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浙江省衢州市兴华中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷
1．（2025八上·衢州期中）中国新能源汽车发展迅速，下列各图是国产新能源汽车图标，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·衢州期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，5，11 D．5，6，11
3．（2025八上·衢州期中）若a>b，则下列不等式中成立的是 (　　)
A．a-5b+5 D．-a>-b
4．（2025八上·衢州期中）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是 (　　)
A．∠A：∠B：∠C=3：4：5 B．a：b：c=6：8：10
C．∠C=∠A+∠B D．
5．（2025八上·衢州期中）一个不等式的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式可以是(　　)
A．2x≥6 B．x-3<0 C．3-x<0 D．x+3>0
6．（2025八上·衢州期中）将一副直角三角板按照如图所示的方式摆放，则∠ABC的度数为(　　)
A．65° B．70° C．75° D．80°
7．（2025八上·衢州期中）如图，平分，于点C，点D在上，若，，则的面积为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．18
8．（2025八上·衢州期中）如图，一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上，点P是AB的中点，A'B'表示竹竿AB上下滑动时的情形，则下列判断正确的是（　　）
A．下滑时，OP的长度增大 B．上升时，OP的长度减小
C．只要滑动，OP的长度就变化 D．无论怎样滑动，OP的长度不变
9．（2025八上·衢州期中）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”.若等腰△ABC的周长为20，其中…边长为8，则它的“优美比”为(　　)
A． B． C．或2 D．或
10．（2025八上·衢州期中）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH， 连结DF并延长， 交BC于点M. 若S正方形ABCD=9，E为AF中点， 则BM的长为(　　)
A． B． C． D．
11．（2025八上·衢州期中）“a与3 的和小于 6”用不等式表示为　 　.
12．（2025八上·衢州期中）把命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式　 　.
13．（2025八上·衢州期中） 如图， 已知∠1=∠2， 若要使△ABC≌△DCB，(不允许标注其他字母) 则添加的一个条件为　 　.
14．（2025八上·衢州期中）如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以 B、C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB 于点D，连结CD， 若 CD=CA， ∠A=50°， 则∠B=　 　.
15．（2025八上·衢州期中）如图，在等腰三角形ABC中，AD是底边BC上的高线，CE⊥AB于点E，交AD于点F．若∠BAC=45°，AF=6，则BD的长为　 　
16．（2025八上·衢州期中）已知在等边三角形ABC中，点D 是BC的中点，点 E在AB的延长线上，且CD=BE，连接AD，DE. AB=10时，P，Q分别为射线AB、射线CA上的动点，且 若AQ=4， 则 　 　；BP的长为　 　.
17．（2025八上·衢州期中）解下列一元一次不等式
（1）4x+1>2(x-1)
（2）并把解集表示在数轴上
18．（2025八上·衢州期中）如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A，B，C均为格点.
（1）作图 (保留作图痕迹，不写作法)：作出△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'；
（2）在直线l上找一点 D， 使AD+BD 最小；
19．（2025八上·衢州期中）如图， 点E、F在线段BC上， AB∥CD， ∠A=∠D， BF=CE.求证： △ABE≌△DCF .
20．（2025八上·衢州期中）如图， AC⊥BC， AD⊥BD， AD=BC， CE⊥AB， DF⊥AB， 垂足分别是E， F.求证：
（1） △ABC≌△BAD
（2） CE=DF·
21．（2025八上·衢州期中）勾股定理是人类早期发现并证明的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一.它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷.
（1）应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点.
如图1.在数轴上找出表示-1的点A，表示1 的点B，过点B作直线l垂直于AB，在l上取点C，使BC=l，以点A为圆心，AC为半径作弧，弧与数轴的交点 D 表示的数为　 　.
（2）应用场景2：解决实际问题.
如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将它往前推4m至C处时(即CD=4m)，踏板离地的垂直高度CF=3m，整个过程中它的绳索始终拉直，求秋千绳AC的长. (作CD⊥AE于 D)
22．（2025八上·衢州期中）如图， 等腰△ABC 中， AB=AC， 点P 是边 BC上的一个动点(不与B，C重合)， 连接AP， 在边AB上取一点Q， 使得AQ=AP， 连接PQ.
