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天津市部分区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷
一、选择题
1．（2025八上·天津市期末）一个三角形的两边长分别为和，则此三角形第三边长可能是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八上·天津市期末）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八上·天津市期末）生物学家发现某种花粉的直径大约是，将数据用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八上·天津市期末）若分式的值为0，则的值为（　　）
A．2 B．-2 C． D．
5．（2025八上·天津市期末）如图，已知，于点N，若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八上·天津市期末）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍．这个多边形是（　　）
A．六边形 B．九边形 C．八边形 D．十边形
7．（2025八上·天津市期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八上·天津市期末）已知点关于x轴对称，点关于y轴对称，若点A的坐标为，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八上·天津市期末）如图，已知点在同一条直线上，，则图中与相等的线段是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八上·天津市期末）如图，已知，且点D恰好在的边上，下列结论不一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025八上·天津市期末）甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队先单独施工30天，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，全部完成此项筑路工程．已知甲队单独施工需90天完成．若设乙队单独施工需x天完成，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
12．（2025八上·天津市期末）如图，在中，的垂直平分线分别交边于点，若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为（　　）
A．7 B．9 C．12 D．14
二、填空题
13．（2025八上·天津市期末）　 　.
14．（2025八上·天津市期末）计算的结果等于　 　．
15．（2025八上·天津市期末）若，则的值为　 　．
16．（2025八上·天津市期末）如图，为等边三角形，为边上的高，为边上的一点，且．则　 　．
17．（2025八上·天津市期末）如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点M和点N为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点P．画射线，作于点C，且，是射线上一个动点，则的最小值为　 　
三、解答题
18．（2025八上·天津市期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均在格点上，且．
（1）边上的高的长为_______；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出的角平分线，简要说明是如何找到的（不要求证明）．
19．（2025八上·天津市期末）分解因式
（1）；
（2）．
20．（2025八上·天津市期末）计算
（1）；
（2）．
21．（2025八上·天津市期末）（1）如图①，在中，，点E在边上，点F在的延长线上，且．求证：．
（2）如图②，已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形（保留作图痕迹，不写作法）．
22．（2025八上·天津市期末）计算
（1）；
（2）；
（3）先化简，再求值：，其中．
23．（2025八上·天津市期末）解分式方程
（1）；
（2）．
24．（2025八上·天津市期末）为了丰富校园文体活动，某学校准备一次性购买若干个足球和排球．已知用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，足球的单价比排球的单价多15元．
（1）求足球和排球的单价各是多少元；
（2）根据学校的实际情况，需要一次性购买足球和排球共100个，若要求总费用不超过7100元，则学校最多可以购买_______个足球．
25．（2025八上·天津市期末）在中，，点在射线上，连接，并以为边在射线上方，右侧作等边，连接．
（1）如图①，当时，的长为_______；
（2）如图②，若，当点在线段上时，与有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）如图③，若，当时，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设此三角形第三边长为，
由三角形三条边的关系可得，
即，
只有选项B符合，
故选：B．
【分析】根据三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解．
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折，对折后的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，据此可判断B、C、D都不符合轴对称图形的定义．
故答案为：A．
【分析】
根据轴对称图形的定义，对称轴两侧的部分能够完全重合逐一判断即可解答．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故选：C．
【分析】根据用科学记数法可以把一个绝对值小于1的非零数表示成，其中是一个负整数，的绝对值等于原数中的第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的那个零），即可解答．
4．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：分式为0，
