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天津市河北区2024—2025学年上学期七年级期末数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025七上·河北期末）下列等式是一元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七上·河北期末）将用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七上·河北期末）以下说法错误的是（ ）
A．由，可以得到 B．由，可以得到
C．由，可以得到 D．由，可以得到
4．（2025七上·河北期末）如图，下列说法正确的是（　　）
A．和表示同一个角
B．也可以用表示
C．图是共有三个角：，，
D．表示的是
5．（2025七上·河北期末）如图，点A位于点O的（　　）
A．南偏东方向上 B．北偏西方向上
C．南偏东方向上 D．南偏西方向上
6．（2025七上·河北期末）如图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，“梦”字对面的文字是（　　）
A．想 B．努 C．而 D．力
7．（2025七上·河北期末）如图，下列说法不正确的是（　　）
A．直线m，n相交于点P B．直线m不经过点Q
C．PA＋PB＜QA＋QB D．直线m上共有三个点
8．（2025七上·河北期末）如果一个角的余角是，那么这个角的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025七上·河北期末）已知关于的方程的解是，则的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2025七上·河北期末）如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，求此长方体的体积为何？（　　）
A．144 B．224 C．264 D．300
11．（2025七上·河北期末）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．其中不正确的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
12．（2025七上·河北期末）如图，点C，D为线段AB上两点，AC+BD＝10，，设CD＝t，则方程的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
13．（2025七上·河北期末）如果|m|＝4，且m＜0，那么m＝　 　．
14．（2025七上·河北期末）在数轴上，若点A与表示2的点的距离为3，则点A表示的数为　 　．
15．（2025七上·河北期末）已知关于、的多项式是三次三项式，则的值为 　 　．
16．（2025七上·河北期末）如图，，，平分，则的度数是　 　．
17．（2025七上·河北期末）我国古代数学著作《九章算术》中有“共买鸡问题”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？题意是：有若干人一起买鸡．如果每人出9文钱，就多出11钱；如果每人出6文钱；就相差16文钱．买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设有 人，可列出方程为　 　．
18．（2025七上·河北期末）在一个三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若处于每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的三个数之和都相等，则这个幻方中“津”对应的值为　 　．
12 我
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5 天 津
三、解答题：本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（2025七上·河北期末）计算：
（1）；
（2）．
20．（2025七上·河北期末）解方程：﹣=2．
21．（2025七上·河北期末）先化简，再求值：，其中，．
22．（2025七上·河北期末）如图，点C在线段上，点M是的中点，，．
（1）求线段的长；
（2）在线段上取一点N，使得，求线段的长．
23．（2025七上·河北期末）某商场经销A商品，每件售价60元，利润率为．
（1）求A商品每件进价为多少元；
（2）小明准备到商场团购A种商品、当团购数量不超过5件时，按照原售价购买，当团购数量超过5件时，超出部分按照原价8折购买，最终小明团购均价为52元/件，求小明团购了多少件A商品？
24．（2025七上·河北期末）如图1，已知，，且m、n满足等式，射线从处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转．
（1）试求的度数．
（2）如图1，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从处以1度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得？
（3）如图2，若射线为的平分线，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从射线处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线处（在的内部）时，且，试求x．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A.，次数不是一次，不是一元一次方程，故该选项不符合题意；
B.，是一元一次方程，故该选项符合题意；
C.，含有2个未知数，不是一元一次方程，故该选项不符合题意；
D.，不是整式方程，故该选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据一元一次方程的定义需满足三个条件“①含有一个未知数，②未知数的次数为1，③整式方程”由此可以判断．
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：A．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值＞10时，n是正数，当原数的绝对值＜1时，n是负数，据此即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：A、由，可以得到，根据等式性质1，正确，不符合题意；
B、由，可以得到，根据等式性质2，正确，不符合题意；
C、由，根据等式性质2，应得到，不正确，符合题意；
D、由，可以得到，根据等式性质2，正确，不符合题意；
故选：C.
