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四川省眉山市东坡区思蒙初中共同体学校2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷
1．（2025八上·东坡期中）16的算术平方根是（　　）
A．4 B． C． D．196
2．（2025八上·东坡期中）在2，0，，，，0.3030030003…（相邻两个3之间0的个数逐次加1）中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2025八上·东坡期中）下列计算正确的是（　　）
A．3a2+2a2＝5a4 B．a6÷a3＝a2
C．（a﹣b）2＝a2+2ab﹣b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
4．（2025八上·东坡期中）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”．如图，的值接近黄金比，则下列估算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八上·东坡期中）下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025八上·东坡期中）若是完全平方式，则m的值是（　　）
A．13或 B．13 C． D．6或
7．（2025八上·东坡期中）若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7
8．（2025八上·东坡期中）如图，四边形ABCD与CGEF是两个边长分别为m，n的正方形，则阴影部分的面积可以表示为（　　）
A．n2 B． C． D．
9．（2025八上·东坡期中）已知，则　 　
10．（2025八上·东坡期中）实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简=　 　．
11．（2025八上·东坡期中）已知是的整数部分，是的小数部分，则＝　 　
12．（2025八上·东坡期中）若，则的值等于　 　．
13．（2025八上·东坡期中）已知，则＝ 　 　， ＝ 　 　.
14．（2025八上·东坡期中）计算(或解方程）
（1）计算
（2）2（x+1)2-18=0
（3）（﹣2x）3 x2﹣（-x3）2÷x
（4）（x+2）（x﹣2）+（2x+1）（x﹣3）．
15．（2025八上·东坡期中）因式分解
（1）3x3-12xy2
（2）（x2+6x）2+18（x2+6x）+81
16．（2025八上·东坡期中） 化简求值：，其中x＝，y＝﹣2．
17．（2025八上·东坡期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是 　 　；
（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与互为相反数，求2c﹣3d的平方根.
18．（2025八上·东坡期中） 阅读材料：要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题：
（1）解决问题：因式分解：ac﹣bc+a2﹣b2；
（2）拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
19．（2025八上·东坡期中） 已知a＝2025x+2024，b＝2025x+2025，c＝2025x+2026，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是　 　.
20．（2025八上·东坡期中）若，则　 　
21．（2025八上·东坡期中）已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2025，且a≠b，则abc=　 　
22．（2025八上·东坡期中）18世纪数学家欧拉引进了求和符号“∑”．如记，
，已知，则p﹣m的值是　 　.
23．（2025八上·东坡期中）的最小值为　 　
24．（2025八上·东坡期中）【阅读材料】若x满足（8﹣x）（x﹣3）＝4，求（8﹣x）2+（x﹣3）2的值．
解：设8﹣x＝a，x﹣3＝b．则（8﹣x）（x﹣3）＝ab＝4，a+b＝8﹣x+（x﹣3）＝5．
∴（8﹣x）2+（x﹣3）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
【类比探究】解决下列问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣3）＝1，则（5﹣x）2+（3﹣x）2的值为 　 　 ．
（2）若（n﹣2022）2+（2025﹣n）2＝4，求（n﹣2022）（2025﹣n）的值．
（3）【拓展应用】
已知正方形ABCD的边长为x，E、F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是24，分别以MF，DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH．求阴影部分的面积．
25．（2025八上·东坡期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．
（1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式＝ 　 　 ．
（2）（a+b）n的展开式共有 　 　 项，系数和为 　 　 ．
（3）运用：今天是星期一，经过82025天后是星期 　 　 ．
（4）直接写出（a-2b）15的展开式中第三项的系数　 　.
