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浙江省湖州市第五中学2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试题
1．（2025九上·湖州月考） 二次函数的图象的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·湖州月考） 下列事件中是必然事件的是（　　）
A．内错角相等
B．经过红绿灯路口，遇到红灯
C．任意抛掷一枚硬币，正面朝上
D．三角形任意两边之和大于第三边
3．（2025九上·湖州月考） 已知的半径为3，点到圆心的距离4，则点（　　）
A．在内 B．在上 C．在外 D．无法确定
4．（2025九上·湖州月考） 如图，在中，，，且，则的长为（　　）
A．6 B．4.5 C．3 D．4
5．（2025九上·湖州月考） 如图，点在上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·湖州月考） 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的表达式为 （　　）
A． B．
C． D．
7．（2025九上·湖州月考） 已知二次函数的顶点坐标为，若点在函数图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九上·湖州月考） 如图，是圆的直径，弦，且，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九上·湖州月考） 设二次函数（是实数），已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
…… 0 1 2 3 ……
…… 0 2 ……
若这三个实数的积为正数，则的取值范围（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
10．（2025九上·湖州月考） 如图，内接于直径为的圆，，若，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025九上·湖州月考） 已知一个正多边形的每一个内角为，则这是正　 　边形．
12．（2025九上·湖州月考） 从1～9这9个自然数中任选一个数，是3的倍数的概率是　 　．
13．（2025九上·湖州月考） 如图，是圆的弦，直径经过的中点．若，则线段的长为　 　．
14．（2025九上·湖州月考） 如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上．若，则的度数为　 　．
15．（2025九上·湖州月考） 已知抛物线，当，抛物线的最小值为，则的值为　 　．
16．（2025九上·湖州月考） 如图，是圆的直径，点在圆上，是圆上的一个动点（不与重合），连接．过点作于，连接和．若，则的最大值为　 　．
17．（2025九上·湖州月考） 如图，甲矩形的长为，宽为6；乙矩形的长为6，宽为，且满足两个矩形的长与宽成比例．
（1）请用含的代数式表示；
（2）当线段是的比例中项时，求的值．
18．（2025九上·湖州月考） 第十五届全运会吉祥物“喜洋洋”与“乐融融”凭借灵动萌趣的形象刷屏网络，成为粤港澳大湾区新晋“顶流”．某商场举办“全运会吉祥物”抽奖活动，准备了一个不透明的抽奖箱，箱中装有2张“喜洋洋”卡片和1张“乐融融”卡片（卡片除图案外完全相同）．
活动规则为：参与者每次从抽奖箱中随机抽取1张卡片，记下图案后放回箱中并充分摇匀，再进行第二次抽取，完成两次抽取即结束抽奖．
（1）求第一次抽取时，抽到“喜洋洋”卡片的概率；
（2）如果两次抽到相同图案的卡片，商场送全运会吉祥物一个．用树状图（或列表）的方法，求参与者赢得吉祥物的概率．
19．（2025九上·湖州月考） 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点均在格点上，仅用无刻度的直尺作图．
（1）在图①中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边；
（2）在图②中的线段上找一个点，使．
20．（2025九上·湖州月考） 已知某二次函数与自变量的部分对应值如表：
…… 0 1 ……
…… 0 3 0 ……
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求的值．
21．（2025九上·湖州月考） 如图，在中，弦垂直平分半径．
（1）求的度数；
（2）若的半径为，求弦的长．
22．（2025九上·湖州月考） 某水果批发商销售一种进价为15元每千克的水果，若售价为25元每千克，则每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，且要求涨价金额为整数．
（1）若商场只要求保证每天的盈利为6000元，同时尽可能使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？
（2）当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最大？最大利润为多少元？
23．（2025九上·湖州月考） 在平面直角坐标系中，图形上任意两个点的纵坐标分别记为，定义的最大值为图形的“竖直高”．
（1）计算出下列图形的“竖直高”；
①，其中；
②如图1，以原点为圆心，作，四边形内接于，，与线段围成的图形；
（2）如果抛物线与经过点的直线围成的图形“竖直高”是，求实数的值．
24．（2025九上·湖州月考） 如图，点为边上一点，过三点作外接圆，交边于点．连交于点，且，点是边上一点，连交于点，满足．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，当时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数的图象的顶点坐标是，
故选：A．
【分析】根据二次函数中，顶点坐标为．
2．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、内错角相等需两直线平行，否则不成立，不是必然事件；
B、经过红绿灯路口可能遇到红灯、绿灯或黄灯，不是必然事件；
C、抛掷硬币可能正面朝上或反面朝上，不是必然事件；
D、三角形任意两边之和大于第三边是三角形的三边关系定理，对于任何三角形都必然成立，是必然事件．
故选：D．
【分析】必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件．选项A需要两直线平行才成立，否则不一定；选项B和C是随机事件，具有不确定性；选项D是三角形的基本性质，总是成立，据此进行分析，即可作答．
3．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意得，
，
，
在外，
故选：A．
【分析】根据“点与圆心的距离为，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内；”据此解答即可．
4．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：，
，即，
解得：，
经检验，是原方程的解，
故选：C．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：根据圆周角定理，
故选：B．
【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，计算即可．
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，
∴，
∴平移后所得抛物线的表达式为，
故选：A.
