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浙江省金华市义乌市佛堂镇初级中学2025-2026学年上学期九年级期中考试数学卷
1．（2025九上·义乌期中）已知，下列变形错误的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·义乌期中）如图，点是的黄金分割点，即点满足，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．0.618
3．（2025九上·义乌期中）如图，是二次函数的图象，则与的关系是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九上·义乌期中）已知二次函数，那么它的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2025九上·义乌期中）在中，．用无刻度的直尺和圆规任内部作一个角，下列作法中不等于的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025九上·义乌期中）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九上·义乌期中）如图，在中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、正方形、正方形，点在边上．若，则阴影部分的面积和为（　　）
A．12 B．9 C．18 D．15
8．（2025九上·义乌期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P为直线上的动点，以为边作等边，则的最小值为（　　）
A．4 B．2 C． D．
9．（2025九上·义乌期中）矩形中，，，连结，，分别在边，上，连结，分别交于点，，若，，则下列结论中：①；②；③；④；⑤；结论正确的有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2025九上·义乌期中）如图，在中（），，点，分别是，上的动点，连接，，点和关于对称，点和关于对称，且点，都在所在的直线上．已知，设，．下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025九上·义乌期中）函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　.
12．（2025九上·义乌期中）线段是线段、的比例中项，且，，则长为　 　．
13．（2025九上·义乌期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为轴上的一点，将绕点按顺时针旋转至，反比例函数的图象经过点，过作交反比例函数图象于点，若的面积为，则的值为　 　
14．（2025九上·义乌期中）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，则　 　．
15．（2025九上·义乌期中）如图，在坐标系中放置一菱形，已知，先将菱形沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2025次，点B的落点依次为，，，…，则B2025的坐标为　 　．
16．（2025九上·义乌期中）如图，在矩形中，为对角线，点F在上，连接交于点E，且，；
（1）则　 　；
（2）若，为等腰直角三角形，，则　 　．
17．（2025九上·义乌期中）计算：
18．（2025九上·义乌期中）解方程： .
19．（2025九上·义乌期中）已知关于x、y的方程组中，x为非负数、y为负数．
（1）试求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若不等式的解为，请写出整数m的值．
20．（2025九上·义乌期中）如图，在中，以为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连结，将沿直线对折使点落在处，交边于点．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
21．（2025九上·义乌期中）平面直角坐标系中，横坐标为2的点A在反比例函数y(k＞0)的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，．
(1)求k的值；
(2)在x轴的负半轴上找点P，将点A绕点P顺时针旋转90°，其对应点A落在此反比例函数第三象限的图象上，求点P的坐标；
(3)直线yx+n(n＜0)与AB的延长线交于点C，与反比例函数图象交于点E，若点E到直线AB的距离等于AC，求n的值．
22．（2025九上·义乌期中）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A．
（1）若，求抛物线的顶点坐标；
（2）若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；
（3）若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围．
23．（2025九上·义乌期中）如图1，在正方形中，E为的中点，点 P 从点 B 出发，沿B→C→D匀速运动，同时点Q从点 E出发，沿E→B→C 匀速运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．当点P运动到点D时，P，Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为，的面积为S．当点Q在上运动时，S关于t的函数图象是图2所示的抛物线的一段．
（1）的长为_____；当点Q与点B重合时，的面积为_____．
（2）当点Q在上运动时，求S关于t的函数解析式，并在图2的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
（3）若存在3个时刻 其对应的 的面积均相等，且 求的值．
24．（2025九上·义乌期中）如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和顶点的坐标；
（2）点在轴上，直线将的面积分成两部分，请求出点的坐标；
（3）如图，作轴于点，点是上方的抛物线上一点，是上一点，是否存在点使得与相似？若存在，请直接写出坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、由得，故A选项符合题意；
B、由得，故B选项不符合题意；
C、由得，故C选项不符合题意；
D、由得，故C选项不符合题意．
故选：A．
【分析】根据比例的性质：内项之积等于外项之积，逐项进行分析判断，即可得出答案．
2．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点是的黄金分割点，即点满足，∴为较长线段，
由，得，
故答案为：A．
【分析】题目要求根据黄金分割比例的定义进行计算。黄金分割比的数学表达式为：
，这个比值约为0.618。解题时只需直接应用这个已知的黄金分割比值即可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：如图，
由函数图象可知，的图象开口更小，
根据系数越大，开口越小，
；
故答案为：A．
【分析】根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系直接得出即可．
4．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2-2x+2（a＞0）的对称轴为直线，
∴其顶点在第一或第四象限，
∵当x=0时，y=2，
∴抛物线一定经过第二象限，
∴此函数的图象一定不经过第三象限．
故选：C．
【分析】先根据题意判断出二次函数的对称轴在y轴的右侧，得出顶点在第一或第四象限，再令x=0求出y的值，得出抛物线与y轴交于正半轴，得出抛物线一定经过第二象限，即可得出答案．
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A．此选项是作直角的平分线，则，不符合题意；
B．如图，
此选项是作，由
∴，不符合题意；
C．此选项是作的垂直平分线，可知不一定等于，符合题意；
D．此选项是作和的平分线可知，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用角平分线的作图方法及步骤，线段垂直平分线的作图方法及步骤以及等腰直角三角形、直角三角形的性质、三角形外角的性质逐项分析判断即可.