（1） 若∠C=70°， ∠CAP=20°， 求∠BPQ 的度数；
（2） 若∠C=60°， ∠CAP=x°， 请用含x的代数式表示∠BPQ的度数；
（3）由(1)(2)的结论，请猜想∠CAP 与∠BPQ 的数量关系，并证明你的猜想.
23．（2025八上·衢州期中） 如图①， 已知点D在线段AB上， 和 是等腰直角三角形， ∠EDA=∠ABC=90°， 且M为EC的中点.
（1）若DM的延长线交BC于点N， 求证： CN=AD；
（2）判断直线BM与DM的位置关系，并说明理由；
（3）若将△ADE按如图②所示位置放置，使点E在线段CA的延长线上(其它条件不变)，(2)中结论是否仍成立 若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A.是轴对称图形，不符合题意，
B.不是轴对称图形，符合题意，
C. 是轴对称图形，不符合题意，
D. 是轴对称图形，不符合题意，
故答案为：B.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A.∵3+4＜8，故不能组成三角形，A不符合题意；
B.∵5+6＞10，故能组成三角形，B符合题意；
C.∵5+5＜11，故不能组成三角形，C不符合题意；
D.∵5+6=11，故不能组成三角形，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，依此即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：若a>b，
两边同时减去5得a-5>b-5，则A不符合题意，
两边同时除以5得 则B不符合题意，
两边同时加上5得a+5>b+5，则C符合题意，
两边同时乘以-1得-a<-b，则D不符合题意，
故答案为：C .·
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可.
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C =3：4：5，
则∠A =45°， ∠B = 60°， ∠C =75°，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意；
B、∵a：b：c=6：8：10，
设a=6x， b=8x， c=10x，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∵∠C =∠A+∠B，∠C+∠A+∠B=180°，∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
则△ABC是直角三角形，不符合题意；
故答案为：A .
【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理判断即可.
5．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：A.不等式2x≥6的解集为x≥3，不符合题意；
B.不等式x-3<0的解集为x<3，符合题意；
C.不等式：3-x<0的解集为x>3，不符合题意；
D.不等式x+3>0的解集为x>-3，不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤求解，然后根据数轴表示的解集判断即可.
6．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：由题意，得
，
，
故答案为：C .
【分析】根据三角形的外角求出∠ABF的度数，然后根据角的和差解答即可.
7．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作于E， 如图所示，
∵平分，，，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】过点P作于E，先根据角平分线的性质得到PE=PC=3，再利用三角形的面积公式求解即可.
8．【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点P是AB的中点，
∴
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质得到：进而即可求解.
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当8为腰长时，
∵等腰 的周长为20，
的底边长为：20-8-8=4，
∴“优美比”为
当8为底边长时，
的腰长为：
∴“优美比”为
故答案为：D .
【分析】分8为腰长和底边长，两种情况求出腰和底的长，然后根据新定义解答即可.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵E为AF中点，
又∵∠AED=∠FED=90°， DE= DE，
∴△AED≌△FED(SAS)，
∴DF=AD，
∴DF=AD=3，
∵DE∥BG，
∴∠EDF=∠DFG，
∵∠FBM =∠EDF，∠DFG=∠BFM，
∴∠FBM=∠BFM，
∴BM=FM，
故答案为：B .
【分析】根据SAS证明△AED≌△FED得出DF = AD，根据勾股定理即可得出结果.
11．【答案】x+3<6
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：根据题意得，x+3<6.
故答案为：x+3<6.
【分析】理解：x与3的和小于6，即x与3相加，所得到的和小于6.
12．【答案】如果两个角是对顶角，那么它们相等
【知识点】命题的概念与组成
【解析】【解答】解：命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么它们相等.
故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等 .
【分析】找出命题的题设和结论，把题设写在如果后边，结论写到那么后边即可.
13．【答案】∠A =∠D或∠ABC =∠ACB或∠ABD=∠DCA或AC=BD
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2， BC=CB，
∴当添加∠A=∠D， △ABC≌△DCB(AAS)；
当添加∠ABC=∠ACB或∠ABD=∠DCA时，△ABC≌△DCB(ASA)；
当添加AC= BD时， △ABC≌△DCB(SAS).
