.
（1）解：∵四边形是正方形，
∴
∵旋转角的度数等于的度数，即，
故答案为：90；
（2）解：是等腰直角三角形．
∵是正方形，
∴，
∵绕点A逆时针旋转后能够与重合．
∴，，
∴是等腰直角三角形．
19．（2025九上·华蓥期末）已知二次函数．
（1）该函数的图象的开口（填“向上”或“向下”）；
（2）将二次函数的解析式化为的形式，并求当时，的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
∴ 二次函数 的图象的开口向下.
（2）解：∵，
∴对称轴为直线，开口向下，有最高点，即（2，7），
∵，
∴当时，，
当时，，
当时，，
∴当时，的取值范围为．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）根据“若a>0，图象开口向上，若a<0，图象开口向下”即可求解得出答案；
（2）先配方写成的形式，再根据二次函数的图象与性质求解即可．
（1）解：∵，
∴函数的图象的开口向下；
（2）解：
，
由题意知，对称轴为直线，
∵，
∴当时，，
当时，，
当时，，
∴，
∴当时，的取值范围为．
20．（2025九上·华蓥期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O， ，求证：BM＝CM．
【答案】证明：∵在正方形ABCD中，AB＝CD，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴BM＝CM．
【知识点】正方形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心距、弦、弧之间的关系定理，即可得证．
四、实践应用题（本大题共4小题．第21题6分，第22、23、24小题各8分，共30分）
21．（2025九上·华蓥期末）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长8m，设圆心为，交水面于点D，轮子的吃水深度为2m，求该桨轮船的轮子直径．
【答案】解：如图，
设半径为，则，
∴，
∵，，
∴，
在中，根据勾股定理得：
，即，解得
∴该桨轮船的轮子直径为10m．
【知识点】垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】设半径为，则，可得，根据垂径定理得，再根据勾股定理得，即，解得即可得该桨轮船的轮子直径.
22．（2025九上·华蓥期末）某旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，推出如下收费标准：
旅游人数 收费标准
不超过25人 人均收费1000元
超过25人 每增加1人，人均收费降低20元，但人均收费不低于700元
我市某公司组织员工去该风景区旅游，共支付给旅行社27000元．这个公司这次共有多少人去该风景区旅游？
【答案】解：设这次共有x名员工去风景区旅游，
，
整理得：，
解得或，
∵，
∴，
∵1000-20（x-25）≥700，
∴x≤40，
∴25∴，
答：该单位这次共有30名员工去风景区旅游．
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】设这次共有名员工去风景区旅游，现根据共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，可列出方程求解，再根据已知条件求出x的范围，进而得出答案.
23．（2025九上·华蓥期末）在一个不透明的盒子中放有3张看上去无差别的卡片，上面分别写着，0，2这三个实数．
（1）从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的实数是正数的概率为_____．
（2）先从盒子中随机抽取一张卡片（卡片不放回），再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求两次抽取的卡片上的实数之积为负数的概率．
【答案】（1）
（2）解：树状图如下：
由树状图可得共有6种等可能的结果，
而两次抽取的卡片上的实数之积为负数有2种，
则两次抽取的卡片上的实数之积为负数的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）卡片上的实数是正数的概率为.
故答案为：.
【分析】（1） 从盒子中随机抽取一张卡片共有3种等可能的结果，其中卡片上的实数是正数的结果有1种，利用概率公式可得答案；
（2）先画树状图，再利用概率公式可得出答案．
（1）解：，0，2这三个实数中，正数为2，
∴卡片上的实数是正数的概率为，
故答案为：；
（2）解：画树状图为：
∴共有6种等可能的结果，乘积为负数的有2种，即第一次，第二次2和第一次2，第二次，
∴两次抽取的卡片上的实数之积为负数的概率为．
24．（2025九上·华蓥期末）如图，小明的爸爸要用一堵长为4m的墙和长为18m的篱笆围一个小型养鸡场，要求：①墙和篱笆全部利用；②围成的养鸡场的面积最大．图1是小明的爸爸把墙体全部利用起来围成的养鸡场，图2是小明把墙体向外用篱笆延伸了一段长，然后用剩余的篱笆围成一个矩形养鸡场．
（1）请计算小明爸爸围成的养鸡场的面积；
（2）请计算小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大多少？
【答案】（1）解： 小明爸爸围成的养鸡场的长边为（18-4）÷2=7（m），
4×7=28（m2）
答：小明爸爸围成的养鸡场的面积为.

