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四川省成都市东部新区2024-2025学年上学期学业质量监测八年级数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2025八上·成都期末）下列各数是无理数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·成都期末）在平面直角坐标系中，点 在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2025八上·成都期末）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．两个锐角之和一定是钝角
B．对顶角相等
C．三角形的外角大于三角形的内角
D．两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等
4．（2025八上·成都期末）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．1，2，5 C．4，4，4 D．6，8，10
5．（2025八上·成都期末）“活力东部新区，运动未来之城”，2024年11月22日-24日，成都东部新区第二届中小学生田径运动会在成都东部新区某校隆重举行．本次运动会中，参加男子跳远的15名中学生运动员的身高如下表所示：
身高（m） 1.66 1.68 1.70 1.72 1.73 1.75 1.76
人数 1 1 1 4 3 3 2
这些运动员身高的众数是（　　）
A．1.72 B．1.73 C．1.75 D．1.76
6．（2025八上·成都期末）《九章算术》是中国古代的数学专著，第七章“盈不足”盈亏问题，记录这样一道问题：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价几何？译文为：有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，还差4元，设共有x人，物品单价y元，则下面方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025八上·成都期末）如图，一束平行于主光轴（图中的虚线）的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为焦点．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八上·成都期末）在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，发现在水沸腾前，水的温度与加热时间x（分钟）之间满足一次函数关系，如表记录了实验中温度和时间x（分钟）变化的部分数据．
时间x/分钟 6 10 15 …
时间 28 40 55 …
则加热18分钟时水的温度是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（2025八上·成都期末）无理数的相反数是　 　．
10．（2025八上·成都期末）已知在平面直角坐标系中，点在第二象限，且点到轴和轴的距离相等，则的值为　 　．
11．（2025八上·成都期末）甲，乙，丙，丁四名射击运动员进行射击测试.每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环）如下表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择　 　．
　 甲 乙 丙 丁
9 8 9 9
12．（2025八上·成都期末）在平面直角坐标系中，点O为原点，直线交x轴于点，交y轴上半轴于点B．若的面积为4，则B点的坐标为　 　．
13．（2025八上·成都期末）国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是　 　．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（2025八上·成都期末）（1）计算：；
（2）解方程组：
15．（2025八上·成都期末）某校为响应“双减”政策减负提质的要求，践行新时代新阅读，发挥阅读育人功能，营造书香溢满校园、阅读浸润少年的浓厚氛围，学校对八年级学生开展“书香满校园，阅读伴成长”读书活动．学校为了解学生读书量情况，进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的读书量（单位：本）进行了统计，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
（1）本次被调查的学生有________人，并补全条形统计图；
（2）求本次所抽取学生“读书量”的平均数；
（3）已知该校八年级有500名学生，请你估计该校八年级学生中，“读书量”为4本及以上的学生人数．
16．（2025八上·成都期末）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是点，，，与关于x轴对称，其中，，分别是点A，B，C的对应点．
（1）画出；
（2）已知点D的坐标为，试判断的形状，并说明理由．
17．（2025八上·成都期末）一天下午，李师傅开车从成都到贵阳，货车出发前油箱中有50升油，行驶一段时间后，师傅就到服务区休息了一会儿．休息一小时后，师傅打算继续上路向贵阳方向行驶时，发现油箱中的油不多了，于是就在该服务区的加油站加了油（加油时间忽略不计），才继续上路行驶．已知进入服务区前和驶出服务区后货车都匀速行驶，且货车加油前后行驶时每小时的耗油量相同．油箱中剩余油量Q（升）与货车的行驶时间t（时）之间的函数图象如图所示．
（1）师傅行驶________小时后去服务区休息，每小时耗油量________升；
（2）求驶出服务区后剩余油量Q与行驶时间t之间的函数关系式；
（3）加完油时，此时距贵阳还有400千米，若货车行驶的速度为80千米/时，要到达目的地，邮箱中的油是否够用？如果不够，请说明理由；如果够用，则到达目的后，邮箱里还剩多少升油？
18．（2025八上·成都期末）（1）如图1，在中，，，点D为线段上一点，连接，
①若，求的长；
②如图2，当，作平分，交于E，求的长；
（2）如图3，在中，，，点D为射线上一点，连接，将线段绕A点顺时针旋转得，连接，当时，求的长．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（2025八上·成都期末）如图，在数轴上点A表示的实数是　 　．
20．（2025八上·成都期末）已知直线与交于点，则方程组的解为　 　．
21．（2025八上·成都期末）如图，矩形内三个相邻的正方形的面积分别为4，3，2，则图中阴影部分的面积为　 　．
22．（2025八上·成都期末）如图，在长方形中，已知，，点E是边上的一个动点，连接，作点A关于直线的对称点F，连接，，以F为直角顶点，为直角边，在右侧作等腰，且，则当最小时，的周长为　 　．
23．（2025八上·成都期末）若一个各位数字均不为0的四位数（，，，a，b，c，d均为整数）满足：把N的千位数字a作为十位数字，N的十位数字c作为个位数字组成的两位数与5的和记作X，N的千位数字a与个位数字d的3倍的和记作Y，如果X的各位数字之和与Y的和是一个正整数K的立方，则称这个四位数为“开心数”，正整数K称“开心元素”；当，时，最小“开心数”为　 　；若“开心数”N满足前两位数字之和与后两位数字之和相等，且为整数，则满足条件的最大M为　 　．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（2025八上·成都期末）成都世博会吉祥物为可爱的“桐妹儿”，寓意和平友好、包容互鉴，富有深刻的文化内涵和巴蜀特色．五一假期，小明参观完世博会后，准备购买世博会纪念品送给同学，现有A，B两款吉祥物“桐妹儿”．若购买A款吉祥物1件和B款吉祥物3件，则需190元；若购买A款吉祥物2件和B款吉祥物1件，则需180元．
