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浙江省宁波市镇海区尚志中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷
1．（2025八上·镇海区期中）下面四个图形分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八上·镇海区期中）已知a＜b，下列式子不成立的是（　　）
A．a+1＜b+1 B．3a＜3b C．-2a＜-2b D．a-b＜0
3．（2025八上·镇海区期中）在平面直角坐标系xOy中，点P(-3，5)关于x轴的对称点的坐标是(　　)
A．(3， 5) B．(3， - 5)
C．(5， - 3) D．(-3， - 5)
4．（2025八上·镇海区期中） 如图， 已知BD⊥AE于点B， BC═BE， 要使△ABC≌△DBE， 需补充的条件不可以是(　　)
A．AC=DE B．∠A=∠D C．AB=BD D．AC=BD
5．（2025八上·镇海区期中）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是(　　)
A．
B．a： b： c=5： 12： 13
C．∠C=∠A-∠B
D．∠A： ∠B： ∠C=3： 4： 5
6．（2025八上·镇海区期中）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是 (　　)
A． B．
C． D．
7．（2025八上·镇海区期中）为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个25元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么小张同学应该买的球拍的个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（2025八上·镇海区期中）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，将△ABC如图折叠，使点A 与点B重合，则折痕DE的长是(　　)
A． B． C． D．
9．（2025八上·镇海区期中） 如图， 在△ABC中， ∠ABC=60°， AD平分∠BAC交BC于点D， CE平分∠ACB交AB于点E， AD、CE交于点F. ①∠AFC=120°； ②若 CE⊥AB， 则AB=2AE； ③S△ACE=S△BCE； ④CD+AE=AC. 则上列说法一定正确的是(　　)
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
10．（2025八上·镇海区期中）如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点 P，若正方形ABCD 的面积为30， AE+BE=7， 则△CFP与△AEP 的面积差是 (　　)
A． B．7 C． D．11
11．（2025八上·镇海区期中）“内错角相等，两直线平行”的逆命题是　 　．
12．（2025八上·镇海区期中）在平面直角坐标系中，若点P(-3，m-1)在第三象限，则m的取值范围是 　 　.
13．（2025八上·镇海区期中）如图，△ABC中，分别以点A、点B为圆心、大于 AB长为半径作弧，两弧相交于点F，H，作直线FH分别交AC，AB 于点D，E，连接DB，若AE=5，△ABC的周长为22，则△BCD 的周长为　 　.
14．（2025八上·镇海区期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D，E分别是AB、AC的中点，在CD上找一点P，连接AP、EP，当AP+EP最小时，这个最小值是　 　.
15．（2025八上·镇海区期中） 已知等腰△ABC 中， AB=AC， ∠CAB=120°， D是直线BC上一点(不与B、C重合)， 连接AD， 若△ABD 是等腰三角形， 则∠DAC=　 　 .
16．（2025八上·镇海区期中） 如图， 在△ABC 中， ∠BAC=90°， ∠B=30°， 点E为AB的中点， 点D、F分别为BC、AC上的点，连结DE、EF、DF， 若DE⊥FE， BD =6， AF =2， 则DF的长度为　 　.
17．（2025八上·镇海区期中）解不等式或不等式组：
（1） 解不等式： 2(x-1) <3 (x+1) - 2， 并把它的解集在数轴上表示出来.
（2）解不等式组
18．（2025八上·镇海区期中） 如图， 已知点A、D、B、E在同一直线上， BC， DF交于H， AC=EF， AD=BE， ∠A=∠E.求证： DH=BH.
19．（2025八上·镇海区期中） 已知A (-3， - 2)， B (2， - 2)， C (3， 1)， D (-2， 1) 四个点.
（1） 在图中描出A， B， C， D四个点， 顺次连接A， B， C， D， A；
（2）直接写出线段AB，CD之间的数量关系和位置关系；
（3）在y轴上是否存在点 P，使S△PAB=S 四边形ABCD若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由.
20．（2025八上·镇海区期中） 如图， AB⊥BC， AB=4， BC=3， DC=12， AD=13.
（1）连接AC，判断△ACD的形状并说明理由；
（2）计算四边形ABCD 的面积.
21．（2025八上·镇海区期中）电影《哪吒之魔童闹海》上映15天总票房突破91亿，成为中国影史首部票房破90亿元电影，档期结束后热度依然不减.某商家抓住商机购进A、B两种类型的哪吒纪念娃娃进行销售，已知购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元.
（1）每个A种娃娃和每个B 种娃娃的进价分别是多少元
（2）根据网上预约情况，该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中B种娃娃的数量不超过A 种娃娃数量的3倍，商家有哪几种进货方案
22．（2025八上·镇海区期中） 如图， △ABC中， ∠ACB=90°， 点D 是边BC上一点， DE⊥AB 于点E， 点F是线段AD 的中点， 连接EF， CF.
（1） 求证： EF=CF；
（2） 求证： ∠EFC=2∠BAC
（3） 若∠BAC=45°， AD=6， 求C， E两点间的距离.
23．（2025八上·镇海区期中）一个三角形被一条中线分割成两个三角形，如果分成的这两个三角形中至少有一个为等腰三角形，则称这个三角形为奇妙三角形，这条中线为奇妙线.
（1） 如图1，在△ABC中，已知AB（2） 如图2， 已知△ABC， AD⊥BC于点D， BD=2， CD=6， 求证： △ABC为奇妙三角形.
（3） 已知△ABC为奇妙三角形， 且AD为奇妙线， AB=3， AC=5， 求BC的长.
24．（2025八上·镇海区期中） 如图1， 在长方形ABCD中， AB=5， AD=8， 点E在边BC上， 且BE=3， 动点P从点E出发， 沿折线EB-BA-AD 以每秒1个单位长度的速度运动. 作∠PEQ=90°， EQ交长方形的边于点Q，.连接PQ. 设点P 的运动时间为t秒.(t>0)
（1）当点P 和点B 重合时，求线段 PQ 的长；
（2）如图2，当点P在边AD 上时，猜想△PQE 的形状，并说明理由；
（3）作点E关于直线PQ的对称点F，当点F恰好落在边AB上时，直接写出t的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A、不是轴对称图形，A不符合题意；
B、不是轴对称图形，B不符合题意；
C、不是轴对称图形，C不符合题意；
D、是轴对称图形，D符合题意.