（5）若（2x﹣1）2025＝a1x2025+a2x2024+ +a2024x2+a2025x+a2026，求a1+a2+ +a2024+a2025的值．
26．（2025八上·东坡期中）请阅读以下材料，解决问题．
我们知道：在实数体系中，一个实数的平方不可能为负数，即a2≥0．但是，当数域扩充到复数体系中，如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a、b为实数）的数就叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1，若两个复数，他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i．根据材料回答：
（1）填空：①（2+i）+（﹣1+3i）＝　 　 ；
②（2+i）（﹣1+3i）＝　 　 ；
（2）若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，则（b﹣a）2025＝　 　 ；
（3）已知（a+i）（b+i）＝2﹣4i，求的值 ．
（4）结合上述材料解方程：x2﹣4x+6＝0.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：∵42=16，
∴，即16的算术平方根是4.
故答案为：A.
【分析】一个正数x得平方等于a，则这个正数x就是a的算术平方根，用符号表示为x=，据此求解即可.
2．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是无理数的有 ， ， 0.3030030003…（相邻两个3之间0的个数逐次加1）这三个数。
故选：C
【分析】根据无理数的概念即可判断哪些数是无理数。
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A. 3a2+2a2＝5a2 ，A错误；
B.a6÷a3＝a3 ，B错误；
C. （a﹣b）2＝a2-2ab+b2 ，C错误；
D. （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ，D正确。
故选：D
【分析】本题考查了整式的运算，包括合并同类项、同底数幂的除法以及整式乘法的公式，只要牢记相关运算法则就能选出正确答案。
4．【答案】C
【知识点】无理数的估值；近似计算的实际应用
【解析】【解答】∵ 2.2 2 = 4.84 ， 2.32 = 5.29 ， 4.84 <5<5.29 ，
∴ 2.2<<2.3，
∴1.2<-1<1.3，
∴
即，
故选：C.
【分析】 根据计算 的近似值，再估算黄金比的值，最后与选项中的分数比较确定正确选项.
5．【答案】D
【知识点】因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：A.，A错误；
B. ，B错误；
C. ，C错误；
D. ，D正确。
故选：D
【分析】本题需要用到因式分解中的平方差公式和完全平方公式，以及提公因式法，特别要注意A选项，容易分解不出来。
6．【答案】A
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：=x2-(m-1)x+72是完全平方式，
，
即或，
解得：或，
故答案为：A．
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，据此列出关于字母m的方程-(m+1)=±14，求解即可.
7．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意得：x2+kx+b＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
∴k＝﹣4，b＝3，
则k+b＝﹣4+3＝﹣1.
故答案为：A.
【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出k与b的值，即可求出所求.
8．【答案】A
【知识点】几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：延长AD，FE相交于点H。
∵
∴
故选：A
【分析】将阴影部分的面积转化为和梯形AHEG的面积之差即可求解。
9．【答案】-1
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，且
∴
解得a=3，b=-3
∴
故填：-1
【分析】根据绝对值的非负性得到，从而求出a，b的值，再代入求值即可。
10．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由图可知a>0，b<0，.
∴
故填：
【分析】首先根据图形判断a，b，a-b的符号，再利用绝对值的非负性以及立方根的性质化简原式的各个部分即可。
11．【答案】
【知识点】无理数的估值；无理数的混合运算
【解析】【解答】解：∵
∴m=3，n=
∴m-n=3-()=
故填：
【分析】首先估算 和 的范围，从而可以求出 的整数部分为3， 的小数部分为，代入计算即可。
12．【答案】4
【知识点】幂的乘方的逆运算；整体思想
【解析】【解答】解：∵
∴x+2y=4
∴
故填：4
【分析】首先根据条件可知x+2y=4，再逆用幂的乘方公式将改写为，从而将x+2y=4整体代入计算。
13．【答案】7；
【知识点】完全平方公式及运用；整体思想
【解析】【解答】解：∵
∴
即
∴
∴
∴
故填：7；
【分析】首先根据条件得出，从而求出，进一步可得，于是可知。
14．【答案】（1）解：原式=
（2）解：
∴
（3）解：原式=
（4）解：原式=
【知识点】平方差公式及应用；整式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)根据算术平方根的定义、立方根的定义、绝对值的非负性以及-1的奇数次幂等于-1等性质分别将算式中各部分化简即可；
(2)首先移项得，再两边同时除以2得，于是可知，从而求出两根分别为2和-4；
(3)利用积的乘方、同底数幂的乘除法公式即可计算；
(4)本题涉及到平方差公式以及多项式乘多项式的计算，只要正确使用公式就能求解。
15．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】(1)首先提出公因式3x，再利用平方差公式进一步分解；
(2)将看做一个整体，则原式刚好是一个完全平方，同时注意到也是一个完全平方，因此原式分解为.