故答案为： ∠A =∠D或∠ABC =∠ACB或∠ABD=∠DCA或AC=BD.
【分析】根据全等三角形的判定方法添加条件.
14．【答案】105°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：
∵由作图可知，MN是线段BC的垂直平分线，
，
故答案为：105° .
【分析】先根据等腰三角形的性质得出的度数，再由三角形内角和定理求出 的度数，根据线段垂直平分线的性质得出再由三角形外角的性质求出 的度数，进而可得出结论.
15．【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD是底边BC上的高线 ，
∴BD=，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=∠CEB=90°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠BAC=∠ECA=45°，
∴AE=CE，
∵∠EAF+∠AFE=90°，∠ECB+∠DFC=90°，∠AFE=∠DFC，
∴∠EAF=∠ECB，
在△AEF与△CEB中，
∵∠AEC=∠CEB=90°，AE=CE，∠EAF=∠ECB，
∴△AEF≌△CEB（ASA）
∴BC=AF=6，
∴BD=3.
故答案为：3.
【分析】由等腰三角形的三线合一得BD=，易得△AEC是等腰直角三角形，得AE=CE，由同角的余角相等得∠EAF=∠ECB，从而利用ASA判断出△AEF≌△CEB，根据全等三角形对应边相等得BC=AF=6，从而即可得出答案.
16．【答案】；9或1
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解： 是等边三角形，点D是BC的中点，
当点Q在线段CA的延长线上时，如图③，作 交AC于点M，
由(2)知 为等边三角形，
∵ D为等边△ABC的边BC的中点，
∴DB= DC= DM， ∠ABD=60°，
∴AM =5，
∴QM =AM+AQ=5+4=9，
∵∠BDM = 120°， ∠PDQ =120°，
∴∠BDP=∠QDM， ∠QMD=∠PBD=180°-60°=120°，
在△PBD和△QMD中，
∴△PBD≌△QMD(ASA)，
∴BP=QM =9；
当点Q在线段CA上时，如图④，
同理可证明△PBD≌△QMD(ASA)，则BP=QM =AM-AQ =5-4=1，
综上所述，BP的长为9或1.
故答案为： ；9或1.
【分析】根据等边三角形的性质得到∠ADB=90°，∠ABD=60°，然后根据三角形的的外角求出∠BDE，即可求出∠ADE的度数；分两种情况：当点Q在线段CA的延长线上时，当点Q在线段CA上时，作 交AC于点M，即可得到 为等边三角形，然后证明△PBD≌△QMD，根据对应边相等得到结论即可.
17．【答案】（1）解：
4x-2x>-2-1，
2x>-3，
则
（2）解：，
6+3x≤2+4x+6，
3x-4x≤2+6-6，
则
将解集表示在数轴上如下：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】(1)根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得.
(2)根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得.
18．【答案】（1）解： 就是所求作的三角形；
（2）解：点D就是所求作的点
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】(1)依据轴对称的性质，即可得到 关于直线l的对称图形
（2）连接AB'，交直线l于D，连接BD，则AD+BD最小值等于AB'的长.
19．【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
∵BF=CE，
∴BF-EF=CE-EF，
即BE=CF，
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF(AAS)
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据AB∥CD， 可得∠B=∠C， 由BF=CE可得BE=CF， 根据AAS即可得到两三角形全等.
20．【答案】（1）证明： ①∵AC⊥BC， AD⊥BD，∴∠ACB=∠BDA=90°，在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴ Rt△ABC ≌ Rt△BAD(HL)
（2）证明：∵Rt△ABC ≌ Rt△BAD，
∵CE⊥AB于点E， DF⊥AB于点F，
∴CE=DF
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】（1）先由AC⊥BC， AD⊥BD证明∠ACB=∠BDA=90°，再根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明两三角形全等；
（2）证明 即可由 AB·DF，证明结论.
21．【答案】（1）
（2）解：设秋千绳索AC的长度为 xm，
由题意可得AC=AB=xm，
四边形DCFE为矩形， BE=1m， DC =4m， CF=3m，DE=CF=3m，
(x-2)m，
在 中，
即
解得x=5，
即AC的长度为5m，
答：绳索AC的长为5m
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：（1） 在 中，
∴点D表示的数是
【分析】(1)根据勾股定理求出AC，根据实数与数轴解答即可.