故答案为：D．
【分析】本题根据轴对称的定义进行判别即可得到结论.
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A、∵a＜b，∴根据不等式性质1：a+1＜b+1，成立，A不符合题意；
B、∵a＜b，∴根据不等式性质2：3a＜3b，成立，B不符合题意；
C、∵a＜b，∴根据不等式性质3：-2a>-2b，C符合题意；
D、∵a＜b，∴移项，a-b＜0，成立，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】本题考查不等式的基本性质，根据三条不等式的性质逐项判断正误即可. 注意C选项，不等式两边同时乘以负数，不等号的方向要改变.
3．【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：关于x轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，因此 点P(-3，5)关于x轴的对称点的坐标(-3，-5)。
故答案为：D .
【分析】本题考查平面直角坐标系中，关于坐标轴对称的点坐标之间的联系，只要熟记坐标变换规律即可轻松求解。
4．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A.若补充条件 AC=DE ，利用HL判定可证明 △ABC≌△DBE，A正确；
B.若补充条件 ∠A=∠D ，利用AAS判定可证明 △ABC≌△DBE，B正确；
C.若补充条件 AB=BD ，利用SAS判定可证明 △ABC≌△DBE，C正确；
D.若补充条件 AC=DE ，不能判定 △ABC≌△DBE，D错误。
故答案为：D .
【分析】本题考查三角形全等的五种判定SSS，SAS，ASA，AAS，HL各自的适用条件，只要熟练掌握每种判定对应的边角位置关系即可选出答案。
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A.由 得，根据勾股逆定理可知， △ABC 是直角三角形，A不符合题意；
B. 由a： b： c=5： 12： 13 可知△ABC三边满足勾股数关系，因此△ABC 是直角三角形，B不符合题意；
C. 由∠C=∠A-∠B可知，而，易求出，因此△ABC 是直角三角形，C不符合题意；
D.由 ∠A： ∠B： ∠C=3： 4： 5 可设，而，即，解得，进而求出
，因此△ABC不 是直角三角形，D符合题D.
故答案为：D .
【分析】本题考查直角三角形的判定方法，可以利用三边关系（包括勾股定理以及常见的勾股数组合）来判定，也可以通过角之间的和差倍数关系结合三角形内角和计算是否含90°角来判定。
6．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解①得
解②得
∴原不等式组的解集为
故答案为： B.
【分析】首先求出不等式组的解集为，然后在数轴上表示解集要注意有等号的解这里要画实心点，灭有等号的解这边要化成空心点。
7．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设小张同学应该买的球拍的个数为x个，
根据题意得20×1.5+25x≤200，
解得x≤6.8.
所以x的最大整数值为6.
所以小张同学应该买的球拍的个数是6个，
故答案为：B.
【分析】先计算购买20个乒乓球的费用，再用总金额减去乒乓球费用得到剩余金额，然后计算最多能购买的球拍个数，最后验证各选项的总金额是否符合要求.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知EA=EB，BD=AD.
设EA=EB=x，那么CE=8-x。
在Rt△BCE中，由勾股定理得
即
解得
在Rt△ABC中，由勾股定理得
∴BD=AD=
在Rt△BDE中，由勾股定理得
故答案为：D .
【分析】首先根据折叠的性质找出线段的相等关系EA=EB，BD=AD，然后设未知数表示相关线段的长度，利用勾股定理在Rt△BCE中求出BE=，在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB=10，BD=5，最后在Rt△BDE中利用勾股定理可求.
9．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ ∠ABC=60°
∴
∵ AD平分∠BAC ， CE平分∠ACB
∴
∴
∴
∴
故①正确；
∵ CE⊥AB， CE平分∠ACB
∴
在 △ACE与△BCE中，
∴
∴AE=BE
∴AB=AE+BE=2AE
故②正确；
∵ CE不一定是AB边的中线
∴AE与BE不一定相等
∴与不一定相等
故③错误；
在AC边上截取AG=AE，连接FG，如图所示：
∵
∴
∵ AD平分∠BAC
∴
在 △AFE与△AFG中，
∴
∴
∴
∴
∵ CE平分∠ACB
∴
在 △FDC与△FGC中，
∴
∴CD=CG
∴CD+AE=CG+AG=AC
故④正确。
故答案为： ①②④ .
【分析】利用三角形内角和定理可求，结合角平分线的定义可得，再一次由三角形内角和定理可知，①正确；由ASA判定易证从而得到对应边AE=BE，故AB=AE+BE=2AE，②正确；由于 △ACE 与 △BCE是两个同高三角形，若要面积相等必须底相等，即，而没有条件能证明，故③错误；构造相等线段AG=AE，由SAS判定证明得到对应角，进而可求，结合角平分线的定义等量代换可知，由ASA判定可证，从而得到对应边CD=CG，故CD+AE=CG+AG=AC，④正确。
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，记CP交DG于点M。
∵正方形ABCD的面积为30
∴AB2=30
设AE=x，则BE=7-x.
在Rt△AEB中，由勾股定理得AE2+BE2=AB2
∴x2+(7-x)2=30
∴2x2-14x=-19
∵
∴
∴
∵
∴AE=CG
∴
∴EP=MG，
∴
∵
=11
∴的值为
即 △CFP 与 △AEP 的面积差为
故答案为：C .
【分析】由正方形ABCD面积为30可知AB2=30，设参数表示AE，BE的长度，利用勾股定理可得2x2-14x=-19，易证，得到内错角，由ASA判定可证明，从而得到对应边EP=MG，再将 △CFP 与 △AEP 的面积差转化为，而=11，故可求=。
11．【答案】两直线平行，内错角相等
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：“内错角相等，两直线平行”的条件是：内错角相等，结论是：两直线平行．
将条件和结论互换得逆命题为：两条直线平行，内错角相等．
故答案为：两直线平行，内错角相等．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
12．【答案】m<1
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P位于第三象限
∴m-1<0
∴m<1
故答案为：m<1 .
