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四川省眉山市东坡区苏祠共同体期末小练习2024-2025学年七年级上学期12月期末数学试题
1．（2024七上·东坡期末）下面四幅图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、此选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．（2024七上·东坡期末）若是方程的解，则的值是（ ）
A．6 B．－6 C．12 D．－12
【答案】B
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入方程得：，
解得：．
故答案为：B．
【分析】根据方程根的定义“使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根”，将x=-3代入2(x-m)=6，可得关于字母m的方程，求解即可得出m的值.
3．（2024七上·东坡期末）下列等式变形错误的是（　　）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、在的两边同时乘﹣2a，得﹣2ax＝﹣2ay，等式变形正确，故此选项不符合题意；
B、在的两边除以，得，等式变形正确，故此选项不符合题意；
C、若，则，在的两边同时除以，得；若，当，时，，但，等式变形错误，故此选项符合题意；
D、在的两边同时乘，得，等式变形正确，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】 根据等式的性质“等式两边同时乘同一个数或除以同一个不为0的数，等式依然成立”，据此逐一判断得出答案.
4．（2024七上·东坡期末）若，且是任意实数，则下列不等式总成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴当时，，故A不符合题意；
B、∵，∴当时，，故B不符合题意；
C、∵，∴，故C符合题意；
D、∵，∴当时，，故D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】不等式的两边同时减去同一个式子，不等号的方向不改变，据此可判断C选项；不等式的两边同时乘以同一个正数，不等号的方向不改变，据此可判断A、B选项；不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变，据此可判断D选项.
5．（2024七上·东坡期末）现有正三角形、正方形、正六边形、正八边形地砖，若只能选择一种地砖铺设地面，则可供选择的地砖有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：正三角形的每个内角是60°，能整除360°，6个能组成镶嵌；
正方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；
正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能组成镶嵌；
正八边形每个内角是180°-360°÷8=135°，不能整除360°，不能镶嵌；
故若只能选购其中的一种地砖来铺满地面，则可供选择的地砖共有3种.
故答案为：C.
【分析】求出正三角形、正方形、正六边形、正八边形每个内角的度数，然后根据外角和为360°进行判断.
6．（2024七上·东坡期末）下面说法中错误的有（　　）
①如果的三个内角满足，那么一定是直角三角形；
②如果等腰三角形的两边长为3和6，则它的周长为12或15；
③一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°；
④中心对称图形中，过对称中心的任意一条直线将图形分成两个全等图形；
⑤一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角互补．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；中心对称及中心对称图形；多边形的内角和公式；等腰三角形的概念；直角三角形的概念
【解析】【解答】解：①∵，
∴，
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°
∴∠C=90°，
∴△ABC一定是直角三角形，原说法正确；
②如果等腰三角形的两边长为3和6，分两种情况：
当三边长为3，3，6时，由三角形三边关系可知，不能构成三角形，此情况不存在；
当三边长为3，6，6时，周长为则它的周长为15，原说法错误；
③由边形内角和为可知：一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加，原说法正确；
④中心对称图形中，过对称中心的任意一条直线将图形分成两个全等图形，原说法正确；
⑤一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，原说法错误，
综上所述，错误的说法是②和⑤，共2个.
故答案为：C．
【分析】根据三角形内角和定理及给出的角之间的关系可求出最大内角∠C=90°，然后根据直角三角形的定义即可判断①；由等腰三角形两腰相等，及三角形三边关系可判断②；由多边形内角和公式可对③作出判断；由中心对称性质可对④作出判断；由一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，可对⑤作出判断.
7．（2024七上·东坡期末）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：“用一根绳子去量一根木条的长，绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木条，则木条还剩余 1 尺，问木条长多少尺？”现设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，则可列方程组为（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：由题意可得，．
故答案为：D.
【分析】根据用一根绳子去量一根木条的长，绳子还剩余4.5尺可得y-x=4.5；根据将绳子对折再量木条，则木条还剩余1尺可得x-=1，联立可得方程组.