【分析】根据函数图象平移的规律：“左加右减，上加下减”，进行分析，即可作答．
7．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵点在函数图象上，且
∴；
故选：D．
【分析】根据二次函数的开口方向和增减性解答即可．
8．【答案】C
【知识点】垂径定理；弧长的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，连接，
，，
，，
，
，
在中，，
，
，
弧的长为．
故选：C．
【分析】过点作于点，连接，利用勾股定理求出，在中，根据求出，进而利用平行线的性质求出，再利用弧长的计算公式计算即可．
9．【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：将和代入，得：
，解得，
，
，
，
，
，
，
即，
，
临界点为，，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
或，满足，
的取值范围是或，
故选：B．
【分析】由表格数据，求出二次函数解析式为，再用含a的式子表示出，根据解不等式，结合即可确定的取值范围．
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接并延长交圆于点，连接，
则可得为圆的直径，
，
，
，
，
，
所对的圆心角和所对的圆心角之和为，
，
，
，
，
，
，
，即，
设，则，，
如图，连接，
，
，
，
，
，即，
，
在中，，
可得，
解得，，
当时，，与题意不符，故舍去，
，，
，
故选：A．
【分析】连接并延长交圆于点，连接，可得，证明得到，设，则，，证明，得到，利用勾股定理列方程即可解答．
11．【答案】十
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正多边形的每一个内角为，
∴该正多边形的每一个外角为，
∴该正多边形的边数为，
∴它是正十边形．
故答案为：十.
【分析】根据题意可得该正多边形的每一个外角为，再由正多边形的外角和定理，即可求解．
12．【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： ∵1～9这9个自然数中，是3的倍数的有3，6，9，共3个，
∴从1～9这9个自然数中，任取一个，是3的倍数的概率是．
故答案为：．
【分析】根据概率公式计算即可.
13．【答案】或
【知识点】垂径定理；分类讨论
【解析】【解答】解：如图，当点在线段上时，连接，
是圆的弦，直径经过的中点，
，，
，，
，，
，
，
，
如图，当点在线段上时，连接，
同理可得，
，
，
故答案为：或．
【分析】连接，直径经过的中点，得，，根据勾股定理求出，即可得到AE=8，再根据勾股定理求出AC长，同理当点在之间时，即可解答．
14．【答案】25°
【知识点】旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：根据题意可得，，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据旋转的性质、等边对等角和三角形的内角和定理求出的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余，即可解决问题．
15．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；分类讨论
【解析】【解答】解：∵抛物线，
∴对称轴为，开口向上．
∵当时，抛物线的最小值为，
当时，y随x的增大而增大，
∴，y取得最小值，
∴，
解得，不满足．
当时，，y取得最小值，
∴，
解得或，均不满足．
当时，y随x的增大而减小，
∴，y取得最小值，
∴．
解得，满足．
综上，．
故答案为：．
【分析】二次函数开口向上，顶点横坐标为．根据顶点与的位置关系，分三种情况讨论最小值点，并令最小值为求解．
16．【答案】
【知识点】瓜豆原理模型-点在圆上；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，取的中点，连接，
是圆的直径，
，
，
，
，
，
，
点在以点为圆心，长度为半径的圆上，
，
当三点共线时，取最大值，如图，
此时，
故答案为：．
【分析】取的中点，连接，根据题意可得点在以点为圆心，长度为半径的圆上，则三点共线时，取最大值，利用勾股定理解答即可．
17．【答案】（1）解：两个矩形的长与宽成比例，
，
（2）解：当线段是的比例中项时，
可得，
（负值舍去）
【知识点】相似多边形；比例中项
【解析】【分析】（1）根据题意列出等式，通过变形可得答案；
（2）根据题意可得，即可解答．
18．【答案】（1）解：∵箱中装有2张“喜洋洋”卡片和1张“乐融融”卡片（卡片除图案外完全相同）．
∴第一次抽取时，抽到“喜洋洋”卡片的概率
（2）解：依题意，设用、分别表示“喜洋洋”，“乐融融”，列表如下：
由表格得，一共9种可能的情况，其中，两次抽到相同图案的卡片的情况有5种，
∵两次抽到相同的卡片，商场送全运会吉祥物一个．
∴参与者赢得吉祥物的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）根据题意，知道箱中装有2张“喜洋洋”卡片和1张“乐融融”卡片，根据概率公式计算即可．
（2）先理解题意，再运用列表法，得一共9种可能的情况，其中，两次抽到相同的卡片的情况有5种，根据概率公式计算即可．
