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浙江省杭州市景苑中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试卷
1．（2025八上·杭州月考）下列四个汉字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八上·杭州月考）下列各组线段中，能构成三角形的是（　　）
A．1，1，3 B．2，3，5 C．3，4，9 D．5，6，10
3．（2025八上·杭州月考）等腰三角形有两条边长为5cm和9cm，则该三角形的周长是（　　）
A．18cm B．19cm C．23cm D．19cm或23cm
4．（2025八上·杭州月考）下列四个图中，正确画出△ABC中BC边上的高是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八上·杭州月考） 判断命题“如果n<1，那么 是假命题，只需举出一个反例，反例中的n可以为(　　)
A．-2 B． C．1 D．2
6．（2025八上·杭州月考）如图，点E、H、G、N共线，∠E=∠N，EF=NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是(　　)
A．EH=NG B．∠F=∠M C．FG=MH D．FG∥HM
7．（2025八上·杭州月考）如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，要证明∠CAD=∠DAB成立的全等三角形的判定依据是(　　)
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
8．（2025八上·杭州月考）如图，已知在△ABC中，AB=BC，点D在AC上且BD⊥BC. 设∠BDC=a，∠ABD=β，则(　　)
A． B．2a-β=180° C．3a-β=90° D．
9．（2025八上·杭州月考）已知△ABC的三边长分别为3，4，5，△DEF的三边长分别为3，3x-2，2x+1，若这两个三角形全等，则x的值为(　　)
A．2 B．2或
C． 或3/2 D．2或 或
10．（2025八上·杭州月考）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：
②AE+BF=EF；③当 时，E，F分别是AC，BC的中点；
④若OD=a，CE+CF=2b，则.
其中正确的是(　　)
A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④
11．（2025八上·杭州月考）把命题“两直线平行，同位角相等”改写成“如果···那么···”的形式是：　 　.
12．（2025八上·杭州月考）如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝7cm，BD＝4cm，则点D到AB的距离为　 　cm.
13．（2025八上·杭州月考）如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AD的中点，若△ABC的面积为24，则△CDE的面积为　 　.
14．（2025八上·杭州月考）如图. 点B，C，D，E，F在∠A的两边上，AB=BC=CD=DE=EF，∠A=18°，则∠DEF=　 　.
15．（2025八上·杭州月考）如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，AB⊥AC，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是　 　．
16．（2025八上·杭州月考）如图，在△ABC中，AB=AC，D为线段BC上一动点(不与点B、C重合)，连接AD，作∠DAE=∠BAC，且AD=AE，连接CE.
⑴如图1，当CE∥AB时，若∠BAD=35°，则∠DEC=　 　度；
⑵如图2，设 ，在点D运动过程中，当DE⊥BC时，. 　 　.(用含α的式子表示)
17．（2025八上·杭州月考）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是△ABC的角平分线. 已知∠BAC=80°，∠C=30°. 求∠B和∠DAE的大小.
18．（2025八上·杭州月考）如图，点B、E、F、D在同一直线上， 求证：AF∥CE.
19．（2025八上·杭州月考）如图，在 中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N.
（1）若 求 的度数.
（2）连接NB，若 的周长是14cm. 求BC的长.
20．（2025八上·杭州月考）一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少 求这个三角形的顶角的度数.
21．（2025八上·杭州月考）如图，在正方形网格上有一个
（1）画 关于直线MN的对称图形(不写画法)；
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求 的面积.
（3）在直线MN上求作一点P，使PA+PB最小.
22．（2025八上·杭州月考）如图，在 和 中，( AC，BD交于点P.
（1）求证：AC=BD.
（2）若 求∠APD的度数.
23．（2025八上·杭州月考）如图，在 中， 点D在BC边上， 关于AD所在的直线对称， 的角平分线交BC边于点 G，连接FG.
（1）求 的度数.
（2）设 当θ为何值时， 为等腰三角形
24．（2025八上·杭州月考）已知：OP平分 的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于F，射线CE交射线OB于G.