8．（2024七上·东坡期末）如图，将三角形ABC沿BC方向平移3cm得到三角形DEF，若三角形ABC的周长为20cm，则四边形ABFD的周长为（　　）
A．23cm B．26cm C．29cm D．32cm
【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，∴DF=AC，AD=CF=3cm，
∵△ABC的周长为20cm，即AB+BC+AC=20cm，
∴AB+BC+CF+DF+AD=AB+BC+AC+AD+CF=20+3+3=26（cm），
即四边形ABFD的周长为26cm．
故答案为：B．
【分析】先根据平移的性质得DF=AC，AD=CF=3cm，再由三角形周长计算公式及△ABC的周长为20cm得AB+BC+AC=20cm，然后利用等量代换可计算出AB+BC+CF+DF+AD=26cm，最后结合四边形周长计算方法得到四边形ABFD的周长为26cm．
9．（2024七上·东坡期末）如图，点是矩形的边上一点，把沿直线 翻折，得到，若，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴
∵，
∴，
∵点是矩形的边上一点，把沿直线翻折，得到，
∴，
∴
∴
∴，
∴.
故答案为：B．
【分析】根据矩形的四个内角都是直角得，由角的构成可求出，由折叠的性质可得，，根据直角三角形两锐角互余可得∠DEA=60°，再根据平角的定义可求出．
10．（2024七上·东坡期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（　　）
A．360° B．480° C．540° D．720°
【答案】A
【知识点】8字模型；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：连结AD.
∵∠E＋∠F＝∠FAD＋∠EDA，
∴∠FAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＋∠F，
＝∠FAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠FAD＋∠EDA，
＝∠DAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDA，
＝360゜.
故答案为：A.
【分析】连接AD，由“8”字形图可得∠E＋∠F＝∠FAD＋∠EDA，根据角的构成可得∠BAF+∠FAD+∠CDE＋∠EDA=∠BAD＋∠CDA，从而将∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F转化为∠DAB＋∠B＋∠C＋∠CDA，然后根据四边形的内角和为360°可得答案.
11．（2024七上·东坡期末）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（　　）
A．60厘米 B．80厘米 C．100厘米 D．120厘米
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为x厘米，小长方形的宽为y厘米，
根据题意可得：，
解得：，
∴每个小长方形的周长是 （厘米）；
故答案为：D．
【分析】设小长方形的长为x厘米，小长方形的宽为y厘米，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
12．（2024七上·东坡期末）关于x的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则a的取值范围是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，
∴或，
解得或，
故答案为：B．
【分析】先将a作为常数求出不等式的解集，然后根据不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，确定不等式组的解集应该都小于等于-1或大于等于5，从而得出关于字母a的不等式，求解即可.
13．（2024七上·东坡期末）已知方程(m－2)x|m－1|＋4＝7是关于x的一元一次方程，则m＝　 　．
【答案】0
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解： 是关于x的一元一次方程.
解得： .
故答案是：0.
【分析】判断一个方程是否为一元一次方程，须满足四个条件：⑴它是等式；⑵分母中不含有未知数； ⑶未知数最高次项为1；⑷含未知数的项的系数不为0.
14．（2024七上·东坡期末）已知关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：不等式组变形得： ，
由不等式组的解集为，
得到m的范围为，
故答案为：．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法可得答案。
15．（2024七上·东坡期末）某宾馆准备正好用200元购买价格分别为50元和25元的两种换气扇（两种都要买），则可供宾馆选择的方案有　 　种．
【答案】3
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设购买价格为50元的换气扇个，价格为25元的换气扇个，
依题意得：，
化简得：．
又∵均为正整数，
∴或或，
∴可供宾馆选择的方案有3种．
故答案为：3．
【分析】设购买价格为50元的换气扇个，价格为25元的换气扇个，利用总价单价数量，由购买x个单价为50元换气扇的费用+购买y个单价为25元换气扇的费用=200，列出得出关于x、y的二元一次方程，求出该方程的正整数解即可得出答案.
16．（2024七上·东坡期末）如图，将△ABC绕着点B逆时针旋转45°后得到△A'BC'，若∠A＝100°，∠C＝45°，则∠A'BC的度数为 　 　度．
【答案】10
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠A＝100°，∠C＝25°，
∴∠ABC＝180° ∠A ∠C＝180° 100° 45°＝35°，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转45°后得到△A'BC'，
∴∠ABA'＝45°，
∴∠A'BC＝∠ABA' ∠ABC＝45° 35°＝10°．
故答案为：10．
【分析】由三角形内角和定理，求得∠ABC=35°，由旋转的性质得∠ABA'＝45°，然后根据∠A'BC＝∠ABA' ∠ABC可求出答案.
17．（2024七上·东坡期末）关于x的不等式只有3个正整数解，则a的取值范围为。
【答案】解：不等式的解集为：，
∵该不等式只有3个正整数解，
∴这三个正整数解为1，2，3，
∴
解得.