19．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：在线段上找一个点，使，如图所示：
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）运用网格与勾股定理得求出三角形的三边长，即可得到，故，即可作答．
（2）运用网格特征，得，则，故，即可作答．
20．【答案】（1）解：依题意，设二次函数的表达式为，
把分别代入，
得，
解得，
∴
（2）解：由（1）得，
观察表格，函数图象经过点，
∴，
则，
∴
解得，
∵，
∴
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）先设二次函数的表达式为，再把代入进行计算，即可作答．
（2）依题意，把代入进行计算，即可作答．
21．【答案】（1）解：弦垂直平分半径．
，，
，
，
，
是等边三角形，
（2）解：的半径为，
垂直平分半径，
，，
在中，，
即，
解得：或（舍去），
弦的长为
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理
【解析】【分析】（1）由已知条件得出，证出，得出，证出是等边三角形，即可得出结果；
（2）由垂径定理得出，由勾股定理得出方程，解方程即可得解．
22．【答案】（1）解：设每千克涨价x元（x为整数），则每千克利润为元，每天销售量为千克，总利润为y元，
总利润元．
当时，
，
整理得，
解得：．
∵要尽可能使顾客实惠，即取较小值，
∴．
答：每千克应涨价5元
（2）解：由（1）得．
∵二次项系数为负，
∴抛物线开口向下，理论最大值为6125元，但x必须为整数．
时，（元）；
时，（元）；
∴当或时，y最大为6120元．
答：当每千克涨价7元或8元时，每天的盈利最大，最大利润为6120元
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每千克涨价x元，根据题意列出利润表达式，并利用方程求解盈利6000元时x值，取较小值使顾客实惠；
（2）对于最大利润，通过配方法求二次函数最值，但由于x为整数，需验证附近整数值．
23．【答案】（1）解：①∵的顶点；
∴纵坐标最大为4，最小为，
∴的“竖直高”为；
②如图：过点C作于点E，
根据题意得，
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，解得：，即点C的纵坐标为，
∴与线段围成图形的“竖直高”为
（2）解：设过点的直线的解析式为，
则有，解得，
∴过点的直线的解析式为，
设直线与抛物线交点坐标为，，
联立， 解得和，
∵抛物线，
∴抛物线对称轴为，顶点坐标为，
∵与抛物线与经过点的直线围成的图形“竖直高”是，矛盾，
∴在之间，即，
当时，则，解得：或，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意；
当时，则，解得或，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意；
综上，实数a的值为
【知识点】点的坐标；三角形的面积；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）①根据“竖直高”的定义求解即可；
②过点C作于点E，由圆周角定理得到，由，则，利用勾股定理求出、进而得到，即；根据三角形面积公式求出，即可得到点C的纵坐标为，根据“竖直高”的定义求解即可；
（2）先求出直线的函数解析式，再与二次函数联立，求出两个交点的纵坐标，再根据二次函数与直线围成的图形“竖直高”是，分和两种情况讨论，分别建立方程求解即可．
24．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
（2）证明：如图，连接，
，，
，
根据（1）可得，
，
，
，，
，
，
，
，
（3）解：如图，过点作于点，过点作于点，
，，
，
，
，，
，
解得(负数舍去)，
，
根据（2）可得，
，
，
设，则，
根据，
可得，
解得，（舍去），
，
，
，，
，
，
在中，，则，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
【知识点】相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据等边对等角和圆周角定理，进行角度的转换即可解答；
（2）通过角度转换得到，可得，再根据两角对应相等证明，根据对应边成比例得到结论；
（3）过点作于点，过点作于点，即可得到，根据对应边成比例求得，再利用（2）中结论求出，即可得到，求出FC的值，得到两三角形面积比值即可．
1 / 1浙江省湖州市第五中学2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试题
1．（2025九上·湖州月考） 二次函数的图象的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数的图象的顶点坐标是，
故选：A．
【分析】根据二次函数中，顶点坐标为．
2．（2025九上·湖州月考） 下列事件中是必然事件的是（　　）
A．内错角相等
B．经过红绿灯路口，遇到红灯
C．任意抛掷一枚硬币，正面朝上
D．三角形任意两边之和大于第三边
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、内错角相等需两直线平行，否则不成立，不是必然事件；