6．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式②得，
∵不等式组无解，
∴，
故答案为：C．
【分析】
先求不等式组的解集，根据不等式组无解可得，求出m取值范围解题．
7．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：连接EF，过点E作于点K，设AE，BF交于点L，交于点M，如图所示，
∵，以、、为边在的同侧作正方形、正方形、正方形，
∴，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，，
∵，
∵，，
∴，即，
∵，，，，
∴，
∴，，
∵，
又，，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：A ．
【分析】根据题意，如图所示，连接，过点作于点，设交于点，交于点，可证，，，，阴影部分的面积为，由此即可求解．
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作轴于G，连接，
∵点A的坐标为，
∴，
∴，
取，连接，
∴，，
∵，
∴，
∵AG=AG，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点P作轴于H，取中点T，连接，
设，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴点Q在直线上运动，
过点O作交直线于E，
∴，
∴，
∴的最小值为2，
故选：B．
【分析】如图所示，过点A作轴于G，连接，先证明是等边三角形，进而证明，得到，过点P作轴于H，取中点T，连接，设，证明出是等边三角形，得到，进而推出，得出点Q在直线上运动，过点O作交直线于E，得出的长，由垂线段最短即可得出的最小值．
9．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
，，
，
，故①正确；
，，∠ABE=90，
，
，
，
，
，，
，
，故②正确；
在中，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，故③错误；
，故④错误；
，故⑤错误；
故选：B．
【分析】根据与两个三角形所有内角相加为，根据矩形的性质得出，从而得出，根据题意得出，即可判断①；证出，得出，求出的值，即可判断②；利用矩形的性质及已知条件，证明，得到，进而得出，，得出，再证明，得出，得出，进而得出，再证明，得出，即可判断③④⑤．
10．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等积变换
【解析】【解答】解：由轴对称的性质可得，
∴分别平分，
∴点E到和到的距离相等，
设点E到的距离为h，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据轴对称的性质可得，得出点E到和到的距离相等，利用等面积法可证明，，证明，求出，再证明，得到，从而得出，化简即可得出．
11．【答案】x≤2且x≠-1
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵y= 有意义，
∴ ，
解得：x≤2且x≠-1，
故答案为：x≤2且x≠-1
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，分式有意义的条件：分母不为0，列不等式组求出不等式的解集即可.
12．【答案】
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：∵线段AB是线段MN、CD的比例中项，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】三条线段a、b、c，如果满足，则线段b就是线段a、c的比例中项，据此建立方程求解即可.
13．【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；旋转的性质；等积变换
【解析】【解答】解：过B点作于E点，如图，
根据旋转的性质可得：，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点B，
∴，
故答案为：．
【分析】过B点作于E点，根据旋转性质可得，，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据勾股定理可得BE，再根据，可得，再根据三角形面积建立方程，解方程可得，则，，再根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
14．【答案】1
【知识点】正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：分别过点和点作y轴的垂线，垂足分别为和，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴（AAS），
∴，
由题意得：，
∴，
∴，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
故填：1.
【分析】分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，先证出得出，由题意得，进而得，利用MN=m+n列出等式，变形为，得出，即可得出答案.
15．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图，连接，交y轴于点D
四边形是菱形，
，，
在中，，
由翻转的性质得：旋转后的四边形仍是菱形，且边长为1，
则点的横坐标为，纵坐标为，即，
重合，它们的横坐标为，纵坐标为0，即，
点的横坐标为，纵坐标为，即，
点的横坐标为，纵坐标为，即，
由翻转过程可知，每翻转6次，点B向右平移4个单位长度，
，
的纵坐标为0，横坐标在横坐标的基础上加上，即为，
则
故填：．
【分析】先利用菱形的性质、翻转的性质分别求出点坐标，再归纳总结得出规律，据此即可得出答案．

16．【答案】；
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等积变换；等角代换法求锐角三角函数值；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（1），
∴设，，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
∴，
解得；，
，
，
故填：；
（2）解：作于点，作于点，
为等腰直角三角形，，，
，，
，
，
，
，
∴为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
解得，
，
即，
解得：，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
，
，
，
∴，
，
，
解得：，
故填：．
【分析】（1）设，，先证明，利用相似三角形性质得到，从而得出，，即可得出的值；
（2）作于点，作于点，先证出为等腰直角三角形，得出，
再利用等面积法得出，从而得出，证出，得出，列出等式进行计算，即可得出GH的长．
17．【答案】解：，
，
，
．
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，并化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可
18．【答案】解：两边同时乘以（x-3），得
2-x-1=x-3，
解得：x=2
检验：当x=2时，x-3≠0，所以x=2是原方程的根，
所以原方程的根是x=2
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】两边同时乘以（x-3），将分式方程，转化为整式方程，然后解整式方程，求出x的值，再检验得出原方程的解。
19．【答案】（1）解：
①+②得：，
解得：③，
把③代入②中得：，
解得：，
∴方程组的解为：．
∵x为非负数、y为负数，即，
∴．
解得：；
（2）解：
移项得：．
∵不等式的解为，
∴，
解得．
又∵，
∴m的取值范围是．
又∵m是整数，
∴m的值为．
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】（1）利用加减消元法求出二元一次方程组的解为，再根据x为非负数、y为负数，列出不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围；
（2）根据不等式的解为，可得，解不等式得出m的取值范围，再根据（1）中m的取值范围，即可得出整数m的值.
