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天津市武清区2024-2025学年上学期九年级数学期末试题
1．（2024九上·武清期末）垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，再对各选项逐一判断即可.
2．（2024九上·武清期末）下列事件为随机事件的是（　　）
A．掷一枚质地均匀的正方体骰子，正面向上的点数是
B．画一个三角形，其内角和为
C．抛一枚普通的硬币，正面朝上
D．从装满红球的袋子中摸出一个白球
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、掷一枚质地均匀的正方体骰子，正面向上的点数是，是不可能事件；
B、画一个三角形，其内角和为，是必然事件；
C、抛一枚普通的硬币，正面朝上，是随机事件；
D、从装满红球的袋子中摸出一个白球，是不可能事件；
故选：C．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，根据事件发生的可能性大小逐项进行判断，即可得出答案．
3．（2024九上·武清期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：，
，
四边形内接于，
，
，
故答案为：C．
【分析】先根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出，再根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
4．（2024九上·武清期末）抛物线的顶点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线的解析式为，
抛物线的顶点坐标为，
所以抛物线的顶点坐标在第二象限，
故答案为：B．
【分析】由抛物线解析式的顶点式，即可找出抛物线的顶点坐标进而求解．
5．（2024九上·武清期末）抛物线 向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【解答】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，可知：抛物线 向左平移1个单位，得 ，再向下平移3个单位，得 ，故答案为：B．
【分析】根据抛物线的平移规律左加右减，上加下减，得到平移后的抛物线的解析式.
6．（2024九上·武清期末）如图，是的弦，是的切线，A为切点，经过圆心O，若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是的切线，A为切点，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】
有切线，连半径是解决圆的计算与证明的常用策略，故连接，则由切线的性质可得，再由圆周角定理得，然后利用直角三角形的两个锐角互余求解即可．
7．（2024九上·武清期末）若，是方程的两个根，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个根，
∴，．
故选：D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：若，为方程的两个根，则，，据此得出，，逐项进行判断，即可得出答案.
8．（2024九上·武清期末）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵，，为二次函数的图象上的三点，，
∴，
故选：B．
【分析】根据二次函数性质即可求出答案.
9．（2024九上·武清期末）如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，则的周长为（　　）
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，
∴，，，
∵，
∴，
∴的周长，
故选：A．
【分析】根据切线长定理得到，，，根据得出，再求出的周长，即可得出答案．
10．（2024九上·武清期末）如图，若点D是等边三角形的边上任意一点，将绕点A顺时针旋转得到，连接，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，，
由旋转的性质可知，，，
，
是等边三角形，
若，则，
而的度数无法确定，则无法确定，即A选项错误；
是等边三角形，
，
若，则，即是中点，
而点D是等边三角形的边上任意一点，即B选项错误；
是等边三角形，
，即C选项正确；
是等边三角形，
，
若，则，
，
而的度数无法确定，则无法确定，即D选项错误；
故选：C.
【分析】由旋转的性质，证明是等边三角形，再根据角度之间的数量关系逐一判断即可．
11．（2024九上·武清期末）如图，的内接正六边形的边长为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接、、，设与交于点，
多边形是正六边形，
，
，
、是等边三角形，
∴，BF=2HF，，
∴，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】连接OF、OA、OB，设OA与BF交于点H，根据正六边形的中心角计算方法得出，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形推出△AOF、△AOB是等边三角形，由等腰三角形的三线合一得，，由等边三角形的性质得到，由三角形的内角和定理求出，根据含30°角直角三角形的性质得到，根据勾股定理求出，即可求解．
12．（2024九上·武清期末）从地面竖直向上抛一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系为，其中．有下列结论：①当时，小球运动到最大高度；②当小球的运动高度为时，运动时间为或；③小球从抛出到落地需要．其中，正确的结论个数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：，
当时，小球运动到最大高度，最大高度为，故①错误；
当小球的运动高度为时，有，
解得：或，故②正确；
当时，，
解得：或，
小球从抛出到落地需要，故③正确；
∴正确的结论个数是2个，
故选：C．
【分析】把抛物线的解析式化为顶点式，得出当时，小球运动到最大高度，即可判断①错误；
当小球的运动高度为时，列出方程，解方程得出或，即可判断②正确；
当时，得出方程，解方程得出或，从而得出小球从抛出到落地需要，即可判断③正确；即可得出答案.