（1）如图①，若( 请直接写出线段CF与CG的数量关系：　 　；
（2）如图②，若 ，试判断线段CF与线段CG的数量关系并加以证明；
（3）若 当 满足什么条件时，你在(2)中得到的结论仍然成立，请直接写出 满足的条件.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、汉字“中”是轴对称图形，
∴此选项符合题意；
B、汉字“国”不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
C、汉字“加”不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
D、汉字“油”不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形的概念"平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形"并结合各选项即可判断求解．
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵1+1=2＜3，∴1，1，3不能组成三角形，A不符合题意；
B、∵2+3=5=5，∴2，3，5不能组成三角形，B不符合题意；
C、∵3+4=7＜9，∴3，4，9不能组成三角形，C不符合题意；
D、∵5+6=11＞10，∴5，6，10能组成三角形，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得出最小边之和大于第三边，对各项进行判断即可。
3．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当等腰三角形的腰长为5cm，底边长为9cm时，
∵5+5＞9，9﹣5＜5，
∴能够成三角形，
∴三角形的周长＝5+5+9＝19cm；
当等腰三角形的腰长为9cm，底边长为5cm时，
∵9+5＞9，9﹣5＜5，
∴能够成三角形，
∴三角形的周长＝9+9+5＝23cm；
∴该三角形的周长是19cm或23cm．
故答案为：D．
【分析】由题意可分两种情况求解：①当等腰三角形的腰长为5cm，底边长为9cm时，由三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可知5，5，9能构成三角形，则三角形的周长=三边之和可求解；②当等腰三角形的腰长为9cm，底边长为5cm时，由三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可知5，9，9能构成三角形，则三角形的周长=三边之和可求解.
4．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
故答案为：B.
【分析】根据三角形高线的定义，过点A作AD⊥BC于点D，画出图形，即可得出答案.
5．【答案】A
【知识点】有理数的乘方法则；举反例判断命题真假；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：当n=-2时，n<-1.
n2-1=(-2)2-1=3<0.
∴命题“如果n<-1，那么n2-1>0”是假命题，
故选：A.
【分析】根据有理数的大小比较法则、有理数的乘方法则计算，判断即可.
6．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在△EFG与△NMH中，已知，∠E=∠N，EF=NM.
A.由EH=NG可得EG=NH，所以添加条件EH=NG，根据SAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
B.添加条件∠F=∠M，根据ASA可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
C.添加条件FG=MH，不能证明△EFG≌△NMH，故本选项符合题意；
D.由FG//HM可得∠EGF=∠NHM，所以添加条件FG//HM.根据AAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】明确已知条件：△EFG与△NMH中，∠E=∠N，EF=NM，再结合各选项条件判断是否符合SAS、ASA、AAS、SSS等判定定理.
7．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：AF=AE，FD=ED.
在△AFD与△AED中，
∴△AFD≌△AED(SSS)
∴∠CAD=∠DAB
因此全等三角形的判定依据是SSS，
故答案为：A.
【分析】根据尺规作图可得AF=AE，FD=ED，再根据公共边AD，可利用“SSS”证明△AFD≌△AED，即可得到答案.
8．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵α-∠A=β，α+∠C=90°
∴2α=90°+β，
∴2α-β=90°
故选：D.
【分析】由AB=BC得出∠A=∠C，根据三角形外角的性质和直角三角形锐角互余，即可得到α-∠A=β，α+∠C=90°，两式相加即可得出2α=90°+β，进而即可得到答案.
9．【答案】A
【知识点】全等三角形中对应边的关系；分类讨论
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边长分别为3，4，5，△DEF的三边长分别为3，3x-2，2x+1，这两个三角形全等.
∴①3x-2=4，解得x=2.
当x=2时，2x+1=5，
∴两个三角形全等；
②当3x-2=5，解得
把x=代入2x+1≠4，
∴3x-2与5不是对应边，两个三角形不全等，
综上所述，若这两个三角形全等，则x的值为2.
故答案为：A.
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论.
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；三角形的双内角平分线模型；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O
∴，，
∴∠AOB=180°-∠OBA-∠OAB
，①正确；
∵EF//AB，
∴∠FOB=∠ABO，
又∠ABO=∠FBO，
∴∠FOB=∠FBO.
∴FO=FB.
同理EO=EA，
∴AE+BF=EF，②正确；
当∠C=90°时，AE+BF=EF∴E，F不是AC，BC的中点，③错误；
作OH⊥AC于H，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点 O在∠C的平分线上
∴OD=OH
∴， ④正确；
故选：C.
【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；根据角平分线的性质判断④.
11．【答案】如果两直线平行，那么同位角相等
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：“两直线平行，同位角相等”的条件是：“两直线平行”，结论为：“同位角相等”.
写成“如果...，那么...”的形式为：“如果两直线平行，那么同位角相等”，
故答案为：如果两直线平行，那么同位角相等.
【分析】一个命题都能写成“如果...那么...”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论.
12．【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H，
∵BC＝7cm，BD＝4cm，
∴CD＝7-4＝3cm，
又∵AD是∠BAC的角平分线，∠C＝90°，DH⊥AB，
∴DH＝CD＝3cm，
∴点D到AB的距离为3cm.
故答案为：3．
【分析】过点D作DH⊥AB于H，由已知条件求出CD的长，再根据角平分线的性质定理可得DH＝CD，即可求解.