（1）解：解方程组
用①+②得：，解得③，
把③代入②中得：，解得，
∴方程组的解为：．
∵x为非负数、y为负数，即，
∴．
解得；
（2）移项得：．
∵不等式的解为，
∴，
解得．
又∵，
∴m的取值范围是．
又∵m是整数，
∴m的值为．
20．【答案】（1）证明：由作图可得，∴，
由折叠可得：，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，∴，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到，再利用翻折可得，，解题即可；
（2）根据两个对应角相等的两个三角形相似得到，然后根据对应边成比例解答即可．
（1）证明：由作图可得，
∴，
由折叠可得：，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴．
21．【答案】解：（1）∵，
∴设OAa，AB＝2a，
∵A点的横坐标为2，
∴OB＝2，
由勾股定理得：OA2=AB2+OB2，
∴(a)2＝(2a)2+4，
解得：a＝2或a=-2（不符合题意，舍去），
∴AB=4，
∴点A(2，4)，
∵ 点A在反比例函数y(k＞0)的图象上，
∴k＝2×4＝8；
（2）点A绕点P顺时针旋转90°，点A对应点A'落在此反比例函数第三象限的图象上，
过点A'作AG⊥x轴交于点G，设点P(a，0)，
∵∠PAB+∠BPA＝90°，∠BPA+∠A'PG＝90°，
∴∠A'PG＝∠PAB，
∠ABP＝∠A'GP＝90°，PA＝PA'，
∴△PAB≌△A'PG(AAS)，
∴PG＝AB＝4，GA'＝PB＝2﹣a，
则点A'的坐标为(a+4，a﹣2)，
则(a+4)(a﹣2)＝8，
解得：a＝-1或-1+(不符合题意，舍去)，
∴点P坐标为(﹣1，0)；
(3)设直线yx+n（n＜0）与AB和双曲线分别交于点C、点E（E'），
过点E（E'）作E(E')F(F')⊥AB交于点F(F')，
①当直线与双曲线交点为E时，
则点C(2，1+n)，AC＝4﹣1﹣n＝3﹣n，
将直线表达式与反比例函数表达式联立得，
∴x2+2nx﹣16＝0，
解得：x＝﹣n±，
∴xE＝﹣n，
∴EF＝﹣n2，
E到直线AB的距离为FE等于AC，
则﹣n2＝3﹣n，
解得：n＝﹣3或n=3(不符合题意，舍去)；
②当直线与双曲线交点为E'时，
同理可得：n，
综上所述，n的值为﹣3或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据题意设OAa，AB＝2a，OB＝2，利用勾股定理得出(a)2＝(2a)2+4，解出a的值，得到A点的坐标，再代入反比例函数的解析式y ，即可得出k的值；
（2）过点A'作AG⊥x轴交于点G，设点P(a，0)，利用AAS证出△PAB≌△A'PG，得出PG＝AB＝4，GA'＝PB＝2﹣a，从而得出点A'的坐标为(a+4，a﹣2)，再代入反比例函数的解析式y ，得出(a+4)(a﹣2)＝8，解出a的值，即可得出答案；
（3）设线yx+n(n＜0)与AB和双曲线分别交于点C、点E(E')，过点E(E')作E('E)F(F')⊥AB交于点F(F')，E点有两种情况，在第一象限或者第三象限，将直线表达式与反比例函数表达式联立，用n表示出EF，E到直线AB的距离为FE等于AC，得到方程解出n，即可得出答案.
22．【答案】（1）解：当时，抛物线．
∴ 抛物线的顶点坐标为；
（2）解：令，则，
∴，
∵线段上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，
∴“完美点”的个数为4个或5个．
∵，
∴当“完美点”个数为4个时，分别为，，，；
当“完美点”个数为5个时，分别为，，，，．
∴．
∴a的取值范围是；
（3）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，过点，，，
∵抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，
显然，“完美点”，，符合题意，
下面讨论抛物线经过，的两种情况：
①当抛物线经过时，解得，此时，，，，
如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，共4个；
②当抛物线经过时，解得，此时，，，，
如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，，，共6个；
∴a的取值范围是．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）把代入抛物线的解析式，再将抛物线化成顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标；
（2）先求出点A的坐标，再根据线段上的“完美点”的个数的范围，确定点A纵坐标的范围，即可得出a的取值范围；
（3）根据题意和函数图象得出“完美点”，，符合题意，再分类讨论：①当抛物线经过时，②当抛物线经过时，分别求出a的值，进而确定a的范围，即可得出a的取值范围．
（1）解：当时，抛物线．
∴顶点坐标．
（2）令，则，
∴，
∵线段上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，
∴“完美点”的个数为4个或5个．
∵，
∴当“完美点”个数为4个时，分别为，，，；
当“完美点”个数为5个时，分别为，，，，．
∴．
∴a的取值范围是．
（3）根据，
得抛物线的顶点坐标为，过点，，．
∵抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，
显然，“完美点”，，符合题意．
下面讨论抛物线经过，的两种情况：
①当抛物线经过时，解得此时，，，．
如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，共4个．
②当抛物线经过时，解得此时，，，．
如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，，，共6个．
∴a的取值范围是．
23．【答案】（1）4，8
（2）解：当时，与重合，此时运动的路程，即与重合，
∴当点Q在上运动时，点在上运动，
∵当点P运动到点D时，P，Q两点同时停止运动，
∴，
∴当点Q在上运动时，点在上运动，，
∴，，，
∴
，
∴当点Q在上运动时，，
函数图象为：
（3）解：由图（2）中函数图象可得，当存在3个时刻其对应的的面积均相等，，其中，
∵和的函数值相等，且都在上，
∴，
∵
∴，
当时，点Q在上运动，此时，，，，