【分析】位于第三象限内的点横纵坐标都小于0，由此建立关于m的不等式，求解即可。
13．【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：依题意FH垂直平分AB
∴DB=DA，AB=2AE=10
∵ △ABC的周长为22
∴AB+AC+BC=22
∴AC+BC=12
∵ △BCD 的周长 =BC+CD+DB
∴ △BCD 的周长 =BC+CD+DA=BC+AC=12
故答案为：12.
【分析】由尺规作图可知FH是线段AB的垂直平分线，从而得到DB=DA，AB=10，根据△ABC的周长为22可得AC+BC=12，再将△BCD 的周长转化为BC+AC即可得到答案。
14．【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D，E分别是AB、AC的中点
∴CE=AC=2，CD⊥AB
∴CD垂直平分AB，即点A、B关于直线CD对称
∴连接BE交CD于P，此时AP+EP最小且AP=BP
∴AP+EP=AP+BP=AB
在Rt△BCE中，BE=
∴AP+EP的最小值为.
【分析】先利用等腰三角形三线合一的性质证得CD垂直平分AB，即点A、B关于直线CD对称，连接BE交CD于P，可得AP+EP的最小值即为BE的长，然后在Rt△BCE中利用勾股定理求出BE的长即可得解。
15．【答案】45°或135°或90°
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角；分类讨论
【解析】【解答】解：如图
∵AB=AC，
∴
当点D在线段BC上时，
∵AB=BD
∴
∴
当点D在CB的延长线上时，
∵AB=BD
∴
∴
当AD=BD时，
综上所述，等于45°或135°或90°
故答案为：45°或135°或90° .
【分析】首先根据等腰三角形的性质易求，接着分三种情况讨论，不难求出可能等于45°或135°或90° .
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，延长DE至点G，使EG=DE，过点G作的延长线于点H，连接GA，GF。
∵点E为AB的中点
∴AE=BE
∵DE=GE，
∴
∴AG=BD=6，
∴
∴
∴
∴
在Rt中，
∵
∴DF=GF=
故答案为： .
【分析】首先利用SAS判定证明，可求出AG的长度和∠GAE的度数，解Rt△AGH得到AH与GH的长度，再利用勾股定理求出GF的长度，最后由线段垂直平分线的性质可求DF的长度。
17．【答案】（1）解：2 (x-1) <3 (x+1) - 2，
去括号得， 2x-2<3x+3-2，
移项得， 2x-3x<3-2+2，
解得： x>-3，
在数轴上表示不等式的解集如图：
（2）解：解不等式 得： x≥1，
解不等式4-2 (x-1) ≥x得： x≤2，
∴不等式组的解集为： 1≤x≤2
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】(1)先解不等式得到解集为x>-3，然后在数轴上画图即可，注意-3处要画成空心点；
(2)首先分别解两个不等式，它们的解集分别是 x≥1，x≤2，利用“大小小大中间找”可知不等式组的解集为1≤x≤2。
18．【答案】证明：∵点A、D、B、E在同一直线上， AD=BE，
∴AD+DB=BE+DB，
∴AB=ED，
在△CAB和△FED中，
∴△CAB≌△FED (SAS)，
∴∠ABC=∠EDF， 即∠DBH=∠BDH，
∴DH=BH
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】首先由AD=BE推导出AB=ED，然后可由SAS判定证明△CAB≌△FED，进而得到对应角∠DBH=∠BDH，等角对等边推出DH=BH.
19．【答案】（1）解：画出图象如图所示；
（2） AB=CD， AB∥CD；
（3）解：∵S四边形ABCD=5×3=15.
设在y轴上存在点 P (0，t)，使S△PAB=S四边形ABCD，
即|2+t|=6，
解得： t1=4 t2=-8.
∴在y轴上存在P1 (0， 4)， P2(0， - 8) 使S△PAB=S四边形ABCD
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：(2)∵ A (-3， - 2)， B (2， - 2)
∴AB=2-(-3)=5，AB平行x轴
同理CD=5，CD平行x轴
∴AB=CD，AB∥CD；
【分析】(1)根据各点坐标易描出它们的位置，再顺次连接起来即可；
(2)由A，B两点的纵坐标相等可知AB∥x轴，同理可知BD∥x轴，于是得到AB∥CD；而A，B之间的距离就等于它们横坐标之差，为5，同样C，D之间的距离也是5，因此AB=CD；
(3)先求出平行四边形ABCD的面积，然后设参数表示点P坐标，进而表示出△PAB的面积，令其等于平行四边形的面积即可求出参数值，从而得出点P坐标。
20．【答案】（1）解：△ACD是直角三角形.理由如下： 连接AC，如图
∵AB⊥BC， AB=4， BC=3，
由勾股定理得
∵AD=13， CD=12，
∵AD=13
∴
∴△ACD 是直角三角形
（2）解：∵
∴S四边形ABCD=S△ADC-S△ABC=30-6=24
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】(1)在Rt△ABC中可求AC=5，在△ACD中，由于可知△ACD 是直角三角形；
(2)分别求出△ABC和△ADC的面积，相减就是四边形ABCD的面积。
21．【答案】（1）解：设每个A 种娃娃的进价是m元，则每个B种娃娃的进价是(m-2)元，
依题意4m=5(m-2)，
解得m=10，
∴m-2=10-2=8，
∴每个A 种娃娃的进价是10元，每个B 种娃娃的进价是8元
（2）解：设购进A 种娃娃x个， 则购进B种娃娃(200-x) 个，
根据题意得：
解得50≤x≤52，
∵x为整数，
∴x可取50， 51， 52，
∴有3种方案：购进A 种娃娃50个，购进B 种娃娃150个或购进A 种娃娃51个，购进B 种娃娃149个或购进A 种娃娃52个，购进B 种娃娃148个
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)设A，B两种娃娃的单价分别为m元，(m-2)元，根据购进4个A 种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同建立方程4m=5(m-2)，求解即可；