13．（2024九上·武清期末）在一个不透明袋子中，装有个红球和个白球，它们除颜色外其余都相同．从中随机摸出一个球，则摸到红球的概率为　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：摸到红球的概率为，
故答案为：．
【分析】根据题意，从袋子中随机抽取一个小球共有5种等可能的结果数，其中能抽到红色小球的等可能结果数只有3个，从而根据概率公式计算即可.
14．（2024九上·武清期末）若点与点关于原点对称，则　 　．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：点与点关于原点对称，∴与4互为相反数，-3与互为相反数，
，，
，
故答案为：．
【分析】根据点与点关于原点对称，得与4互为相反数，-3与互为相反数，进而得、的值即可求解．
15．（2024九上·武清期末）关于 x 的一元二次方程有一根为，则 n 的值为　 　．
【答案】4
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程有一根为，
∴，
解得，
故答案为：4．
【分析】使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的根，据此把x=-1代入原方程可得关于字母n的方程，解关于n的一元一次方程即可．
16．（2024九上·武清期末）一圆锥的底面半径为1cm，母线长2cm，则该圆锥的侧面积为　 　cm2．
【答案】2π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的侧面积=2π×1×2÷2=2π．
故答案为：2π．
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
17．（2024九上·武清期末）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在边上的点E处，点B落在点D处，连接．
（1）的长为　 　；
（2）的长为　 　．
【答案】10；
【知识点】旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）在中，，，，
，
由旋转的性质得：AD=AB=10，
故填：10；
（2）由旋转的性质可知，，，，，
，，
，
故填：．
【分析】（1）由勾股定理可得，由旋转的性质，得出，即可得出答案；
（2）由旋转的性质得出，，，，，从而得出，，根据勾股定理得出，即可得出答案．

18．（2024九上·武清期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点，，均在格点上．
（1）线段的长等于　 　；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）　 　．
【答案】；分别取格点、，再连接、分别与圆交于点、，最后连接、交于点，点即为所求
【知识点】圆周角定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（1），
故填：；
（2）分别取格点、，再连接、分别与圆交于点、，连接、交于点，点即为所求．
故填：分别取格点、，连接、分别与圆交于点、，再连接、相交于点，点即为所求．
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用直径所对的圆周角是直角，分别取格点、，再连接、分别与圆交于点、，得到，最后连接、相交于点，即可得出点即为所求．
19．（2024九上·武清期末）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
∴，，，
，
∴，
∴，
（2）解：，
，
或，
∴，
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）用公式法先求出根的判别式，再代入求根公式求解即可；
（2）用十字相乘法将方程先变形成，再解两个一元一次方程即可．
（1）解：
，，，
，
．
，；
（2）解：，
．
或．
，．
20．（2024九上·武清期末）如图，内接于，是的直径，，垂足为D．
（1）求证：；
（2）已知的半径为5，，求长．
【答案】（1）证明：∵是的直径，， 垂足为D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：∵的半径为5，，
∴，
∵，
∴∠BDO=90°，
∴，
∵是的直径，， 垂足为D，
∴
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】（1）由垂径定理，得到，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形的性质得到，，即可得出；
（2）先求出的长，根据勾股定理求出的长，再根据垂径定理得到，即可得出答案．
（1）证明：∵是的直径，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵的半径为5，，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，，
∴．
21．（2024九上·武清期末）在不透明的盒子里装有红，黄，蓝三种颜色的卡片，这些卡片除颜色外其余都相同，其中红色卡片2张，黄色卡片1张，蓝色卡片1张．
（1）从中任意抽取一张卡片，求抽到蓝色卡片的概率；
（2）第一次随机抽取一张卡片（不放回），第二次再随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽到的都是红色卡片的概率．
【答案】（1）解：共有4个张卡片，从中任意抽取一张卡片，抽到蓝色卡片的概率为；
（2）解：列表如下，
红1 红2 黄 蓝
红1
红1，红2 红1，黄 红1，蓝
红2 红2，红1
红2，黄 红2，蓝
黄 黄，红1 黄，红2
黄，蓝
蓝 蓝，红1 蓝，红2 蓝，黄
共有12种等可能结果，其中两次抽到的都是红色卡片，有2种，
∴两次抽到的都是红色卡片的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列表展示所有12种等可能的结果数，再找出抽到的都是红色卡片的结果数，然后根据概率公式求解即可.