且
解得且，
故选：A．
【分析】先根据分式为0及分式有意义的条件得出的值即可．
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
，，
，
，
，
故选：C．
【分析】由直角三角形的两锐角互余得，由平行线的性质即可求解；掌握直角三角形的特征，平行线的性质是解题的关键．
6．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数为，多边形外角和是，内角和为（n-2）×180°，
而多边形的内角和是它的外角和的4倍，
∴，
解得：，
故答案为：D．
【分析】设多边形的边数为，根据多边形的内角和是它的外角和的4倍可得关于n的方程，解方程即可求解．
7．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算错误，不符合题意；
C、，原选项计算正确，符合题意；
D、，原选项计算错误，不符合题意；
故选C．
【分析】根据同底数幂的乘法，除法，乘方，以及积的乘方法则逐一进行计算，判断即可．
8．【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点A与点B关于x轴对称，且点A的坐标为，
，
点B与点C关于y轴对称，
，
故选D．
【分析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横、纵坐标互为相反数．利用关于坐标轴对称的点的坐标特征求解，即可得到答案．
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
故选：B．
【分析】根据已知条件推出，利用ASA先证，再根据全等三角形的性质回答即可．
10．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵
∴，，
，
∴是等腰三角形，
∴
∴，
故正确的为：A，B，C，不正确的为D
故选：D
【分析】根据全等三角形的性质得出，，，根据等腰三角形的性质得到，继而得到，从而得解；
11．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，得
．
故选：B．
【分析】甲队先单独施工30天，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，全部完成此项筑路工程．据此列出分式方程即可．
12．【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接，．
∵，点D是边的中点，，
∴，，
∴，
解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴点C关于直线的对称点为点A，
∴，
∵，当点A、M、D共线时取等号，
∴的长为的最小值，
∴的周长最小值为．
故选：B．
【分析】连接，，先证明，，根据三角形面积公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到点C关于直线的对称点为点A，根据，即可求出的周长最小值为9．
13．【答案】
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】
【分析】根据负指数幂的公式即可运算.
14．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】直接利用平方差公式求解即可．
15．【答案】13
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴；
故答案为：13．
【分析】根据，进行计算即可．
16．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：为等边三角形，为边上的高，
∴，，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质及等边三角形的性质，可得，利用等腰三角形的性质可求，再利用∠EDC=∠ADC-∠ADE计算即可．
17．【答案】2
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：由作法得：是的平分线，
当时，的值最小，
，
，
的最小值为，
故答案：．
【分析】由作法得是的平分线，由垂线段最短得时，的值最小，由角平分线的性质即可求解；掌握垂线段最短，角平分线的性质是解题的关键．
18．【答案】（1）4
（2）解：如图，即为所求；
取格点右侧第5个格点，连接，得到为等腰三角形，取的中点，连接交于点，根据三线合一，即可得到为的角平分线.
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：（1）如图，即为边上的高，；
故答案为：4；
【分析】（1）根据三角形的高线的定义，结合网格特点作答即可；
（2）取格点右侧第5个格点，连接，得到为等腰三角形，取的中点，连接交于点，根据三线合一，即可得到为的角平分线.
（1）解：如图，即为边上的高，；
故答案为：4；
（2）如图，即为所求；
取格点右侧第5个格点，连接，得到为等腰三角形，取的中点，连接交于点，根据三线合一，即可得到为的角平分线.
19．【答案】（1）解：
；

（2）解：

【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提公因式，再用平方差公式因式分解即可；
（2）先提公因式，再用完全平方公式因式分解即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
20．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据多项式乘以多项式运算法则求解即可得到答案；
（2）先由完全平方公式计算、再进行整式的加减即可得到答案．
（1）解：
；
（2）解：
．
21．【答案】解：（1）证明：，点F在的延长线上，
，
在和中
，
，
．
（2）如图，就是所求作的三角形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）证明，即可得．
（2）任意作射线，以点B为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点C，再作线段的垂直平分线，交线段于点O，以点O为圆心，线段h的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点A，连接，，则即为所求；