（1）求每件A款吉祥物和每件B款吉祥物的价格；
（2）小明准备购买两款吉祥物共10件，若购买A款吉祥物数量为m件，购买A，B两款吉祥物总费用为W元，请写出总费用为W与数量m之间的函数关系式，并求出总费用最少为多少元？
25．（2025八上·成都期末）如图1所示，一次函数图象与x轴相交与点A，与y轴相交于点B，过点B作一次函数的图象与x轴相交与点C，D是线段的中点；
（1）求b的值及点D的坐标；
（2）如图2，E是线段上一动点，F是E关于原点的对称点，连接，，，当时，求点E的坐标；
（3）如图3，E是直线上一动点，连接，，将沿直线翻折，使得B点的对应点落在直线上，求此时点E的坐标．
26．（2025八上·成都期末）如图，在边长为2正方形中，E为边上一动点（点E不与B，C重合），连接，以为直角边作等腰直角三角形，其斜边与正方形边相交于点N，连接．
（1）求证：；
（2）当E运动到的中点时，求线段的长度；
（3）如图2，连接交与点P，G是的中点，连接，，当等于多少时，的最小，并求出最小值？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、，是有理数，不符合题意；
B、是无理数，符合题意；
C、是有限小数，即分数，属于有理数，不符合题意；
D、，是有理数，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，再对各选项判断即可
2．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点（1，2）所在的象限是第一象限.
故答案为：A.
【分析】由点A的横纵坐标的符号，可判断出点A所在的象限.
3．【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两锐角的和不一定是钝角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、对顶角相等，正确，是真命题，符合题意；
C、三角形的外角大于不相邻的内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、两条平行直线被第三条直线所截，截得的内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用锐角和钝角的定义、对顶角的性质、三角形的外角的性质及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
4．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.，不能构成直角三角形，不符合题意；
B.，不能构成三角形，不符合题意；
C.，不能构成直角三角形，不符合题意；
D. ，能构成直角三角形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理的逆定理，分别对各选项进行计算即可．
5．【答案】A
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵1.72出现了4次，出现的次数最多，
∴众数是1.72．
故答案为：A．
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，由此可得答案.
6．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组；古代诗中的数学
【解析】【解答】解：依题意，得：
．
故答案为：B．
【分析】利用已知条件：“每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组．
7．【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵光线平行于主光轴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【分析】利用l两直线平行，同旁内角互补可求出∠PFO的度数，利用对顶角相等可求出∠POF的度数，然后利用三角形的外角的性质可求出∠3的度数.
8．【答案】B
【知识点】函数自变量的取值范围；待定系数法求一次函数解析式；用表格表示变量间的关系；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设y与x的解析式为，
由表格数据知：当时，； 当时，．
∴，
解得：，
∴y与x的解析式为，
当时，
（），
∴加热18分钟时水的温度是．
故答案为：B。
【分析】设y与x的解析式为，根据表格中信息可知，当时，； 当时，，将以上两组数代入解析式中，得到关于k，b二元一次方程组，求出y与x的解析式，然后再将代入解析式，然后再进行求解即可。
9．【答案】
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：数的相反数是．
故答案为：．
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，即可求出已知数的相反数.
10．【答案】0
【知识点】点的坐标与象限的关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点A(m，n)在第二象限，且点A到x轴和y轴的距离相等，
故答案为：0.
【分析】根据点A(m，n)在第二象限，且点A到x轴和y轴的距离相等，可得出m=-n，即可求解.
11．【答案】丁
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由表知甲、丙、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙的平均数，
从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛，
丁的方差较小，
选择丁参加比赛，
故答案为：丁．
【分析】根据平均环数比较成绩的优劣，再根据方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定．
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵的面积为4，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用点A的坐标先求出的长，再根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案．
13．【答案】10km
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，延长交于，如下图：
观察图形可得：（km），
（km），
在中，
（km）．
故答案为：10km．
【分析】过点作，垂足为，延长交于，利用已知可得到AC、BC的长，再利用勾股定理求出AB的长.
14．【答案】解：（1）
；
（2）由①得③，
把③代入②得，
解得，
把代入③得，
∴
【知识点】二次根式的混合运算；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，然后合并即可.
（2）利用方程①，用含y的代数式表示出x，将其代入方程②消去x可求出y的值，然后求出x的值，可得到方程组的解.