（2）解：设小明围成的养鸡场的长为，则宽为，围成的养鸡场面积为，，
当x=时，小明围成的养鸡场的面积最大，最大面积为，
∴，
答：小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先求出小明爸爸围成的养鸡场的长边，再根据矩形的面积公式即可得到结论；
（2）设小明围成的养鸡场的长为，则宽为，围成的养鸡场面积为，则小明围成的养鸡场的面积为，再根据二次函数的性质即可得到小明围成的养鸡场的最大面积，最后作差即可.
（1）解：根据题意得，
答：小明爸爸围成的养鸡场的面积为；
（2）解：设小明围成的养鸡场的长为，则宽为，围成的养鸡场面积为，
根据题意得，，
小明围成的养鸡场的最大面积为，
∴，
答：小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大．
五、推理论证题（9分）
25．（2025九上·华蓥期末）如图，在中，是直径，点C是圆上一点，在的延长线上取一点D，连接，使．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长（结果保留）．
【答案】（1）证明：连接，则：，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定；弧长的计算；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接，由等边对等角得到，直径所对的圆周角为直角得到，由直角三角形两锐角互余及等量代换得到，从而根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线即可得出结论；
（2）由角的构成得到，进而根据等边对等角得到∠A=30°，由三角形内角和定理得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到DO=2OC，进而由线段和差得出，从而求出半径的长，最后根据弧长公式进行计算即可．
六、拓展探究题（10分）
26．（2025九上·华蓥期末）如图，已经抛物线经过点，，且它的对称轴为．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为15时，求的坐标；
（3）在（2）的条件下，是抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值
【答案】（1）解： 抛物线经过点，
∴设抛物线为：
抛物线过，且它的对称轴为．
解得：
∴抛物线为：
（2）解：如图，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，设 且 记OA与对称轴的交点为Q，
设直线为：
解得：
直线为：
解得：或
∵ 则
（3）解：如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时最大，
设AB为： 代入A、B两点坐标，
解得：
∴AB为：
解得：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形三边关系；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）由于抛物线经过坐标原点故常数项为零，从而可设抛物线为将点A的坐标代入可得关于字母、b的方程，进而根据对称轴直线公式结合对称轴直线为x=2列出关于字母a、b的方程，联立两方程，求解即可得出a、b的值，从而求出平分线的解析式；
（2）根据点的坐标与图形性质设 且 记OA与对称轴的交点为Q，利用待定系数法求出直线OA的解析式， 然后联立直线x=2与直线OA的解析式可求出点Q的坐标，利用列方程，再解方程即可；
（3）如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时最大，利用那个平面内两点间的距离公式可得最小值，再利用待定系数法求解AB的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P的坐标．
1 / 1四川省广安市华蓥市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡上）
1．（2025九上·华蓥期末）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·华蓥期末）一元二次方程的一次项系数是（　　）
A．4 B．6 C． D．
3．（2025九上·华蓥期末）抛物线的顶点是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九上·华蓥期末）如图，点A，B，C在上，若．则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九上·华蓥期末）下列事件中，属于随机事件的是（　　）
A．一个三角形的内角和是
B．负数大于正数
C．打开电视机，它正在播放动画片
D．明天太阳从西方升起
6．（2025九上·华蓥期末）一元二次方程的根为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2025九上·华蓥期末）在一个不透明的口袋中有除颜色外其他均相同的6个黑球和若干个白球，现随机摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅匀，然后再随机摸出一个球，不断重复上述过程，一共摸了180次，其中有60次摸到黑球，由此估计口袋中的白球个数为（　　）
A．24个 B．18个 C．12个 D．6个
8．（2025九上·华蓥期末）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用超7200元，求2020年到2022年这两年买书资金的平均增长率．设2020年到2022年这两年买书资金的平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025九上·华蓥期末）如图，是等边三角形内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九上·华蓥期末）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，与轴交于，两点，，下列结论：①；②；③；④（为任意实数），正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将最简答案填写在答题卡相应位置）
11．（2025九上·华蓥期末）做抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下数据：
抛掷次数 50 100 500 800 1500 3000 5000