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】首先将a作为参数，根据解一元一次不等式的步骤解该不等式，用含a的式子表示出x，然后根据该不等式只有3个正整数解求出其正整数解为1、2、3，从而即可得出关于字母a的不等式组，求解可得a的取值范围.
18．（2024七上·东坡期末）如图，，分别平分的内角、外角平分外角交的延长线于点．以下结论：①；②；③；④．⑤．其中正确的结论有 　 　个．
【答案】5
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的判定；三角形的一内一外角平分线模型；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】解：①∵分别平分的内角、外角平分外角交的延长线于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，故①正确．
②依题意，，
∴，故②正确，
③∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确，
④∵，
∴
∵，
∴，
∴，故④正确，
⑤过点D作，交的延长线于点H，于点K，于点T，如图所示：
设，
则，
∵平分
∴
∵平分
∴
∴
∴点D在的平分线上，
∴是的平分线，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故结论⑤正确，
故答案为：5.
【分析】①由角平分线定义得，，，根据三角形外角性质得，由等式性质推出，据此可判断①；②由平角定义、角平分线的定义及角的构成可得，即可证明，从而可判断②；③由三角形内角和定理得，再结合①得结论，可得，从而可判断③；④由②的结论及三角形的内角和定理得，结合①的结论，得，从而可判断④ ；⑤过点D作，交BA的延长线于点H，DK⊥AC于点K，于点T，由角平分线上的点到角两边的距离相等得出DH=DK=DT，从而根据角平分线的判定得出是的平分线，根据邻补角及角平分线的定义可推出，由同位角相等两直线平行得，由平行线性质及角平分线定义得，据此可对结论⑤进行判断．
19．（2024七上·东坡期末）解方程（组）：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
方程可化为，
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化1得；
（2）解：，
方程组可化为，
，得，
解得，
把代入②，得，
解得，
∴原方程组的解是．．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先根据分数的性质将分子、分母的小数化为整数，再去分母（两边同时乘以12，右边的1也要乘以12，不能漏乘），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；
（2）先化简方程组得，然后①+②消去y，求出x的值，再将x的值代入②方程求出y的值，从而即可求出方程组的解.
（1）解：，
方程可化为，
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化1得；
（2）解：，
方程组可化为，
，得，
解得，
把代入②，得，
解得，
∴原方程组的解是．．
20．（2024七上·东坡期末）解不等式组：，将其解集在数轴上表示出来，并写出所有的整数解．
【答案】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
不等式组的解集为，
解集在数轴上表示为：
不等式组的整数解为0，1，2，3．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来，最后借助数轴写出解集范围内的整数解即可.
21．（2024七上·东坡期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点与点重合．点，分别是点，的对应点．
（1）请画出平移后的．
（2）连接，，则这两条线段之间的关系是__________．
（3）求的面积．
【答案】（1）解：如图，为所求．
（2），
（3）解：．
的面积为．
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）解：如图，
由平移的性质可得：，．
故答案为：，．
【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，观察A、D两点位置得出平移的方向和距离“向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度”，从而分别作出点B、C向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度后的对应点E、F，然后顺次连接D、E、F即可；
（2）根据平移的性质平移前后对应点所连线段平行或一条直线上且相等，可得结论
（3）利用方格纸的特点及补形法，用△ABC外接正方形的面积减去周围三个直角三角形的面积，列式计算即可.
（1）解：如图，为所求．
（2）解：如图，
由平移的性质可得：，．
故答案为：，．
（3）解：．
的面积为．
22．（2024七上·东坡期末）（1）若在方程2x-y=的解中，x，y互为相反数，求xy的值．
（2）已知是方程组 的解，求m+n的值．
【答案】解：（1）∵x，y互为相反数，
∴y=-x，
将y=-x代入方程2x-y=中，
得2x+x=，
解得x=，
∴y=．
∴xy=；
（2）∵是方程组 的解，
∴
解得
∴m+n=-1．
【知识点】解一元一次方程；二元一次方程的解；求代数式的值-直接代入求值；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【分析】（1）根据x与y互为相反数可得y=-x，然后把y=-x代入原方程得关于字母x的一元一次方程，解该方程求出x的值，从而即可得到y的值，最后根据有理数乘法法则求出x与y的积即可；
（2）组成方程组的两个方程的公共解就是方程组的解，据此把 代入原方程组可得关于m、n的二元一次方程组，求解得出m、n的值，最后再求和即可.