15．【答案】（1）60，
解：读4本的人数有： (人)，
补全条形统计图：
（2）解：本次所抽取学生“读书量”的平均数是： (本)；
答：本次所抽取学生“读书量”的平均数为3本
（3）根据题意得：（人），答：该校八年级学生中，“读书量”为4本及以上的学生人数有150人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次被调查的学生有：（人）
故答案为：60；
【分析】（1）根据2本的人数和所占的百分比求出总人数，再乘以读4本书人数所占的百分比求出读4本书的人数；从而补全统计图即可；
（2）利用平均数的定义即可；
（3）用八年级的总人数乘以“读书量”为4本及以上的学生人数所占的百分比，列式计算即可．
（1）解：本次被调查的学生有：（人），
读4本的人数有： (人)，
补全条形统计图：
故答案为：60；
（2）本次所抽取学生“读书量”的平均数是：
(本)；
答：本次所抽取学生“读书量”的平均数为3本；
（3）根据题意得：（人），
答：该校八年级学生中，“读书量”为4本及以上的学生人数有150人．
16．【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：为直角三角形．理由如下，理由：由勾股定理得，，
，
，
∴，
∴，
∴为直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理；作图﹣轴对称；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质分别作出对称点，，，然后画出.
（2）利用勾股定理求出BC、CD、BD的长，再利用勾股定理的逆定理可证得，即可证得结论．
（1）解：如图，即为所求．
；
（2）解：为直角三角形．理由如下，
理由：由勾股定理得，，
，
，
∴，
∴，
∴为直角三角形．
17．【答案】（1）3，12
（2）解：，
∴驶出服务区后剩余油量Q与行驶时间t之间的函数关系式为
（3）解：要到达目的地，油箱中的油不够用．
理由如下：（小时），（升），
∵，
∴要到达目的地，油箱中的油不够用
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：师傅行驶3小时后去服务区休息，每小时耗油量（升）．
故答案为：3，12；
【分析】（1）观察图象可知师傅行驶几小时后去服务区休息，利用每小时耗油量=耗油量÷行驶时间计算即可；
（2）根据剩余油量=驶出服务区时油箱的油量-每小时耗油量×行驶时间解答，列式可得到Q与t之间的关系式.
（3）根据时间=路程÷速度求出到贵阳还需要多长时间，从而计算出这段时间的耗油量并与加完油时油箱里的油量相比即可得出结论．
（1）解：师傅行驶3小时后去服务区休息，每小时耗油量（升）．
故答案为：3，12；
（2）解：，
∴驶出服务区后剩余油量Q与行驶时间t之间的函数关系式为；
（3）解：要到达目的地，油箱中的油不够用．理由如下：
（小时），（升），
∵，
∴要到达目的地，油箱中的油不够用．
18．【答案】解：（1）①，
，
，
，
，
；
②设，则，
在中，
，
，
，
，
作于，
平分，
，，，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
，
即的长为；
（2），
，
，
，
，
，，
作于，
，
，
，
中，，
作于，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
中，．
当点在点右侧时，如图4，
由题得
，
，
，
，
设，
，
，
经检验：是方程的解，
，
，
，
在上取点，使，连接，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的长为或
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）①由，可求出AC的长，即可得到CD的长，再利用勾股定理求出AD的长；②设，可表示出CD的长，利用勾股定理可得到关于x的方程 ，解方程求出x的值，可得到CD的长；作于，利用角平分线的性质可证得EG=EC，利用AAS可证得△DEG≌△DEC，利用全等三角形的性质可求出DG的长，由此可求出AG的长；设，可表示出GE的长，利用勾股定理可得到关于y的方程，解方程求出y的值，可得到AE的长.
（2）利用有已知条件可求出AC、BD、CD的长利用勾股定理求出AD的长；利用三角形的面积公式可求出DM的长，利用勾股定理求出AM的长，再利用AAS可证得△NFA≌△MAD，利用全等三角形的性质可求出FN、AN的长，即可求出BN的长，然后利用勾股定理求出BF的长；当点在点右侧时，利用勾股定理求出AD的长，设CE=x，利用勾股定理可表示出AE的长，利用三角形的面积公式可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CE、AE、EF的长；在上取点，使，连接，可得到EG的长；利用SAS可证得△BEF≌△GEA，利用全等三角形的性质可知BF=AG，再求出AG的长，然后利用勾股定理求出BF的长.
19．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长，
∴点A表示的实数是，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理，两点间的距离即可求出答案.
20．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与交于点，∴，
∴点，
∴方程组的解为．
故答案为：
【分析】将P点的坐标代入函数的解析式可求出m的值，可得到点P的坐标，根据P点的坐标可得到方程组的解.
21．【答案】
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得三个正方形的边长分别为，，2，
图中阴影部分的面积：．
故答案为：．
【分析】利用已知条件可求出三个正方形的边长，然后用一个长为，宽为2的矩形的面积减去两个正方形的面积，可得到图中阴影部分的面积．
22．【答案】
【知识点】矩形的性质；轴对称的性质；四边形-动点问题；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图1，连接AF，
∵CF=MF，∠CFM=90°，
∴，
∴当CF最小时，CM最小，
∵点F和点A关于直线BE对称，
∴BE垂直平分AF，
∴FB=AB=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=8，
∵CF+FB≥BC即CF+6≥8，
∴CF≥2，
∴当点F落在BC上时CF的值最小为2，此时CM的值最小；
如图2，点F在BC上，则∠BFM=∠CFM=90°，
∵BC=8，FB=6，
∴MF=CF=BC-FB=8-6=2，
∴，
∴
∴当CM最小时，△BFM的周长为
故答案为：.