“杯口朝上”的次数 5 15 99 158 302 599 1001
“杯口朝上”的频率 0.100 0.150 0.198 0.198 0.201 0.200 0.200
估计抛掷一只纸杯，“杯口朝上”的概率为　 　（结果保留小数点后一位）．
12．（2025九上·华蓥期末）将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得到的抛物线解析式为　 　．
13．（2025九上·华蓥期末）在直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值为　 　．
14．（2025九上·华蓥期末）若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则的取值范围是　 　．
15．（2025九上·华蓥期末）如图，是的两条切线，是切点，若，，则的半径等于 　 　．
16．（2025九上·华蓥期末）如图，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝∠AOC，且AD＝CD，则图中阴影部分的面积等于　 　．
三、解答题（本大题共4小题．第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）
17．（2025九上·华蓥期末）用公式法解方程：．
18．（2025九上·华蓥期末）如图，是正方形的边上一点，将绕点逆时针旋转一定角度后得到，连接．
（1）旋转角为_____度．；
（2）请判断的形状，并说明理由．
19．（2025九上·华蓥期末）已知二次函数．
（1）该函数的图象的开口（填“向上”或“向下”）；
（2）将二次函数的解析式化为的形式，并求当时，的取值范围．
20．（2025九上·华蓥期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O， ，求证：BM＝CM．
四、实践应用题（本大题共4小题．第21题6分，第22、23、24小题各8分，共30分）
21．（2025九上·华蓥期末）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长8m，设圆心为，交水面于点D，轮子的吃水深度为2m，求该桨轮船的轮子直径．
22．（2025九上·华蓥期末）某旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，推出如下收费标准：
旅游人数 收费标准
不超过25人 人均收费1000元
超过25人 每增加1人，人均收费降低20元，但人均收费不低于700元
我市某公司组织员工去该风景区旅游，共支付给旅行社27000元．这个公司这次共有多少人去该风景区旅游？
23．（2025九上·华蓥期末）在一个不透明的盒子中放有3张看上去无差别的卡片，上面分别写着，0，2这三个实数．
（1）从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的实数是正数的概率为_____．
（2）先从盒子中随机抽取一张卡片（卡片不放回），再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求两次抽取的卡片上的实数之积为负数的概率．
24．（2025九上·华蓥期末）如图，小明的爸爸要用一堵长为4m的墙和长为18m的篱笆围一个小型养鸡场，要求：①墙和篱笆全部利用；②围成的养鸡场的面积最大．图1是小明的爸爸把墙体全部利用起来围成的养鸡场，图2是小明把墙体向外用篱笆延伸了一段长，然后用剩余的篱笆围成一个矩形养鸡场．
（1）请计算小明爸爸围成的养鸡场的面积；
（2）请计算小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大多少？
五、推理论证题（9分）
25．（2025九上·华蓥期末）如图，在中，是直径，点C是圆上一点，在的延长线上取一点D，连接，使．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长（结果保留）．
六、拓展探究题（10分）
26．（2025九上·华蓥期末）如图，已经抛物线经过点，，且它的对称轴为．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为15时，求的坐标；
（3）在（2）的条件下，是抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，
∴选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形.
故答案为：A．
【分析】根据中心对称图形的定义，逐一判断即可．
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一次项系数是，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的一般形式即可写出一次项的系数．
3．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由抛物线的解析式可得顶点是.
故答案为：C．
【分析】根据二次函数表达式即可得出顶点坐标．
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵
∴.
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理及，即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、一个三角形的内角和是，这是必然事件，不符合题意；
B、负数大于正数，这是不可能事件，不符合题意；
C、打开电视机，它正在播放动画片，这是随机事件，符合题意；
D、明天太阳从西方升起， 这是不可能事件，不符合题意；
故选：C．
【分析】
必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项得，
配方得，
即
，
∴，，
故答案为：B．
【分析】本题利用配方法求解即可得出．
7．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意得摸到黑球的概率为，
设白球有个，则由题意得，
解得：，
∴白球有12个，
故选：C．
【分析】由题意得摸到黑球的概率为，设白球有个，根据概率公式建立方程，解方程即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设2020年到2022年这两年买书资金的平均增长率为，
由题意得，，
故答案为：A．
【分析】此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程即可.