(2)设购进A 种娃娃x个， 则购进B种娃娃(200-x) 个，根据资金不超过1704以及 B种娃娃的数量不超过A 种娃娃数量的3倍 建立关于x的不等式组，求解得50≤x≤52，x取整数只能等于50，51，52，对应的就是三种进货方案。
22．【答案】（1）证明：∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
∵点F是斜边AD的中点，
∴EF=CF
（2）证明：连接CE，如图
由 (1) 得
∴∠FEA=∠FAE， ∠FCA=∠FAC，
∴∠EFC=2∠FAE+2∠FAC=2∠BAC
（3）解：
∴∠EFC=2∠FAE+2∠FAC=2∠BAC=2×45°=90°，
即C， E两点间的距离是3
【知识点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知；
(2)由(1)易知根据等边对等角可得∠FEA=∠FAE， ∠FCA=∠FAC，再进行等量代换即可证明 ∠EFC=2∠BAC ；
(3)由(2)不难知道， ∠EFC=2∠BAC =90°，在Rt△EFC中，利用勾股定理可求CE=。
23．【答案】（1）13或14
（2）解：
取BC的中点E， 连接AE。
∵BD=2，CD=6，
∴BE=CE=4，
∴DE=BD=2，
∵AD⊥BC，
∴AB=AE，
∴△ABC 为奇妙三角形
（3）解：①△ABD为等腰三角形时， 若AB=BD=3， 如图3，
∵D是BC中点，
∴BC=BD+CD=6，
②当△ABD为等腰三角形时， 若AB=AD=3， 如图4，
∵△ABD是等腰三角形， AB=AD=3，
设BC=x，
作AE⊥BC交BC于E，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
在直角△AEB 和直角△AEC中，
由勾股定理得：
由勾股定理得：
解得 或 (舍去)，
；
③如图5， 当△ABD为等腰三角形时， 若AD=BD，
∵AD=BD且D是BC中点，
∴AD=BD=CD，
∴∠ABD=∠BAD， ∠DAC=∠DCA，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°， ∠BAC=∠BAD+∠DAC，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC 是直角三角形，
∴由勾股定理得：
④△ACD为等腰三角形时， 则AD=CD
同③可求
综上所述，BC的值为4 ， 6，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中线；分类讨论
【解析】【解答】解：(1)依题意BD=CD=
当△ABD为等腰三角形时，AD=BD=5或AD=AB=4
此时 △ABD的周长5+5+4=14或5+4+4=13
当△ACD为等腰三角形时，AD=CD=5
此时△ABD的周长5+5+4=14
综上所述，△ABD的周长为13或14；则
【分析】(1)根据“奇妙三角形”的定义，分两种情况讨论：当△ABD为等腰三角形时，AD=BD=5或AD=AB=4，进而可求△ABD的周长；当△ACD为等腰三角形时，AD=CD=5，可求△ABD的周长；
(2)构造相等线段BE=CE=4，易证AB=AE，从而可知△ABC 为奇妙三角形；
(3)当△ABD为等腰三角形时，则AB=BD或AB=AD或AD=BD，在三种情况中，根据奇妙三角形的定义以及勾股定理可分别求出BC的长度；当△ACD为等腰三角形时， 则AD=CD，可求BC长度。
24．【答案】（1）解：连接BQ， 如图1，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠BAQ=∠ABE=90°，
∵∠PEQ=90°，
∴四边形ABEQ 是矩形，
∴QE=AB=5， BE=3，
在 Rt△QBE中，
（2）解：△PQE是等腰直角三角形，理由如下：
如图2， 过点P 作PH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴四边形ABHP 是矩形，
∴PH=AB=5，
又∵EC=BC-BE=8-3=5，
∴PH=EC，
∵∠PHE=∠ECQ=90°.
∴∠HPE+∠HEP=90°，∠PEQ=90°，
∴∠QEC+∠HEP=90°，
∴∠HPE=∠QEC，
∴△PHE≌△ECQ (ASA)，
∴PE=QE，
∴△PQE 是等腰直角三角形
（3）t的值为 、4.6、
【知识点】矩形的判定与性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形-动点问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：(3)①当点 P在BE上时， 如图3，∵QE=QF=5， AQ=BE=3，在 Rt△AQF中，
∴BF=AB-AF=5-4=1，
∵PE=t，
∴BP=3-t， PF=PE=t，
在Rt△PBF中，
解得：
②当P 点在AB上时，且F，A重合时，如图4，
∴PB=t-BE=t-3， PE=AP=AB-PB=5 - (t-3) =8-t，
在Rt△PBE中，
解得 t=4.6；
③当P 点在AD上时，且F，A 重合时，如图5，
图5
当点 P在AD上时，此时Q 在AB上，
过点P作 此时AP=t-5-3=t-8
∴EH=BH-BE=AP-BE=t-8-3=t-11
PH=AB=5
由轴对称得， EP=AP= t-8
在在 Rt△PEH中，
解得
综上，当点F恰好落在边AB上时，t的值为 、4.6、 .
【分析】(1)易证四边形ABEQ 是矩形，从而QE=AB=5，有勾股定理可求；
(2)易证四边形ABHP 是矩形，可知PH=AB=5，由条件可求EC=5，故PH=EC，利用同角的余角相等可证明∠HPE=∠QEC，于是由ASA判定可证明△PHE≌△ECQ，对应边PE=QE，说明△PQE 是等腰直角三角形；
(3)分三种情况讨论：当点 P在BE上时，利用勾股定理可求j进而可知BF=1，用含t的式子表示PE、PF、BP的长度，利用勾股定理可求当P 点在AB上时，且F，A重合时，用含t的式子表示PE、PB的长度，利用勾股定理可求当P 点在AD上时，且F，A 重合时，用含t的式子表示PE、PH、EH的长度，利用勾股定理可求
1 / 1浙江省宁波市镇海区尚志中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷
1．（2025八上·镇海区期中）下面四个图形分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A、不是轴对称图形，A不符合题意；
B、不是轴对称图形，B不符合题意；
C、不是轴对称图形，C不符合题意；
D、是轴对称图形，D符合题意.