13．【答案】6
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵D、E分别是 BC，AD 的中点，
∴，，
∴.
故答案为：6.
【分析】根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：△ACD是△CDE的面积的2倍，△ABC的面积是△ACD的面积的2倍，依此即可求解.
14．【答案】36°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=BC，
∴∠ACB=∠A=18°，
∴∠CBD=∠A+∠ACB=36°，
∵BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD=36°，
∴∠DCE=∠A+∠CDA=18°+36°=54°，
∵CD=DE，
∴∠CED=∠DCE=54°，
∴∠EDF=∠A+∠AED=18°+54°=72°
∵DE=EF，
∴∠EFD=∠EDF=72°
∴∠DEF=180°-72°-72°=36°
故答案为：36°.
【分析】由AB=BC=CD=DE=EF，根据等腰三角形的性质，即可得∠ACB=∠A，∠CDB=∠CBD，∠CED=∠DCE，∠EFD=∠EDF，又由三角形外角的性质与∠A=18°，即可求得∠DEF的度数.
15．【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
设AC交EF于点D，
∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，
∴△ABP周长的最小值是5+7=12．
故答案为：12．
【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，于是根据△ABP周长的最小值=AB+AC即可求解．
16．【答案】25；α-90°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【解答】解：(1)∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD.
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴∠B=∠ACE.
∵CE//AB，
∴∠BAC=∠ACE
∴∠BAC=∠B，
∴AC=BC，
∴△DAE是等边三角形
∴∠AED=60°
∴∠DEC=180°-35°-60°-60°=25°
故答案为：25.
(2)∵∠BAC=α，AB=AC
∴
∵∠DAE=∠BAC
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴
∴，
∵DE⊥BC.
∴∠CDE=90°
∴∠DEC=90°-∠DCE=α-90°
故答案为：α-90°.
【分析】(1)根据已知条件得到∠BAD=∠CAE，根据全等三角形的性质得到∠B=∠ACE，根据平行线的性质推出∠BAC=∠ACE，推出△ABC是等边三角形，得到∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°，求得△DAE是等边三角形，于是得到结论；
(2)根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得，根据三角形的内角和即可得到结论.
17．【答案】解：在△ABC中，∠BAC=80°，∠C=30°
∴∠B=180°-80°-30°=70°
∵AE是角平分线
∴∠BAE=∠CAE=40°
∵AD是高线
∴∠ADB=90°
∴∠BAD=90°-∠B=20°
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-20°=20°
答：∠B=70°，∠DAE=20°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【分析】先根据三角形的内角和定理得到∠B的度数，然后根据角平分线的定义得到∠CAE的度数，然后根据垂直得到∠CAD的度数，然后根据∠DAE=∠CAD-∠CAE解题即可.
18．【答案】证明：∵AB∥CD
∴∠B=∠D
∵BE=DF
∴BE+EF=DF+EF，即BF=DE
在△ABF和△CDE中
∴△ABF≌△CDE（SAS）
∴∠AFB=∠CED
∴AF∥CE
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】根据AB//CD，可以得到∠B=∠D，再根据BE=DF，可以得到BF=DE，然后即可证明△EDC和△FBA全等，得到∠DEC=∠BFA，从而可以证明AF//CE.
19．【答案】（1）解：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=70°
∴∠BAC=180°-2×70°=40°
∵MN是AB的垂直平分线
∴∠AMN=90°
∴∠MNA=180°-∠AMN-∠A=50°
（2）解：∵MN是AB的垂直平分线
∴AN=BN
∴△NBC的周长=BN+NC+BC=AN+NC+BC=AC+BC
∵AB=AC=8cm，△NBC的周长=14cm
∴BC=14-8=6cm
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】(1)根据AB=AC，可得∠ACB=∠ABC=70°，再运用三角形内角和定理求得∠BAC=180°-2×70°=40°，再运用三角形内角和定理进行相关计算即可得到结果；
(2)根据线段垂直平分线的性质定理，得AN=BN，进行相关计算即可得到结果.
20．【答案】解：设一个内角为x°，则另一个内角为(2x-30)°
分三种情况：
① 当x为顶角时，底角为(2x-30)°
x+2(2x-30)=180
x+4x-60=180
5x=240
x=48
∴顶角为48°
② 当(2x-30)为顶角时，底角为x°
2x+(2x-30)=180
4x-30=180
4x=210
x=52.5
∴顶角为2×52.5-30=75°
③ 当两个内角均为底角时，x=2x-30
x=30
∴顶角为180-2×30=120°
答：顶角的度数为48°或75°或120°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；分类讨论
【解析】【分析】这两个角可能都是底角，也可能一个是底角，一个是顶角，应分开来讨论.