（1）解：共有4个张卡片，从中任意抽取一张卡片，求抽到蓝色卡片的概率；
故答案为：．
（2）解：画树状图如图，
红1 红2 黄 蓝
红1
红1，红2 红1，黄 红1，蓝
红2 红2，红1
红2，黄 红2，蓝
黄 黄，红1 黄，红2
黄，蓝
蓝 蓝，红1 蓝，红2 蓝，黄
共有12种等可能结果，其中两次抽到的都是红色卡片，有2种，
∴两次抽到的都是红色卡片．
22．（2024九上·武清期末）已知的顶点都在上，，过圆上的点D作的切线交的延长线于点P．
（1）如图①，若为直径，D为的中点，连接，求和的大小；
（2）如图②，若为直径，，于点E，交于点F，，求线段的长．
【答案】（1）解：为直径，
，
，
，
D为的中点，
，
如图，连接，
是的切线，切点为，
，
，
，
（2）解：如图，连接，，
为直径，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线，切点为，
，
，，
在中，，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出，从而得出，再根据圆周角定理即可得出可；连接，根据圆的切线的性质得出，根据圆周角定理，得出，即可求出的大小；
（2）连接，，证明是等边三角形，得到，根据圆的切线的性质和平行线的性质得出得到，，再结合锐角三角函数的定义得出DF的长，即可得出答案.
（1）解：为直径，
，
，
，
D为的中点，
，
如图，连接，
是的切线，切点为，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，，
为直径，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线，切点为，
，
，，
在中，．
23．（2024九上·武清期末）两年前生产1t产品的成本是7000元，随着生产技术的进步，现在生产1t这种产品的成本为5670元．求这种产品成本的年平均下降率．
（1）设这种产品成本的年平均下降率为，一年前这种产品的成本为________元（用含的代数式表示），现在这种产品的成本为________元（用含的代数式表示）；
（2）列出方程并完成本题解答．
【答案】（1）；
（2）解：依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
答：这种产品成本的年平均下降率为
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：（1）∵两年前的成本为7000元， 成本的年平均下降率为，
∴一年前这种产品的成本为，现在这种产品的成本为；
故填：；；
【分析】（1）根据“上一年的成本减去成本所降价格是下一年的成本”，据此即可得出答案；
（2）根据题意列出方程，解方程取其符合题意的值，即可得出答案．
（1）解：两年前的成本为7000元，一年前这种产品的成本为，现在这种产品的成本为；
故答案为：；；
（2）解：依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：这种产品成本的年平均下降率为．
24．（2024九上·武清期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形的顶点的坐标为，点在第一象限，点在轴正半轴上．
（1）如图①，点的坐标为________，点的坐标为________；
（2）将正方形绕点逆时针旋转，得到正方形，，，的对应点分别为，，．旋转角为．的延长线交轴于点，与轴交于点．
①如图②，当时，点的坐标为________，点的坐标为________；
②如图③，在旋转过程中，连接，设，的面积为，求关于的函数表达式，并直接写出的取值范围．
【答案】（1），
（2）解：①；；
②由旋转的性质得：，，
在和中，
，
，
，
是等腰直角三角形，
在中，由勾股定理得：，
，
当点与重合时，，
又，
，
旋转角为，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）正方形的顶点的坐标为，点在第一象限，点在轴正半轴上，
，，
故填：；；
（2）①过点作轴于点，
由旋转可得：，，
，，
，，即，
，
，，
故填：；；
【分析】（1）根据题意和正方形的性质求解即可；
（2）①过点作轴于点，由旋转可得：，，得到，，再根据勾股定理求出，，即可求解；
②由旋转的性质得：，，证明，得到，得出是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，进而得到，当点与重合时，，
结合，可得，结合旋转角为，得到，即可求解．
（1）解：正方形的顶点的坐标为，点在第一象限，点在轴正半轴上，
，，
故答案为：，；
（2）①过点作轴于点，
由旋转可得：，，
，，
，，即，
，
，，
故答案为：，；
②根据题意，由旋转的性质得：，
在和中，
，
，
，
是等腰直角三角形，
在中，由勾股定理得：，
，
当点与重合时，，
又，
，
旋转角为，
，
．
25．（2024九上·武清期末）在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）若，．
①求该抛物线的解析式；
②设D为线段上的点，且满足，求点D的坐标．
（2）若，P是直线与抛物线的交点，若M、N（点M在点N的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为，求a的值．
【答案】（1）解：①抛物线与x轴交于点，，
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
②抛物线与y轴交于点C，
令，则，
，
，
，，
，
，，
如图，过点作轴，则，
，
，
，
点D的坐标为．
（2）解：，
抛物线，对称轴为直线，
令，则，
，