∴是方程的两个解，
整理得
解得，．
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】（1）解：∵正方形中，E为的中点，
∴，
由函数图象可得，当时，，此时与重合，则，
∴，
故答案为：（1）4，8；
【分析】（1）结合条件“ 当点Q在上运动时，S关于t的函数图象是图2所示的抛物线的一段 ”，并结合图2可知，当时，此时与重合，然后依据“ 点Q的速度是每秒1个单位长度 ”即可求出，得到；
（2）当点Q在上运动时，点在上运动，综合计算得出，然后根据，计算即可得出S关于t的函数解析式，然后用描点法画出函数图即可；
（3）由图（2）中函数图象可得，当存在3个时刻其对应的的面积均相等，并确定S、t1、t2、t3的大小范围；再根据和的函数值相等，且都在上，得到，求出，即可求出3个时刻其对应的相等的面积，再代入计算求出即可．
（1）解：∵正方形中，E为的中点，
∴，
由函数图象可得，当时，，此时与重合，则，
∴，
故答案为：4，8；
（2）解：当时，与重合，此时运动的路程，即与重合，
∴当点Q在上运动时，点在上运动，
∵当点P运动到点D时，P，Q两点同时停止运动，
∴，
∴当点Q在上运动时，点在上运动，，
∴，，，
∴
，
∴当点Q在上运动时，，
函数图象为：
（3）解：由图（2）中函数图象可得，当存在3个时刻其对应的的面积均相等，，其中，
∵和的函数值相等，且都在上，
∴，
∵
∴，
当时，点Q在上运动，此时，，，，
∴是方程的两个解，
整理得
解得，．
24．【答案】（1）解：把点和点的坐标代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式是；
∵，
抛物线的顶点的坐标为
（2）解：如图所示，设点、是线段的三等分点，过点作，，
∴，
，
∵B点坐标为
∴，
，
点、的横坐标分别是、，
设直线的解析式是，
把点和点的坐标代入，
得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，，
当时，，
点的坐标是，点的坐标是，
点和点在直线上，
直线与轴的交点坐标是，
即点的坐标是；
设直线的解析式是，
把点和点的坐标代入，
得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，，
解得：，
直线与轴的交点坐标是，
即点的坐标是，
综上所述，点的坐标是或
（3）存在，
点的坐标为或.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】解：（3）存在，点的坐标为或，
设点的坐标是，
如下图所示，作，延长交于点，过点作，
点的坐标是，点的坐标是，
，，，
，
，，
，
，
，
，
点的坐标是，
，
，
在和中，，
，
，
点的坐标是，
即点的坐标是，
设直线的解析式是，
把点，的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
把点的坐标代入，
可得：，
整理得：，
解得：，(与点重合，舍去)，
当时，，
则，
点的坐标是；
如下图所示，作，作，
则，
当时，，
点的坐标是，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
点的横坐标是，
把代入，
得：，
点的坐标是，
综上所述，点的坐标或．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式是，把二次函数的解析式整理成顶点式，得出顶点的坐标为，即可得出答案；
（2）作点、三等分线段，根据平行线分线段成比例定理可知点、的横坐标是、，用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式可得点、的坐标，用待定系数法求出、的解析式，根据解析式求出点的坐标，即可得出答案；
（3）设点的坐标是，作，延长交于点，过点作，利用相似三角形的性质可知，点的坐标是，点的坐标是，利用待定系数法求出的解析式，根据点在直线上，即可求出点的坐标；作，作，可证，利用勾股定理求出的长度，根据全等三角形的性质可知的长度，利用相似三角形的性质求出点的坐标，即可得出答案．
（1）解：把点和点的坐标代入，
可得：，
解得：，
抛物线的解析式是；
把二次函数的解析整理，可得：，
抛物线的顶点的坐标为；
（2）解：如下图所示，点、是线段的三等分点，
过点作，，
则，
，
，
，
点、的横坐标分别是、，
设直线的解析式是，
把点和点的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，可得：，
当时，可得：，
点的坐标是，点的坐标是，
点和点在直线上，
直线与轴的交点坐标是，
即点的坐标是，
设直线的解析式是，
把点和点的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，可得：，
解得：，
直线与轴的交点坐标是，
即点的坐标是，
综上所述，点的坐标是或；
（3）解：点的坐标或，
设点的坐标是，
如下图所示，作，延长交于点，过点作，
点的坐标是，点的坐标是，
，，，
，
，，
，
，
，
，
点的坐标是，
，
，
在和中，，
，
，
点的坐标是，
即点的坐标是，
设直线的解析式是，
把点，的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
把点的坐标代入，
可得：，
整理得：，
解得：，(与点重合，舍去)，
当时，，
则，
点的坐标是；
如下图所示，作，作，
则，
当时，，
点的坐标是，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
，
解得：，
点的横坐标是，
把代入，
可得：，
点的坐标是，
综上所述，点的坐标或．
1 / 1浙江省金华市义乌市佛堂镇初级中学2025-2026学年上学期九年级期中考试数学卷
1．（2025九上·义乌期中）已知，下列变形错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、由得，故A选项符合题意；
B、由得，故B选项不符合题意；
C、由得，故C选项不符合题意；
D、由得，故C选项不符合题意．
故选：A．
【分析】根据比例的性质：内项之积等于外项之积，逐项进行分析判断，即可得出答案．
2．（2025九上·义乌期中）如图，点是的黄金分割点，即点满足，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．0.618