【分析】根据等式的基本性质： 在等号两边同加(减)一个数，等号不变；在等号两边同乘(除)一个不为0的数，等号不变，逐项进行判断，即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】角的概念及表示
【解析】【解答】和表示同一个角，故A错误；
不可以用表示，故B错误；
图是共有三个角：，，，故C正确；
表示的是，故D错误；
故答案为：C．
【分析】
根据角的概念以及角的表示方法，逐一判断即可解答．
5．【答案】B
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：由图可得，点A位于点O的北偏西的方向上．
故选：B．
【分析】根据方位角的概念，结合上北下南左西右东的规定进行判断，即可得出答案．
6．【答案】D
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：根据正方体表面展开图的特征可知，“梦”的对面是“力”，
故选：D．
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点即可得出答案．
7．【答案】D
【知识点】直线、射线、线段；三角形三边关系
【解析】【解答】解：A. 直线m，n相交于点P，该项说法正确，不符合题意；
B. 直线m不经过点Q，该项说法正确，不符合题意；
C. PA＋PB=AB，而在中AB＜QA＋QB，故该项说法正确，不符合题意；
D. 直线m上有无数个点，该项说法错误，符合题意．
故选：D．
【分析】根据图形特征、三角形的三边关系进行解答即可．
8．【答案】B
【知识点】余角
【解析】【解答】解：∵，
∴如果一个角的余角是，那么这个角的度数是，
故选：B．
【分析】根据余角的定义：和为的两个角互为余角，据此解答即可．
9．【答案】A
【知识点】整式的加减运算；一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：把代入方程，得：，
∴．
故答案为：A
【分析】
根据一元一次方程解的定义，将代入方程，得，即可解答．
10．【答案】B
【知识点】已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【解答】解：设原长方体底面边长为，长方体高为，
∴，，
解得，，
长方体的体积为：，
故选：．
【分析】根据展开图，可以求得原来长方体的底面的边长和高，然后根据长方体的体积公式计算即可．
11．【答案】C
【知识点】余角；补角
【解析】【解答】解：∵和互补，
∴，
∵的余角，所以①正确；
∵，
∴的余角，所以②正确；
∵，
∴，
∴的余角，所以③错误，④正确．
故答案为：C．
【分析】
根据余角、补角的定义知，而的余角，再逐一判断即可．
12．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵AD+BC＝AC+CD+CD+BD＝AC+BD+2CD，AB＝AC+CD+BD，AC+BD＝10．
∴AB＝10+CD，AD+BC＝10+2CD，
∵AD+BC＝AB，CD＝t，
∴10+2t＝(10+t)，
解得t＝2.5，
把t＝2.5代入，
得：3x﹣7x+7＝2×2.5-2x-6，
3x-7x+2x＝5-6-7，
-2x＝-8，
x＝4．
故选：D．
【分析】先根据题意以及线段的和差运算得出AB＝10+CD，AD+BC＝10+2CD，再根据CD＝t，AD+BC＝AB列出关于t的方程，解方程求出t的值，再代入原方程，解一元一次方程求出x的值，即可得出答案．
13．【答案】﹣4
【知识点】绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵ |m|＝4，
∴m=±4.
∵m＜0，
∴m=－4.
故答案为：－4.
【分析】根据m的绝对值性质得到m的取值，再根据m<0，排除+4，即可得到答案.
14．【答案】或5
【知识点】数轴上两点之间的距离；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）点A在表示2的点的左边时，
点A表示的数为：．
（2）点A在表示2的点的右边时，
点A表示的数为：．
∴点A表示的数为或5．
故填：或5．
【分析】根据数轴上两点间的距离的求法，点A有可能在表示2的点的左边，也可能在右边，据此求解即可．
15．【答案】
【知识点】多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：是三次三项式，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】
根据多项式的定义及多项式的次数即可列出关于ｋ的一元一次方程，求解即可．
16．【答案】62°
【知识点】角平分线的概念
【解析】【解答】解：，，
，
又平分，
，
，
故填：．
【分析】首先可求得的度数，再根据平分，求得的度数，利用，即可得出答案．
17．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】设有 人共同买鸡，根据题意得：
故答案为：
【分析】设有 人共同买鸡，利用钱数不变列方程求解即可。
18．【答案】14
【知识点】一元一次方程的其他应用；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：由题意得，
解得：，
则，，
那么，
即这个幻方中“津”对应的值为14，
故填：14．
【分析】由题意可得，解得a的值，将其代入，中求得对应的值，再列式进行计算即可．
19．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）利用有理数的加减法则计算即可；
（2）先算乘方，再算乘除，最后算减法即可．
（1）解：原式
（2）原式
20．【答案】解：去分母得，3（x+2）-2（2x﹣3）=24，
去括号得，3x+6﹣4x+6=24，
移项得，3x﹣4x=24-6-6，
合并同类项得，﹣x=12，
系数化为1得，x=﹣12
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】依次按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解即可.