如图，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在上取点，使得，连接，则，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
即当点在上时，有最小值为，
的最小值为，
，
在中，，，
，
整理得：，
解得：或（舍），
即a的值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；将军饮马模型-两线两点（两动两定）；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）①将点，代入抛物线，可得关于字母a、b的二元一次方程组，求解得出a、b的值，即可得出抛物线的解析式；
②令所求抛物线解析式中的x=0算出对应的y的值，可求出，由等边对等角及三角形的内角和定理得，由勾股定理求出，再结合已知条件，得到；过点作轴，由等腰直角三角形性质及勾股定理求出，则，即可得到点D的坐标；
（2）由已知及对称轴直线公式可得对称轴为直线，根据点的坐标与图形性质可得；作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在上取点，使得，连接，则；由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形MNPQ是平行四边形，由平行四边形的对边相等得到MQ=PN，即当点M在C'Q上时，CM+MN+PN有最小值为C'Q+1，再利用勾股定理列方程求解即可．
（1）解：①抛物线与x轴交于点，，
，解得：，
该抛物线的解析式为；
②抛物线与y轴交于点C，
令，则，
，
，
，，
，
，，
如图，过点作轴，则，
，
，
，
点D的坐标为．
（2）解：，
抛物线，对称轴为直线，
令，则，
，
如图，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在上取点，使得，连接，则，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
即当点在上时，有最小值为，
的最小值为，
，
在中，，，
，
整理得：，
解得：或（舍），
即a的值为．
1 / 1天津市武清区2024-2025学年上学期九年级数学期末试题
1．（2024九上·武清期末）垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·武清期末）下列事件为随机事件的是（　　）
A．掷一枚质地均匀的正方体骰子，正面向上的点数是
B．画一个三角形，其内角和为
C．抛一枚普通的硬币，正面朝上
D．从装满红球的袋子中摸出一个白球
3．（2024九上·武清期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九上·武清期末）抛物线的顶点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2024九上·武清期末）抛物线 向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024九上·武清期末）如图，是的弦，是的切线，A为切点，经过圆心O，若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九上·武清期末）若，是方程的两个根，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九上·武清期末）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九上·武清期末）如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，则的周长为（　　）
A．16 B．14 C．12 D．10
10．（2024九上·武清期末）如图，若点D是等边三角形的边上任意一点，将绕点A顺时针旋转得到，连接，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2024九上·武清期末）如图，的内接正六边形的边长为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
12．（2024九上·武清期末）从地面竖直向上抛一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系为，其中．有下列结论：①当时，小球运动到最大高度；②当小球的运动高度为时，运动时间为或；③小球从抛出到落地需要．其中，正确的结论个数是（　　）
A． B． C． D．
13．（2024九上·武清期末）在一个不透明袋子中，装有个红球和个白球，它们除颜色外其余都相同．从中随机摸出一个球，则摸到红球的概率为　 　．
14．（2024九上·武清期末）若点与点关于原点对称，则　 　．
15．（2024九上·武清期末）关于 x 的一元二次方程有一根为，则 n 的值为　 　．
16．（2024九上·武清期末）一圆锥的底面半径为1cm，母线长2cm，则该圆锥的侧面积为　 　cm2．
17．（2024九上·武清期末）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在边上的点E处，点B落在点D处，连接．
（1）的长为　 　；
（2）的长为　 　．
18．（2024九上·武清期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点，，均在格点上．
（1）线段的长等于　 　；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）　 　．
19．（2024九上·武清期末）解方程：
（1）；
（2）．
20．（2024九上·武清期末）如图，内接于，是的直径，，垂足为D．
（1）求证：；