22．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；负整数指数幂；分式的除法
【解析】【分析】（1）将除法运算转化成乘法运算，再约分化简即可求解；
（2）先计算乘方，再计算乘法运算即可求解；
（3）将分式的分子、分母因式分解，除法化为乘法，约分，再把代入计算即可求解．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
当时，原式．
23．【答案】（1）解：方程两边都乘以，得．
解得：．
检验：当时，．
∴原分式方程的解为．
（2）解：方程两边都乘以，得
解得
检验：当时，
原分式方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可；
（2）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可．
（1）解：方程两边都乘以，得
．
解得：．
检验：当时，．
∴原分式方程的解为．
（2）解：方程两边都乘以，得
解得
检验：当时，
原分式方程的解为．
24．【答案】（1）解：设足球的单价是x元，则排球的单价是元，依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：足球的单价是80元，排球的单价是65元；
（2）40
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（2）解：设学校可以购买m个足球，则可以购买个排球，依题意得：，
解得：．
又∵m为正整数，
∴m可以取的最大值为40．
∴学校最多可以购买40个足球．
故答案为：40．
【分析】（1）设足球的单价是x元，则排球的单价是元，由数量关系“数量=总价÷单价”，根据题意用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，列出关于x的分式方程，解之并经检验即可；
（2）设学校可以购买m个足球，则可以购买个足球，根据购买足球和排球的总费用不超过7100元，列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可解答．
（1）解：设足球的单价是x元，则排球的单价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：足球的单价是80元，排球的单价是65元；
（2）解：设学校可以购买m个足球，则可以购买个排球，
依题意得：，
解得：．
又∵m为正整数，
∴m可以取的最大值为40．
∴学校最多可以购买40个足球．
故答案为：40．
25．【答案】（1）
（2）解：，理由如下：∵，，
为等边三角形，
，，
∵为等边三角形，
，，
，
，
即，
在和中，
∵，
，
；
（3）解：∵为等边三角形，，
∵，，
，
∵，，
为等边三角形，
，，
∵，
，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；手拉手全等模型
【解析】【解答】（1）解：在中，，，
∵，
，
又∵，
，
故答案为：；
【分析】
（1）根据三角形的内角和得出，再由含30°直角三角形的性质，角所对的边是斜边的一半即可解答；
（2）若 ，先根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到为等边三角形，再由等边三角形的性质证明出，即可由手拉手模型得，从而有全等三角形的性质证明结论；
（3）当时，得到，再根据等边三角形的判定与性质及三角形外角的性质即可得出，从而求出线段的长．
（1）解：在中，，，
∵，
，
又∵，
，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
∵，，
为等边三角形，
，，
∵为等边三角形，
，，
，
，
即，
在和中，
∵，
，
；
（3）解：∵为等边三角形，
，
∵，，
，
∵，，
为等边三角形，
，，
∵，
，
，
．
1 / 1天津市部分区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷
一、选择题
1．（2025八上·天津市期末）一个三角形的两边长分别为和，则此三角形第三边长可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设此三角形第三边长为，
由三角形三条边的关系可得，
即，
只有选项B符合，
故选：B．
【分析】根据三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解．
2．（2025八上·天津市期末）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折，对折后的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，据此可判断B、C、D都不符合轴对称图形的定义．
故答案为：A．
【分析】
根据轴对称图形的定义，对称轴两侧的部分能够完全重合逐一判断即可解答．
3．（2025八上·天津市期末）生物学家发现某种花粉的直径大约是，将数据用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故选：C．
【分析】根据用科学记数法可以把一个绝对值小于1的非零数表示成，其中是一个负整数，的绝对值等于原数中的第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的那个零），即可解答．
4．（2025八上·天津市期末）若分式的值为0，则的值为（　　）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：分式为0，
且
解得且，
故选：A．
【分析】先根据分式为0及分式有意义的条件得出的值即可．
5．（2025八上·天津市期末）如图，已知，于点N，若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
，，
，
，
，
故选：C．
【分析】由直角三角形的两锐角互余得，由平行线的性质即可求解；掌握直角三角形的特征，平行线的性质是解题的关键．
6．（2025八上·天津市期末）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍．这个多边形是（　　）
A．六边形 B．九边形 C．八边形 D．十边形
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数为，多边形外角和是，内角和为（n-2）×180°，