21．【答案】解：由
；
当，时，
原式
．
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】本题考查了整式的加减运算中的化简求值，根据先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，再把，代入计算，即可求解．
22．【答案】（1）解：∵点C在线段上，，，
∴，
∵点M是的中点，
∴．
（2）∵M是的中点， ∴，
∵点N在线段上，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】线段上的两点间的距离；线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）先根据线段和差关系得AC=4，再由线段中点定义得到AM=2；
（2）由线段中点定义得MC=2，再根据CN：NB=5：6及线段和差关系求出线段CN的长度，再计算CM+CN即可解答.
（1）解：∵点C在线段上，，，
∴，
∵点M是的中点，
∴．
（2）∵M是的中点，
∴，
∵点N在线段上，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：元，
答：A商品每件进价为50元
（2）解：设小明团购了x件A商品，
由题意得，，
解得，
答：小明团购了15件A商品
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【分析】（1）根据利润率（售价进价）进价列式进行计算，即可得出答案；
（2）设小明团购了x件A商品，根据题意列出方程，解方程求出x的值，即可得出答案.
（1）解：元，
答：A商品每件进价为50元；
（2）解：设小明团购了x件A商品，
由题意得，，
解得，
答：小明团购了15件A商品．
24．【答案】（1）解：∵，，，
∴3，
解得，，
∴，
∴
（2）解：设他们旋转x秒时，使得，则，
分两种情况讨论：
①当射线与射线相遇前：，
即：，
解得：；
②当射线与射线相遇后：，
即：，
解得：，
答：当他们旋转30秒或34秒时，使得
（3）解；设t秒后这两条射线重合于射线处，则，
∵为的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，°，
∴，
解得：，
∴，
解得：
【知识点】旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据绝对值和偶次幂的非负性求得，，从而得出，再利用，即可得出答案；
（2）设他们旋转x秒时，使得，得出．分两种情况：①当射线与射线相遇前，②当射线与射线相遇后，分别列方程求出x的值，即可得出答案；
（3）设t秒后这两条射线重合于射线处，得出°，先根据角平分线的定义可得的度数，从而得出的度数，再根据得出的度数，从而得到的度数，列方程求出t的值，再列方程求出x的值，即可得出答案．
（1）∵，
∴3，
解得，，
∴，
∴；
（2）设他们旋转x秒时，使得，则，
①当射线与射线相遇前有：，
即：，
解得：；
②当射线与射线相遇后有：，
即：，
解得：，
答：当他们旋转30秒或34秒时，使得；
（3）设t秒后这两条射线重合于射线处，则，
∵为的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，°，
∴，
解得：，
∴，
解得：．
1 / 1天津市河北区2024—2025学年上学期七年级期末数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025七上·河北期末）下列等式是一元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A.，次数不是一次，不是一元一次方程，故该选项不符合题意；
B.，是一元一次方程，故该选项符合题意；
C.，含有2个未知数，不是一元一次方程，故该选项不符合题意；
D.，不是整式方程，故该选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据一元一次方程的定义需满足三个条件“①含有一个未知数，②未知数的次数为1，③整式方程”由此可以判断．
2．（2025七上·河北期末）将用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：A．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值＞10时，n是正数，当原数的绝对值＜1时，n是负数，据此即可得出答案.
3．（2025七上·河北期末）以下说法错误的是（ ）
A．由，可以得到 B．由，可以得到
C．由，可以得到 D．由，可以得到
【答案】C
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：A、由，可以得到，根据等式性质1，正确，不符合题意；
B、由，可以得到，根据等式性质2，正确，不符合题意；
C、由，根据等式性质2，应得到，不正确，符合题意；
D、由，可以得到，根据等式性质2，正确，不符合题意；
故选：C.
【分析】根据等式的基本性质： 在等号两边同加(减)一个数，等号不变；在等号两边同乘(除)一个不为0的数，等号不变，逐项进行判断，即可得出答案.