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点是的黄金分割点，即点满足，∴为较长线段，
由，得，
故答案为：A．
【分析】题目要求根据黄金分割比例的定义进行计算。黄金分割比的数学表达式为：
，这个比值约为0.618。解题时只需直接应用这个已知的黄金分割比值即可得出答案。
3．（2025九上·义乌期中）如图，是二次函数的图象，则与的关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：如图，
由函数图象可知，的图象开口更小，
根据系数越大，开口越小，
；
故答案为：A．
【分析】根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系直接得出即可．
4．（2025九上·义乌期中）已知二次函数，那么它的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2-2x+2（a＞0）的对称轴为直线，
∴其顶点在第一或第四象限，
∵当x=0时，y=2，
∴抛物线一定经过第二象限，
∴此函数的图象一定不经过第三象限．
故选：C．
【分析】先根据题意判断出二次函数的对称轴在y轴的右侧，得出顶点在第一或第四象限，再令x=0求出y的值，得出抛物线与y轴交于正半轴，得出抛物线一定经过第二象限，即可得出答案．
5．（2025九上·义乌期中）在中，．用无刻度的直尺和圆规任内部作一个角，下列作法中不等于的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A．此选项是作直角的平分线，则，不符合题意；
B．如图，
此选项是作，由
∴，不符合题意；
C．此选项是作的垂直平分线，可知不一定等于，符合题意；
D．此选项是作和的平分线可知，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用角平分线的作图方法及步骤，线段垂直平分线的作图方法及步骤以及等腰直角三角形、直角三角形的性质、三角形外角的性质逐项分析判断即可.
6．（2025九上·义乌期中）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式②得，
∵不等式组无解，
∴，
故答案为：C．
【分析】
先求不等式组的解集，根据不等式组无解可得，求出m取值范围解题．
7．（2025九上·义乌期中）如图，在中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、正方形、正方形，点在边上．若，则阴影部分的面积和为（　　）
A．12 B．9 C．18 D．15
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：连接EF，过点E作于点K，设AE，BF交于点L，交于点M，如图所示，
∵，以、、为边在的同侧作正方形、正方形、正方形，
∴，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，，
∵，
∵，，
∴，即，
∵，，，，
∴，
∴，，
∵，
又，，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：A ．
【分析】根据题意，如图所示，连接，过点作于点，设交于点，交于点，可证，，，，阴影部分的面积为，由此即可求解．
8．（2025九上·义乌期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P为直线上的动点，以为边作等边，则的最小值为（　　）
A．4 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作轴于G，连接，
∵点A的坐标为，
∴，
∴，
取，连接，
∴，，
∵，
∴，
∵AG=AG，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点P作轴于H，取中点T，连接，
设，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴点Q在直线上运动，
过点O作交直线于E，
∴，
∴，
∴的最小值为2，
故选：B．
【分析】如图所示，过点A作轴于G，连接，先证明是等边三角形，进而证明，得到，过点P作轴于H，取中点T，连接，设，证明出是等边三角形，得到，进而推出，得出点Q在直线上运动，过点O作交直线于E，得出的长，由垂线段最短即可得出的最小值．
9．（2025九上·义乌期中）矩形中，，，连结，，分别在边，上，连结，分别交于点，，若，，则下列结论中：①；②；③；④；⑤；结论正确的有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
，，
，
，故①正确；
，，∠ABE=90，
，
，
，
，
，，
，
，故②正确；
在中，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，故③错误；
，故④错误；
，故⑤错误；
故选：B．
【分析】根据与两个三角形所有内角相加为，根据矩形的性质得出，从而得出，根据题意得出，即可判断①；证出，得出，求出的值，即可判断②；利用矩形的性质及已知条件，证明，得到，进而得出，，得出，再证明，得出，得出，进而得出，再证明，得出，即可判断③④⑤．
10．（2025九上·义乌期中）如图，在中（），，点，分别是，上的动点，连接，，点和关于对称，点和关于对称，且点，都在所在的直线上．已知，设，．下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等积变换
【解析】【解答】解：由轴对称的性质可得，
∴分别平分，
∴点E到和到的距离相等，
设点E到的距离为h，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据轴对称的性质可得，得出点E到和到的距离相等，利用等面积法可证明，，证明，求出，再证明，得到，从而得出，化简即可得出．
11．（2025九上·义乌期中）函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　.
【答案】x≤2且x≠-1
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵y= 有意义，
∴ ，
解得：x≤2且x≠-1，
故答案为：x≤2且x≠-1
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，分式有意义的条件：分母不为0，列不等式组求出不等式的解集即可.