而多边形的内角和是它的外角和的4倍，
∴，
解得：，
故答案为：D．
【分析】设多边形的边数为，根据多边形的内角和是它的外角和的4倍可得关于n的方程，解方程即可求解．
7．（2025八上·天津市期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算错误，不符合题意；
C、，原选项计算正确，符合题意；
D、，原选项计算错误，不符合题意；
故选C．
【分析】根据同底数幂的乘法，除法，乘方，以及积的乘方法则逐一进行计算，判断即可．
8．（2025八上·天津市期末）已知点关于x轴对称，点关于y轴对称，若点A的坐标为，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点A与点B关于x轴对称，且点A的坐标为，
，
点B与点C关于y轴对称，
，
故选D．
【分析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横、纵坐标互为相反数．利用关于坐标轴对称的点的坐标特征求解，即可得到答案．
9．（2025八上·天津市期末）如图，已知点在同一条直线上，，则图中与相等的线段是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
故选：B．
【分析】根据已知条件推出，利用ASA先证，再根据全等三角形的性质回答即可．
10．（2025八上·天津市期末）如图，已知，且点D恰好在的边上，下列结论不一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵
∴，，
，
∴是等腰三角形，
∴
∴，
故正确的为：A，B，C，不正确的为D
故选：D
【分析】根据全等三角形的性质得出，，，根据等腰三角形的性质得到，继而得到，从而得解；
11．（2025八上·天津市期末）甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队先单独施工30天，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，全部完成此项筑路工程．已知甲队单独施工需90天完成．若设乙队单独施工需x天完成，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，得
．
故选：B．
【分析】甲队先单独施工30天，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，全部完成此项筑路工程．据此列出分式方程即可．
12．（2025八上·天津市期末）如图，在中，的垂直平分线分别交边于点，若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为（　　）
A．7 B．9 C．12 D．14
【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接，．
∵，点D是边的中点，，
∴，，
∴，
解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴点C关于直线的对称点为点A，
∴，
∵，当点A、M、D共线时取等号，
∴的长为的最小值，
∴的周长最小值为．
故选：B．
【分析】连接，，先证明，，根据三角形面积公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到点C关于直线的对称点为点A，根据，即可求出的周长最小值为9．
二、填空题
13．（2025八上·天津市期末）　 　.
【答案】
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】
【分析】根据负指数幂的公式即可运算.
14．（2025八上·天津市期末）计算的结果等于　 　．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】直接利用平方差公式求解即可．
15．（2025八上·天津市期末）若，则的值为　 　．
【答案】13
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴；
故答案为：13．
【分析】根据，进行计算即可．
16．（2025八上·天津市期末）如图，为等边三角形，为边上的高，为边上的一点，且．则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：为等边三角形，为边上的高，
∴，，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质及等边三角形的性质，可得，利用等腰三角形的性质可求，再利用∠EDC=∠ADC-∠ADE计算即可．
17．（2025八上·天津市期末）如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点M和点N为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点P．画射线，作于点C，且，是射线上一个动点，则的最小值为　 　
【答案】2
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：由作法得：是的平分线，
当时，的值最小，
，
，
的最小值为，
故答案：．
【分析】由作法得是的平分线，由垂线段最短得时，的值最小，由角平分线的性质即可求解；掌握垂线段最短，角平分线的性质是解题的关键．
三、解答题
18．（2025八上·天津市期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均在格点上，且．
（1）边上的高的长为_______；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出的角平分线，简要说明是如何找到的（不要求证明）．
【答案】（1）4
（2）解：如图，即为所求；
取格点右侧第5个格点，连接，得到为等腰三角形，取的中点，连接交于点，根据三线合一，即可得到为的角平分线.
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：（1）如图，即为边上的高，；
故答案为：4；
【分析】（1）根据三角形的高线的定义，结合网格特点作答即可；
（2）取格点右侧第5个格点，连接，得到为等腰三角形，取的中点，连接交于点，根据三线合一，即可得到为的角平分线.
（1）解：如图，即为边上的高，；
故答案为：4；
（2）如图，即为所求；
取格点右侧第5个格点，连接，得到为等腰三角形，取的中点，连接交于点，根据三线合一，即可得到为的角平分线.