4．（2025七上·河北期末）如图，下列说法正确的是（　　）
A．和表示同一个角
B．也可以用表示
C．图是共有三个角：，，
D．表示的是
【答案】C
【知识点】角的概念及表示
【解析】【解答】和表示同一个角，故A错误；
不可以用表示，故B错误；
图是共有三个角：，，，故C正确；
表示的是，故D错误；
故答案为：C．
【分析】
根据角的概念以及角的表示方法，逐一判断即可解答．
5．（2025七上·河北期末）如图，点A位于点O的（　　）
A．南偏东方向上 B．北偏西方向上
C．南偏东方向上 D．南偏西方向上
【答案】B
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：由图可得，点A位于点O的北偏西的方向上．
故选：B．
【分析】根据方位角的概念，结合上北下南左西右东的规定进行判断，即可得出答案．
6．（2025七上·河北期末）如图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，“梦”字对面的文字是（　　）
A．想 B．努 C．而 D．力
【答案】D
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：根据正方体表面展开图的特征可知，“梦”的对面是“力”，
故选：D．
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点即可得出答案．
7．（2025七上·河北期末）如图，下列说法不正确的是（　　）
A．直线m，n相交于点P B．直线m不经过点Q
C．PA＋PB＜QA＋QB D．直线m上共有三个点
【答案】D
【知识点】直线、射线、线段；三角形三边关系
【解析】【解答】解：A. 直线m，n相交于点P，该项说法正确，不符合题意；
B. 直线m不经过点Q，该项说法正确，不符合题意；
C. PA＋PB=AB，而在中AB＜QA＋QB，故该项说法正确，不符合题意；
D. 直线m上有无数个点，该项说法错误，符合题意．
故选：D．
【分析】根据图形特征、三角形的三边关系进行解答即可．
8．（2025七上·河北期末）如果一个角的余角是，那么这个角的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余角
【解析】【解答】解：∵，
∴如果一个角的余角是，那么这个角的度数是，
故选：B．
【分析】根据余角的定义：和为的两个角互为余角，据此解答即可．
9．（2025七上·河北期末）已知关于的方程的解是，则的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】整式的加减运算；一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：把代入方程，得：，
∴．
故答案为：A
【分析】
根据一元一次方程解的定义，将代入方程，得，即可解答．
10．（2025七上·河北期末）如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，求此长方体的体积为何？（　　）
A．144 B．224 C．264 D．300
【答案】B
【知识点】已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【解答】解：设原长方体底面边长为，长方体高为，
∴，，
解得，，
长方体的体积为：，
故选：．
【分析】根据展开图，可以求得原来长方体的底面的边长和高，然后根据长方体的体积公式计算即可．
11．（2025七上·河北期末）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．其中不正确的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【知识点】余角；补角
【解析】【解答】解：∵和互补，
∴，
∵的余角，所以①正确；
∵，
∴的余角，所以②正确；
∵，
∴，
∴的余角，所以③错误，④正确．
故答案为：C．
【分析】
根据余角、补角的定义知，而的余角，再逐一判断即可．
12．（2025七上·河北期末）如图，点C，D为线段AB上两点，AC+BD＝10，，设CD＝t，则方程的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵AD+BC＝AC+CD+CD+BD＝AC+BD+2CD，AB＝AC+CD+BD，AC+BD＝10．
∴AB＝10+CD，AD+BC＝10+2CD，
∵AD+BC＝AB，CD＝t，
∴10+2t＝(10+t)，
解得t＝2.5，
把t＝2.5代入，
得：3x﹣7x+7＝2×2.5-2x-6，
3x-7x+2x＝5-6-7，
-2x＝-8，
x＝4．
故选：D．
【分析】先根据题意以及线段的和差运算得出AB＝10+CD，AD+BC＝10+2CD，再根据CD＝t，AD+BC＝AB列出关于t的方程，解方程求出t的值，再代入原方程，解一元一次方程求出x的值，即可得出答案．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
13．（2025七上·河北期末）如果|m|＝4，且m＜0，那么m＝　 　．
【答案】﹣4
【知识点】绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵ |m|＝4，
∴m=±4.
∵m＜0，
∴m=－4.
故答案为：－4.
【分析】根据m的绝对值性质得到m的取值，再根据m<0，排除+4，即可得到答案.
14．（2025七上·河北期末）在数轴上，若点A与表示2的点的距离为3，则点A表示的数为　 　．
【答案】或5
【知识点】数轴上两点之间的距离；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）点A在表示2的点的左边时，
点A表示的数为：．
（2）点A在表示2的点的右边时，
点A表示的数为：．
∴点A表示的数为或5．
故填：或5．
【分析】根据数轴上两点间的距离的求法，点A有可能在表示2的点的左边，也可能在右边，据此求解即可．
15．（2025七上·河北期末）已知关于、的多项式是三次三项式，则的值为 　 　．
【答案】
【知识点】多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：是三次三项式，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】
根据多项式的定义及多项式的次数即可列出关于ｋ的一元一次方程，求解即可．
16．（2025七上·河北期末）如图，，，平分，则的度数是　 　．
【答案】62°
【知识点】角平分线的概念
【解析】【解答】解：，，
，
又平分，
，
，
故填：．
【分析】首先可求得的度数，再根据平分，求得的度数，利用，即可得出答案．
17．（2025七上·河北期末）我国古代数学著作《九章算术》中有“共买鸡问题”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？题意是：有若干人一起买鸡．如果每人出9文钱，就多出11钱；如果每人出6文钱；就相差16文钱．买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设有 人，可列出方程为　 　．
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】设有 人共同买鸡，根据题意得：
故答案为：
【分析】设有 人共同买鸡，利用钱数不变列方程求解即可。
18．（2025七上·河北期末）在一个三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若处于每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的三个数之和都相等，则这个幻方中“津”对应的值为　 　．
12 我
爱 7
5 天 津
【答案】14
【知识点】一元一次方程的其他应用；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：由题意得，
解得：，
则，，
那么，
即这个幻方中“津”对应的值为14，
故填：14．
【分析】由题意可得，解得a的值，将其代入，中求得对应的值，再列式进行计算即可．
三、解答题：本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（2025七上·河北期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）利用有理数的加减法则计算即可；
（2）先算乘方，再算乘除，最后算减法即可．
（1）解：原式
（2）原式
20．（2025七上·河北期末）解方程：﹣=2．
【答案】解：去分母得，3（x+2）-2（2x﹣3）=24，
去括号得，3x+6﹣4x+6=24，
移项得，3x﹣4x=24-6-6，
合并同类项得，﹣x=12，
系数化为1得，x=﹣12
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】依次按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解即可.