12．（2025九上·义乌期中）线段是线段、的比例中项，且，，则长为　 　．
【答案】
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：∵线段AB是线段MN、CD的比例中项，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】三条线段a、b、c，如果满足，则线段b就是线段a、c的比例中项，据此建立方程求解即可.
13．（2025九上·义乌期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为轴上的一点，将绕点按顺时针旋转至，反比例函数的图象经过点，过作交反比例函数图象于点，若的面积为，则的值为　 　
【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；旋转的性质；等积变换
【解析】【解答】解：过B点作于E点，如图，
根据旋转的性质可得：，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点B，
∴，
故答案为：．
【分析】过B点作于E点，根据旋转性质可得，，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据勾股定理可得BE，再根据，可得，再根据三角形面积建立方程，解方程可得，则，，再根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
14．（2025九上·义乌期中）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，则　 　．
【答案】1
【知识点】正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：分别过点和点作y轴的垂线，垂足分别为和，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴（AAS），
∴，
由题意得：，
∴，
∴，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
故填：1.
【分析】分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，先证出得出，由题意得，进而得，利用MN=m+n列出等式，变形为，得出，即可得出答案.
15．（2025九上·义乌期中）如图，在坐标系中放置一菱形，已知，先将菱形沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2025次，点B的落点依次为，，，…，则B2025的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图，连接，交y轴于点D
四边形是菱形，
，，
在中，，
由翻转的性质得：旋转后的四边形仍是菱形，且边长为1，
则点的横坐标为，纵坐标为，即，
重合，它们的横坐标为，纵坐标为0，即，
点的横坐标为，纵坐标为，即，
点的横坐标为，纵坐标为，即，
由翻转过程可知，每翻转6次，点B向右平移4个单位长度，
，
的纵坐标为0，横坐标在横坐标的基础上加上，即为，
则
故填：．
【分析】先利用菱形的性质、翻转的性质分别求出点坐标，再归纳总结得出规律，据此即可得出答案．

16．（2025九上·义乌期中）如图，在矩形中，为对角线，点F在上，连接交于点E，且，；
（1）则　 　；
（2）若，为等腰直角三角形，，则　 　．
【答案】；
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等积变换；等角代换法求锐角三角函数值；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（1），
∴设，，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
∴，
解得；，
，
，
故填：；
（2）解：作于点，作于点，
为等腰直角三角形，，，
，，
，
，
，
，
∴为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
解得，
，
即，
解得：，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
，
，
，
∴，
，
，
解得：，
故填：．
【分析】（1）设，，先证明，利用相似三角形性质得到，从而得出，，即可得出的值；
（2）作于点，作于点，先证出为等腰直角三角形，得出，
再利用等面积法得出，从而得出，证出，得出，列出等式进行计算，即可得出GH的长．
17．（2025九上·义乌期中）计算：
【答案】解：，
，
，
．
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，并化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可
18．（2025九上·义乌期中）解方程： .
【答案】解：两边同时乘以（x-3），得
2-x-1=x-3，
解得：x=2
检验：当x=2时，x-3≠0，所以x=2是原方程的根，
所以原方程的根是x=2
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】两边同时乘以（x-3），将分式方程，转化为整式方程，然后解整式方程，求出x的值，再检验得出原方程的解。
19．（2025九上·义乌期中）已知关于x、y的方程组中，x为非负数、y为负数．
（1）试求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若不等式的解为，请写出整数m的值．
【答案】（1）解：
①+②得：，
解得：③，
把③代入②中得：，
解得：，
∴方程组的解为：．
∵x为非负数、y为负数，即，
∴．
解得：；
（2）解：
移项得：．
∵不等式的解为，
∴，
解得．
又∵，
∴m的取值范围是．
又∵m是整数，
∴m的值为．
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】（1）利用加减消元法求出二元一次方程组的解为，再根据x为非负数、y为负数，列出不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围；
（2）根据不等式的解为，可得，解不等式得出m的取值范围，再根据（1）中m的取值范围，即可得出整数m的值.