21．【答案】（1）解：如图，△ A'B'C"即为所求；
（2）解：△ABC的面积.
（3）解：如图，点P即为所求.
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】(1)先找出点A、点B、点C关于直线MN的对称点，再依次连接对称点即可；
(2)先求出△ABC所在的长方形的面积，再求出长方形里其他三个直角三角形的面积，用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可；
(3)先找出点A关于直线MN的对称点A'，连接BA'与直线MN相交于点P，即PA+PB的最小值就是线段BA'的长度.
22．【答案】（1）证明：∵∠AOB=∠COD
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD
在△AOC和△BOD中
∴△AOC≌△BOD（SAS）
∴AC=BD
（2）解：∵△AOC≌△BOD
∴∠OAC=∠OBD
∵∠BQP=∠AQO
∴180°-∠AQO-∠OAC=180°-∠BQP-∠OBD.
∴∠AOB=∠BPQ=70°，
∴∠APD=180°-∠BPQ=110°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质；邻补角；手拉手全等模型
【解析】【分析】(1)根据已知先证明∠AOC=∠BOD，再由SAS证明△AOC≌△BOD，进而即可得出结论；
(2)由△AOC≌△BOD，可得∠OAC=∠OBD，再根据对顶角性质，三角形内角和定理，邻补角定义，即可求解.
23．【答案】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=130°
∴∠B=∠C=25°
∵△ABD、△AFD关于AD对称
∴∠BAD=∠FAD=θ，AB=AF=AC
∴∠FAC=130°-2θ
∵AG平分∠FAC
∴∠FAG=∠CAG=(130°-2θ)=65°-θ
在△AFG和△ACG中
AF=AC，∠FAG=∠CAG，AG=AG
∴△AFG≌△ACG（SAS）
∴∠AFG=∠C=25°
∵∠AFD=∠B=25°
∴∠DFG=∠AFD+∠AFG=50°
（2）解：分三种情况：
① 当DF=DG时，∠DFG=∠DGF=50°
∴∠FDG=180°-50°-50°=80°
∵∠ADF=∠ADB=180°-θ-25°=155°-θ
∴∠ADG=∠ADF-∠FDG=155°-θ-80°
∵∠ADG=∠B+∠BAD=25°+θ
∴155°-θ-80°=25°+θ
解之：θ=25°；
② 当DF=FG时，∠FDG=∠FGD
∵∠DFG=
∴∠ADG=∠ADF-∠FDG=155°-θ-65°
155°-θ-65°=25°+θ
解之：θ=32.5°；
③ 当DG=FG时，∠FDG=∠DFG=50°
∴∠ADG=155°-θ-50°
∴155°-θ-50°=25°+θ
θ=40°；
∴当θ=32.5°°或25°或40°时，△DFG为等腰三角形
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；轴对称的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)先利用等腰三角形性质求出底角，再根据轴对称性质得到相关角和边的关系，通过全等三角形证明得出角相等，进而求出∠DFG的度数；
(2)，根据等腰三角形的三种不同情况，① 当DF=DG时；② 当DF=FG时；③ 当DG=FG时；方便表示出∠ADG的度数，利用三角形外角的性质表示出∠ADG的度数，分别可得到关于θ的方程，解方程可得到符合题意的θ的值.
24．【答案】（1）CF=CG
（2）解：CF=CG
证明：过C作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N
∵OP平分∠AOB
∴CM=CN
∵∠AOB=120°
∴∠AOC=∠BOC=60°
∵∠DCE=∠AOC=60°
∴∠MCF+∠FCN=∠DCE=60°，∠N CG+∠FCN=∠AOB=120°-∠DCE=60°
∴∠MCF=∠NCG
在△CMF和△CNG中
∠CMF=∠CNG=90°，CM=CN，∠MCF=∠NCG
∴△CMF≌△CNG（ASA）
∴CF=CG
（3）∠DCE=180°-α
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：(1)∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，
∴CF=CG.
故答案为：CF=CG.
(3)当∠DCE=180°-α时，在(2)中得到的结论仍然成立.
理由：如图②中，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N.
∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，ON⊥OB，
∴CM=CN，
∵∠DCE+∠AOB=180°，∠MCN+∠AOB=180°，
∴∠MCN=∠DCE，
∴∠MCF=∠GCN
在△CMF和△CNG中
∴△CMF≌△CNG.
∴CF=CG.
故答案为：∠DCE=180°-α.
【分析】(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断；
(2)结论：CF=CG，如图②中，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，只要证明△CMF≌△CNG即可解决问题，
(3)当∠DCE=180°-α时，在(2)中得到的结论仍然成立，如图②中，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明方法类似(2).