19．（2025八上·天津市期末）分解因式
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；

（2）解：

【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提公因式，再用平方差公式因式分解即可；
（2）先提公因式，再用完全平方公式因式分解即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
20．（2025八上·天津市期末）计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据多项式乘以多项式运算法则求解即可得到答案；
（2）先由完全平方公式计算、再进行整式的加减即可得到答案．
（1）解：
；
（2）解：
．
21．（2025八上·天津市期末）（1）如图①，在中，，点E在边上，点F在的延长线上，且．求证：．
（2）如图②，已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】解：（1）证明：，点F在的延长线上，
，
在和中
，
，
．
（2）如图，就是所求作的三角形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）证明，即可得．
（2）任意作射线，以点B为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点C，再作线段的垂直平分线，交线段于点O，以点O为圆心，线段h的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点A，连接，，则即为所求；
22．（2025八上·天津市期末）计算
（1）；
（2）；
（3）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；负整数指数幂；分式的除法
【解析】【分析】（1）将除法运算转化成乘法运算，再约分化简即可求解；
（2）先计算乘方，再计算乘法运算即可求解；
（3）将分式的分子、分母因式分解，除法化为乘法，约分，再把代入计算即可求解．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
当时，原式．
23．（2025八上·天津市期末）解分式方程
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：方程两边都乘以，得．
解得：．
检验：当时，．
∴原分式方程的解为．
（2）解：方程两边都乘以，得
解得
检验：当时，
原分式方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可；
（2）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可．
（1）解：方程两边都乘以，得
．
解得：．
检验：当时，．
∴原分式方程的解为．
（2）解：方程两边都乘以，得
解得
检验：当时，
原分式方程的解为．
24．（2025八上·天津市期末）为了丰富校园文体活动，某学校准备一次性购买若干个足球和排球．已知用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，足球的单价比排球的单价多15元．
（1）求足球和排球的单价各是多少元；
（2）根据学校的实际情况，需要一次性购买足球和排球共100个，若要求总费用不超过7100元，则学校最多可以购买_______个足球．
【答案】（1）解：设足球的单价是x元，则排球的单价是元，依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：足球的单价是80元，排球的单价是65元；
（2）40
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（2）解：设学校可以购买m个足球，则可以购买个排球，依题意得：，
解得：．
又∵m为正整数，
∴m可以取的最大值为40．
∴学校最多可以购买40个足球．
故答案为：40．
【分析】（1）设足球的单价是x元，则排球的单价是元，由数量关系“数量=总价÷单价”，根据题意用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，列出关于x的分式方程，解之并经检验即可；
（2）设学校可以购买m个足球，则可以购买个足球，根据购买足球和排球的总费用不超过7100元，列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可解答．
（1）解：设足球的单价是x元，则排球的单价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：足球的单价是80元，排球的单价是65元；
（2）解：设学校可以购买m个足球，则可以购买个排球，
依题意得：，
解得：．
又∵m为正整数，
∴m可以取的最大值为40．
∴学校最多可以购买40个足球．
故答案为：40．
25．（2025八上·天津市期末）在中，，点在射线上，连接，并以为边在射线上方，右侧作等边，连接．
（1）如图①，当时，的长为_______；
（2）如图②，若，当点在线段上时，与有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）如图③，若，当时，求线段的长．
【答案】（1）
（2）解：，理由如下：∵，，
为等边三角形，
，，
∵为等边三角形，
，，
，
，
即，
在和中，
∵，
，
；
（3）解：∵为等边三角形，，
∵，，
，
∵，，
为等边三角形，
，，
∵，
，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；手拉手全等模型
【解析】【解答】（1）解：在中，，，
∵，
，
又∵，
，
故答案为：；
【分析】
（1）根据三角形的内角和得出，再由含30°直角三角形的性质，角所对的边是斜边的一半即可解答；
（2）若 ，先根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到为等边三角形，再由等边三角形的性质证明出，即可由手拉手模型得，从而有全等三角形的性质证明结论；
（3）当时，得到，再根据等边三角形的判定与性质及三角形外角的性质即可得出，从而求出线段的长．
（1）解：在中，，，
∵，
，
又∵，
，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
∵，，
为等边三角形，
，，
∵为等边三角形，
，，
，
，
即，
在和中，
∵，
，
；
（3）解：∵为等边三角形，
，
∵，，
，
∵，，
为等边三角形，
，，
∵，
，
，
．
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