故答案为：D．
【分析】本题根据轴对称的定义进行判别即可得到结论.
2．（2025八上·镇海区期中）已知a＜b，下列式子不成立的是（　　）
A．a+1＜b+1 B．3a＜3b C．-2a＜-2b D．a-b＜0
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A、∵a＜b，∴根据不等式性质1：a+1＜b+1，成立，A不符合题意；
B、∵a＜b，∴根据不等式性质2：3a＜3b，成立，B不符合题意；
C、∵a＜b，∴根据不等式性质3：-2a>-2b，C符合题意；
D、∵a＜b，∴移项，a-b＜0，成立，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】本题考查不等式的基本性质，根据三条不等式的性质逐项判断正误即可. 注意C选项，不等式两边同时乘以负数，不等号的方向要改变.
3．（2025八上·镇海区期中）在平面直角坐标系xOy中，点P(-3，5)关于x轴的对称点的坐标是(　　)
A．(3， 5) B．(3， - 5)
C．(5， - 3) D．(-3， - 5)
【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：关于x轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，因此 点P(-3，5)关于x轴的对称点的坐标(-3，-5)。
故答案为：D .
【分析】本题考查平面直角坐标系中，关于坐标轴对称的点坐标之间的联系，只要熟记坐标变换规律即可轻松求解。
4．（2025八上·镇海区期中） 如图， 已知BD⊥AE于点B， BC═BE， 要使△ABC≌△DBE， 需补充的条件不可以是(　　)
A．AC=DE B．∠A=∠D C．AB=BD D．AC=BD
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A.若补充条件 AC=DE ，利用HL判定可证明 △ABC≌△DBE，A正确；
B.若补充条件 ∠A=∠D ，利用AAS判定可证明 △ABC≌△DBE，B正确；
C.若补充条件 AB=BD ，利用SAS判定可证明 △ABC≌△DBE，C正确；
D.若补充条件 AC=DE ，不能判定 △ABC≌△DBE，D错误。
故答案为：D .
【分析】本题考查三角形全等的五种判定SSS，SAS，ASA，AAS，HL各自的适用条件，只要熟练掌握每种判定对应的边角位置关系即可选出答案。
5．（2025八上·镇海区期中）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是(　　)
A．
B．a： b： c=5： 12： 13
C．∠C=∠A-∠B
D．∠A： ∠B： ∠C=3： 4： 5
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A.由 得，根据勾股逆定理可知， △ABC 是直角三角形，A不符合题意；
B. 由a： b： c=5： 12： 13 可知△ABC三边满足勾股数关系，因此△ABC 是直角三角形，B不符合题意；
C. 由∠C=∠A-∠B可知，而，易求出，因此△ABC 是直角三角形，C不符合题意；
D.由 ∠A： ∠B： ∠C=3： 4： 5 可设，而，即，解得，进而求出
，因此△ABC不 是直角三角形，D符合题D.
故答案为：D .
【分析】本题考查直角三角形的判定方法，可以利用三边关系（包括勾股定理以及常见的勾股数组合）来判定，也可以通过角之间的和差倍数关系结合三角形内角和计算是否含90°角来判定。
6．（2025八上·镇海区期中）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解①得
解②得
∴原不等式组的解集为
故答案为： B.
【分析】首先求出不等式组的解集为，然后在数轴上表示解集要注意有等号的解这里要画实心点，灭有等号的解这边要化成空心点。
7．（2025八上·镇海区期中）为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个25元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么小张同学应该买的球拍的个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设小张同学应该买的球拍的个数为x个，
根据题意得20×1.5+25x≤200，
解得x≤6.8.
所以x的最大整数值为6.
所以小张同学应该买的球拍的个数是6个，
故答案为：B.
【分析】先计算购买20个乒乓球的费用，再用总金额减去乒乓球费用得到剩余金额，然后计算最多能购买的球拍个数，最后验证各选项的总金额是否符合要求.
8．（2025八上·镇海区期中）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，将△ABC如图折叠，使点A 与点B重合，则折痕DE的长是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知EA=EB，BD=AD.
设EA=EB=x，那么CE=8-x。
在Rt△BCE中，由勾股定理得
即
解得
在Rt△ABC中，由勾股定理得
∴BD=AD=
在Rt△BDE中，由勾股定理得
故答案为：D .
【分析】首先根据折叠的性质找出线段的相等关系EA=EB，BD=AD，然后设未知数表示相关线段的长度，利用勾股定理在Rt△BCE中求出BE=，在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB=10，BD=5，最后在Rt△BDE中利用勾股定理可求.
9．（2025八上·镇海区期中） 如图， 在△ABC中， ∠ABC=60°， AD平分∠BAC交BC于点D， CE平分∠ACB交AB于点E， AD、CE交于点F. ①∠AFC=120°； ②若 CE⊥AB， 则AB=2AE； ③S△ACE=S△BCE； ④CD+AE=AC. 则上列说法一定正确的是(　　)
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ ∠ABC=60°
∴
∵ AD平分∠BAC ， CE平分∠ACB
∴
∴
∴
∴
故①正确；
∵ CE⊥AB， CE平分∠ACB
∴
在 △ACE与△BCE中，
∴
∴AE=BE
∴AB=AE+BE=2AE
故②正确；
∵ CE不一定是AB边的中线
∴AE与BE不一定相等
∴与不一定相等
故③错误；
在AC边上截取AG=AE，连接FG，如图所示：
∵
∴
∵ AD平分∠BAC
∴
在 △AFE与△AFG中，
∴
∴
∴
∴
∵ CE平分∠ACB
∴
在 △FDC与△FGC中，
∴
∴CD=CG
∴CD+AE=CG+AG=AC
故④正确。
故答案为： ①②④ .