16．【答案】解：原式=
当 x＝，y＝-2 时，
原式=
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】首先根据完全平方公式、平方差公式和整式乘除法法则将原式化简为-8x+4y，再将x和y的值代入计算。
17．【答案】（1）
（2）解：由(1)可知
∵
∴ |m+1|+|m﹣1|
（3）解：依题意 |2c+d|+ =0，
∵|2c+d|，
∴2c+d=0，
解得或
当时，2c-3d=-16<0，无平方根；
当时，2c-3d=16，
∴
综上所述，2c-3d的平方根为
【知识点】实数在数轴上表示；算术平方根的性质（双重非负性）；开平方（求平方根）；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：(1)点A沿数轴向右平移两个单位长度，对应的实数就增加2
∴点B表示实数
【分析】(1)数轴上的点与实数一 一对应，向右移动两个单位长度就是对应的实数增加2；’
(2)估算m的取值范围，从而判断m+1，m-1的正负，利用绝对值的非负性化简即可；
(3)利用相反数的性质以及绝对值得非负性、算术平方根的非负性可以求出c，d的值，再代入2c-3d求平方根。
18．【答案】（1）解： ac﹣bc+a2﹣b2
（2）解：∵ a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0
∴ (a2﹣2ab+b2)+(b2﹣2bc+c2)＝0
即
∵
∴
∴
∴这个三角形为等边三角形
【知识点】因式分解-分组分解法；因式分解的应用-判断三角形形状
【解析】【分析】(1)仿照材料中的分组方法，将前两项分为一组，后两项分为一组，分别提出公因式后，再进一步提公因式即可；
(2)观察条件所给等式，将左边的 2b2 写为b2+b2，然后将前三项和后三项分为两组，刚好凑成两个完全平方，再利用偶次方的非负性推出，从而可知这是一个等边三角形。
19．【答案】3
【知识点】因式分解-分组分解法；因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
故填：3
【分析】通过将整体扩大2倍又缩小2倍的方式，可以将原式分组凑成三个完全平方，再代入求值即可。
20．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；整体思想
【解析】【解答】解：∵
∴
∵ab=2025
∴
∴
∴
∴xy-(x+y)=0
原式====
故填：
【分析】由条件推出，再根据ab=2025得到，进而推出xy-(x+y)=0，整体代入求值即可。
21．【答案】-2025
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵a2（b+c）＝b2（a+c）＝2025
∴a2（b+c）-b2（a+c）＝0
∴
∴
∴
∴
∵a≠b
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故填：-2025
【分析】将条件灵活变形得到，再根据a≠b推出，进一步变形得到，从而得解。
22．【答案】-36
【知识点】探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：∵原式=
又
∴
∴p=4，n=5
∴m=2+6+12+20=40
∴p-m=4-40=-36
故填：-36
【分析】根据题目材料可以写出的表达式，结合条件得可求p，n，m，进而计算出p-m。
23．【答案】
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：原式=
设
则原式表示平面上点P到坐标原点和A，B的距离之和。
将顺时针旋转60°得，点A的对应点为点D，连接AD，作于点H，如图
由条件可知
∴
∴
∴当点O，P，E，D共线时PO+PA+PB取得最小值，最小值是线段OD的长。
由条件可知OD垂直平分AB
∴
由条件可知是等腰直角三角形
∴OH=DH
设OH=DH=m，则BH=m-3
∵
∴
解得
∴
即PO+PA+PB取得的最小值是
∴ 的最小值为
故填：
【分析】首先将原式化为，将其理解为平面直角坐标系中的点P(x，y)到点O(0，0)，A(3，0)，B(0，3)的距离，由可知当点O，P，E，D共线时PO+PA+PB取得最小值，最小值是线段OD的长，易证是等腰直角三角形，利用勾股定理求解即可。