（1）解：解方程组
用①+②得：，解得③，
把③代入②中得：，解得，
∴方程组的解为：．
∵x为非负数、y为负数，即，
∴．
解得；
（2）移项得：．
∵不等式的解为，
∴，
解得．
又∵，
∴m的取值范围是．
又∵m是整数，
∴m的值为．
20．（2025九上·义乌期中）如图，在中，以为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连结，将沿直线对折使点落在处，交边于点．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明：由作图可得，∴，
由折叠可得：，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，∴，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到，再利用翻折可得，，解题即可；
（2）根据两个对应角相等的两个三角形相似得到，然后根据对应边成比例解答即可．
（1）证明：由作图可得，
∴，
由折叠可得：，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴．
21．（2025九上·义乌期中）平面直角坐标系中，横坐标为2的点A在反比例函数y(k＞0)的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，．
(1)求k的值；
(2)在x轴的负半轴上找点P，将点A绕点P顺时针旋转90°，其对应点A落在此反比例函数第三象限的图象上，求点P的坐标；
(3)直线yx+n(n＜0)与AB的延长线交于点C，与反比例函数图象交于点E，若点E到直线AB的距离等于AC，求n的值．
【答案】解：（1）∵，
∴设OAa，AB＝2a，
∵A点的横坐标为2，
∴OB＝2，
由勾股定理得：OA2=AB2+OB2，
∴(a)2＝(2a)2+4，
解得：a＝2或a=-2（不符合题意，舍去），
∴AB=4，
∴点A(2，4)，
∵ 点A在反比例函数y(k＞0)的图象上，
∴k＝2×4＝8；
（2）点A绕点P顺时针旋转90°，点A对应点A'落在此反比例函数第三象限的图象上，
过点A'作AG⊥x轴交于点G，设点P(a，0)，
∵∠PAB+∠BPA＝90°，∠BPA+∠A'PG＝90°，
∴∠A'PG＝∠PAB，
∠ABP＝∠A'GP＝90°，PA＝PA'，
∴△PAB≌△A'PG(AAS)，
∴PG＝AB＝4，GA'＝PB＝2﹣a，
则点A'的坐标为(a+4，a﹣2)，
则(a+4)(a﹣2)＝8，
解得：a＝-1或-1+(不符合题意，舍去)，
∴点P坐标为(﹣1，0)；
(3)设直线yx+n（n＜0）与AB和双曲线分别交于点C、点E（E'），
过点E（E'）作E(E')F(F')⊥AB交于点F(F')，
①当直线与双曲线交点为E时，
则点C(2，1+n)，AC＝4﹣1﹣n＝3﹣n，
将直线表达式与反比例函数表达式联立得，
∴x2+2nx﹣16＝0，
解得：x＝﹣n±，
∴xE＝﹣n，
∴EF＝﹣n2，
E到直线AB的距离为FE等于AC，
则﹣n2＝3﹣n，
解得：n＝﹣3或n=3(不符合题意，舍去)；
②当直线与双曲线交点为E'时，
同理可得：n，
综上所述，n的值为﹣3或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据题意设OAa，AB＝2a，OB＝2，利用勾股定理得出(a)2＝(2a)2+4，解出a的值，得到A点的坐标，再代入反比例函数的解析式y ，即可得出k的值；
（2）过点A'作AG⊥x轴交于点G，设点P(a，0)，利用AAS证出△PAB≌△A'PG，得出PG＝AB＝4，GA'＝PB＝2﹣a，从而得出点A'的坐标为(a+4，a﹣2)，再代入反比例函数的解析式y ，得出(a+4)(a﹣2)＝8，解出a的值，即可得出答案；
（3）设线yx+n(n＜0)与AB和双曲线分别交于点C、点E(E')，过点E(E')作E('E)F(F')⊥AB交于点F(F')，E点有两种情况，在第一象限或者第三象限，将直线表达式与反比例函数表达式联立，用n表示出EF，E到直线AB的距离为FE等于AC，得到方程解出n，即可得出答案.
22．（2025九上·义乌期中）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A．
（1）若，求抛物线的顶点坐标；
（2）若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；
（3）若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，抛物线．
∴ 抛物线的顶点坐标为；
（2）解：令，则，
∴，
∵线段上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，
∴“完美点”的个数为4个或5个．
∵，
∴当“完美点”个数为4个时，分别为，，，；
当“完美点”个数为5个时，分别为，，，，．
∴．
∴a的取值范围是；
（3）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，过点，，，
∵抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，
显然，“完美点”，，符合题意，
下面讨论抛物线经过，的两种情况：
①当抛物线经过时，解得，此时，，，，
如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，共4个；
②当抛物线经过时，解得，此时，，，，
如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，，，共6个；
∴a的取值范围是．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）把代入抛物线的解析式，再将抛物线化成顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标；
（2）先求出点A的坐标，再根据线段上的“完美点”的个数的范围，确定点A纵坐标的范围，即可得出a的取值范围；
（3）根据题意和函数图象得出“完美点”，，符合题意，再分类讨论：①当抛物线经过时，②当抛物线经过时，分别求出a的值，进而确定a的范围，即可得出a的取值范围．
（1）解：当时，抛物线．
∴顶点坐标．
（2）令，则，
∴，
∵线段上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，
∴“完美点”的个数为4个或5个．
∵，
∴当“完美点”个数为4个时，分别为，，，；
当“完美点”个数为5个时，分别为，，，，．
∴．
∴a的取值范围是．
（3）根据，
得抛物线的顶点坐标为，过点，，．
∵抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，
显然，“完美点”，，符合题意．
下面讨论抛物线经过，的两种情况：
①当抛物线经过时，解得此时，，，．
如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，共4个．
②当抛物线经过时，解得此时，，，．
如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，，，共6个．
∴a的取值范围是．