【分析】利用三角形内角和定理可求，结合角平分线的定义可得，再一次由三角形内角和定理可知，①正确；由ASA判定易证从而得到对应边AE=BE，故AB=AE+BE=2AE，②正确；由于 △ACE 与 △BCE是两个同高三角形，若要面积相等必须底相等，即，而没有条件能证明，故③错误；构造相等线段AG=AE，由SAS判定证明得到对应角，进而可求，结合角平分线的定义等量代换可知，由ASA判定可证，从而得到对应边CD=CG，故CD+AE=CG+AG=AC，④正确。
10．（2025八上·镇海区期中）如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点 P，若正方形ABCD 的面积为30， AE+BE=7， 则△CFP与△AEP 的面积差是 (　　)
A． B．7 C． D．11
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，记CP交DG于点M。
∵正方形ABCD的面积为30
∴AB2=30
设AE=x，则BE=7-x.
在Rt△AEB中，由勾股定理得AE2+BE2=AB2
∴x2+(7-x)2=30
∴2x2-14x=-19
∵
∴
∴
∵
∴AE=CG
∴
∴EP=MG，
∴
∵
=11
∴的值为
即 △CFP 与 △AEP 的面积差为
故答案为：C .
【分析】由正方形ABCD面积为30可知AB2=30，设参数表示AE，BE的长度，利用勾股定理可得2x2-14x=-19，易证，得到内错角，由ASA判定可证明，从而得到对应边EP=MG，再将 △CFP 与 △AEP 的面积差转化为，而=11，故可求=。
11．（2025八上·镇海区期中）“内错角相等，两直线平行”的逆命题是　 　．
【答案】两直线平行，内错角相等
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：“内错角相等，两直线平行”的条件是：内错角相等，结论是：两直线平行．
将条件和结论互换得逆命题为：两条直线平行，内错角相等．
故答案为：两直线平行，内错角相等．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
12．（2025八上·镇海区期中）在平面直角坐标系中，若点P(-3，m-1)在第三象限，则m的取值范围是 　 　.
【答案】m<1
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P位于第三象限
∴m-1<0
∴m<1
故答案为：m<1 .
【分析】位于第三象限内的点横纵坐标都小于0，由此建立关于m的不等式，求解即可。
13．（2025八上·镇海区期中）如图，△ABC中，分别以点A、点B为圆心、大于 AB长为半径作弧，两弧相交于点F，H，作直线FH分别交AC，AB 于点D，E，连接DB，若AE=5，△ABC的周长为22，则△BCD 的周长为　 　.
【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：依题意FH垂直平分AB
∴DB=DA，AB=2AE=10
∵ △ABC的周长为22
∴AB+AC+BC=22
∴AC+BC=12
∵ △BCD 的周长 =BC+CD+DB
∴ △BCD 的周长 =BC+CD+DA=BC+AC=12
故答案为：12.
【分析】由尺规作图可知FH是线段AB的垂直平分线，从而得到DB=DA，AB=10，根据△ABC的周长为22可得AC+BC=12，再将△BCD 的周长转化为BC+AC即可得到答案。
14．（2025八上·镇海区期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D，E分别是AB、AC的中点，在CD上找一点P，连接AP、EP，当AP+EP最小时，这个最小值是　 　.
【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D，E分别是AB、AC的中点
∴CE=AC=2，CD⊥AB
∴CD垂直平分AB，即点A、B关于直线CD对称
∴连接BE交CD于P，此时AP+EP最小且AP=BP
∴AP+EP=AP+BP=AB
在Rt△BCE中，BE=
∴AP+EP的最小值为.
【分析】先利用等腰三角形三线合一的性质证得CD垂直平分AB，即点A、B关于直线CD对称，连接BE交CD于P，可得AP+EP的最小值即为BE的长，然后在Rt△BCE中利用勾股定理求出BE的长即可得解。
15．（2025八上·镇海区期中） 已知等腰△ABC 中， AB=AC， ∠CAB=120°， D是直线BC上一点(不与B、C重合)， 连接AD， 若△ABD 是等腰三角形， 则∠DAC=　 　 .
【答案】45°或135°或90°
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角；分类讨论
【解析】【解答】解：如图
∵AB=AC，
∴
当点D在线段BC上时，
∵AB=BD
∴
∴
当点D在CB的延长线上时，
∵AB=BD
∴
∴
当AD=BD时，
综上所述，等于45°或135°或90°
故答案为：45°或135°或90° .
【分析】首先根据等腰三角形的性质易求，接着分三种情况讨论，不难求出可能等于45°或135°或90° .
16．（2025八上·镇海区期中） 如图， 在△ABC 中， ∠BAC=90°， ∠B=30°， 点E为AB的中点， 点D、F分别为BC、AC上的点，连结DE、EF、DF， 若DE⊥FE， BD =6， AF =2， 则DF的长度为　 　.
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，延长DE至点G，使EG=DE，过点G作的延长线于点H，连接GA，GF。
∵点E为AB的中点
∴AE=BE
∵DE=GE，
∴
∴AG=BD=6，
∴
∴
∴
∴
在Rt中，
∵
∴DF=GF=
故答案为： .
【分析】首先利用SAS判定证明，可求出AG的长度和∠GAE的度数，解Rt△AGH得到AH与GH的长度，再利用勾股定理求出GF的长度，最后由线段垂直平分线的性质可求DF的长度。
17．（2025八上·镇海区期中）解不等式或不等式组：
（1） 解不等式： 2(x-1) <3 (x+1) - 2， 并把它的解集在数轴上表示出来.