【分析】如图1，连接AF，利用勾股定理可得到CM与CF的数量关系，由此可知当CF最小时，CM最小，利用长轴对称的性质易证BE垂直平分AF，利用垂直平分线的性质可求出FB的长，利用矩形的性质可得到BC的长，利用三角形三边关系可得到CF的取值范围及CF的最小值；如图2，点F在BC上，则∠BFM=∠CFM=90°，易求出MF的长，利用勾股定理求出BM的长， 可求出当CM最小时△BFM的周长.
23．【答案】3115；8136
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：∵，，
∴四位数．
∴，．
∴．
∴当时，a可以取得最小值3．
又，
∴；
∵，
∴
．
∵为整数，
∴为整数．
又，，
∴或．①当时．根据题意可知，，
∴，．∴．
∴．
∴不符合题意．
②当，且，时．
根据题意，得，
∴，．
∴．
∵ K为正整数，
∴．
∴．
∴；
∴．
③当，且，时．
根据题意，得，
∴，．
∴．
∵K为正整数，．
∴不合．
∴．
综上所述，符合条件的的最大值为8136．
故答案为：3115，8136．
【分析】当，时，可知，，则，当时， a可以取得最小值3，且，据此即可求得答案；根据和为整数，可求得为整数，可得或，分情况逐一讨论即可求得答案．
24．【答案】（1）解：设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元．
根据题意，得，
解得．
答：每件A款吉祥物的价格是70元，每件B款吉祥物的价格是40元
（2）解：，∵，
∴W随m的减小而减小，
∵，
∴当时，W值最小，．
答：总费用为W与数量m之间的函数关系式为，总费用最少为520元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）分别设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元，利用已知条件： 购买A款吉祥物1件和B款吉祥物3件，则需190元；若购买A款吉祥物2件和B款吉祥物1件，则需180元，可列二元一次方程组，然后求出方程组的解.
（2）根据“总费用=每件A款吉祥物的价格×购买A款吉祥物数量+每件B款吉祥物的价格×购买B款吉祥物数量”，可得到W与m之间的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，可求出的最小值．
（1）解：设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元．
根据题意，得，
解得．
答：每件A款吉祥物的价格是70元，每件B款吉祥物的价格是40元；
（2）解：，
∵，
∴W随m的减小而减小，
∵，
∴当时，W值最小，．
答：总费用为W与数量m之间的函数关系式为，总费用最少为520元．
25．【答案】（1）解：中，时，；时，，∴，，
代入，
得，
∴，
当时，，
∴，
∴
（2）解：设，则，连接，
∵，，
∴，，
∵D是中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵ F是E关于原点的对称点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，∴，
∴
（3）解：设，则，连接，
∵垂直平分，
∴，
由折叠知，，
∴，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
由（2）得，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，或，
∴或
【知识点】等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】利用一次函数y=-x+4，由x=0求出对应的y的值，由y=0可求出对应的x的值，可得到点A、B的坐标；再将点B的坐标代入一次函数y=x+b可求出b的值，可得到一次函数解析式，求出当y=0时的x的值，可得到点C的坐标，再利用中点坐标公式可求出点D的坐标.
（2）设，利用坐标系中两点之间的距离公式可表示出BE的长，连接OD，利用勾股定理求出BC的长，同时可求出BD的长，利用三角形的面积公式可求出△OED和△OBD的面积；利用已知F是E关于原点的对称点，可得OF=OE，可求出△EDF的面积，同时可表示出△BDE的面积，根据，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点E的坐标.
（3）设，利用坐标系中两点之间的距离公式可表示出BE的长，连接，利用垂直平分线的性质 和折叠的性质可证得，是等边三角形，可推出，同时可推出CE=2BE，利用勾股定理求出BE的长，从而可求出x的值，即可得到点E的坐标.
（1）解：中，时，；时，，
∴，，
代入，
得，
∴，
当时，，
∴，
∴；
（2）设，则，
连接，
∵，，
∴，，
∵D是中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵ F是E关于原点的对称点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，∴，
∴；
（3）设，则，
连接，
∵垂直平分，
∴，
由折叠知，，
∴，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
由（2）得，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，或，
∴或．
26．【答案】（1）证明：∵是等腰直角三角形，∴，，
∵正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：∵点E是的中点，∴，
设，则，
延长至，使，连接，，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，即，
解得，
∴线段的长度为
（3）解：连接，，
∵是等腰直角三角形，四边形是正方形，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∴等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当共线时，有最小值，最小值为的长，
∵G是的中点，
∴，
∴的最小值为
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；四边形-动点问题；四点共圆模型
【解析】【分析】（1）利用正方形和等腰直角三角形的性质，可证得，，，，再利用余角的性质可证得结论.
（2）设，可表示出BN的长，延长至，使，连接，，利用SAS证明，利用全等三角形的性质可证得，，再利用SAS证明，推出，在中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AN的长.
（3）连接，，利用圆周角定理可证得四点共圆，可推出，可证得△PED是等腰直角三角形可得到，再利用SAS可证得△BAP≌△DAP，利用全等三角形的性质可得到PB=PD，据此可证得，当共线时，有最小值，最小值为的长，然后求出BG的长即可.