23．（2025九上·义乌期中）如图1，在正方形中，E为的中点，点 P 从点 B 出发，沿B→C→D匀速运动，同时点Q从点 E出发，沿E→B→C 匀速运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．当点P运动到点D时，P，Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为，的面积为S．当点Q在上运动时，S关于t的函数图象是图2所示的抛物线的一段．
（1）的长为_____；当点Q与点B重合时，的面积为_____．
（2）当点Q在上运动时，求S关于t的函数解析式，并在图2的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
（3）若存在3个时刻 其对应的 的面积均相等，且 求的值．
【答案】（1）4，8
（2）解：当时，与重合，此时运动的路程，即与重合，
∴当点Q在上运动时，点在上运动，
∵当点P运动到点D时，P，Q两点同时停止运动，
∴，
∴当点Q在上运动时，点在上运动，，
∴，，，
∴
，
∴当点Q在上运动时，，
函数图象为：
（3）解：由图（2）中函数图象可得，当存在3个时刻其对应的的面积均相等，，其中，
∵和的函数值相等，且都在上，
∴，
∵
∴，
当时，点Q在上运动，此时，，，，
∴是方程的两个解，
整理得
解得，．
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】（1）解：∵正方形中，E为的中点，
∴，
由函数图象可得，当时，，此时与重合，则，
∴，
故答案为：（1）4，8；
【分析】（1）结合条件“ 当点Q在上运动时，S关于t的函数图象是图2所示的抛物线的一段 ”，并结合图2可知，当时，此时与重合，然后依据“ 点Q的速度是每秒1个单位长度 ”即可求出，得到；
（2）当点Q在上运动时，点在上运动，综合计算得出，然后根据，计算即可得出S关于t的函数解析式，然后用描点法画出函数图即可；
（3）由图（2）中函数图象可得，当存在3个时刻其对应的的面积均相等，并确定S、t1、t2、t3的大小范围；再根据和的函数值相等，且都在上，得到，求出，即可求出3个时刻其对应的相等的面积，再代入计算求出即可．
（1）解：∵正方形中，E为的中点，
∴，
由函数图象可得，当时，，此时与重合，则，
∴，
故答案为：4，8；
（2）解：当时，与重合，此时运动的路程，即与重合，
∴当点Q在上运动时，点在上运动，
∵当点P运动到点D时，P，Q两点同时停止运动，
∴，
∴当点Q在上运动时，点在上运动，，
∴，，，
∴
，
∴当点Q在上运动时，，
函数图象为：
（3）解：由图（2）中函数图象可得，当存在3个时刻其对应的的面积均相等，，其中，
∵和的函数值相等，且都在上，
∴，
∵
∴，
当时，点Q在上运动，此时，，，，
∴是方程的两个解，
整理得
解得，．
24．（2025九上·义乌期中）如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和顶点的坐标；
（2）点在轴上，直线将的面积分成两部分，请求出点的坐标；
（3）如图，作轴于点，点是上方的抛物线上一点，是上一点，是否存在点使得与相似？若存在，请直接写出坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把点和点的坐标代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式是；
∵，
抛物线的顶点的坐标为
（2）解：如图所示，设点、是线段的三等分点，过点作，，
∴，
，
∵B点坐标为
∴，
，
点、的横坐标分别是、，
设直线的解析式是，
把点和点的坐标代入，
得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，，
当时，，
点的坐标是，点的坐标是，
点和点在直线上，
直线与轴的交点坐标是，
即点的坐标是；
设直线的解析式是，
把点和点的坐标代入，
得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，，
解得：，
直线与轴的交点坐标是，
即点的坐标是，
综上所述，点的坐标是或
（3）存在，
点的坐标为或.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】解：（3）存在，点的坐标为或，
设点的坐标是，
如下图所示，作，延长交于点，过点作，
点的坐标是，点的坐标是，
，，，
，
，，
，
，
，
，
点的坐标是，
，
，
在和中，，
，
，
点的坐标是，
即点的坐标是，
设直线的解析式是，
把点，的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
把点的坐标代入，
可得：，
整理得：，
解得：，(与点重合，舍去)，
当时，，
则，
点的坐标是；
如下图所示，作，作，
则，
当时，，
点的坐标是，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
点的横坐标是，
把代入，
得：，
点的坐标是，
综上所述，点的坐标或．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式是，把二次函数的解析式整理成顶点式，得出顶点的坐标为，即可得出答案；
（2）作点、三等分线段，根据平行线分线段成比例定理可知点、的横坐标是、，用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式可得点、的坐标，用待定系数法求出、的解析式，根据解析式求出点的坐标，即可得出答案；
（3）设点的坐标是，作，延长交于点，过点作，利用相似三角形的性质可知，点的坐标是，点的坐标是，利用待定系数法求出的解析式，根据点在直线上，即可求出点的坐标；作，作，可证，利用勾股定理求出的长度，根据全等三角形的性质可知的长度，利用相似三角形的性质求出点的坐标，即可得出答案．
（1）解：把点和点的坐标代入，
可得：，
解得：，
抛物线的解析式是；
把二次函数的解析整理，可得：，
抛物线的顶点的坐标为；
（2）解：如下图所示，点、是线段的三等分点，
过点作，，
则，
，
，
，
点、的横坐标分别是、，
设直线的解析式是，
把点和点的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，可得：，
当时，可得：，
点的坐标是，点的坐标是，
点和点在直线上，
直线与轴的交点坐标是，
即点的坐标是，
设直线的解析式是，
把点和点的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，可得：，
解得：，
直线与轴的交点坐标是，
即点的坐标是，
综上所述，点的坐标是或；
（3）解：点的坐标或，
设点的坐标是，
如下图所示，作，延长交于点，过点作，
点的坐标是，点的坐标是，
，，，
，
，，
，
，
，
，
点的坐标是，
，
，
在和中，，
，
，
点的坐标是，
即点的坐标是，
设直线的解析式是，
把点，的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
把点的坐标代入，
可得：，
整理得：，
解得：，(与点重合，舍去)，
当时，，
则，
点的坐标是；
如下图所示，作，作，
则，
当时，，
点的坐标是，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
，
解得：，
点的横坐标是，
把代入，
可得：，
点的坐标是，
综上所述，点的坐标或．
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