24．【答案】（1）2
（2）解：设n-2022=a，2025-n=b，则，a+b=3
∴
（3）解：设正方形ABCD边长为x
∵AE=1，CF=3
∴DE=MF=x-1，EM=DF=x-3
令x-1=a，x-3=b
∴a-b=x-1-(x-3)=2
∵长方形EMFD的面积是24
∴
∴
∵a+b>0
∴a+b=10
∴
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：(1)设5-x=a，x-3=b，则ab=1，a+b=(5-x)+(x-3)=2
∴
【分析】(1)利用换元思想将复杂的条件和问题简化，从而找到完全平方公式进行等价变形，从而可以求解；
(2)同(1)方法，利用换元简化问题，借助完全平方公式变形求解；
(3)用含未知数的式子表示出相关线段的长度，借助长方形EMFD的面积为24，结合完全平方和公式与完全平方差公式等价变形，再整体代入求值即可。
25．【答案】（1）
（2）n+1；2n
（3）二
（4）420
（5）解：∵
∴当x=1时，
即
当x=0时，
即
∴
∴
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：(1)观察可知 （a+b）5 的展开式的系数分别为1，5，10，10，5，1
∴
(2)观察可知的展开式有2项，的展开式有3项，的展开式有4项，的展开式有5项，以此类推，共有(n+1)项。
的展开式系数和为1+1=2
的展开式系数和为1+2+1=4=22
的展开式系数和为1+3+3+1=8=23
以此类推的展开式系数和为2n；
(3)∵，其展开式的最后一项为1
∴的余数为1
∵今天是星期一
∴经过天后是星期二
(4)的展开式的第三项为
的展开式的第三项为
的展开式的第三项为
……
∴的展开式的第三项为
∴的展开式的第三项为
令a=1，b=1即可得到对应的系数
∴的展开式的第三项的系数为
【分析】(1)仔细观察杨辉三角数阵的排布，不难推出下一行的几个数分别为1，5，10，10，5，1，再按照前面四个式子的展开式规律即可写出 （a+b）5的展开式 ；
(2)通过观察前面四个式子的展开式有几项就能发现规律是项数比次数多1，同样，通过计算出前面四个式子的展开式的系数之和也能发现规律是2n，其中n等于次数；
(3)将改写为，再利用发现的规律判断出它的展开式前面各项都含有因数7，只有最后一项为1，可知的余数为1，故经过天后是星期二；
(4)分析，，的第三项可以发现规律是：的展开式的第三项为，于是可知的展开式的第三项为，令a=1，b=1即得对应的系数为420；
(5)令x=1可以求出展开式的各项系数之和为1，令x=0可求出展开式中最后一项为-1，于是可知，即。
26．【答案】（1）；
（2）-1
（3）解：
∴ab-1=2，a+b=-4
∴ab=3
∴
∵，，，……
∴
=i
∴ =-5i
（4）解：方程的判别式为
∵
∴方程的根为复数
根据一元二次方程的求根公式得
可以写成，即
因此 x2﹣4x+6＝0 的根为
即
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：(1)①
故答案为：
②(2+i)(-1+3i)
故答案为：
(2)
∵a+bi是(1+2i)2的共轭复数
∴a=-3，b=-4
∴
【分析】(1)根据题意，复数体系中的运算法则与实数范围相同，所以只要按照整式的运算方法计算即可得到答案；
(2)先计算出，在根据共轭复数的定义可求出a=-3，b=-4，进而代入求解；
(3)计算可知，对比各部分可知ab-1=2，a+b=-4，进而可求，通过计算发现中，每4项一组的和都相等，为0，最后多出一个i，故；
(4)易判断该方程没有实数根，仍然用求根公式写出来就是，再将写成，即，就能在复数范围求出该方程的根了。
1 / 1四川省眉山市东坡区思蒙初中共同体学校2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷
1．（2025八上·东坡期中）16的算术平方根是（　　）
A．4 B． C． D．196
【答案】A
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：∵42=16，
∴，即16的算术平方根是4.