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段，
∴，
∴为等边三角形，
∴∠AED=60°，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴．
故答案为：C．
【分析】根据将线段绕点顺时针旋转，得到线段可得为等边三角形，进而得出，再根据SAS证明，由全等三角形的性质得，最后根据角的和差得出答案.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用；数形结合
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵，
∴，
∵抛物线 与轴交于负半轴，
∴，
∴，故①结论错误；
∵抛物线对称轴是直线，与轴交于，两点，
∴，
∴，故②结论正确；
根据对称轴为直线，，则，
∴时，，
∴，故③结论错误；
④当时，为最小值，
∴，即（为任意实数），故④结论正确；
综上正确的有：②④；
故答案为：B．
【分析】由抛物线的开口向上判断出a＞0，由抛物线的对称轴结合对称轴直线公式得出b=2a＞0，由抛物线与y轴的负半轴相交判断出c＜0，进而根据有理数的乘法法则可判断出①；根据抛物线的对称性，结合中点坐标公式可得， 从而可判断②；由抛物线的对称性可得 ，结合抛物线的图象得出当x=-2时，y＜0，从而可判断③；根据当x=-1时，函数值y=a-b+c值最小，从而得出当x=m时y=am2+bm+c≥a-b+c，据此可判断④.
11．【答案】0.2
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据表格数据，纸杯的杯口朝上的频率稳定在0.2左右，故抛掷一只纸杯，“杯口朝上”的概率为0.2，
故答案为：0.2．
【分析】根据通过大量实验，某事件发生的频率稳定的数值即为此事件发生的概率解答．
12．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，
∴平移后的抛物线解析式为：，
故答案为：．
【分析】由二次函数图象平移规律：上加下减常数项，左加右减自变量，即可得到答案.
13．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵关于原点对称的点的特征为横纵坐标都互为相反数，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据“关于原点对称的点的特征为横纵坐标都互为相反数”求出，再代入即可．
14．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵ 关于的一元二次方程有两个不等的实数根，
∴，
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】根据题意得到判别式大于0，列不等式，求解即可．
15．【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质；切线长定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵是的两条切线，
∴，平分，
∴，，
∴，即的半径等于，
故答案为：．
【分析】根据切线性质可得，平分，再根据角平分线定义可得，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
16．【答案】π﹣
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接AC，OD，过点O作OE⊥AD，垂足为E，
∵∠ABC＝∠AOC，∠AOC＝2∠ADC，∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，
∵AD＝CD，
∴△ACD是正三角形，
∴∠AOD＝120°，OE＝2×cos60°＝1，AD＝2×sin60°×2＝2，
∴S阴影部分＝S扇形OAD﹣S△AOD＝×π×22﹣×2×1＝π﹣，
故答案为：π﹣．
【分析】由圆内接四边形的对角互补得∠ABC+∠ADC＝180°，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠AOC＝2∠ADC，结合已知可求出∠ADC＝60°，根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△ACD是等边三角形，进而由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AOD，根据等腰三角形的三线合一及余弦函数的定义求出OE的长，由正弦函数的定义求出DE，进而得到AD，最后根据S阴影=S扇形AOD-S△AOD结合扇形面积公式，列式计算即可.
17．【答案】解：∵，
∴，
∵112>0，
∴，
∴．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】先根据的符号判断根的情况，再代入求根公式求解即可．
18．【答案】（1）90
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
∵绕点A逆时针旋转后能够与重合．
∴，，
∵是正方形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；等腰三角形的概念
【解析】【解答】（1）解：∵四边形是正方形，
∴
∵旋转角=.
故答案为：90.
【分析】（1）根据正方形的性质即可得出答案．
（2）根据旋转的性质及正方形的性质即可得出答案.
（1）解：∵四边形是正方形，
∴
∵旋转角的度数等于的度数，即，
故答案为：90；
（2）解：是等腰直角三角形．
∵是正方形，
∴，
∵绕点A逆时针旋转后能够与重合．
∴，，
∴是等腰直角三角形．
19．【答案】（1）解：∵，
∴ 二次函数 的图象的开口向下.