23．（2024七上·东坡期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC， AD、BE相交于点F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．
【答案】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD＝36°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE∠ABC＝18°，
∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°；
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AEF＝∠AFE．
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的概念；余角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）由直角三角形两锐角互余得∠ABD+∠BAD＝90°，再根据角的构成及同角的余角相等得∠ABD＝∠CAD＝36°， 由角平分线的定义得∠ABE∠ABC＝18°，最后再由直角三角形两锐角互余求出∠AEF的度数；
（2）由角平分线的定义可得∠ABE＝∠CBE，再由直角三角形两锐角互余及等角的余角相等得∠AEF＝∠BFD， 最后结合对顶角相等可推出∠AEF＝∠AFE．
24．（2024七上·东坡期末）已知关于的方程满足方程组．
（1）若，求的值；
（2）若均为非负数，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求的最大值和最小值．
【答案】（1）解：，
①②得，
∵，
∴，
解得；
（2）解：，
解得，
∵均为非负数，
∴，
即，
解得；
（3）解：∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
即，
∴的最大值为9，最小值为.
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组；不等式的性质；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将方程组中的两个方程相加可得，从而可得，然后进行计算即可解答；
（2）将m作为常数，根据解二元一次方程组的步骤求解可得，然后根据x、y均为非负数，可列出关于字母m的不等式组，求解即可得出m的取值范围；
（3）将 代入S=2x-3y+m可得，然后根据（2）的结论，利用不等式的性质求出6m-21的范围，即可得出答案．
（1）解：，
①②得，
∵，
∴，
解得；
（2）解：，
解得，
∵均为非负数，
∴，
即，
解得；
（3）解：∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
即，
∴的最大值为9，最小值为．
25．（2024七上·东坡期末）为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元．
（1）求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台；
（2）为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利润=售价﹣进价）
【答案】解：（1）设A种型号家用净水器购进了x台，B种型号家用净水器购进了y台，
由题意得，
解得；
答：A种型号家用净水器购进了100台，B种型号家用净水器购进了60台．
（2）设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，则每台B型号家用净水器的毛利润是2a元，
由题意得100a+60×2a≥11000，
解得a≥50，
150+50=200（元）．
答：每台A型号家用净水器的售价至少是200元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种型号家用净水器购进了x台，B种型号家用净水器购进了y台，根据“ 商场购进了A、B两种型号家用净水器共160台 ”列出方程x+y=160，根据单价乘以数量等于总价及“商场购进x台A型号的饮水机的费用+购进y台B型号饮水机的费用=36000元”列出方程150x+350y=36000，联立两方程，求解即可；
（2）设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，则每台B型号家用净水器的毛利润是2a元，根据每台饮水机的毛利润乘以销售数量等于总利润及销售x台A型号饮水机的毛利润+销售y台B型号饮水机的毛利润不低于11000元，列出不等式，求出最小整数解，进而即可求出每台A型号家用净水器的最低售价.
26．（2024七上·东坡期末）如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角．
（1）猜想并说明∠1＋∠2与∠A、∠C的数量关系；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O ．若∠A＝50°，∠C＝150°，求∠BOD的度数；
（3）如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．请直接写出∠A、∠C与∠O的的数量关系 ．
【答案】解：（1）猜想：，理由如下：
，
又，
；
（2），，
，
又、分别平分与，
，，
，
；
（3）
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的概念；猜想与证明
【解析】【解答】解：（3）、分别是四边形外角、的角平分线．
∴ ∠FDC=2∠FDO，∠CBE=2∠OBE
由（1）可知：
，
，
，
．
答：、与的的数量关系为．
【分析】（1）由平角定义及等式性质得∠1+∠ABC+∠2+∠ADC=360°，由四边形的内角和得∠A+∠C+∠ADC+∠ABC=360°，进而根据等式性质可推出∠1+∠2=∠A+∠C；
（2）由四边形的内角和求出∠ABC+∠ADC=160°，由角平分线的定义及等式性质得∠OBC+∠ODC=(∠ODC+∠OBC)=80°，进而再根据四边形的内角和定理可算出∠BOD的度数；
（3）由角平分线定义得∠FDC=2∠FDO，∠CBE=2∠OBE，由（1）的结论得∠FDO+∠OBE=∠A+∠O，∠FDC+∠EBC=∠A+∠C，从而整体替换即可推出结论.