B、经过红绿灯路口可能遇到红灯、绿灯或黄灯，不是必然事件；
C、抛掷硬币可能正面朝上或反面朝上，不是必然事件；
D、三角形任意两边之和大于第三边是三角形的三边关系定理，对于任何三角形都必然成立，是必然事件．
故选：D．
【分析】必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件．选项A需要两直线平行才成立，否则不一定；选项B和C是随机事件，具有不确定性；选项D是三角形的基本性质，总是成立，据此进行分析，即可作答．
3．（2025九上·湖州月考） 已知的半径为3，点到圆心的距离4，则点（　　）
A．在内 B．在上 C．在外 D．无法确定
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意得，
，
，
在外，
故选：A．
【分析】根据“点与圆心的距离为，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内；”据此解答即可．
4．（2025九上·湖州月考） 如图，在中，，，且，则的长为（　　）
A．6 B．4.5 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：，
，即，
解得：，
经检验，是原方程的解，
故选：C．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
5．（2025九上·湖州月考） 如图，点在上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：根据圆周角定理，
故选：B．
【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，计算即可．
6．（2025九上·湖州月考） 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的表达式为 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，
∴，
∴平移后所得抛物线的表达式为，
故选：A.
【分析】根据函数图象平移的规律：“左加右减，上加下减”，进行分析，即可作答．
7．（2025九上·湖州月考） 已知二次函数的顶点坐标为，若点在函数图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵点在函数图象上，且
∴；
故选：D．
【分析】根据二次函数的开口方向和增减性解答即可．
8．（2025九上·湖州月考） 如图，是圆的直径，弦，且，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理；弧长的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，连接，
，，
，，
，
，
在中，，
，
，
弧的长为．
故选：C．
【分析】过点作于点，连接，利用勾股定理求出，在中，根据求出，进而利用平行线的性质求出，再利用弧长的计算公式计算即可．
9．（2025九上·湖州月考） 设二次函数（是实数），已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
…… 0 1 2 3 ……
…… 0 2 ……
若这三个实数的积为正数，则的取值范围（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：将和代入，得：
，解得，
，
，
，
，
，
，
即，
，
临界点为，，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
或，满足，
的取值范围是或，
故选：B．
【分析】由表格数据，求出二次函数解析式为，再用含a的式子表示出，根据解不等式，结合即可确定的取值范围．
10．（2025九上·湖州月考） 如图，内接于直径为的圆，，若，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接并延长交圆于点，连接，
则可得为圆的直径，
，
，
，
，
，
所对的圆心角和所对的圆心角之和为，
，
，
，
，
，
，
，即，
设，则，，
如图，连接，
，
，
，
，
，即，
，
在中，，
可得，
解得，，
当时，，与题意不符，故舍去，
，，
，
故选：A．
【分析】连接并延长交圆于点，连接，可得，证明得到，设，则，，证明，得到，利用勾股定理列方程即可解答．
11．（2025九上·湖州月考） 已知一个正多边形的每一个内角为，则这是正　 　边形．
【答案】十
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正多边形的每一个内角为，
∴该正多边形的每一个外角为，
∴该正多边形的边数为，
∴它是正十边形．
故答案为：十.
【分析】根据题意可得该正多边形的每一个外角为，再由正多边形的外角和定理，即可求解．
12．（2025九上·湖州月考） 从1～9这9个自然数中任选一个数，是3的倍数的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： ∵1～9这9个自然数中，是3的倍数的有3，6，9，共3个，
∴从1～9这9个自然数中，任取一个，是3的倍数的概率是．
故答案为：．
【分析】根据概率公式计算即可.