(2)设秋千的绳索长为 xm，根据题意可得AD=(x-2)m，利用勾股定理可得 ，即可得到结论.
22．【答案】（1）解：∵AB=AC，∠C=70°，
∴∠B=∠C=70°。
在△ABC中， ∠BAC=180°-∠B-∠C =180°-70°-70°= 40°。
∵∠CAP=20°，
∴∠BAP=∠BAC-∠CAP=40°-20°=20°，
∵AQ = AP，
∴∠AQP=∠APQ。
在△AQP中， (180°-20°)=80°。
∵∠AQP是△BPQ的一个外角，
∴∠AQP=∠B+∠BPQ，
∴∠BPQ =∠AQP-∠B=80°-70°=10°
（2）解：∵AB=AC，∠C=60°，
∴∠B=∠C =60°，
在△ABC中， ∠BAC=180°-∠B-∠C =180°-60°-60°=60°，
∵∠CAP=x°，
∴∠BAP=∠BAC-∠CAP =(60-x)°，
∵AQ=AP，
∴∠AQP=∠APQ，
在△AQP中，，
∵∠AQP是△BPQ的一个外角，
∴∠AQP=∠B+∠BPQ，
（3）解：猜想： ∠CAP=2∠BPQ，
证明： 设∠C = m°， ∠CAP =n°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C =m°，
在△ABC中， ∠BAC =180°-∠B-∠C =(180–2m)°，
∴∠BAP=∠BAC-∠CAP=(180-2m-n)°，
∵AQ = AP，
∴∠AQP=∠APQ，
在△AQP中，
∵∠AQP是△BPQ的一个外角，
，
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形两底角相等求出的度数，再利用三角形内角和定理求出 的度数，然后根据等腰三角形性质求出 的度数，最后根据三角形外角性质求出 的度数；
（2）同样先根据等腰三角形性质求出的度数，再用含x的式子表示出的度数，接着根据等腰三角形性质求出的度数，最后根据三角形外角性质求出的度数；
（3）通过 (1)(2)的计算结果，猜想 与 PQ的数量关系，然后根据前面的推理过程进行证明.
23．【答案】（1）证明： ∵AB=BC， AD=DE， ∠ABC=∠ADE=90°，
∴∠EAD=∠AED=45°，∠BAC=∠BCA=45°，
∵M为EC的中点，
∴EM=CM，
∵∠EDA=∠ABC=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM =∠MCB，
在△EMD和△CMN中，
∴△EMD≌△CMN(ASA)，
∴CN=DE，
∵AD=DE，
∴CN=AD
（2）解：BM⊥DM， BM = DM，理由如下：
由(1)得： △EMD≌△CMN，∴CN = AD， DM = MN，
∵BA=BC，
∴BD=BN，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，
∴BM⊥DM， BM =DM；
故答案为： BM⊥DM， BM = DM
（3）解：BM⊥DM， BM = DM仍然成立，
理由如下：
如图2， 作CN//DE交DM的延长线于N， 连接BN，
∴∠E=∠MCN =45°，
在△EMD与△CMN中，
∴△EMD≌△CMN(ASA)，
∴CN = DE = DA， MN = MD，
又∵∠DAB=180°-∠DAE-∠BAC=90°，∠BCN =∠BCM+∠NCM =45°+45°= 90°
∴∠DAB=∠BCN，
在△DBA和△NBC中，
∴△DBA≌△NBC(SAS)，
∴∠DBA =∠NBC， DB= BN，
∴∠DBN=∠ABC=90°，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，
∴BM⊥DM， BM=DM
【知识点】三角形全等的判定；等腰直角三角形
【解析】【分析】(1)由∠ABC=∠ADE=90°可得DE//BC， 再根据平行线的性质， 推出∠DEM =∠MCB， 根据ASA推出△EMD≌△CMN， 证出CN=ED，因为AD = DE， 即可得到CN = AD；
(2)由(1)可知CN = AD， DM = MN， 再由AB= AC， 可得BD= BN， 从而可得△DBN是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得结论；
(3)作CN//DE交DM的延长线于N， 连接BN， 根据平行线的性质求出∠E =∠NCM，根据ASA证△DBA≌△NBC， 推出△DBN是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得结论.