（1）证明：∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵点E是的中点，
∴，
设，则，
延长至，使，连接，，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，即，
解得，
∴线段的长度为；
（3）解：连接，，
∵是等腰直角三角形，四边形是正方形，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∴等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当共线时，有最小值，最小值为的长，
∵G是的中点，
∴，
∴的最小值为．
1 / 1四川省成都市东部新区2024-2025学年上学期学业质量监测八年级数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2025八上·成都期末）下列各数是无理数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、，是有理数，不符合题意；
B、是无理数，符合题意；
C、是有限小数，即分数，属于有理数，不符合题意；
D、，是有理数，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，再对各选项判断即可
2．（2025八上·成都期末）在平面直角坐标系中，点 在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点（1，2）所在的象限是第一象限.
故答案为：A.
【分析】由点A的横纵坐标的符号，可判断出点A所在的象限.
3．（2025八上·成都期末）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．两个锐角之和一定是钝角
B．对顶角相等
C．三角形的外角大于三角形的内角
D．两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等
【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两锐角的和不一定是钝角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、对顶角相等，正确，是真命题，符合题意；
C、三角形的外角大于不相邻的内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、两条平行直线被第三条直线所截，截得的内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用锐角和钝角的定义、对顶角的性质、三角形的外角的性质及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
4．（2025八上·成都期末）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．1，2，5 C．4，4，4 D．6，8，10
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.，不能构成直角三角形，不符合题意；
B.，不能构成三角形，不符合题意；
C.，不能构成直角三角形，不符合题意；
D. ，能构成直角三角形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理的逆定理，分别对各选项进行计算即可．
5．（2025八上·成都期末）“活力东部新区，运动未来之城”，2024年11月22日-24日，成都东部新区第二届中小学生田径运动会在成都东部新区某校隆重举行．本次运动会中，参加男子跳远的15名中学生运动员的身高如下表所示：
身高（m） 1.66 1.68 1.70 1.72 1.73 1.75 1.76
人数 1 1 1 4 3 3 2
这些运动员身高的众数是（　　）
A．1.72 B．1.73 C．1.75 D．1.76
【答案】A
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵1.72出现了4次，出现的次数最多，
∴众数是1.72．
故答案为：A．
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，由此可得答案.
6．（2025八上·成都期末）《九章算术》是中国古代的数学专著，第七章“盈不足”盈亏问题，记录这样一道问题：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价几何？译文为：有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，还差4元，设共有x人，物品单价y元，则下面方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组；古代诗中的数学
【解析】【解答】解：依题意，得：
．
故答案为：B．
【分析】利用已知条件：“每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组．
7．（2025八上·成都期末）如图，一束平行于主光轴（图中的虚线）的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为焦点．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵光线平行于主光轴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【分析】利用l两直线平行，同旁内角互补可求出∠PFO的度数，利用对顶角相等可求出∠POF的度数，然后利用三角形的外角的性质可求出∠3的度数.
8．（2025八上·成都期末）在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，发现在水沸腾前，水的温度与加热时间x（分钟）之间满足一次函数关系，如表记录了实验中温度和时间x（分钟）变化的部分数据．
时间x/分钟 6 10 15 …
时间 28 40 55 …
则加热18分钟时水的温度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数自变量的取值范围；待定系数法求一次函数解析式；用表格表示变量间的关系；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设y与x的解析式为，
由表格数据知：当时，； 当时，．
∴，
解得：，
∴y与x的解析式为，
当时，
（），
∴加热18分钟时水的温度是．
故答案为：B。
【分析】设y与x的解析式为，根据表格中信息可知，当时，； 当时，，将以上两组数代入解析式中，得到关于k，b二元一次方程组，求出y与x的解析式，然后再将代入解析式，然后再进行求解即可。
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（2025八上·成都期末）无理数的相反数是　 　．
【答案】
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：数的相反数是．
故答案为：．
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，即可求出已知数的相反数.
10．（2025八上·成都期末）已知在平面直角坐标系中，点在第二象限，且点到轴和轴的距离相等，则的值为　 　．
【答案】0
【知识点】点的坐标与象限的关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点A(m，n)在第二象限，且点A到x轴和y轴的距离相等，
故答案为：0.
【分析】根据点A(m，n)在第二象限，且点A到x轴和y轴的距离相等，可得出m=-n，即可求解.
11．（2025八上·成都期末）甲，乙，丙，丁四名射击运动员进行射击测试.每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环）如下表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择　 　．
　 甲 乙 丙 丁
9 8 9 9
【答案】丁
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由表知甲、丙、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙的平均数，
从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛，
丁的方差较小，
选择丁参加比赛，
故答案为：丁．
【分析】根据平均环数比较成绩的优劣，再根据方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定．
12．（2025八上·成都期末）在平面直角坐标系中，点O为原点，直线交x轴于点，交y轴上半轴于点B．若的面积为4，则B点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵的面积为4，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用点A的坐标先求出的长，再根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案．
13．（2025八上·成都期末）国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是　 　．
【答案】10km
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，延长交于，如下图：
观察图形可得：（km），
（km），
在中，
（km）．
故答案为：10km．
【分析】过点作，垂足为，延长交于，利用已知可得到AC、BC的长，再利用勾股定理求出AB的长.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（2025八上·成都期末）（1）计算：；
（2）解方程组：
【答案】解：（1）
；
（2）由①得③，
把③代入②得，
解得，
把代入③得，
∴
【知识点】二次根式的混合运算；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，然后合并即可.
