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数列的最值 高频考点梳理 专题练
2026届高考数学复习备考
一、单选题
1．已知为正项等差数列，若，则的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为（ ）
A．15或16 B．13或14 C．16或17 D．14或15
3．在等比数列中，，若，且的前项和为，则满足的最小正整数的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．记为等差数列的前n项和，且，则满足的n的最大值为（ ）
A．40 B．41 C．42 D．43
5．正项等差数列中，，则的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．6
二、多选题
6．对于给定的数列，对任意的，总存在，使得，则称为“数列”，则（ ）
A．若，则数列是“数列”
B．若，则数列是“数列”
C．若数列是“数列”，则数列也是“数列”
D．若项数有限的数列是“数列”，且各项互不相等，则项数的最大值为3
7．已知数列的前项的和，， 若，则下列说法正确的是（ ）
A．为等差数列
B．
C．能取得最小值
D．当时，取得最小值
三、填空题
8．已知数列中，，，则数列的前n项和的最大值等于
9．已知数列满足，则的最小值为 .
10．已知数列满足，，则
①当时，存在，使得；
②当时，为递增数列，且恒成立；
③存在，使得中既有最大值，又有最小值；
④对任意的，存在，当时，恒成立．
其中，所有正确结论的序号为 ．
11．已知在数列中，，且，设，若，则正整数的最大值为 .
12．若，，记数列的前项和为，则的最小值为 .
四、解答题
13．已知正项等比数列的前项和为，满足，.
(1)求数列的前项和.
(2)在（1）的条件下，若，，求的最小值.
14．记为等比数列的前项和，已知，，数列是公差为1的等差数列，且=，数列满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的最小值及取得最小值时的值．
15．设数列的前项和，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列前项和，求使成立的的最小值．
16．已知等差数列满足，数列的首项为9，且是公比为2的等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)探究的单调性，并求其最值．
17．已知数列的前项为，且.正项等比数列的首项为1，为其前项和，且.
(1)求，；
(2)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值.
18．已知数列与满足，.
（1）若，且，求数列的通项公式；
（2）设的第项是最大项，即，求证：数列的第项是最大项；
（3）设，，求的取值范围，使得对任意，，，且.
19．记为数列的前项和，已知．
(1)求；
(2)证明：数列是等比数列；
(3)求的最值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C A B B B BCD BC
1．C
【分析】由题意求得，，进一步将所求转换为关于的二次式子即可求解.
【详解】，解得，
由于为正项等差数列，则，解得，
，等号成立当且仅当，
所以的最大值为8.
故选：C.
2．A
【分析】根据已知及等差数列的通项公式、前n项和公式求基本量，结合及数列单调性确定取最小值时的值.
【详解】由，，
所以，数列的公差，且，
所以，且数列单调递增，
故取最小值时，的值为15或16.
故选：A
3．B
【分析】根据等比数列性质及分组求和法，利用等比数列的前项和及数列的单调性即可求解.
【详解】由可得，
故，设的公比为，则，即，
故，
则．
由于时，，
故随着的增大而增大，而，，
故满足的最小正整数的值为6．
故选：B.
4．B
【分析】由等差数列求和公式得，根据题意列出不等式即可求解.
【详解】由已知可得，
的公差为，故，
故，
令，又，所以，故n的最大值为41，
验证，，
所以n的最大值为41.
故选：B.
5．B
【分析】设公差为，由求出，则，由及乘“1”法计算可得.
【详解】正项等差数列中，设公差为，
因为，所以，因为，所以，
所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号.
故选：B
6．BCD
【分析】依据题目数列的要求，对选项逐一判断即可.
【详解】对于A，若，则是等比数列，由，得，所以不是“数列”，A错误；
对于B，若，对任意，则，又，则存在，使得，所以数列是“数列”，B正确；
对于C，若是“数列”，则，由，得，所以是“数列”，C正确；
对于D，因为各项互不相等，若是“数列”中的一项，
可知是数列中的项，取，解得或，即0，1可能符合题意，
若，则，即也可能符合题意，对于数列是“数列”，
假设数列还有其他项是“数列”，取，
则存在，使得；取，则存在，使得，；
依此类推，可得到，此时数列不满足项数有限，即假设不成立，
可知数列不存在其他项，所以项数的最大值为3，故D正确.
故选：BCD.
7．BC
【分析】对两边同除以，即可判断选项A，由，利用累加法即可求得，进而求得，判断选项B，结合导数判断函数单调性，即可判断选项C，结合与的关系式，赋值法即可判断选项D.
【详解】对于选项A，两边同除以，
得，故选项A错误；
对于选项B，由，
可得，
累加法得，代入，
得，又满足上式，
故，，故选项B正确；
对于选项C，令，
则，
由得，
由得，
所以当时取得最小值，
经验证时，能取得最小值，故选项C正确；
对于选项D，由，，
所以，
由得，由得，
由上可知的最小值在或时取得，
当时，，
当时，，
经验算时取得最小值，故选项D错误.