1 / 1浙江省衢州市兴华中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷
1．（2025八上·衢州期中）中国新能源汽车发展迅速，下列各图是国产新能源汽车图标，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A.是轴对称图形，不符合题意，
B.不是轴对称图形，符合题意，
C. 是轴对称图形，不符合题意，
D. 是轴对称图形，不符合题意，
故答案为：B.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
2．（2025八上·衢州期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，5，11 D．5，6，11
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A.∵3+4＜8，故不能组成三角形，A不符合题意；
B.∵5+6＞10，故能组成三角形，B符合题意；
C.∵5+5＜11，故不能组成三角形，C不符合题意；
D.∵5+6=11，故不能组成三角形，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，依此即可得出答案.
3．（2025八上·衢州期中）若a>b，则下列不等式中成立的是 (　　)
A．a-5b+5 D．-a>-b
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：若a>b，
两边同时减去5得a-5>b-5，则A不符合题意，
两边同时除以5得 则B不符合题意，
两边同时加上5得a+5>b+5，则C符合题意，
两边同时乘以-1得-a<-b，则D不符合题意，
故答案为：C .·
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可.
4．（2025八上·衢州期中）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是 (　　)
A．∠A：∠B：∠C=3：4：5 B．a：b：c=6：8：10
C．∠C=∠A+∠B D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C =3：4：5，
则∠A =45°， ∠B = 60°， ∠C =75°，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意；
B、∵a：b：c=6：8：10，
设a=6x， b=8x， c=10x，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∵∠C =∠A+∠B，∠C+∠A+∠B=180°，∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
则△ABC是直角三角形，不符合题意；
故答案为：A .
【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理判断即可.
5．（2025八上·衢州期中）一个不等式的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式可以是(　　)
A．2x≥6 B．x-3<0 C．3-x<0 D．x+3>0
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：A.不等式2x≥6的解集为x≥3，不符合题意；
B.不等式x-3<0的解集为x<3，符合题意；
C.不等式：3-x<0的解集为x>3，不符合题意；
D.不等式x+3>0的解集为x>-3，不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤求解，然后根据数轴表示的解集判断即可.
6．（2025八上·衢州期中）将一副直角三角板按照如图所示的方式摆放，则∠ABC的度数为(　　)
A．65° B．70° C．75° D．80°
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：由题意，得
，
，
故答案为：C .
【分析】根据三角形的外角求出∠ABF的度数，然后根据角的和差解答即可.
7．（2025八上·衢州期中）如图，平分，于点C，点D在上，若，，则的面积为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作于E， 如图所示，
∵平分，，，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】过点P作于E，先根据角平分线的性质得到PE=PC=3，再利用三角形的面积公式求解即可.
8．（2025八上·衢州期中）如图，一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上，点P是AB的中点，A'B'表示竹竿AB上下滑动时的情形，则下列判断正确的是（　　）
A．下滑时，OP的长度增大 B．上升时，OP的长度减小
C．只要滑动，OP的长度就变化 D．无论怎样滑动，OP的长度不变
【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点P是AB的中点，
∴
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质得到：进而即可求解.
9．（2025八上·衢州期中）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”.若等腰△ABC的周长为20，其中…边长为8，则它的“优美比”为(　　)
A． B． C．或2 D．或
【答案】D
【知识点】等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当8为腰长时，
∵等腰 的周长为20，
的底边长为：20-8-8=4，
∴“优美比”为
当8为底边长时，
的腰长为：
∴“优美比”为
故答案为：D .
【分析】分8为腰长和底边长，两种情况求出腰和底的长，然后根据新定义解答即可.
10．（2025八上·衢州期中）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH， 连结DF并延长， 交BC于点M. 若S正方形ABCD=9，E为AF中点， 则BM的长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵E为AF中点，
又∵∠AED=∠FED=90°， DE= DE，
∴△AED≌△FED(SAS)，
∴DF=AD，
∴DF=AD=3，
∵DE∥BG，
∴∠EDF=∠DFG，
∵∠FBM =∠EDF，∠DFG=∠BFM，
∴∠FBM=∠BFM，
∴BM=FM，
故答案为：B .
【分析】根据SAS证明△AED≌△FED得出DF = AD，根据勾股定理即可得出结果.