（2）利用方程①，用含y的代数式表示出x，将其代入方程②消去x可求出y的值，然后求出x的值，可得到方程组的解.
15．（2025八上·成都期末）某校为响应“双减”政策减负提质的要求，践行新时代新阅读，发挥阅读育人功能，营造书香溢满校园、阅读浸润少年的浓厚氛围，学校对八年级学生开展“书香满校园，阅读伴成长”读书活动．学校为了解学生读书量情况，进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的读书量（单位：本）进行了统计，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
（1）本次被调查的学生有________人，并补全条形统计图；
（2）求本次所抽取学生“读书量”的平均数；
（3）已知该校八年级有500名学生，请你估计该校八年级学生中，“读书量”为4本及以上的学生人数．
【答案】（1）60，
解：读4本的人数有： (人)，
补全条形统计图：
（2）解：本次所抽取学生“读书量”的平均数是： (本)；
答：本次所抽取学生“读书量”的平均数为3本
（3）根据题意得：（人），答：该校八年级学生中，“读书量”为4本及以上的学生人数有150人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次被调查的学生有：（人）
故答案为：60；
【分析】（1）根据2本的人数和所占的百分比求出总人数，再乘以读4本书人数所占的百分比求出读4本书的人数；从而补全统计图即可；
（2）利用平均数的定义即可；
（3）用八年级的总人数乘以“读书量”为4本及以上的学生人数所占的百分比，列式计算即可．
（1）解：本次被调查的学生有：（人），
读4本的人数有： (人)，
补全条形统计图：
故答案为：60；
（2）本次所抽取学生“读书量”的平均数是：
(本)；
答：本次所抽取学生“读书量”的平均数为3本；
（3）根据题意得：（人），
答：该校八年级学生中，“读书量”为4本及以上的学生人数有150人．
16．（2025八上·成都期末）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是点，，，与关于x轴对称，其中，，分别是点A，B，C的对应点．
（1）画出；
（2）已知点D的坐标为，试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：为直角三角形．理由如下，理由：由勾股定理得，，
，
，
∴，
∴，
∴为直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理；作图﹣轴对称；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质分别作出对称点，，，然后画出.
（2）利用勾股定理求出BC、CD、BD的长，再利用勾股定理的逆定理可证得，即可证得结论．
（1）解：如图，即为所求．
；
（2）解：为直角三角形．理由如下，
理由：由勾股定理得，，
，
，
∴，
∴，
∴为直角三角形．
17．（2025八上·成都期末）一天下午，李师傅开车从成都到贵阳，货车出发前油箱中有50升油，行驶一段时间后，师傅就到服务区休息了一会儿．休息一小时后，师傅打算继续上路向贵阳方向行驶时，发现油箱中的油不多了，于是就在该服务区的加油站加了油（加油时间忽略不计），才继续上路行驶．已知进入服务区前和驶出服务区后货车都匀速行驶，且货车加油前后行驶时每小时的耗油量相同．油箱中剩余油量Q（升）与货车的行驶时间t（时）之间的函数图象如图所示．
（1）师傅行驶________小时后去服务区休息，每小时耗油量________升；
（2）求驶出服务区后剩余油量Q与行驶时间t之间的函数关系式；
（3）加完油时，此时距贵阳还有400千米，若货车行驶的速度为80千米/时，要到达目的地，邮箱中的油是否够用？如果不够，请说明理由；如果够用，则到达目的后，邮箱里还剩多少升油？
【答案】（1）3，12
（2）解：，
∴驶出服务区后剩余油量Q与行驶时间t之间的函数关系式为
（3）解：要到达目的地，油箱中的油不够用．
理由如下：（小时），（升），
∵，
∴要到达目的地，油箱中的油不够用
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：师傅行驶3小时后去服务区休息，每小时耗油量（升）．
故答案为：3，12；
【分析】（1）观察图象可知师傅行驶几小时后去服务区休息，利用每小时耗油量=耗油量÷行驶时间计算即可；
（2）根据剩余油量=驶出服务区时油箱的油量-每小时耗油量×行驶时间解答，列式可得到Q与t之间的关系式.
（3）根据时间=路程÷速度求出到贵阳还需要多长时间，从而计算出这段时间的耗油量并与加完油时油箱里的油量相比即可得出结论．
（1）解：师傅行驶3小时后去服务区休息，每小时耗油量（升）．
故答案为：3，12；
（2）解：，
∴驶出服务区后剩余油量Q与行驶时间t之间的函数关系式为；
（3）解：要到达目的地，油箱中的油不够用．理由如下：
（小时），（升），
∵，
∴要到达目的地，油箱中的油不够用．
18．（2025八上·成都期末）（1）如图1，在中，，，点D为线段上一点，连接，
①若，求的长；
②如图2，当，作平分，交于E，求的长；
（2）如图3，在中，，，点D为射线上一点，连接，将线段绕A点顺时针旋转得，连接，当时，求的长．
【答案】解：（1）①，
，
，
，
，
；
②设，则，
在中，
，
，
，
，
作于，
平分，
，，，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
，
即的长为；
（2），
，
，
，
，
，，
作于，
，
，
，
中，，
作于，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
中，．
当点在点右侧时，如图4，
由题得
，
，
，
，
设，
，
，
经检验：是方程的解，
，
，
，
在上取点，使，连接，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的长为或
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）①由，可求出AC的长，即可得到CD的长，再利用勾股定理求出AD的长；②设，可表示出CD的长，利用勾股定理可得到关于x的方程 ，解方程求出x的值，可得到CD的长；作于，利用角平分线的性质可证得EG=EC，利用AAS可证得△DEG≌△DEC，利用全等三角形的性质可求出DG的长，由此可求出AG的长；设，可表示出GE的长，利用勾股定理可得到关于y的方程，解方程求出y的值，可得到AE的长.