（2）已知的半径为5，，求长．
21．（2024九上·武清期末）在不透明的盒子里装有红，黄，蓝三种颜色的卡片，这些卡片除颜色外其余都相同，其中红色卡片2张，黄色卡片1张，蓝色卡片1张．
（1）从中任意抽取一张卡片，求抽到蓝色卡片的概率；
（2）第一次随机抽取一张卡片（不放回），第二次再随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽到的都是红色卡片的概率．
22．（2024九上·武清期末）已知的顶点都在上，，过圆上的点D作的切线交的延长线于点P．
（1）如图①，若为直径，D为的中点，连接，求和的大小；
（2）如图②，若为直径，，于点E，交于点F，，求线段的长．
23．（2024九上·武清期末）两年前生产1t产品的成本是7000元，随着生产技术的进步，现在生产1t这种产品的成本为5670元．求这种产品成本的年平均下降率．
（1）设这种产品成本的年平均下降率为，一年前这种产品的成本为________元（用含的代数式表示），现在这种产品的成本为________元（用含的代数式表示）；
（2）列出方程并完成本题解答．
24．（2024九上·武清期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形的顶点的坐标为，点在第一象限，点在轴正半轴上．
（1）如图①，点的坐标为________，点的坐标为________；
（2）将正方形绕点逆时针旋转，得到正方形，，，的对应点分别为，，．旋转角为．的延长线交轴于点，与轴交于点．
①如图②，当时，点的坐标为________，点的坐标为________；
②如图③，在旋转过程中，连接，设，的面积为，求关于的函数表达式，并直接写出的取值范围．
25．（2024九上·武清期末）在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）若，．
①求该抛物线的解析式；
②设D为线段上的点，且满足，求点D的坐标．
（2）若，P是直线与抛物线的交点，若M、N（点M在点N的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为，求a的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，再对各选项逐一判断即可.
2．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、掷一枚质地均匀的正方体骰子，正面向上的点数是，是不可能事件；
B、画一个三角形，其内角和为，是必然事件；
C、抛一枚普通的硬币，正面朝上，是随机事件；
D、从装满红球的袋子中摸出一个白球，是不可能事件；
故选：C．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，根据事件发生的可能性大小逐项进行判断，即可得出答案．
3．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：，
，
四边形内接于，
，
，
故答案为：C．
【分析】先根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出，再根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
4．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线的解析式为，
抛物线的顶点坐标为，
所以抛物线的顶点坐标在第二象限，
故答案为：B．
【分析】由抛物线解析式的顶点式，即可找出抛物线的顶点坐标进而求解．
5．【答案】B
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【解答】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，可知：抛物线 向左平移1个单位，得 ，再向下平移3个单位，得 ，故答案为：B．
【分析】根据抛物线的平移规律左加右减，上加下减，得到平移后的抛物线的解析式.
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是的切线，A为切点，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】
有切线，连半径是解决圆的计算与证明的常用策略，故连接，则由切线的性质可得，再由圆周角定理得，然后利用直角三角形的两个锐角互余求解即可．
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个根，
∴，．
故选：D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：若，为方程的两个根，则，，据此得出，，逐项进行判断，即可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵，，为二次函数的图象上的三点，，
∴，
故选：B．
【分析】根据二次函数性质即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，
∴，，，
∵，
∴，
∴的周长，
故选：A．
【分析】根据切线长定理得到，，，根据得出，再求出的周长，即可得出答案．
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，，
由旋转的性质可知，，，
，
是等边三角形，
若，则，
而的度数无法确定，则无法确定，即A选项错误；
是等边三角形，
，
若，则，即是中点，
而点D是等边三角形的边上任意一点，即B选项错误；
是等边三角形，
，即C选项正确；
是等边三角形，
，
若，则，
，
而的度数无法确定，则无法确定，即D选项错误；
故选：C.