1 / 1浙江省杭州市景苑中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试卷
1．（2025八上·杭州月考）下列四个汉字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、汉字“中”是轴对称图形，
∴此选项符合题意；
B、汉字“国”不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
C、汉字“加”不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
D、汉字“油”不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形的概念"平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形"并结合各选项即可判断求解．
2．（2025八上·杭州月考）下列各组线段中，能构成三角形的是（　　）
A．1，1，3 B．2，3，5 C．3，4，9 D．5，6，10
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵1+1=2＜3，∴1，1，3不能组成三角形，A不符合题意；
B、∵2+3=5=5，∴2，3，5不能组成三角形，B不符合题意；
C、∵3+4=7＜9，∴3，4，9不能组成三角形，C不符合题意；
D、∵5+6=11＞10，∴5，6，10能组成三角形，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得出最小边之和大于第三边，对各项进行判断即可。
3．（2025八上·杭州月考）等腰三角形有两条边长为5cm和9cm，则该三角形的周长是（　　）
A．18cm B．19cm C．23cm D．19cm或23cm
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当等腰三角形的腰长为5cm，底边长为9cm时，
∵5+5＞9，9﹣5＜5，
∴能够成三角形，
∴三角形的周长＝5+5+9＝19cm；
当等腰三角形的腰长为9cm，底边长为5cm时，
∵9+5＞9，9﹣5＜5，
∴能够成三角形，
∴三角形的周长＝9+9+5＝23cm；
∴该三角形的周长是19cm或23cm．
故答案为：D．
【分析】由题意可分两种情况求解：①当等腰三角形的腰长为5cm，底边长为9cm时，由三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可知5，5，9能构成三角形，则三角形的周长=三边之和可求解；②当等腰三角形的腰长为9cm，底边长为5cm时，由三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可知5，9，9能构成三角形，则三角形的周长=三边之和可求解.
4．（2025八上·杭州月考）下列四个图中，正确画出△ABC中BC边上的高是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
故答案为：B.
【分析】根据三角形高线的定义，过点A作AD⊥BC于点D，画出图形，即可得出答案.
5．（2025八上·杭州月考） 判断命题“如果n<1，那么 是假命题，只需举出一个反例，反例中的n可以为(　　)
A．-2 B． C．1 D．2
【答案】A
【知识点】有理数的乘方法则；举反例判断命题真假；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：当n=-2时，n<-1.
n2-1=(-2)2-1=3<0.
∴命题“如果n<-1，那么n2-1>0”是假命题，
故选：A.
【分析】根据有理数的大小比较法则、有理数的乘方法则计算，判断即可.
6．（2025八上·杭州月考）如图，点E、H、G、N共线，∠E=∠N，EF=NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是(　　)
A．EH=NG B．∠F=∠M C．FG=MH D．FG∥HM
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在△EFG与△NMH中，已知，∠E=∠N，EF=NM.
A.由EH=NG可得EG=NH，所以添加条件EH=NG，根据SAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
B.添加条件∠F=∠M，根据ASA可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
C.添加条件FG=MH，不能证明△EFG≌△NMH，故本选项符合题意；
D.由FG//HM可得∠EGF=∠NHM，所以添加条件FG//HM.根据AAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】明确已知条件：△EFG与△NMH中，∠E=∠N，EF=NM，再结合各选项条件判断是否符合SAS、ASA、AAS、SSS等判定定理.
7．（2025八上·杭州月考）如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，要证明∠CAD=∠DAB成立的全等三角形的判定依据是(　　)
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：AF=AE，FD=ED.
在△AFD与△AED中，
∴△AFD≌△AED(SSS)
∴∠CAD=∠DAB
因此全等三角形的判定依据是SSS，
故答案为：A.
【分析】根据尺规作图可得AF=AE，FD=ED，再根据公共边AD，可利用“SSS”证明△AFD≌△AED，即可得到答案.
8．（2025八上·杭州月考）如图，已知在△ABC中，AB=BC，点D在AC上且BD⊥BC. 设∠BDC=a，∠ABD=β，则(　　)
A． B．2a-β=180° C．3a-β=90° D．
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵α-∠A=β，α+∠C=90°
∴2α=90°+β，
∴2α-β=90°
故选：D.
【分析】由AB=BC得出∠A=∠C，根据三角形外角的性质和直角三角形锐角互余，即可得到α-∠A=β，α+∠C=90°，两式相加即可得出2α=90°+β，进而即可得到答案.