（2）利用有已知条件可求出AC、BD、CD的长利用勾股定理求出AD的长；利用三角形的面积公式可求出DM的长，利用勾股定理求出AM的长，再利用AAS可证得△NFA≌△MAD，利用全等三角形的性质可求出FN、AN的长，即可求出BN的长，然后利用勾股定理求出BF的长；当点在点右侧时，利用勾股定理求出AD的长，设CE=x，利用勾股定理可表示出AE的长，利用三角形的面积公式可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CE、AE、EF的长；在上取点，使，连接，可得到EG的长；利用SAS可证得△BEF≌△GEA，利用全等三角形的性质可知BF=AG，再求出AG的长，然后利用勾股定理求出BF的长.
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（2025八上·成都期末）如图，在数轴上点A表示的实数是　 　．
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长，
∴点A表示的实数是，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理，两点间的距离即可求出答案.
20．（2025八上·成都期末）已知直线与交于点，则方程组的解为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与交于点，∴，
∴点，
∴方程组的解为．
故答案为：
【分析】将P点的坐标代入函数的解析式可求出m的值，可得到点P的坐标，根据P点的坐标可得到方程组的解.
21．（2025八上·成都期末）如图，矩形内三个相邻的正方形的面积分别为4，3，2，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得三个正方形的边长分别为，，2，
图中阴影部分的面积：．
故答案为：．
【分析】利用已知条件可求出三个正方形的边长，然后用一个长为，宽为2的矩形的面积减去两个正方形的面积，可得到图中阴影部分的面积．
22．（2025八上·成都期末）如图，在长方形中，已知，，点E是边上的一个动点，连接，作点A关于直线的对称点F，连接，，以F为直角顶点，为直角边，在右侧作等腰，且，则当最小时，的周长为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；轴对称的性质；四边形-动点问题；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图1，连接AF，
∵CF=MF，∠CFM=90°，
∴，
∴当CF最小时，CM最小，
∵点F和点A关于直线BE对称，
∴BE垂直平分AF，
∴FB=AB=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=8，
∵CF+FB≥BC即CF+6≥8，
∴CF≥2，
∴当点F落在BC上时CF的值最小为2，此时CM的值最小；
如图2，点F在BC上，则∠BFM=∠CFM=90°，
∵BC=8，FB=6，
∴MF=CF=BC-FB=8-6=2，
∴，
∴
∴当CM最小时，△BFM的周长为
故答案为：.
【分析】如图1，连接AF，利用勾股定理可得到CM与CF的数量关系，由此可知当CF最小时，CM最小，利用长轴对称的性质易证BE垂直平分AF，利用垂直平分线的性质可求出FB的长，利用矩形的性质可得到BC的长，利用三角形三边关系可得到CF的取值范围及CF的最小值；如图2，点F在BC上，则∠BFM=∠CFM=90°，易求出MF的长，利用勾股定理求出BM的长， 可求出当CM最小时△BFM的周长.
23．（2025八上·成都期末）若一个各位数字均不为0的四位数（，，，a，b，c，d均为整数）满足：把N的千位数字a作为十位数字，N的十位数字c作为个位数字组成的两位数与5的和记作X，N的千位数字a与个位数字d的3倍的和记作Y，如果X的各位数字之和与Y的和是一个正整数K的立方，则称这个四位数为“开心数”，正整数K称“开心元素”；当，时，最小“开心数”为　 　；若“开心数”N满足前两位数字之和与后两位数字之和相等，且为整数，则满足条件的最大M为　 　．
【答案】3115；8136
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：∵，，
∴四位数．
∴，．
∴．
∴当时，a可以取得最小值3．
又，
∴；
∵，
∴
．
∵为整数，
∴为整数．
又，，
∴或．①当时．根据题意可知，，
∴，．∴．
∴．
∴不符合题意．
②当，且，时．
根据题意，得，
∴，．
∴．
∵ K为正整数，
∴．
∴．
∴；
∴．
③当，且，时．
根据题意，得，
∴，．
∴．
∵K为正整数，．
∴不合．
∴．
综上所述，符合条件的的最大值为8136．
故答案为：3115，8136．
【分析】当，时，可知，，则，当时， a可以取得最小值3，且，据此即可求得答案；根据和为整数，可求得为整数，可得或，分情况逐一讨论即可求得答案．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（2025八上·成都期末）成都世博会吉祥物为可爱的“桐妹儿”，寓意和平友好、包容互鉴，富有深刻的文化内涵和巴蜀特色．五一假期，小明参观完世博会后，准备购买世博会纪念品送给同学，现有A，B两款吉祥物“桐妹儿”．若购买A款吉祥物1件和B款吉祥物3件，则需190元；若购买A款吉祥物2件和B款吉祥物1件，则需180元．
（1）求每件A款吉祥物和每件B款吉祥物的价格；
（2）小明准备购买两款吉祥物共10件，若购买A款吉祥物数量为m件，购买A，B两款吉祥物总费用为W元，请写出总费用为W与数量m之间的函数关系式，并求出总费用最少为多少元？
【答案】（1）解：设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元．
根据题意，得，
解得．
答：每件A款吉祥物的价格是70元，每件B款吉祥物的价格是40元
（2）解：，∵，
∴W随m的减小而减小，
∵，
∴当时，W值最小，．
答：总费用为W与数量m之间的函数关系式为，总费用最少为520元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）分别设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元，利用已知条件： 购买A款吉祥物1件和B款吉祥物3件，则需190元；若购买A款吉祥物2件和B款吉祥物1件，则需180元，可列二元一次方程组，然后求出方程组的解.