故答案为：A.
【分析】一个正数x得平方等于a，则这个正数x就是a的算术平方根，用符号表示为x=，据此求解即可.
2．（2025八上·东坡期中）在2，0，，，，0.3030030003…（相邻两个3之间0的个数逐次加1）中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是无理数的有 ， ， 0.3030030003…（相邻两个3之间0的个数逐次加1）这三个数。
故选：C
【分析】根据无理数的概念即可判断哪些数是无理数。
3．（2025八上·东坡期中）下列计算正确的是（　　）
A．3a2+2a2＝5a4 B．a6÷a3＝a2
C．（a﹣b）2＝a2+2ab﹣b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A. 3a2+2a2＝5a2 ，A错误；
B.a6÷a3＝a3 ，B错误；
C. （a﹣b）2＝a2-2ab+b2 ，C错误；
D. （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ，D正确。
故选：D
【分析】本题考查了整式的运算，包括合并同类项、同底数幂的除法以及整式乘法的公式，只要牢记相关运算法则就能选出正确答案。
4．（2025八上·东坡期中）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”．如图，的值接近黄金比，则下列估算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的估值；近似计算的实际应用
【解析】【解答】∵ 2.2 2 = 4.84 ， 2.32 = 5.29 ， 4.84 <5<5.29 ，
∴ 2.2<<2.3，
∴1.2<-1<1.3，
∴
即，
故选：C.
【分析】 根据计算 的近似值，再估算黄金比的值，最后与选项中的分数比较确定正确选项.
5．（2025八上·东坡期中）下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：A.，A错误；
B. ，B错误；
C. ，C错误；
D. ，D正确。
故选：D
【分析】本题需要用到因式分解中的平方差公式和完全平方公式，以及提公因式法，特别要注意A选项，容易分解不出来。
6．（2025八上·东坡期中）若是完全平方式，则m的值是（　　）
A．13或 B．13 C． D．6或
【答案】A
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：=x2-(m-1)x+72是完全平方式，
，
即或，
解得：或，
故答案为：A．
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，据此列出关于字母m的方程-(m+1)=±14，求解即可.
7．（2025八上·东坡期中）若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意得：x2+kx+b＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
∴k＝﹣4，b＝3，
则k+b＝﹣4+3＝﹣1.
故答案为：A.
【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出k与b的值，即可求出所求.
8．（2025八上·东坡期中）如图，四边形ABCD与CGEF是两个边长分别为m，n的正方形，则阴影部分的面积可以表示为（　　）
A．n2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：延长AD，FE相交于点H。
∵
∴
故选：A
【分析】将阴影部分的面积转化为和梯形AHEG的面积之差即可求解。
9．（2025八上·东坡期中）已知，则　 　
【答案】-1
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，且
∴
解得a=3，b=-3
∴
故填：-1
【分析】根据绝对值的非负性得到，从而求出a，b的值，再代入求值即可。
10．（2025八上·东坡期中）实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简=　 　．
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由图可知a>0，b<0，.
∴
故填：
【分析】首先根据图形判断a，b，a-b的符号，再利用绝对值的非负性以及立方根的性质化简原式的各个部分即可。
11．（2025八上·东坡期中）已知是的整数部分，是的小数部分，则＝　 　
【答案】
【知识点】无理数的估值；无理数的混合运算
【解析】【解答】解：∵
∴m=3，n=
∴m-n=3-()=
故填：
【分析】首先估算 和 的范围，从而可以求出 的整数部分为3， 的小数部分为，代入计算即可。
12．（2025八上·东坡期中）若，则的值等于　 　．
【答案】4
【知识点】幂的乘方的逆运算；整体思想
【解析】【解答】解：∵
∴x+2y=4
∴
故填：4
【分析】首先根据条件可知x+2y=4，再逆用幂的乘方公式将改写为，从而将x+2y=4整体代入计算。
13．（2025八上·东坡期中）已知，则＝ 　 　， ＝ 　 　.