9．（2025八上·杭州月考）已知△ABC的三边长分别为3，4，5，△DEF的三边长分别为3，3x-2，2x+1，若这两个三角形全等，则x的值为(　　)
A．2 B．2或
C． 或3/2 D．2或 或
【答案】A
【知识点】全等三角形中对应边的关系；分类讨论
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边长分别为3，4，5，△DEF的三边长分别为3，3x-2，2x+1，这两个三角形全等.
∴①3x-2=4，解得x=2.
当x=2时，2x+1=5，
∴两个三角形全等；
②当3x-2=5，解得
把x=代入2x+1≠4，
∴3x-2与5不是对应边，两个三角形不全等，
综上所述，若这两个三角形全等，则x的值为2.
故答案为：A.
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论.
10．（2025八上·杭州月考）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：
②AE+BF=EF；③当 时，E，F分别是AC，BC的中点；
④若OD=a，CE+CF=2b，则.
其中正确的是(　　)
A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；三角形的双内角平分线模型；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O
∴，，
∴∠AOB=180°-∠OBA-∠OAB
，①正确；
∵EF//AB，
∴∠FOB=∠ABO，
又∠ABO=∠FBO，
∴∠FOB=∠FBO.
∴FO=FB.
同理EO=EA，
∴AE+BF=EF，②正确；
当∠C=90°时，AE+BF=EF∴E，F不是AC，BC的中点，③错误；
作OH⊥AC于H，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点 O在∠C的平分线上
∴OD=OH
∴， ④正确；
故选：C.
【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；根据角平分线的性质判断④.
11．（2025八上·杭州月考）把命题“两直线平行，同位角相等”改写成“如果···那么···”的形式是：　 　.
【答案】如果两直线平行，那么同位角相等
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：“两直线平行，同位角相等”的条件是：“两直线平行”，结论为：“同位角相等”.
写成“如果...，那么...”的形式为：“如果两直线平行，那么同位角相等”，
故答案为：如果两直线平行，那么同位角相等.
【分析】一个命题都能写成“如果...那么...”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论.
12．（2025八上·杭州月考）如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝7cm，BD＝4cm，则点D到AB的距离为　 　cm.
【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H，
∵BC＝7cm，BD＝4cm，
∴CD＝7-4＝3cm，
又∵AD是∠BAC的角平分线，∠C＝90°，DH⊥AB，
∴DH＝CD＝3cm，
∴点D到AB的距离为3cm.
故答案为：3．
【分析】过点D作DH⊥AB于H，由已知条件求出CD的长，再根据角平分线的性质定理可得DH＝CD，即可求解.
13．（2025八上·杭州月考）如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AD的中点，若△ABC的面积为24，则△CDE的面积为　 　.
【答案】6
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵D、E分别是 BC，AD 的中点，
∴，，
∴.
故答案为：6.
【分析】根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：△ACD是△CDE的面积的2倍，△ABC的面积是△ACD的面积的2倍，依此即可求解.
14．（2025八上·杭州月考）如图. 点B，C，D，E，F在∠A的两边上，AB=BC=CD=DE=EF，∠A=18°，则∠DEF=　 　.
【答案】36°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=BC，
∴∠ACB=∠A=18°，
∴∠CBD=∠A+∠ACB=36°，
∵BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD=36°，
∴∠DCE=∠A+∠CDA=18°+36°=54°，
∵CD=DE，
∴∠CED=∠DCE=54°，
∴∠EDF=∠A+∠AED=18°+54°=72°
∵DE=EF，
∴∠EFD=∠EDF=72°
∴∠DEF=180°-72°-72°=36°
故答案为：36°.
【分析】由AB=BC=CD=DE=EF，根据等腰三角形的性质，即可得∠ACB=∠A，∠CDB=∠CBD，∠CED=∠DCE，∠EFD=∠EDF，又由三角形外角的性质与∠A=18°，即可求得∠DEF的度数.
15．（2025八上·杭州月考）如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，AB⊥AC，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是　 　．
【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
设AC交EF于点D，
∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，
∴△ABP周长的最小值是5+7=12．
故答案为：12．
【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，于是根据△ABP周长的最小值=AB+AC即可求解．
16．（2025八上·杭州月考）如图，在△ABC中，AB=AC，D为线段BC上一动点(不与点B、C重合)，连接AD，作∠DAE=∠BAC，且AD=AE，连接CE.
⑴如图1，当CE∥AB时，若∠BAD=35°，则∠DEC=　 　度；
⑵如图2，设 ，在点D运动过程中，当DE⊥BC时，. 　 　.(用含α的式子表示)
【答案】25；α-90°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【解答】解：(1)∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD.
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴∠B=∠ACE.
∵CE//AB，
∴∠BAC=∠ACE
∴∠BAC=∠B，
∴AC=BC，
∴△DAE是等边三角形
∴∠AED=60°
∴∠DEC=180°-35°-60°-60°=25°
故答案为：25.