1 / 1四川省眉山市东坡区苏祠共同体期末小练习2024-2025学年七年级上学期12月期末数学试题
1．（2024七上·东坡期末）下面四幅图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024七上·东坡期末）若是方程的解，则的值是（ ）
A．6 B．－6 C．12 D．－12
3．（2024七上·东坡期末）下列等式变形错误的是（　　）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
4．（2024七上·东坡期末）若，且是任意实数，则下列不等式总成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七上·东坡期末）现有正三角形、正方形、正六边形、正八边形地砖，若只能选择一种地砖铺设地面，则可供选择的地砖有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
6．（2024七上·东坡期末）下面说法中错误的有（　　）
①如果的三个内角满足，那么一定是直角三角形；
②如果等腰三角形的两边长为3和6，则它的周长为12或15；
③一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°；
④中心对称图形中，过对称中心的任意一条直线将图形分成两个全等图形；
⑤一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角互补．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（2024七上·东坡期末）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：“用一根绳子去量一根木条的长，绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木条，则木条还剩余 1 尺，问木条长多少尺？”现设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，则可列方程组为（　　）．
A． B．
C． D．
8．（2024七上·东坡期末）如图，将三角形ABC沿BC方向平移3cm得到三角形DEF，若三角形ABC的周长为20cm，则四边形ABFD的周长为（　　）
A．23cm B．26cm C．29cm D．32cm
9．（2024七上·东坡期末）如图，点是矩形的边上一点，把沿直线 翻折，得到，若，则 （　　）
A． B． C． D．
10．（2024七上·东坡期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（　　）
A．360° B．480° C．540° D．720°
11．（2024七上·东坡期末）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（　　）
A．60厘米 B．80厘米 C．100厘米 D．120厘米
12．（2024七上·东坡期末）关于x的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则a的取值范围是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
13．（2024七上·东坡期末）已知方程(m－2)x|m－1|＋4＝7是关于x的一元一次方程，则m＝　 　．
14．（2024七上·东坡期末）已知关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围为　 　．
15．（2024七上·东坡期末）某宾馆准备正好用200元购买价格分别为50元和25元的两种换气扇（两种都要买），则可供宾馆选择的方案有　 　种．
16．（2024七上·东坡期末）如图，将△ABC绕着点B逆时针旋转45°后得到△A'BC'，若∠A＝100°，∠C＝45°，则∠A'BC的度数为 　 　度．
17．（2024七上·东坡期末）关于x的不等式只有3个正整数解，则a的取值范围为。
18．（2024七上·东坡期末）如图，，分别平分的内角、外角平分外角交的延长线于点．以下结论：①；②；③；④．⑤．其中正确的结论有 　 　个．
19．（2024七上·东坡期末）解方程（组）：
（1）；
（2）．
20．（2024七上·东坡期末）解不等式组：，将其解集在数轴上表示出来，并写出所有的整数解．
21．（2024七上·东坡期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点与点重合．点，分别是点，的对应点．
（1）请画出平移后的．
（2）连接，，则这两条线段之间的关系是__________．
（3）求的面积．
22．（2024七上·东坡期末）（1）若在方程2x-y=的解中，x，y互为相反数，求xy的值．
（2）已知是方程组 的解，求m+n的值．
23．（2024七上·东坡期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC， AD、BE相交于点F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．
24．（2024七上·东坡期末）已知关于的方程满足方程组．
（1）若，求的值；
（2）若均为非负数，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求的最大值和最小值．
25．（2024七上·东坡期末）为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元．
（1）求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台；
（2）为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利润=售价﹣进价）
26．（2024七上·东坡期末）如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角．
（1）猜想并说明∠1＋∠2与∠A、∠C的数量关系；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O ．若∠A＝50°，∠C＝150°，求∠BOD的度数；
（3）如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．请直接写出∠A、∠C与∠O的的数量关系 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、此选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入方程得：，
解得：．
故答案为：B．
【分析】根据方程根的定义“使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根”，将x=-3代入2(x-m)=6，可得关于字母m的方程，求解即可得出m的值.
3．【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、在的两边同时乘﹣2a，得﹣2ax＝﹣2ay，等式变形正确，故此选项不符合题意；
B、在的两边除以，得，等式变形正确，故此选项不符合题意；
C、若，则，在的两边同时除以，得；若，当，时，，但，等式变形错误，故此选项符合题意；
D、在的两边同时乘，得，等式变形正确，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】 根据等式的性质“等式两边同时乘同一个数或除以同一个不为0的数，等式依然成立”，据此逐一判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴当时，，故A不符合题意；
B、∵，∴当时，，故B不符合题意；
C、∵，∴，故C符合题意；
D、∵，∴当时，，故D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】不等式的两边同时减去同一个式子，不等号的方向不改变，据此可判断C选项；不等式的两边同时乘以同一个正数，不等号的方向不改变，据此可判断A、B选项；不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变，据此可判断D选项.