（2）解不等式组
【答案】（1）解：2 (x-1) <3 (x+1) - 2，
去括号得， 2x-2<3x+3-2，
移项得， 2x-3x<3-2+2，
解得： x>-3，
在数轴上表示不等式的解集如图：
（2）解：解不等式 得： x≥1，
解不等式4-2 (x-1) ≥x得： x≤2，
∴不等式组的解集为： 1≤x≤2
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】(1)先解不等式得到解集为x>-3，然后在数轴上画图即可，注意-3处要画成空心点；
(2)首先分别解两个不等式，它们的解集分别是 x≥1，x≤2，利用“大小小大中间找”可知不等式组的解集为1≤x≤2。
18．（2025八上·镇海区期中） 如图， 已知点A、D、B、E在同一直线上， BC， DF交于H， AC=EF， AD=BE， ∠A=∠E.求证： DH=BH.
【答案】证明：∵点A、D、B、E在同一直线上， AD=BE，
∴AD+DB=BE+DB，
∴AB=ED，
在△CAB和△FED中，
∴△CAB≌△FED (SAS)，
∴∠ABC=∠EDF， 即∠DBH=∠BDH，
∴DH=BH
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】首先由AD=BE推导出AB=ED，然后可由SAS判定证明△CAB≌△FED，进而得到对应角∠DBH=∠BDH，等角对等边推出DH=BH.
19．（2025八上·镇海区期中） 已知A (-3， - 2)， B (2， - 2)， C (3， 1)， D (-2， 1) 四个点.
（1） 在图中描出A， B， C， D四个点， 顺次连接A， B， C， D， A；
（2）直接写出线段AB，CD之间的数量关系和位置关系；
（3）在y轴上是否存在点 P，使S△PAB=S 四边形ABCD若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：画出图象如图所示；
（2） AB=CD， AB∥CD；
（3）解：∵S四边形ABCD=5×3=15.
设在y轴上存在点 P (0，t)，使S△PAB=S四边形ABCD，
即|2+t|=6，
解得： t1=4 t2=-8.
∴在y轴上存在P1 (0， 4)， P2(0， - 8) 使S△PAB=S四边形ABCD
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：(2)∵ A (-3， - 2)， B (2， - 2)
∴AB=2-(-3)=5，AB平行x轴
同理CD=5，CD平行x轴
∴AB=CD，AB∥CD；
【分析】(1)根据各点坐标易描出它们的位置，再顺次连接起来即可；
(2)由A，B两点的纵坐标相等可知AB∥x轴，同理可知BD∥x轴，于是得到AB∥CD；而A，B之间的距离就等于它们横坐标之差，为5，同样C，D之间的距离也是5，因此AB=CD；
(3)先求出平行四边形ABCD的面积，然后设参数表示点P坐标，进而表示出△PAB的面积，令其等于平行四边形的面积即可求出参数值，从而得出点P坐标。
20．（2025八上·镇海区期中） 如图， AB⊥BC， AB=4， BC=3， DC=12， AD=13.
（1）连接AC，判断△ACD的形状并说明理由；
（2）计算四边形ABCD 的面积.
【答案】（1）解：△ACD是直角三角形.理由如下： 连接AC，如图
∵AB⊥BC， AB=4， BC=3，
由勾股定理得
∵AD=13， CD=12，
∵AD=13
∴
∴△ACD 是直角三角形
（2）解：∵
∴S四边形ABCD=S△ADC-S△ABC=30-6=24
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】(1)在Rt△ABC中可求AC=5，在△ACD中，由于可知△ACD 是直角三角形；
(2)分别求出△ABC和△ADC的面积，相减就是四边形ABCD的面积。
21．（2025八上·镇海区期中）电影《哪吒之魔童闹海》上映15天总票房突破91亿，成为中国影史首部票房破90亿元电影，档期结束后热度依然不减.某商家抓住商机购进A、B两种类型的哪吒纪念娃娃进行销售，已知购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元.
（1）每个A种娃娃和每个B 种娃娃的进价分别是多少元
（2）根据网上预约情况，该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中B种娃娃的数量不超过A 种娃娃数量的3倍，商家有哪几种进货方案
【答案】（1）解：设每个A 种娃娃的进价是m元，则每个B种娃娃的进价是(m-2)元，
依题意4m=5(m-2)，
解得m=10，
∴m-2=10-2=8，
∴每个A 种娃娃的进价是10元，每个B 种娃娃的进价是8元
（2）解：设购进A 种娃娃x个， 则购进B种娃娃(200-x) 个，
根据题意得：
解得50≤x≤52，
∵x为整数，
∴x可取50， 51， 52，
∴有3种方案：购进A 种娃娃50个，购进B 种娃娃150个或购进A 种娃娃51个，购进B 种娃娃149个或购进A 种娃娃52个，购进B 种娃娃148个
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)设A，B两种娃娃的单价分别为m元，(m-2)元，根据购进4个A 种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同建立方程4m=5(m-2)，求解即可；
(2)设购进A 种娃娃x个， 则购进B种娃娃(200-x) 个，根据资金不超过1704以及 B种娃娃的数量不超过A 种娃娃数量的3倍 建立关于x的不等式组，求解得50≤x≤52，x取整数只能等于50，51，52，对应的就是三种进货方案。
22．（2025八上·镇海区期中） 如图， △ABC中， ∠ACB=90°， 点D 是边BC上一点， DE⊥AB 于点E， 点F是线段AD 的中点， 连接EF， CF.
（1） 求证： EF=CF；
（2） 求证： ∠EFC=2∠BAC
（3） 若∠BAC=45°， AD=6， 求C， E两点间的距离.
【答案】（1）证明：∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
∵点F是斜边AD的中点，
∴EF=CF
（2）证明：连接CE，如图
由 (1) 得
∴∠FEA=∠FAE， ∠FCA=∠FAC，
∴∠EFC=2∠FAE+2∠FAC=2∠BAC
（3）解：
∴∠EFC=2∠FAE+2∠FAC=2∠BAC=2×45°=90°，
即C， E两点间的距离是3
【知识点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知；
(2)由(1)易知根据等边对等角可得∠FEA=∠FAE， ∠FCA=∠FAC，再进行等量代换即可证明 ∠EFC=2∠BAC ；
(3)由(2)不难知道， ∠EFC=2∠BAC =90°，在Rt△EFC中，利用勾股定理可求CE=。
23．（2025八上·镇海区期中）一个三角形被一条中线分割成两个三角形，如果分成的这两个三角形中至少有一个为等腰三角形，则称这个三角形为奇妙三角形，这条中线为奇妙线.