11．（2025八上·衢州期中）“a与3 的和小于 6”用不等式表示为　 　.
【答案】x+3<6
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：根据题意得，x+3<6.
故答案为：x+3<6.
【分析】理解：x与3的和小于6，即x与3相加，所得到的和小于6.
12．（2025八上·衢州期中）把命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式　 　.
【答案】如果两个角是对顶角，那么它们相等
【知识点】命题的概念与组成
【解析】【解答】解：命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么它们相等.
故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等 .
【分析】找出命题的题设和结论，把题设写在如果后边，结论写到那么后边即可.
13．（2025八上·衢州期中） 如图， 已知∠1=∠2， 若要使△ABC≌△DCB，(不允许标注其他字母) 则添加的一个条件为　 　.
【答案】∠A =∠D或∠ABC =∠ACB或∠ABD=∠DCA或AC=BD
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2， BC=CB，
∴当添加∠A=∠D， △ABC≌△DCB(AAS)；
当添加∠ABC=∠ACB或∠ABD=∠DCA时，△ABC≌△DCB(ASA)；
当添加AC= BD时， △ABC≌△DCB(SAS).
故答案为： ∠A =∠D或∠ABC =∠ACB或∠ABD=∠DCA或AC=BD.
【分析】根据全等三角形的判定方法添加条件.
14．（2025八上·衢州期中）如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以 B、C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB 于点D，连结CD， 若 CD=CA， ∠A=50°， 则∠B=　 　.
【答案】105°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：
∵由作图可知，MN是线段BC的垂直平分线，
，
故答案为：105° .
【分析】先根据等腰三角形的性质得出的度数，再由三角形内角和定理求出 的度数，根据线段垂直平分线的性质得出再由三角形外角的性质求出 的度数，进而可得出结论.
15．（2025八上·衢州期中）如图，在等腰三角形ABC中，AD是底边BC上的高线，CE⊥AB于点E，交AD于点F．若∠BAC=45°，AF=6，则BD的长为　 　
【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD是底边BC上的高线 ，
∴BD=，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=∠CEB=90°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠BAC=∠ECA=45°，
∴AE=CE，
∵∠EAF+∠AFE=90°，∠ECB+∠DFC=90°，∠AFE=∠DFC，
∴∠EAF=∠ECB，
在△AEF与△CEB中，
∵∠AEC=∠CEB=90°，AE=CE，∠EAF=∠ECB，
∴△AEF≌△CEB（ASA）
∴BC=AF=6，
∴BD=3.
故答案为：3.
【分析】由等腰三角形的三线合一得BD=，易得△AEC是等腰直角三角形，得AE=CE，由同角的余角相等得∠EAF=∠ECB，从而利用ASA判断出△AEF≌△CEB，根据全等三角形对应边相等得BC=AF=6，从而即可得出答案.
16．（2025八上·衢州期中）已知在等边三角形ABC中，点D 是BC的中点，点 E在AB的延长线上，且CD=BE，连接AD，DE. AB=10时，P，Q分别为射线AB、射线CA上的动点，且 若AQ=4， 则 　 　；BP的长为　 　.
【答案】；9或1
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解： 是等边三角形，点D是BC的中点，
当点Q在线段CA的延长线上时，如图③，作 交AC于点M，
由(2)知 为等边三角形，
∵ D为等边△ABC的边BC的中点，
∴DB= DC= DM， ∠ABD=60°，
∴AM =5，
∴QM =AM+AQ=5+4=9，
∵∠BDM = 120°， ∠PDQ =120°，
∴∠BDP=∠QDM， ∠QMD=∠PBD=180°-60°=120°，
在△PBD和△QMD中，
∴△PBD≌△QMD(ASA)，
∴BP=QM =9；
当点Q在线段CA上时，如图④，
同理可证明△PBD≌△QMD(ASA)，则BP=QM =AM-AQ =5-4=1，
综上所述，BP的长为9或1.
故答案为： ；9或1.
【分析】根据等边三角形的性质得到∠ADB=90°，∠ABD=60°，然后根据三角形的的外角求出∠BDE，即可求出∠ADE的度数；分两种情况：当点Q在线段CA的延长线上时，当点Q在线段CA上时，作 交AC于点M，即可得到 为等边三角形，然后证明△PBD≌△QMD，根据对应边相等得到结论即可.