5．【答案】C
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：正三角形的每个内角是60°，能整除360°，6个能组成镶嵌；
正方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；
正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能组成镶嵌；
正八边形每个内角是180°-360°÷8=135°，不能整除360°，不能镶嵌；
故若只能选购其中的一种地砖来铺满地面，则可供选择的地砖共有3种.
故答案为：C.
【分析】求出正三角形、正方形、正六边形、正八边形每个内角的度数，然后根据外角和为360°进行判断.
6．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；中心对称及中心对称图形；多边形的内角和公式；等腰三角形的概念；直角三角形的概念
【解析】【解答】解：①∵，
∴，
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°
∴∠C=90°，
∴△ABC一定是直角三角形，原说法正确；
②如果等腰三角形的两边长为3和6，分两种情况：
当三边长为3，3，6时，由三角形三边关系可知，不能构成三角形，此情况不存在；
当三边长为3，6，6时，周长为则它的周长为15，原说法错误；
③由边形内角和为可知：一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加，原说法正确；
④中心对称图形中，过对称中心的任意一条直线将图形分成两个全等图形，原说法正确；
⑤一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，原说法错误，
综上所述，错误的说法是②和⑤，共2个.
故答案为：C．
【分析】根据三角形内角和定理及给出的角之间的关系可求出最大内角∠C=90°，然后根据直角三角形的定义即可判断①；由等腰三角形两腰相等，及三角形三边关系可判断②；由多边形内角和公式可对③作出判断；由中心对称性质可对④作出判断；由一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，可对⑤作出判断.
7．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：由题意可得，．
故答案为：D.
【分析】根据用一根绳子去量一根木条的长，绳子还剩余4.5尺可得y-x=4.5；根据将绳子对折再量木条，则木条还剩余1尺可得x-=1，联立可得方程组.
8．【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，∴DF=AC，AD=CF=3cm，
∵△ABC的周长为20cm，即AB+BC+AC=20cm，
∴AB+BC+CF+DF+AD=AB+BC+AC+AD+CF=20+3+3=26（cm），
即四边形ABFD的周长为26cm．
故答案为：B．
【分析】先根据平移的性质得DF=AC，AD=CF=3cm，再由三角形周长计算公式及△ABC的周长为20cm得AB+BC+AC=20cm，然后利用等量代换可计算出AB+BC+CF+DF+AD=26cm，最后结合四边形周长计算方法得到四边形ABFD的周长为26cm．
9．【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴
∵，
∴，
∵点是矩形的边上一点，把沿直线翻折，得到，
∴，
∴
∴
∴，
∴.
故答案为：B．
【分析】根据矩形的四个内角都是直角得，由角的构成可求出，由折叠的性质可得，，根据直角三角形两锐角互余可得∠DEA=60°，再根据平角的定义可求出．
10．【答案】A
【知识点】8字模型；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：连结AD.
∵∠E＋∠F＝∠FAD＋∠EDA，
∴∠FAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＋∠F，
＝∠FAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠FAD＋∠EDA，
＝∠DAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDA，
＝360゜.
故答案为：A.
【分析】连接AD，由“8”字形图可得∠E＋∠F＝∠FAD＋∠EDA，根据角的构成可得∠BAF+∠FAD+∠CDE＋∠EDA=∠BAD＋∠CDA，从而将∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F转化为∠DAB＋∠B＋∠C＋∠CDA，然后根据四边形的内角和为360°可得答案.
11．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为x厘米，小长方形的宽为y厘米，
根据题意可得：，
解得：，
∴每个小长方形的周长是 （厘米）；
故答案为：D．
【分析】设小长方形的长为x厘米，小长方形的宽为y厘米，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
12．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，
∴或，
解得或，
故答案为：B．
【分析】先将a作为常数求出不等式的解集，然后根据不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，确定不等式组的解集应该都小于等于-1或大于等于5，从而得出关于字母a的不等式，求解即可.
13．【答案】0
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解： 是关于x的一元一次方程.
解得： .
故答案是：0.
【分析】判断一个方程是否为一元一次方程，须满足四个条件：⑴它是等式；⑵分母中不含有未知数； ⑶未知数最高次项为1；⑷含未知数的项的系数不为0.