【答案】7；
【知识点】完全平方公式及运用；整体思想
【解析】【解答】解：∵
∴
即
∴
∴
∴
故填：7；
【分析】首先根据条件得出，从而求出，进一步可得，于是可知。
14．（2025八上·东坡期中）计算(或解方程）
（1）计算
（2）2（x+1)2-18=0
（3）（﹣2x）3 x2﹣（-x3）2÷x
（4）（x+2）（x﹣2）+（2x+1）（x﹣3）．
【答案】（1）解：原式=
（2）解：
∴
（3）解：原式=
（4）解：原式=
【知识点】平方差公式及应用；整式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)根据算术平方根的定义、立方根的定义、绝对值的非负性以及-1的奇数次幂等于-1等性质分别将算式中各部分化简即可；
(2)首先移项得，再两边同时除以2得，于是可知，从而求出两根分别为2和-4；
(3)利用积的乘方、同底数幂的乘除法公式即可计算；
(4)本题涉及到平方差公式以及多项式乘多项式的计算，只要正确使用公式就能求解。
15．（2025八上·东坡期中）因式分解
（1）3x3-12xy2
（2）（x2+6x）2+18（x2+6x）+81
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】(1)首先提出公因式3x，再利用平方差公式进一步分解；
(2)将看做一个整体，则原式刚好是一个完全平方，同时注意到也是一个完全平方，因此原式分解为.
16．（2025八上·东坡期中） 化简求值：，其中x＝，y＝﹣2．
【答案】解：原式=
当 x＝，y＝-2 时，
原式=
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】首先根据完全平方公式、平方差公式和整式乘除法法则将原式化简为-8x+4y，再将x和y的值代入计算。
17．（2025八上·东坡期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是 　 　；
（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与互为相反数，求2c﹣3d的平方根.
【答案】（1）
（2）解：由(1)可知
∵
∴ |m+1|+|m﹣1|
（3）解：依题意 |2c+d|+ =0，
∵|2c+d|，
∴2c+d=0，
解得或
当时，2c-3d=-16<0，无平方根；
当时，2c-3d=16，
∴
综上所述，2c-3d的平方根为
【知识点】实数在数轴上表示；算术平方根的性质（双重非负性）；开平方（求平方根）；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：(1)点A沿数轴向右平移两个单位长度，对应的实数就增加2
∴点B表示实数
【分析】(1)数轴上的点与实数一 一对应，向右移动两个单位长度就是对应的实数增加2；’
(2)估算m的取值范围，从而判断m+1，m-1的正负，利用绝对值的非负性化简即可；
(3)利用相反数的性质以及绝对值得非负性、算术平方根的非负性可以求出c，d的值，再代入2c-3d求平方根。
18．（2025八上·东坡期中） 阅读材料：要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题：
（1）解决问题：因式分解：ac﹣bc+a2﹣b2；
（2）拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）解： ac﹣bc+a2﹣b2
（2）解：∵ a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0
∴ (a2﹣2ab+b2)+(b2﹣2bc+c2)＝0
即
∵
∴
∴
∴这个三角形为等边三角形
【知识点】因式分解-分组分解法；因式分解的应用-判断三角形形状
【解析】【分析】(1)仿照材料中的分组方法，将前两项分为一组，后两项分为一组，分别提出公因式后，再进一步提公因式即可；
(2)观察条件所给等式，将左边的 2b2 写为b2+b2，然后将前三项和后三项分为两组，刚好凑成两个完全平方，再利用偶次方的非负性推出，从而可知这是一个等边三角形。
19．（2025八上·东坡期中） 已知a＝2025x+2024，b＝2025x+2025，c＝2025x+2026，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是　 　.