(2)∵∠BAC=α，AB=AC
∴
∵∠DAE=∠BAC
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴
∴，
∵DE⊥BC.
∴∠CDE=90°
∴∠DEC=90°-∠DCE=α-90°
故答案为：α-90°.
【分析】(1)根据已知条件得到∠BAD=∠CAE，根据全等三角形的性质得到∠B=∠ACE，根据平行线的性质推出∠BAC=∠ACE，推出△ABC是等边三角形，得到∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°，求得△DAE是等边三角形，于是得到结论；
(2)根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得，根据三角形的内角和即可得到结论.
17．（2025八上·杭州月考）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是△ABC的角平分线. 已知∠BAC=80°，∠C=30°. 求∠B和∠DAE的大小.
【答案】解：在△ABC中，∠BAC=80°，∠C=30°
∴∠B=180°-80°-30°=70°
∵AE是角平分线
∴∠BAE=∠CAE=40°
∵AD是高线
∴∠ADB=90°
∴∠BAD=90°-∠B=20°
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-20°=20°
答：∠B=70°，∠DAE=20°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【分析】先根据三角形的内角和定理得到∠B的度数，然后根据角平分线的定义得到∠CAE的度数，然后根据垂直得到∠CAD的度数，然后根据∠DAE=∠CAD-∠CAE解题即可.
18．（2025八上·杭州月考）如图，点B、E、F、D在同一直线上， 求证：AF∥CE.
【答案】证明：∵AB∥CD
∴∠B=∠D
∵BE=DF
∴BE+EF=DF+EF，即BF=DE
在△ABF和△CDE中
∴△ABF≌△CDE（SAS）
∴∠AFB=∠CED
∴AF∥CE
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】根据AB//CD，可以得到∠B=∠D，再根据BE=DF，可以得到BF=DE，然后即可证明△EDC和△FBA全等，得到∠DEC=∠BFA，从而可以证明AF//CE.
19．（2025八上·杭州月考）如图，在 中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N.
（1）若 求 的度数.
（2）连接NB，若 的周长是14cm. 求BC的长.
【答案】（1）解：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=70°
∴∠BAC=180°-2×70°=40°
∵MN是AB的垂直平分线
∴∠AMN=90°
∴∠MNA=180°-∠AMN-∠A=50°
（2）解：∵MN是AB的垂直平分线
∴AN=BN
∴△NBC的周长=BN+NC+BC=AN+NC+BC=AC+BC
∵AB=AC=8cm，△NBC的周长=14cm
∴BC=14-8=6cm
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】(1)根据AB=AC，可得∠ACB=∠ABC=70°，再运用三角形内角和定理求得∠BAC=180°-2×70°=40°，再运用三角形内角和定理进行相关计算即可得到结果；
(2)根据线段垂直平分线的性质定理，得AN=BN，进行相关计算即可得到结果.
20．（2025八上·杭州月考）一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少 求这个三角形的顶角的度数.
【答案】解：设一个内角为x°，则另一个内角为(2x-30)°
分三种情况：
① 当x为顶角时，底角为(2x-30)°
x+2(2x-30)=180
x+4x-60=180
5x=240
x=48
∴顶角为48°
② 当(2x-30)为顶角时，底角为x°
2x+(2x-30)=180
4x-30=180
4x=210
x=52.5
∴顶角为2×52.5-30=75°
③ 当两个内角均为底角时，x=2x-30
x=30
∴顶角为180-2×30=120°
答：顶角的度数为48°或75°或120°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；分类讨论
【解析】【分析】这两个角可能都是底角，也可能一个是底角，一个是顶角，应分开来讨论.
21．（2025八上·杭州月考）如图，在正方形网格上有一个
（1）画 关于直线MN的对称图形(不写画法)；
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求 的面积.
（3）在直线MN上求作一点P，使PA+PB最小.
【答案】（1）解：如图，△ A'B'C"即为所求；
（2）解：△ABC的面积.
（3）解：如图，点P即为所求.
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】(1)先找出点A、点B、点C关于直线MN的对称点，再依次连接对称点即可；
(2)先求出△ABC所在的长方形的面积，再求出长方形里其他三个直角三角形的面积，用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可；
(3)先找出点A关于直线MN的对称点A'，连接BA'与直线MN相交于点P，即PA+PB的最小值就是线段BA'的长度.
22．（2025八上·杭州月考）如图，在 和 中，( AC，BD交于点P.
（1）求证：AC=BD.
（2）若 求∠APD的度数.