【分析】由旋转的性质，证明是等边三角形，再根据角度之间的数量关系逐一判断即可．
11．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接、、，设与交于点，
多边形是正六边形，
，
，
、是等边三角形，
∴，BF=2HF，，
∴，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】连接OF、OA、OB，设OA与BF交于点H，根据正六边形的中心角计算方法得出，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形推出△AOF、△AOB是等边三角形，由等腰三角形的三线合一得，，由等边三角形的性质得到，由三角形的内角和定理求出，根据含30°角直角三角形的性质得到，根据勾股定理求出，即可求解．
12．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：，
当时，小球运动到最大高度，最大高度为，故①错误；
当小球的运动高度为时，有，
解得：或，故②正确；
当时，，
解得：或，
小球从抛出到落地需要，故③正确；
∴正确的结论个数是2个，
故选：C．
【分析】把抛物线的解析式化为顶点式，得出当时，小球运动到最大高度，即可判断①错误；
当小球的运动高度为时，列出方程，解方程得出或，即可判断②正确；
当时，得出方程，解方程得出或，从而得出小球从抛出到落地需要，即可判断③正确；即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：摸到红球的概率为，
故答案为：．
【分析】根据题意，从袋子中随机抽取一个小球共有5种等可能的结果数，其中能抽到红色小球的等可能结果数只有3个，从而根据概率公式计算即可.
14．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：点与点关于原点对称，∴与4互为相反数，-3与互为相反数，
，，
，
故答案为：．
【分析】根据点与点关于原点对称，得与4互为相反数，-3与互为相反数，进而得、的值即可求解．
15．【答案】4
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程有一根为，
∴，
解得，
故答案为：4．
【分析】使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的根，据此把x=-1代入原方程可得关于字母n的方程，解关于n的一元一次方程即可．
16．【答案】2π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的侧面积=2π×1×2÷2=2π．
故答案为：2π．
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
17．【答案】10；
【知识点】旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）在中，，，，
，
由旋转的性质得：AD=AB=10，
故填：10；
（2）由旋转的性质可知，，，，，
，，
，
故填：．
【分析】（1）由勾股定理可得，由旋转的性质，得出，即可得出答案；
（2）由旋转的性质得出，，，，，从而得出，，根据勾股定理得出，即可得出答案．

18．【答案】；分别取格点、，再连接、分别与圆交于点、，最后连接、交于点，点即为所求
【知识点】圆周角定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（1），
故填：；
（2）分别取格点、，再连接、分别与圆交于点、，连接、交于点，点即为所求．
故填：分别取格点、，连接、分别与圆交于点、，再连接、相交于点，点即为所求．
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用直径所对的圆周角是直角，分别取格点、，再连接、分别与圆交于点、，得到，最后连接、相交于点，即可得出点即为所求．
19．【答案】（1）解：，
∴，，，
，
∴，
∴，
（2）解：，
，
或，
∴，
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）用公式法先求出根的判别式，再代入求根公式求解即可；
（2）用十字相乘法将方程先变形成，再解两个一元一次方程即可．
（1）解：
，，，
，
．
，；
（2）解：，
．
或．
，．
20．【答案】（1）证明：∵是的直径，， 垂足为D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：∵的半径为5，，
∴，
∵，
∴∠BDO=90°，
∴，
∵是的直径，， 垂足为D，
∴
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】（1）由垂径定理，得到，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形的性质得到，，即可得出；
（2）先求出的长，根据勾股定理求出的长，再根据垂径定理得到，即可得出答案．
（1）证明：∵是的直径，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵的半径为5，，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，，
∴．
21．【答案】（1）解：共有4个张卡片，从中任意抽取一张卡片，抽到蓝色卡片的概率为；
（2）解：列表如下，
红1 红2 黄 蓝
红1
红1，红2 红1，黄 红1，蓝
红2 红2，红1
红2，黄 红2，蓝
黄 黄，红1 黄，红2
黄，蓝
蓝 蓝，红1 蓝，红2 蓝，黄
共有12种等可能结果，其中两次抽到的都是红色卡片，有2种，
∴两次抽到的都是红色卡片的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列表展示所有12种等可能的结果数，再找出抽到的都是红色卡片的结果数，然后根据概率公式求解即可.
（1）解：共有4个张卡片，从中任意抽取一张卡片，求抽到蓝色卡片的概率；
故答案为：．
（2）解：画树状图如图，
红1 红2 黄 蓝
红1
红1，红2 红1，黄 红1，蓝
红2 红2，红1
红2，黄 红2，蓝
黄 黄，红1 黄，红2
黄，蓝
蓝 蓝，红1 蓝，红2 蓝，黄
共有12种等可能结果，其中两次抽到的都是红色卡片，有2种，
∴两次抽到的都是红色卡片．
22．【答案】（1）解：为直径，
，
，
，
D为的中点，
，
如图，连接，
是的切线，切点为，
，
，
，
（2）解：如图，连接，，
为直径，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线，切点为，
，
，，
在中，，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出，从而得出，再根据圆周角定理即可得出可；连接，根据圆的切线的性质得出，根据圆周角定理，得出，即可求出的大小；
（2）连接，，证明是等边三角形，得到，根据圆的切线的性质和平行线的性质得出得到，，再结合锐角三角函数的定义得出DF的长，即可得出答案.