21．（2025七上·河北期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：由
；
当，时，
原式
．
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】本题考查了整式的加减运算中的化简求值，根据先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，再把，代入计算，即可求解．
22．（2025七上·河北期末）如图，点C在线段上，点M是的中点，，．
（1）求线段的长；
（2）在线段上取一点N，使得，求线段的长．
【答案】（1）解：∵点C在线段上，，，
∴，
∵点M是的中点，
∴．
（2）∵M是的中点， ∴，
∵点N在线段上，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】线段上的两点间的距离；线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）先根据线段和差关系得AC=4，再由线段中点定义得到AM=2；
（2）由线段中点定义得MC=2，再根据CN：NB=5：6及线段和差关系求出线段CN的长度，再计算CM+CN即可解答.
（1）解：∵点C在线段上，，，
∴，
∵点M是的中点，
∴．
（2）∵M是的中点，
∴，
∵点N在线段上，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
23．（2025七上·河北期末）某商场经销A商品，每件售价60元，利润率为．
（1）求A商品每件进价为多少元；
（2）小明准备到商场团购A种商品、当团购数量不超过5件时，按照原售价购买，当团购数量超过5件时，超出部分按照原价8折购买，最终小明团购均价为52元/件，求小明团购了多少件A商品？
【答案】（1）解：元，
答：A商品每件进价为50元
（2）解：设小明团购了x件A商品，
由题意得，，
解得，
答：小明团购了15件A商品
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【分析】（1）根据利润率（售价进价）进价列式进行计算，即可得出答案；
（2）设小明团购了x件A商品，根据题意列出方程，解方程求出x的值，即可得出答案.
（1）解：元，
答：A商品每件进价为50元；
（2）解：设小明团购了x件A商品，
由题意得，，
解得，
答：小明团购了15件A商品．
24．（2025七上·河北期末）如图1，已知，，且m、n满足等式，射线从处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转．
（1）试求的度数．
（2）如图1，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从处以1度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得？
（3）如图2，若射线为的平分线，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从射线处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线处（在的内部）时，且，试求x．
【答案】（1）解：∵，，，
∴3，
解得，，
∴，
∴
（2）解：设他们旋转x秒时，使得，则，
分两种情况讨论：
①当射线与射线相遇前：，
即：，
解得：；
②当射线与射线相遇后：，
即：，
解得：，
答：当他们旋转30秒或34秒时，使得
（3）解；设t秒后这两条射线重合于射线处，则，
∵为的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，°，
∴，
解得：，
∴，
解得：
【知识点】旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据绝对值和偶次幂的非负性求得，，从而得出，再利用，即可得出答案；
（2）设他们旋转x秒时，使得，得出．分两种情况：①当射线与射线相遇前，②当射线与射线相遇后，分别列方程求出x的值，即可得出答案；
（3）设t秒后这两条射线重合于射线处，得出°，先根据角平分线的定义可得的度数，从而得出的度数，再根据得出的度数，从而得到的度数，列方程求出t的值，再列方程求出x的值，即可得出答案．
（1）∵，
∴3，
解得，，
∴，
∴；
（2）设他们旋转x秒时，使得，则，
①当射线与射线相遇前有：，
即：，
解得：；
②当射线与射线相遇后有：，
即：，
解得：，
答：当他们旋转30秒或34秒时，使得；
（3）设t秒后这两条射线重合于射线处，则，
∵为的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，°，
∴，
解得：，
∴，
解得：．
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