（2）根据“总费用=每件A款吉祥物的价格×购买A款吉祥物数量+每件B款吉祥物的价格×购买B款吉祥物数量”，可得到W与m之间的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，可求出的最小值．
（1）解：设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元．
根据题意，得，
解得．
答：每件A款吉祥物的价格是70元，每件B款吉祥物的价格是40元；
（2）解：，
∵，
∴W随m的减小而减小，
∵，
∴当时，W值最小，．
答：总费用为W与数量m之间的函数关系式为，总费用最少为520元．
25．（2025八上·成都期末）如图1所示，一次函数图象与x轴相交与点A，与y轴相交于点B，过点B作一次函数的图象与x轴相交与点C，D是线段的中点；
（1）求b的值及点D的坐标；
（2）如图2，E是线段上一动点，F是E关于原点的对称点，连接，，，当时，求点E的坐标；
（3）如图3，E是直线上一动点，连接，，将沿直线翻折，使得B点的对应点落在直线上，求此时点E的坐标．
【答案】（1）解：中，时，；时，，∴，，
代入，
得，
∴，
当时，，
∴，
∴
（2）解：设，则，连接，
∵，，
∴，，
∵D是中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵ F是E关于原点的对称点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，∴，
∴
（3）解：设，则，连接，
∵垂直平分，
∴，
由折叠知，，
∴，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
由（2）得，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，或，
∴或
【知识点】等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】利用一次函数y=-x+4，由x=0求出对应的y的值，由y=0可求出对应的x的值，可得到点A、B的坐标；再将点B的坐标代入一次函数y=x+b可求出b的值，可得到一次函数解析式，求出当y=0时的x的值，可得到点C的坐标，再利用中点坐标公式可求出点D的坐标.
（2）设，利用坐标系中两点之间的距离公式可表示出BE的长，连接OD，利用勾股定理求出BC的长，同时可求出BD的长，利用三角形的面积公式可求出△OED和△OBD的面积；利用已知F是E关于原点的对称点，可得OF=OE，可求出△EDF的面积，同时可表示出△BDE的面积，根据，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点E的坐标.
（3）设，利用坐标系中两点之间的距离公式可表示出BE的长，连接，利用垂直平分线的性质 和折叠的性质可证得，是等边三角形，可推出，同时可推出CE=2BE，利用勾股定理求出BE的长，从而可求出x的值，即可得到点E的坐标.
（1）解：中，时，；时，，
∴，，
代入，
得，
∴，
当时，，
∴，
∴；
（2）设，则，
连接，
∵，，
∴，，
∵D是中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵ F是E关于原点的对称点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，∴，
∴；
（3）设，则，
连接，
∵垂直平分，
∴，
由折叠知，，
∴，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
由（2）得，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，或，
∴或．
26．（2025八上·成都期末）如图，在边长为2正方形中，E为边上一动点（点E不与B，C重合），连接，以为直角边作等腰直角三角形，其斜边与正方形边相交于点N，连接．
（1）求证：；
（2）当E运动到的中点时，求线段的长度；
（3）如图2，连接交与点P，G是的中点，连接，，当等于多少时，的最小，并求出最小值？
【答案】（1）证明：∵是等腰直角三角形，∴，，
∵正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：∵点E是的中点，∴，
设，则，
延长至，使，连接，，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，即，
解得，
∴线段的长度为
（3）解：连接，，
∵是等腰直角三角形，四边形是正方形，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∴等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当共线时，有最小值，最小值为的长，
∵G是的中点，
∴，
∴的最小值为
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；四边形-动点问题；四点共圆模型
【解析】【分析】（1）利用正方形和等腰直角三角形的性质，可证得，，，，再利用余角的性质可证得结论.
（2）设，可表示出BN的长，延长至，使，连接，，利用SAS证明，利用全等三角形的性质可证得，，再利用SAS证明，推出，在中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AN的长.
（3）连接，，利用圆周角定理可证得四点共圆，可推出，可证得△PED是等腰直角三角形可得到，再利用SAS可证得△BAP≌△DAP，利用全等三角形的性质可得到PB=PD，据此可证得，当共线时，有最小值，最小值为的长，然后求出BG的长即可.
（1）证明：∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵点E是的中点，
∴，
设，则，
延长至，使，连接，，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，即，
解得，
∴线段的长度为；
（3）解：连接，，
∵是等腰直角三角形，四边形是正方形，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∴等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当共线时，有最小值，最小值为的长，
∵G是的中点，
∴，
∴的最小值为．
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