17．（2025八上·衢州期中）解下列一元一次不等式
（1）4x+1>2(x-1)
（2）并把解集表示在数轴上
【答案】（1）解：
4x-2x>-2-1，
2x>-3，
则
（2）解：，
6+3x≤2+4x+6，
3x-4x≤2+6-6，
则
将解集表示在数轴上如下：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】(1)根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得.
(2)根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得.
18．（2025八上·衢州期中）如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A，B，C均为格点.
（1）作图 (保留作图痕迹，不写作法)：作出△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'；
（2）在直线l上找一点 D， 使AD+BD 最小；
【答案】（1）解： 就是所求作的三角形；
（2）解：点D就是所求作的点
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】(1)依据轴对称的性质，即可得到 关于直线l的对称图形
（2）连接AB'，交直线l于D，连接BD，则AD+BD最小值等于AB'的长.
19．（2025八上·衢州期中）如图， 点E、F在线段BC上， AB∥CD， ∠A=∠D， BF=CE.求证： △ABE≌△DCF .
【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
∵BF=CE，
∴BF-EF=CE-EF，
即BE=CF，
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF(AAS)
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据AB∥CD， 可得∠B=∠C， 由BF=CE可得BE=CF， 根据AAS即可得到两三角形全等.
20．（2025八上·衢州期中）如图， AC⊥BC， AD⊥BD， AD=BC， CE⊥AB， DF⊥AB， 垂足分别是E， F.求证：
（1） △ABC≌△BAD
（2） CE=DF·
【答案】（1）证明： ①∵AC⊥BC， AD⊥BD，∴∠ACB=∠BDA=90°，在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴ Rt△ABC ≌ Rt△BAD(HL)
（2）证明：∵Rt△ABC ≌ Rt△BAD，
∵CE⊥AB于点E， DF⊥AB于点F，
∴CE=DF
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】（1）先由AC⊥BC， AD⊥BD证明∠ACB=∠BDA=90°，再根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明两三角形全等；
（2）证明 即可由 AB·DF，证明结论.
21．（2025八上·衢州期中）勾股定理是人类早期发现并证明的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一.它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷.
（1）应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点.
如图1.在数轴上找出表示-1的点A，表示1 的点B，过点B作直线l垂直于AB，在l上取点C，使BC=l，以点A为圆心，AC为半径作弧，弧与数轴的交点 D 表示的数为　 　.
（2）应用场景2：解决实际问题.
如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将它往前推4m至C处时(即CD=4m)，踏板离地的垂直高度CF=3m，整个过程中它的绳索始终拉直，求秋千绳AC的长. (作CD⊥AE于 D)
【答案】（1）
（2）解：设秋千绳索AC的长度为 xm，
由题意可得AC=AB=xm，
四边形DCFE为矩形， BE=1m， DC =4m， CF=3m，DE=CF=3m，
(x-2)m，
在 中，
即
解得x=5，
即AC的长度为5m，
答：绳索AC的长为5m
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：（1） 在 中，
∴点D表示的数是
【分析】(1)根据勾股定理求出AC，根据实数与数轴解答即可.
(2)设秋千的绳索长为 xm，根据题意可得AD=(x-2)m，利用勾股定理可得 ，即可得到结论.
22．（2025八上·衢州期中）如图， 等腰△ABC 中， AB=AC， 点P 是边 BC上的一个动点(不与B，C重合)， 连接AP， 在边AB上取一点Q， 使得AQ=AP， 连接PQ.
（1） 若∠C=70°， ∠CAP=20°， 求∠BPQ 的度数；
（2） 若∠C=60°， ∠CAP=x°， 请用含x的代数式表示∠BPQ的度数；
（3）由(1)(2)的结论，请猜想∠CAP 与∠BPQ 的数量关系，并证明你的猜想.