14．【答案】
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：不等式组变形得： ，
由不等式组的解集为，
得到m的范围为，
故答案为：．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法可得答案。
15．【答案】3
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设购买价格为50元的换气扇个，价格为25元的换气扇个，
依题意得：，
化简得：．
又∵均为正整数，
∴或或，
∴可供宾馆选择的方案有3种．
故答案为：3．
【分析】设购买价格为50元的换气扇个，价格为25元的换气扇个，利用总价单价数量，由购买x个单价为50元换气扇的费用+购买y个单价为25元换气扇的费用=200，列出得出关于x、y的二元一次方程，求出该方程的正整数解即可得出答案.
16．【答案】10
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠A＝100°，∠C＝25°，
∴∠ABC＝180° ∠A ∠C＝180° 100° 45°＝35°，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转45°后得到△A'BC'，
∴∠ABA'＝45°，
∴∠A'BC＝∠ABA' ∠ABC＝45° 35°＝10°．
故答案为：10．
【分析】由三角形内角和定理，求得∠ABC=35°，由旋转的性质得∠ABA'＝45°，然后根据∠A'BC＝∠ABA' ∠ABC可求出答案.
17．【答案】解：不等式的解集为：，
∵该不等式只有3个正整数解，
∴这三个正整数解为1，2，3，
∴
解得.
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】首先将a作为参数，根据解一元一次不等式的步骤解该不等式，用含a的式子表示出x，然后根据该不等式只有3个正整数解求出其正整数解为1、2、3，从而即可得出关于字母a的不等式组，求解可得a的取值范围.
18．【答案】5
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的判定；三角形的一内一外角平分线模型；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】解：①∵分别平分的内角、外角平分外角交的延长线于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，故①正确．
②依题意，，
∴，故②正确，
③∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确，
④∵，
∴
∵，
∴，
∴，故④正确，
⑤过点D作，交的延长线于点H，于点K，于点T，如图所示：
设，
则，
∵平分
∴
∵平分
∴
∴
∴点D在的平分线上，
∴是的平分线，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故结论⑤正确，
故答案为：5.
【分析】①由角平分线定义得，，，根据三角形外角性质得，由等式性质推出，据此可判断①；②由平角定义、角平分线的定义及角的构成可得，即可证明，从而可判断②；③由三角形内角和定理得，再结合①得结论，可得，从而可判断③；④由②的结论及三角形的内角和定理得，结合①的结论，得，从而可判断④ ；⑤过点D作，交BA的延长线于点H，DK⊥AC于点K，于点T，由角平分线上的点到角两边的距离相等得出DH=DK=DT，从而根据角平分线的判定得出是的平分线，根据邻补角及角平分线的定义可推出，由同位角相等两直线平行得，由平行线性质及角平分线定义得，据此可对结论⑤进行判断．
19．【答案】（1）解：，
方程可化为，
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化1得；
（2）解：，
方程组可化为，
，得，
解得，
把代入②，得，
解得，
∴原方程组的解是．．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先根据分数的性质将分子、分母的小数化为整数，再去分母（两边同时乘以12，右边的1也要乘以12，不能漏乘），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；
（2）先化简方程组得，然后①+②消去y，求出x的值，再将x的值代入②方程求出y的值，从而即可求出方程组的解.
（1）解：，
方程可化为，
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化1得；
（2）解：，
方程组可化为，
，得，
解得，
把代入②，得，
解得，
∴原方程组的解是．．
20．【答案】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
不等式组的解集为，
解集在数轴上表示为：
不等式组的整数解为0，1，2，3．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来，最后借助数轴写出解集范围内的整数解即可.
21．【答案】（1）解：如图，为所求．
（2），
（3）解：．
的面积为．
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）解：如图，
由平移的性质可得：，．
故答案为：，．
【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，观察A、D两点位置得出平移的方向和距离“向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度”，从而分别作出点B、C向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度后的对应点E、F，然后顺次连接D、E、F即可；
（2）根据平移的性质平移前后对应点所连线段平行或一条直线上且相等，可得结论
（3）利用方格纸的特点及补形法，用△ABC外接正方形的面积减去周围三个直角三角形的面积，列式计算即可.