（2）解：∵，
∴对称轴为直线，开口向下，有最高点，即（2，7），
∵，
∴当时，，
当时，，
当时，，
∴当时，的取值范围为．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）根据“若a>0，图象开口向上，若a<0，图象开口向下”即可求解得出答案；
（2）先配方写成的形式，再根据二次函数的图象与性质求解即可．
（1）解：∵，
∴函数的图象的开口向下；
（2）解：
，
由题意知，对称轴为直线，
∵，
∴当时，，
当时，，
当时，，
∴，
∴当时，的取值范围为．
20．【答案】证明：∵在正方形ABCD中，AB＝CD，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴BM＝CM．
【知识点】正方形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心距、弦、弧之间的关系定理，即可得证．
21．【答案】解：如图，
设半径为，则，
∴，
∵，，
∴，
在中，根据勾股定理得：
，即，解得
∴该桨轮船的轮子直径为10m．
【知识点】垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】设半径为，则，可得，根据垂径定理得，再根据勾股定理得，即，解得即可得该桨轮船的轮子直径.
22．【答案】解：设这次共有x名员工去风景区旅游，
，
整理得：，
解得或，
∵，
∴，
∵1000-20（x-25）≥700，
∴x≤40，
∴25∴，
答：该单位这次共有30名员工去风景区旅游．
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】设这次共有名员工去风景区旅游，现根据共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，可列出方程求解，再根据已知条件求出x的范围，进而得出答案.
23．【答案】（1）
（2）解：树状图如下：
由树状图可得共有6种等可能的结果，
而两次抽取的卡片上的实数之积为负数有2种，
则两次抽取的卡片上的实数之积为负数的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）卡片上的实数是正数的概率为.
故答案为：.
【分析】（1） 从盒子中随机抽取一张卡片共有3种等可能的结果，其中卡片上的实数是正数的结果有1种，利用概率公式可得答案；
（2）先画树状图，再利用概率公式可得出答案．
（1）解：，0，2这三个实数中，正数为2，
∴卡片上的实数是正数的概率为，
故答案为：；
（2）解：画树状图为：
∴共有6种等可能的结果，乘积为负数的有2种，即第一次，第二次2和第一次2，第二次，
∴两次抽取的卡片上的实数之积为负数的概率为．
24．【答案】（1）解： 小明爸爸围成的养鸡场的长边为（18-4）÷2=7（m），
4×7=28（m2）
答：小明爸爸围成的养鸡场的面积为.

（2）解：设小明围成的养鸡场的长为，则宽为，围成的养鸡场面积为，，
当x=时，小明围成的养鸡场的面积最大，最大面积为，
∴，
答：小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先求出小明爸爸围成的养鸡场的长边，再根据矩形的面积公式即可得到结论；
（2）设小明围成的养鸡场的长为，则宽为，围成的养鸡场面积为，则小明围成的养鸡场的面积为，再根据二次函数的性质即可得到小明围成的养鸡场的最大面积，最后作差即可.
（1）解：根据题意得，
答：小明爸爸围成的养鸡场的面积为；
（2）解：设小明围成的养鸡场的长为，则宽为，围成的养鸡场面积为，
根据题意得，，
小明围成的养鸡场的最大面积为，
∴，
答：小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大．
25．【答案】（1）证明：连接，则：，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定；弧长的计算；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接，由等边对等角得到，直径所对的圆周角为直角得到，由直角三角形两锐角互余及等量代换得到，从而根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线即可得出结论；
（2）由角的构成得到，进而根据等边对等角得到∠A=30°，由三角形内角和定理得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到DO=2OC，进而由线段和差得出，从而求出半径的长，最后根据弧长公式进行计算即可．
26．【答案】（1）解： 抛物线经过点，
∴设抛物线为：
抛物线过，且它的对称轴为．
解得：
∴抛物线为：
（2）解：如图，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，设 且 记OA与对称轴的交点为Q，
设直线为：
解得：
直线为：
解得：或
∵ 则
（3）解：如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时最大，
设AB为： 代入A、B两点坐标，
解得：
∴AB为：
解得：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形三边关系；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）由于抛物线经过坐标原点故常数项为零，从而可设抛物线为将点A的坐标代入可得关于字母、b的方程，进而根据对称轴直线公式结合对称轴直线为x=2列出关于字母a、b的方程，联立两方程，求解即可得出a、b的值，从而求出平分线的解析式；
（2）根据点的坐标与图形性质设 且 记OA与对称轴的交点为Q，利用待定系数法求出直线OA的解析式， 然后联立直线x=2与直线OA的解析式可求出点Q的坐标，利用列方程，再解方程即可；
（3）如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时最大，利用那个平面内两点间的距离公式可得最小值，再利用待定系数法求解AB的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P的坐标．
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