【答案】3
【知识点】因式分解-分组分解法；因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
故填：3
【分析】通过将整体扩大2倍又缩小2倍的方式，可以将原式分组凑成三个完全平方，再代入求值即可。
20．（2025八上·东坡期中）若，则　 　
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；整体思想
【解析】【解答】解：∵
∴
∵ab=2025
∴
∴
∴
∴xy-(x+y)=0
原式====
故填：
【分析】由条件推出，再根据ab=2025得到，进而推出xy-(x+y)=0，整体代入求值即可。
21．（2025八上·东坡期中）已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2025，且a≠b，则abc=　 　
【答案】-2025
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵a2（b+c）＝b2（a+c）＝2025
∴a2（b+c）-b2（a+c）＝0
∴
∴
∴
∴
∵a≠b
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故填：-2025
【分析】将条件灵活变形得到，再根据a≠b推出，进一步变形得到，从而得解。
22．（2025八上·东坡期中）18世纪数学家欧拉引进了求和符号“∑”．如记，
，已知，则p﹣m的值是　 　.
【答案】-36
【知识点】探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：∵原式=
又
∴
∴p=4，n=5
∴m=2+6+12+20=40
∴p-m=4-40=-36
故填：-36
【分析】根据题目材料可以写出的表达式，结合条件得可求p，n，m，进而计算出p-m。
23．（2025八上·东坡期中）的最小值为　 　
【答案】
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：原式=
设
则原式表示平面上点P到坐标原点和A，B的距离之和。
将顺时针旋转60°得，点A的对应点为点D，连接AD，作于点H，如图
由条件可知
∴
∴
∴当点O，P，E，D共线时PO+PA+PB取得最小值，最小值是线段OD的长。
由条件可知OD垂直平分AB
∴
由条件可知是等腰直角三角形
∴OH=DH
设OH=DH=m，则BH=m-3
∵
∴
解得
∴
即PO+PA+PB取得的最小值是
∴ 的最小值为
故填：
【分析】首先将原式化为，将其理解为平面直角坐标系中的点P(x，y)到点O(0，0)，A(3，0)，B(0，3)的距离，由可知当点O，P，E，D共线时PO+PA+PB取得最小值，最小值是线段OD的长，易证是等腰直角三角形，利用勾股定理求解即可。
24．（2025八上·东坡期中）【阅读材料】若x满足（8﹣x）（x﹣3）＝4，求（8﹣x）2+（x﹣3）2的值．
解：设8﹣x＝a，x﹣3＝b．则（8﹣x）（x﹣3）＝ab＝4，a+b＝8﹣x+（x﹣3）＝5．
∴（8﹣x）2+（x﹣3）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
【类比探究】解决下列问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣3）＝1，则（5﹣x）2+（3﹣x）2的值为 　 　 ．
（2）若（n﹣2022）2+（2025﹣n）2＝4，求（n﹣2022）（2025﹣n）的值．
（3）【拓展应用】
已知正方形ABCD的边长为x，E、F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是24，分别以MF，DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH．求阴影部分的面积．
【答案】（1）2
（2）解：设n-2022=a，2025-n=b，则，a+b=3
∴
（3）解：设正方形ABCD边长为x
∵AE=1，CF=3
∴DE=MF=x-1，EM=DF=x-3
令x-1=a，x-3=b
∴a-b=x-1-(x-3)=2
∵长方形EMFD的面积是24
∴
∴
∵a+b>0
∴a+b=10
∴
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：(1)设5-x=a，x-3=b，则ab=1，a+b=(5-x)+(x-3)=2
∴
【分析】(1)利用换元思想将复杂的条件和问题简化，从而找到完全平方公式进行等价变形，从而可以求解；
(2)同(1)方法，利用换元简化问题，借助完全平方公式变形求解；
(3)用含未知数的式子表示出相关线段的长度，借助长方形EMFD的面积为24，结合完全平方和公式与完全平方差公式等价变形，再整体代入求值即可。
25．（2025八上·东坡期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．
（1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式＝ 　 　 ．
（2）（a+b）n的展开式共有 　 　 项，系数和为 　 　 ．
（3）运用：今天是星期一，经过82025天后是星期 　 　 ．
（4）直接写出（a-2b）15的展开式中第三项的系数　 　.