13．（2025九上·湖州月考） 如图，是圆的弦，直径经过的中点．若，则线段的长为　 　．
【答案】或
【知识点】垂径定理；分类讨论
【解析】【解答】解：如图，当点在线段上时，连接，
是圆的弦，直径经过的中点，
，，
，，
，，
，
，
，
如图，当点在线段上时，连接，
同理可得，
，
，
故答案为：或．
【分析】连接，直径经过的中点，得，，根据勾股定理求出，即可得到AE=8，再根据勾股定理求出AC长，同理当点在之间时，即可解答．
14．（2025九上·湖州月考） 如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上．若，则的度数为　 　．
【答案】25°
【知识点】旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：根据题意可得，，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据旋转的性质、等边对等角和三角形的内角和定理求出的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余，即可解决问题．
15．（2025九上·湖州月考） 已知抛物线，当，抛物线的最小值为，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；分类讨论
【解析】【解答】解：∵抛物线，
∴对称轴为，开口向上．
∵当时，抛物线的最小值为，
当时，y随x的增大而增大，
∴，y取得最小值，
∴，
解得，不满足．
当时，，y取得最小值，
∴，
解得或，均不满足．
当时，y随x的增大而减小，
∴，y取得最小值，
∴．
解得，满足．
综上，．
故答案为：．
【分析】二次函数开口向上，顶点横坐标为．根据顶点与的位置关系，分三种情况讨论最小值点，并令最小值为求解．
16．（2025九上·湖州月考） 如图，是圆的直径，点在圆上，是圆上的一个动点（不与重合），连接．过点作于，连接和．若，则的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】瓜豆原理模型-点在圆上；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，取的中点，连接，
是圆的直径，
，
，
，
，
，
，
点在以点为圆心，长度为半径的圆上，
，
当三点共线时，取最大值，如图，
此时，
故答案为：．
【分析】取的中点，连接，根据题意可得点在以点为圆心，长度为半径的圆上，则三点共线时，取最大值，利用勾股定理解答即可．
17．（2025九上·湖州月考） 如图，甲矩形的长为，宽为6；乙矩形的长为6，宽为，且满足两个矩形的长与宽成比例．
（1）请用含的代数式表示；
（2）当线段是的比例中项时，求的值．
【答案】（1）解：两个矩形的长与宽成比例，
，
（2）解：当线段是的比例中项时，
可得，
（负值舍去）
【知识点】相似多边形；比例中项
【解析】【分析】（1）根据题意列出等式，通过变形可得答案；
（2）根据题意可得，即可解答．
18．（2025九上·湖州月考） 第十五届全运会吉祥物“喜洋洋”与“乐融融”凭借灵动萌趣的形象刷屏网络，成为粤港澳大湾区新晋“顶流”．某商场举办“全运会吉祥物”抽奖活动，准备了一个不透明的抽奖箱，箱中装有2张“喜洋洋”卡片和1张“乐融融”卡片（卡片除图案外完全相同）．
活动规则为：参与者每次从抽奖箱中随机抽取1张卡片，记下图案后放回箱中并充分摇匀，再进行第二次抽取，完成两次抽取即结束抽奖．
（1）求第一次抽取时，抽到“喜洋洋”卡片的概率；
（2）如果两次抽到相同图案的卡片，商场送全运会吉祥物一个．用树状图（或列表）的方法，求参与者赢得吉祥物的概率．
【答案】（1）解：∵箱中装有2张“喜洋洋”卡片和1张“乐融融”卡片（卡片除图案外完全相同）．
∴第一次抽取时，抽到“喜洋洋”卡片的概率
（2）解：依题意，设用、分别表示“喜洋洋”，“乐融融”，列表如下：
由表格得，一共9种可能的情况，其中，两次抽到相同图案的卡片的情况有5种，
∵两次抽到相同的卡片，商场送全运会吉祥物一个．
∴参与者赢得吉祥物的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）根据题意，知道箱中装有2张“喜洋洋”卡片和1张“乐融融”卡片，根据概率公式计算即可．
（2）先理解题意，再运用列表法，得一共9种可能的情况，其中，两次抽到相同的卡片的情况有5种，根据概率公式计算即可．
19．（2025九上·湖州月考） 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点均在格点上，仅用无刻度的直尺作图．
（1）在图①中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边；
（2）在图②中的线段上找一个点，使．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：在线段上找一个点，使，如图所示：
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）运用网格与勾股定理得求出三角形的三边长，即可得到，故，即可作答．
（2）运用网格特征，得，则，故，即可作答．
20．（2025九上·湖州月考） 已知某二次函数与自变量的部分对应值如表：
…… 0 1 ……
…… 0 3 0 ……
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求的值．
【答案】（1）解：依题意，设二次函数的表达式为，
把分别代入，
得，
解得，