（1）解：如图，为所求．
（2）解：如图，
由平移的性质可得：，．
故答案为：，．
（3）解：．
的面积为．
22．【答案】解：（1）∵x，y互为相反数，
∴y=-x，
将y=-x代入方程2x-y=中，
得2x+x=，
解得x=，
∴y=．
∴xy=；
（2）∵是方程组 的解，
∴
解得
∴m+n=-1．
【知识点】解一元一次方程；二元一次方程的解；求代数式的值-直接代入求值；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【分析】（1）根据x与y互为相反数可得y=-x，然后把y=-x代入原方程得关于字母x的一元一次方程，解该方程求出x的值，从而即可得到y的值，最后根据有理数乘法法则求出x与y的积即可；
（2）组成方程组的两个方程的公共解就是方程组的解，据此把 代入原方程组可得关于m、n的二元一次方程组，求解得出m、n的值，最后再求和即可.
23．【答案】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD＝36°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE∠ABC＝18°，
∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°；
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AEF＝∠AFE．
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的概念；余角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）由直角三角形两锐角互余得∠ABD+∠BAD＝90°，再根据角的构成及同角的余角相等得∠ABD＝∠CAD＝36°， 由角平分线的定义得∠ABE∠ABC＝18°，最后再由直角三角形两锐角互余求出∠AEF的度数；
（2）由角平分线的定义可得∠ABE＝∠CBE，再由直角三角形两锐角互余及等角的余角相等得∠AEF＝∠BFD， 最后结合对顶角相等可推出∠AEF＝∠AFE．
24．【答案】（1）解：，
①②得，
∵，
∴，
解得；
（2）解：，
解得，
∵均为非负数，
∴，
即，
解得；
（3）解：∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
即，
∴的最大值为9，最小值为.
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组；不等式的性质；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将方程组中的两个方程相加可得，从而可得，然后进行计算即可解答；
（2）将m作为常数，根据解二元一次方程组的步骤求解可得，然后根据x、y均为非负数，可列出关于字母m的不等式组，求解即可得出m的取值范围；
（3）将 代入S=2x-3y+m可得，然后根据（2）的结论，利用不等式的性质求出6m-21的范围，即可得出答案．
（1）解：，
①②得，
∵，
∴，
解得；
（2）解：，
解得，
∵均为非负数，
∴，
即，
解得；
（3）解：∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
即，
∴的最大值为9，最小值为．
25．【答案】解：（1）设A种型号家用净水器购进了x台，B种型号家用净水器购进了y台，
由题意得，
解得；
答：A种型号家用净水器购进了100台，B种型号家用净水器购进了60台．
（2）设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，则每台B型号家用净水器的毛利润是2a元，
由题意得100a+60×2a≥11000，
解得a≥50，
150+50=200（元）．
答：每台A型号家用净水器的售价至少是200元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种型号家用净水器购进了x台，B种型号家用净水器购进了y台，根据“ 商场购进了A、B两种型号家用净水器共160台 ”列出方程x+y=160，根据单价乘以数量等于总价及“商场购进x台A型号的饮水机的费用+购进y台B型号饮水机的费用=36000元”列出方程150x+350y=36000，联立两方程，求解即可；
（2）设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，则每台B型号家用净水器的毛利润是2a元，根据每台饮水机的毛利润乘以销售数量等于总利润及销售x台A型号饮水机的毛利润+销售y台B型号饮水机的毛利润不低于11000元，列出不等式，求出最小整数解，进而即可求出每台A型号家用净水器的最低售价.
26．【答案】解：（1）猜想：，理由如下：
，
又，
；
（2），，
，
又、分别平分与，
，，
，
；
（3）
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的概念；猜想与证明
【解析】【解答】解：（3）、分别是四边形外角、的角平分线．
∴ ∠FDC=2∠FDO，∠CBE=2∠OBE
由（1）可知：
，
，
，
．
答：、与的的数量关系为．
【分析】（1）由平角定义及等式性质得∠1+∠ABC+∠2+∠ADC=360°，由四边形的内角和得∠A+∠C+∠ADC+∠ABC=360°，进而根据等式性质可推出∠1+∠2=∠A+∠C；
（2）由四边形的内角和求出∠ABC+∠ADC=160°，由角平分线的定义及等式性质得∠OBC+∠ODC=(∠ODC+∠OBC)=80°，进而再根据四边形的内角和定理可算出∠BOD的度数；
（3）由角平分线定义得∠FDC=2∠FDO，∠CBE=2∠OBE，由（1）的结论得∠FDO+∠OBE=∠A+∠O，∠FDC+∠EBC=∠A+∠C，从而整体替换即可推出结论.
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