（1） 如图1，在△ABC中，已知AB（2） 如图2， 已知△ABC， AD⊥BC于点D， BD=2， CD=6， 求证： △ABC为奇妙三角形.
（3） 已知△ABC为奇妙三角形， 且AD为奇妙线， AB=3， AC=5， 求BC的长.
【答案】（1）13或14
（2）解：
取BC的中点E， 连接AE。
∵BD=2，CD=6，
∴BE=CE=4，
∴DE=BD=2，
∵AD⊥BC，
∴AB=AE，
∴△ABC 为奇妙三角形
（3）解：①△ABD为等腰三角形时， 若AB=BD=3， 如图3，
∵D是BC中点，
∴BC=BD+CD=6，
②当△ABD为等腰三角形时， 若AB=AD=3， 如图4，
∵△ABD是等腰三角形， AB=AD=3，
设BC=x，
作AE⊥BC交BC于E，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
在直角△AEB 和直角△AEC中，
由勾股定理得：
由勾股定理得：
解得 或 (舍去)，
；
③如图5， 当△ABD为等腰三角形时， 若AD=BD，
∵AD=BD且D是BC中点，
∴AD=BD=CD，
∴∠ABD=∠BAD， ∠DAC=∠DCA，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°， ∠BAC=∠BAD+∠DAC，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC 是直角三角形，
∴由勾股定理得：
④△ACD为等腰三角形时， 则AD=CD
同③可求
综上所述，BC的值为4 ， 6，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中线；分类讨论
【解析】【解答】解：(1)依题意BD=CD=
当△ABD为等腰三角形时，AD=BD=5或AD=AB=4
此时 △ABD的周长5+5+4=14或5+4+4=13
当△ACD为等腰三角形时，AD=CD=5
此时△ABD的周长5+5+4=14
综上所述，△ABD的周长为13或14；则
【分析】(1)根据“奇妙三角形”的定义，分两种情况讨论：当△ABD为等腰三角形时，AD=BD=5或AD=AB=4，进而可求△ABD的周长；当△ACD为等腰三角形时，AD=CD=5，可求△ABD的周长；
(2)构造相等线段BE=CE=4，易证AB=AE，从而可知△ABC 为奇妙三角形；
(3)当△ABD为等腰三角形时，则AB=BD或AB=AD或AD=BD，在三种情况中，根据奇妙三角形的定义以及勾股定理可分别求出BC的长度；当△ACD为等腰三角形时， 则AD=CD，可求BC长度。
24．（2025八上·镇海区期中） 如图1， 在长方形ABCD中， AB=5， AD=8， 点E在边BC上， 且BE=3， 动点P从点E出发， 沿折线EB-BA-AD 以每秒1个单位长度的速度运动. 作∠PEQ=90°， EQ交长方形的边于点Q，.连接PQ. 设点P 的运动时间为t秒.(t>0)
（1）当点P 和点B 重合时，求线段 PQ 的长；
（2）如图2，当点P在边AD 上时，猜想△PQE 的形状，并说明理由；
（3）作点E关于直线PQ的对称点F，当点F恰好落在边AB上时，直接写出t的值.
【答案】（1）解：连接BQ， 如图1，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠BAQ=∠ABE=90°，
∵∠PEQ=90°，
∴四边形ABEQ 是矩形，
∴QE=AB=5， BE=3，
在 Rt△QBE中，
（2）解：△PQE是等腰直角三角形，理由如下：
如图2， 过点P 作PH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴四边形ABHP 是矩形，
∴PH=AB=5，
又∵EC=BC-BE=8-3=5，
∴PH=EC，
∵∠PHE=∠ECQ=90°.
∴∠HPE+∠HEP=90°，∠PEQ=90°，
∴∠QEC+∠HEP=90°，
∴∠HPE=∠QEC，
∴△PHE≌△ECQ (ASA)，
∴PE=QE，
∴△PQE 是等腰直角三角形
（3）t的值为 、4.6、
【知识点】矩形的判定与性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形-动点问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：(3)①当点 P在BE上时， 如图3，∵QE=QF=5， AQ=BE=3，在 Rt△AQF中，
∴BF=AB-AF=5-4=1，
∵PE=t，
∴BP=3-t， PF=PE=t，
在Rt△PBF中，
解得：
②当P 点在AB上时，且F，A重合时，如图4，
∴PB=t-BE=t-3， PE=AP=AB-PB=5 - (t-3) =8-t，
在Rt△PBE中，
解得 t=4.6；
③当P 点在AD上时，且F，A 重合时，如图5，
图5
当点 P在AD上时，此时Q 在AB上，
过点P作 此时AP=t-5-3=t-8
∴EH=BH-BE=AP-BE=t-8-3=t-11
PH=AB=5
由轴对称得， EP=AP= t-8
在在 Rt△PEH中，
解得
综上，当点F恰好落在边AB上时，t的值为 、4.6、 .
【分析】(1)易证四边形ABEQ 是矩形，从而QE=AB=5，有勾股定理可求；
(2)易证四边形ABHP 是矩形，可知PH=AB=5，由条件可求EC=5，故PH=EC，利用同角的余角相等可证明∠HPE=∠QEC，于是由ASA判定可证明△PHE≌△ECQ，对应边PE=QE，说明△PQE 是等腰直角三角形；
(3)分三种情况讨论：当点 P在BE上时，利用勾股定理可求j进而可知BF=1，用含t的式子表示PE、PF、BP的长度，利用勾股定理可求当P 点在AB上时，且F，A重合时，用含t的式子表示PE、PB的长度，利用勾股定理可求当P 点在AD上时，且F，A 重合时，用含t的式子表示PE、PH、EH的长度，利用勾股定理可求
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