【答案】（1）证明：∵∠AOB=∠COD
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD
在△AOC和△BOD中
∴△AOC≌△BOD（SAS）
∴AC=BD
（2）解：∵△AOC≌△BOD
∴∠OAC=∠OBD
∵∠BQP=∠AQO
∴180°-∠AQO-∠OAC=180°-∠BQP-∠OBD.
∴∠AOB=∠BPQ=70°，
∴∠APD=180°-∠BPQ=110°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质；邻补角；手拉手全等模型
【解析】【分析】(1)根据已知先证明∠AOC=∠BOD，再由SAS证明△AOC≌△BOD，进而即可得出结论；
(2)由△AOC≌△BOD，可得∠OAC=∠OBD，再根据对顶角性质，三角形内角和定理，邻补角定义，即可求解.
23．（2025八上·杭州月考）如图，在 中， 点D在BC边上， 关于AD所在的直线对称， 的角平分线交BC边于点 G，连接FG.
（1）求 的度数.
（2）设 当θ为何值时， 为等腰三角形
【答案】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=130°
∴∠B=∠C=25°
∵△ABD、△AFD关于AD对称
∴∠BAD=∠FAD=θ，AB=AF=AC
∴∠FAC=130°-2θ
∵AG平分∠FAC
∴∠FAG=∠CAG=(130°-2θ)=65°-θ
在△AFG和△ACG中
AF=AC，∠FAG=∠CAG，AG=AG
∴△AFG≌△ACG（SAS）
∴∠AFG=∠C=25°
∵∠AFD=∠B=25°
∴∠DFG=∠AFD+∠AFG=50°
（2）解：分三种情况：
① 当DF=DG时，∠DFG=∠DGF=50°
∴∠FDG=180°-50°-50°=80°
∵∠ADF=∠ADB=180°-θ-25°=155°-θ
∴∠ADG=∠ADF-∠FDG=155°-θ-80°
∵∠ADG=∠B+∠BAD=25°+θ
∴155°-θ-80°=25°+θ
解之：θ=25°；
② 当DF=FG时，∠FDG=∠FGD
∵∠DFG=
∴∠ADG=∠ADF-∠FDG=155°-θ-65°
155°-θ-65°=25°+θ
解之：θ=32.5°；
③ 当DG=FG时，∠FDG=∠DFG=50°
∴∠ADG=155°-θ-50°
∴155°-θ-50°=25°+θ
θ=40°；
∴当θ=32.5°°或25°或40°时，△DFG为等腰三角形
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；轴对称的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)先利用等腰三角形性质求出底角，再根据轴对称性质得到相关角和边的关系，通过全等三角形证明得出角相等，进而求出∠DFG的度数；
(2)，根据等腰三角形的三种不同情况，① 当DF=DG时；② 当DF=FG时；③ 当DG=FG时；方便表示出∠ADG的度数，利用三角形外角的性质表示出∠ADG的度数，分别可得到关于θ的方程，解方程可得到符合题意的θ的值.
24．（2025八上·杭州月考）已知：OP平分 的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于F，射线CE交射线OB于G.
（1）如图①，若( 请直接写出线段CF与CG的数量关系：　 　；
（2）如图②，若 ，试判断线段CF与线段CG的数量关系并加以证明；
（3）若 当 满足什么条件时，你在(2)中得到的结论仍然成立，请直接写出 满足的条件.
【答案】（1）CF=CG
（2）解：CF=CG
证明：过C作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N
∵OP平分∠AOB
∴CM=CN
∵∠AOB=120°
∴∠AOC=∠BOC=60°
∵∠DCE=∠AOC=60°
∴∠MCF+∠FCN=∠DCE=60°，∠N CG+∠FCN=∠AOB=120°-∠DCE=60°
∴∠MCF=∠NCG
在△CMF和△CNG中
∠CMF=∠CNG=90°，CM=CN，∠MCF=∠NCG
∴△CMF≌△CNG（ASA）
∴CF=CG
（3）∠DCE=180°-α
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：(1)∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，
∴CF=CG.
故答案为：CF=CG.
(3)当∠DCE=180°-α时，在(2)中得到的结论仍然成立.
理由：如图②中，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N.
∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，ON⊥OB，
∴CM=CN，
∵∠DCE+∠AOB=180°，∠MCN+∠AOB=180°，
∴∠MCN=∠DCE，
∴∠MCF=∠GCN
在△CMF和△CNG中
∴△CMF≌△CNG.
∴CF=CG.
故答案为：∠DCE=180°-α.
【分析】(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断；
(2)结论：CF=CG，如图②中，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，只要证明△CMF≌△CNG即可解决问题，
(3)当∠DCE=180°-α时，在(2)中得到的结论仍然成立，如图②中，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明方法类似(2).
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