【答案】（1）解：∵AB=AC，∠C=70°，
∴∠B=∠C=70°。
在△ABC中， ∠BAC=180°-∠B-∠C =180°-70°-70°= 40°。
∵∠CAP=20°，
∴∠BAP=∠BAC-∠CAP=40°-20°=20°，
∵AQ = AP，
∴∠AQP=∠APQ。
在△AQP中， (180°-20°)=80°。
∵∠AQP是△BPQ的一个外角，
∴∠AQP=∠B+∠BPQ，
∴∠BPQ =∠AQP-∠B=80°-70°=10°
（2）解：∵AB=AC，∠C=60°，
∴∠B=∠C =60°，
在△ABC中， ∠BAC=180°-∠B-∠C =180°-60°-60°=60°，
∵∠CAP=x°，
∴∠BAP=∠BAC-∠CAP =(60-x)°，
∵AQ=AP，
∴∠AQP=∠APQ，
在△AQP中，，
∵∠AQP是△BPQ的一个外角，
∴∠AQP=∠B+∠BPQ，
（3）解：猜想： ∠CAP=2∠BPQ，
证明： 设∠C = m°， ∠CAP =n°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C =m°，
在△ABC中， ∠BAC =180°-∠B-∠C =(180–2m)°，
∴∠BAP=∠BAC-∠CAP=(180-2m-n)°，
∵AQ = AP，
∴∠AQP=∠APQ，
在△AQP中，
∵∠AQP是△BPQ的一个外角，
，
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形两底角相等求出的度数，再利用三角形内角和定理求出 的度数，然后根据等腰三角形性质求出 的度数，最后根据三角形外角性质求出 的度数；
（2）同样先根据等腰三角形性质求出的度数，再用含x的式子表示出的度数，接着根据等腰三角形性质求出的度数，最后根据三角形外角性质求出的度数；
（3）通过 (1)(2)的计算结果，猜想 与 PQ的数量关系，然后根据前面的推理过程进行证明.
23．（2025八上·衢州期中） 如图①， 已知点D在线段AB上， 和 是等腰直角三角形， ∠EDA=∠ABC=90°， 且M为EC的中点.
（1）若DM的延长线交BC于点N， 求证： CN=AD；
（2）判断直线BM与DM的位置关系，并说明理由；
（3）若将△ADE按如图②所示位置放置，使点E在线段CA的延长线上(其它条件不变)，(2)中结论是否仍成立 若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
【答案】（1）证明： ∵AB=BC， AD=DE， ∠ABC=∠ADE=90°，
∴∠EAD=∠AED=45°，∠BAC=∠BCA=45°，
∵M为EC的中点，
∴EM=CM，
∵∠EDA=∠ABC=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM =∠MCB，
在△EMD和△CMN中，
∴△EMD≌△CMN(ASA)，
∴CN=DE，
∵AD=DE，
∴CN=AD
（2）解：BM⊥DM， BM = DM，理由如下：
由(1)得： △EMD≌△CMN，∴CN = AD， DM = MN，
∵BA=BC，
∴BD=BN，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，
∴BM⊥DM， BM =DM；
故答案为： BM⊥DM， BM = DM
（3）解：BM⊥DM， BM = DM仍然成立，
理由如下：
如图2， 作CN//DE交DM的延长线于N， 连接BN，
∴∠E=∠MCN =45°，
在△EMD与△CMN中，
∴△EMD≌△CMN(ASA)，
∴CN = DE = DA， MN = MD，
又∵∠DAB=180°-∠DAE-∠BAC=90°，∠BCN =∠BCM+∠NCM =45°+45°= 90°
∴∠DAB=∠BCN，
在△DBA和△NBC中，
∴△DBA≌△NBC(SAS)，
∴∠DBA =∠NBC， DB= BN，
∴∠DBN=∠ABC=90°，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，
∴BM⊥DM， BM=DM
【知识点】三角形全等的判定；等腰直角三角形
【解析】【分析】(1)由∠ABC=∠ADE=90°可得DE//BC， 再根据平行线的性质， 推出∠DEM =∠MCB， 根据ASA推出△EMD≌△CMN， 证出CN=ED，因为AD = DE， 即可得到CN = AD；
(2)由(1)可知CN = AD， DM = MN， 再由AB= AC， 可得BD= BN， 从而可得△DBN是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得结论；
(3)作CN//DE交DM的延长线于N， 连接BN， 根据平行线的性质求出∠E =∠NCM，根据ASA证△DBA≌△NBC， 推出△DBN是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得结论.
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