（5）若（2x﹣1）2025＝a1x2025+a2x2024+ +a2024x2+a2025x+a2026，求a1+a2+ +a2024+a2025的值．
【答案】（1）
（2）n+1；2n
（3）二
（4）420
（5）解：∵
∴当x=1时，
即
当x=0时，
即
∴
∴
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：(1)观察可知 （a+b）5 的展开式的系数分别为1，5，10，10，5，1
∴
(2)观察可知的展开式有2项，的展开式有3项，的展开式有4项，的展开式有5项，以此类推，共有(n+1)项。
的展开式系数和为1+1=2
的展开式系数和为1+2+1=4=22
的展开式系数和为1+3+3+1=8=23
以此类推的展开式系数和为2n；
(3)∵，其展开式的最后一项为1
∴的余数为1
∵今天是星期一
∴经过天后是星期二
(4)的展开式的第三项为
的展开式的第三项为
的展开式的第三项为
……
∴的展开式的第三项为
∴的展开式的第三项为
令a=1，b=1即可得到对应的系数
∴的展开式的第三项的系数为
【分析】(1)仔细观察杨辉三角数阵的排布，不难推出下一行的几个数分别为1，5，10，10，5，1，再按照前面四个式子的展开式规律即可写出 （a+b）5的展开式 ；
(2)通过观察前面四个式子的展开式有几项就能发现规律是项数比次数多1，同样，通过计算出前面四个式子的展开式的系数之和也能发现规律是2n，其中n等于次数；
(3)将改写为，再利用发现的规律判断出它的展开式前面各项都含有因数7，只有最后一项为1，可知的余数为1，故经过天后是星期二；
(4)分析，，的第三项可以发现规律是：的展开式的第三项为，于是可知的展开式的第三项为，令a=1，b=1即得对应的系数为420；
(5)令x=1可以求出展开式的各项系数之和为1，令x=0可求出展开式中最后一项为-1，于是可知，即。
26．（2025八上·东坡期中）请阅读以下材料，解决问题．
我们知道：在实数体系中，一个实数的平方不可能为负数，即a2≥0．但是，当数域扩充到复数体系中，如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a、b为实数）的数就叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1，若两个复数，他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i．根据材料回答：
（1）填空：①（2+i）+（﹣1+3i）＝　 　 ；
②（2+i）（﹣1+3i）＝　 　 ；
（2）若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，则（b﹣a）2025＝　 　 ；
（3）已知（a+i）（b+i）＝2﹣4i，求的值 ．
（4）结合上述材料解方程：x2﹣4x+6＝0.
【答案】（1）；
（2）-1
（3）解：
∴ab-1=2，a+b=-4
∴ab=3
∴
∵，，，……
∴
=i
∴ =-5i
（4）解：方程的判别式为
∵
∴方程的根为复数
根据一元二次方程的求根公式得
可以写成，即
因此 x2﹣4x+6＝0 的根为
即
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：(1)①
故答案为：
②(2+i)(-1+3i)
故答案为：
(2)
∵a+bi是(1+2i)2的共轭复数
∴a=-3，b=-4
∴
【分析】(1)根据题意，复数体系中的运算法则与实数范围相同，所以只要按照整式的运算方法计算即可得到答案；
(2)先计算出，在根据共轭复数的定义可求出a=-3，b=-4，进而代入求解；
(3)计算可知，对比各部分可知ab-1=2，a+b=-4，进而可求，通过计算发现中，每4项一组的和都相等，为0，最后多出一个i，故；
(4)易判断该方程没有实数根，仍然用求根公式写出来就是，再将写成，即，就能在复数范围求出该方程的根了。
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