（1）解：为直径，
，
，
，
D为的中点，
，
如图，连接，
是的切线，切点为，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，，
为直径，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线，切点为，
，
，，
在中，．
23．【答案】（1）；
（2）解：依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
答：这种产品成本的年平均下降率为
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：（1）∵两年前的成本为7000元， 成本的年平均下降率为，
∴一年前这种产品的成本为，现在这种产品的成本为；
故填：；；
【分析】（1）根据“上一年的成本减去成本所降价格是下一年的成本”，据此即可得出答案；
（2）根据题意列出方程，解方程取其符合题意的值，即可得出答案．
（1）解：两年前的成本为7000元，一年前这种产品的成本为，现在这种产品的成本为；
故答案为：；；
（2）解：依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：这种产品成本的年平均下降率为．
24．【答案】（1），
（2）解：①；；
②由旋转的性质得：，，
在和中，
，
，
，
是等腰直角三角形，
在中，由勾股定理得：，
，
当点与重合时，，
又，
，
旋转角为，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）正方形的顶点的坐标为，点在第一象限，点在轴正半轴上，
，，
故填：；；
（2）①过点作轴于点，
由旋转可得：，，
，，
，，即，
，
，，
故填：；；
【分析】（1）根据题意和正方形的性质求解即可；
（2）①过点作轴于点，由旋转可得：，，得到，，再根据勾股定理求出，，即可求解；
②由旋转的性质得：，，证明，得到，得出是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，进而得到，当点与重合时，，
结合，可得，结合旋转角为，得到，即可求解．
（1）解：正方形的顶点的坐标为，点在第一象限，点在轴正半轴上，
，，
故答案为：，；
（2）①过点作轴于点，
由旋转可得：，，
，，
，，即，
，
，，
故答案为：，；
②根据题意，由旋转的性质得：，
在和中，
，
，
，
是等腰直角三角形，
在中，由勾股定理得：，
，
当点与重合时，，
又，
，
旋转角为，
，
．
25．【答案】（1）解：①抛物线与x轴交于点，，
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
②抛物线与y轴交于点C，
令，则，
，
，
，，
，
，，
如图，过点作轴，则，
，
，
，
点D的坐标为．
（2）解：，
抛物线，对称轴为直线，
令，则，
，
如图，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在上取点，使得，连接，则，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
即当点在上时，有最小值为，
的最小值为，
，
在中，，，
，
整理得：，
解得：或（舍），
即a的值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；将军饮马模型-两线两点（两动两定）；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）①将点，代入抛物线，可得关于字母a、b的二元一次方程组，求解得出a、b的值，即可得出抛物线的解析式；
②令所求抛物线解析式中的x=0算出对应的y的值，可求出，由等边对等角及三角形的内角和定理得，由勾股定理求出，再结合已知条件，得到；过点作轴，由等腰直角三角形性质及勾股定理求出，则，即可得到点D的坐标；
（2）由已知及对称轴直线公式可得对称轴为直线，根据点的坐标与图形性质可得；作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在上取点，使得，连接，则；由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形MNPQ是平行四边形，由平行四边形的对边相等得到MQ=PN，即当点M在C'Q上时，CM+MN+PN有最小值为C'Q+1，再利用勾股定理列方程求解即可．
（1）解：①抛物线与x轴交于点，，
，解得：，
该抛物线的解析式为；
②抛物线与y轴交于点C，
令，则，
，
，
，，
，
，，
如图，过点作轴，则，
，
，
，
点D的坐标为．
（2）解：，
抛物线，对称轴为直线，
令，则，
，
如图，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在上取点，使得，连接，则，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
即当点在上时，有最小值为，
的最小值为，
，
在中，，，
，
整理得：，
解得：或（舍），
即a的值为．
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