∴
（2）解：由（1）得，
观察表格，函数图象经过点，
∴，
则，
∴
解得，
∵，
∴
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）先设二次函数的表达式为，再把代入进行计算，即可作答．
（2）依题意，把代入进行计算，即可作答．
21．（2025九上·湖州月考） 如图，在中，弦垂直平分半径．
（1）求的度数；
（2）若的半径为，求弦的长．
【答案】（1）解：弦垂直平分半径．
，，
，
，
，
是等边三角形，
（2）解：的半径为，
垂直平分半径，
，，
在中，，
即，
解得：或（舍去），
弦的长为
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理
【解析】【分析】（1）由已知条件得出，证出，得出，证出是等边三角形，即可得出结果；
（2）由垂径定理得出，由勾股定理得出方程，解方程即可得解．
22．（2025九上·湖州月考） 某水果批发商销售一种进价为15元每千克的水果，若售价为25元每千克，则每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，且要求涨价金额为整数．
（1）若商场只要求保证每天的盈利为6000元，同时尽可能使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？
（2）当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）解：设每千克涨价x元（x为整数），则每千克利润为元，每天销售量为千克，总利润为y元，
总利润元．
当时，
，
整理得，
解得：．
∵要尽可能使顾客实惠，即取较小值，
∴．
答：每千克应涨价5元
（2）解：由（1）得．
∵二次项系数为负，
∴抛物线开口向下，理论最大值为6125元，但x必须为整数．
时，（元）；
时，（元）；
∴当或时，y最大为6120元．
答：当每千克涨价7元或8元时，每天的盈利最大，最大利润为6120元
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每千克涨价x元，根据题意列出利润表达式，并利用方程求解盈利6000元时x值，取较小值使顾客实惠；
（2）对于最大利润，通过配方法求二次函数最值，但由于x为整数，需验证附近整数值．
23．（2025九上·湖州月考） 在平面直角坐标系中，图形上任意两个点的纵坐标分别记为，定义的最大值为图形的“竖直高”．
（1）计算出下列图形的“竖直高”；
①，其中；
②如图1，以原点为圆心，作，四边形内接于，，与线段围成的图形；
（2）如果抛物线与经过点的直线围成的图形“竖直高”是，求实数的值．
【答案】（1）解：①∵的顶点；
∴纵坐标最大为4，最小为，
∴的“竖直高”为；
②如图：过点C作于点E，
根据题意得，
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，解得：，即点C的纵坐标为，
∴与线段围成图形的“竖直高”为
（2）解：设过点的直线的解析式为，
则有，解得，
∴过点的直线的解析式为，
设直线与抛物线交点坐标为，，
联立， 解得和，
∵抛物线，
∴抛物线对称轴为，顶点坐标为，
∵与抛物线与经过点的直线围成的图形“竖直高”是，矛盾，
∴在之间，即，
当时，则，解得：或，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意；
当时，则，解得或，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意；
综上，实数a的值为
【知识点】点的坐标；三角形的面积；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）①根据“竖直高”的定义求解即可；
②过点C作于点E，由圆周角定理得到，由，则，利用勾股定理求出、进而得到，即；根据三角形面积公式求出，即可得到点C的纵坐标为，根据“竖直高”的定义求解即可；
（2）先求出直线的函数解析式，再与二次函数联立，求出两个交点的纵坐标，再根据二次函数与直线围成的图形“竖直高”是，分和两种情况讨论，分别建立方程求解即可．
24．（2025九上·湖州月考） 如图，点为边上一点，过三点作外接圆，交边于点．连交于点，且，点是边上一点，连交于点，满足．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，当时，求的值．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
（2）证明：如图，连接，
，，
，
根据（1）可得，
，
，
，，
，
，
，
，
（3）解：如图，过点作于点，过点作于点，
，，
，
，
，，
，
解得(负数舍去)，
，
根据（2）可得，
，
，
设，则，
根据，
可得，
解得，（舍去），
，
，
，，
，
，
在中，，则，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
【知识点】相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据等边对等角和圆周角定理，进行角度的转换即可解答；
（2）通过角度转换得到，可得，再根据两角对应相等证明，根据对应边成比例得到结论；
（3）过点作于点，过点作于点，即可得到，根据对应边成比例求得，再利用（2）中结论求出，即可得到，求出FC的值，得到两三角形面积比值即可．
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