故选：BC
8．
【分析】由题意可知数列是首项为10，公差为的等差数列，求出前n项和，转化为求函数的最大值问题即可.
【详解】当时，，且，
所以，数列是首项为10，公差为的等差数列，
则数列的前n项和为，
因，故当时，取得最大值18．
故答案为：．
9．
【分析】根据数列的知识以及基本不等式求得正确答案.
【详解】，但没有正整数解，
所以等号不等成立，，
，
所以的最小值为.
故答案为：
10．②③④
【分析】根据数列递推式，求得判断①②；举出特例说明判断③；按和分类讨论判断④.
【详解】由，得，则，，
对于①，当时，数列是以为首项，公比为的等比数列，
则，即，数列单调递增，，
因此不存在，使得，①错误；
对于②，当时，由①知，，则数列单调递增，，
又，因此，②正确；
对于③，取，则，而，因此，
数列有最大值2，最小值为，③正确；
对于④，若，则当时，，不等式恒成立；
若，则，随着正整数无限增大，无限趋近于0，
无限趋近于，而，，则无限趋近于，
因此必存在，当时，恒成立，
则对任意的，存在，当时，恒成立，④正确.
故答案为：②③④
11．1012
【分析】根据条件得数列为严格递增数列，且，从而得出，再由，得到，进而得，即可解决问题.
【详解】由，，得，且，即数列为严格递增数列，
由，知，
所以，得到，
因为，所以
.
由，得，解得，所以正整数的最大值为1012.
故答案为：1012.
12．
【分析】由题意得，令，则，可得，令，求导分析单调性结合的范围即可求解.
【详解】，则，
所以，
令，则，
所以，
令，
则，
所以当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
因为，且，
当时，，
当时，，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：
(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；
(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.
13．(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列的性质可求解公比，即可求解通项，进而利用错位相减法即可求和，
（2）将问题转化为求解，利用作差法求解数列的单调性即可求解.
【详解】（1）由于为正项等比数列，，故，故公比，
故，则，
两式相减得，
所以
（2）由已知得由可得，即
设，
当时，；当时，
所以当时，取最大值，即.故的最小值是.
14．(1)，
(2)，和.
【分析】（1）解方程组求出等比数列公比，即可求得；继而可求出等差数列的首项，即可求得的通项公式；
（2）结合（1）可得数列的通项公式，利用作差法可判断数列单调性，即可求得答案.
【详解】（1）设等比数列的公比为q， ，，
可知,故，解得，故，
又数列是公差为1的等差数列，且，
故，即，解得，
故；
（2）由于，则，
则，
当时，，当时，，即，
故数列的最小值为，此时和.
15．(1).(2)10.
【详解】试题分析：（1）借助于将转化为，进而得到数列为等比数列，通过首项和公比求得通项公式；（2）整理数列的通项公式，可知数列为等比数列，求得前n项和，代入不等式可求得n的最小值
试题解析：（1）由已知，有，
即．
从而．
又因为成等差数列，即．
所以，解得．
所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列．
故．
（2）由（1）得．所以．
由，得，即．
因为，
所以．于是，使成立的n的最小值为10．
考点：1．数列通项公式；2．等比数列求和
16．(1)
(2)先单调递减后单调递增，有最小值，无最大值
【分析】（1）设出等差数列的公差，利用方程组解出和，进而得通项公式；
（2）利用等比数列的通项公式求得，再利用数列单调性的定义判断单调性即可.
【详解】（1）设的公差为，
由题可得，解得，
所以，
即的通项公式为.
（2）由题意得，又是公比为2的等比数列，
所以，则．
所以，
因此，当时，，当时，，
所以，
所以数列先单调递减后单调递增，且有最小值，最小值为，无最大值．
17．(1)，
(2)
【分析】（1）根据与的关系求解，结合等比数列的求和公式及题设分，两种情况求解；
（2）转化问题为对任意的恒成立，进而利用不等式组求得的最小值，即可求解.
【详解】（1）由，
当时，，
当时，，满足上式，所以.
由，正项等比数列的首项为1，
当公比时，，，不满足；
当公比，且时，，解得，此时.
综上所述，.
（2）由，，则，
即对任意的恒成立，
当时，，
当时，设数列在第项取得最小值，
则，解得，
而，则，此时取得最小值，
由于，即，
则实数的最大值为.
18．（1）；（2）证明见解析；（3）.
【分析】（1）由题知是等差数列，即求；
（2）由题得为常数列，可证；
（3）由可得，由指数函数的单调性知，的最大值为，最小值为，结合条件即得.
【详解】（1）因为，，
所以，
所以是等差数列，首项为，公差为6，
∴.
（2）由，得.
所以为常数列，，即.
因为，，所以，即.
故的第项是最大项.
（3）因为，所以，
当时，
.
当时，，符合上式.
所以.
因为，且对任意，，
故，特别地，于是，
此时对任意，，
当时，，，
由指数函数的单调性知，的最大值为，最小值为，
∴的最大值及最小值分别是及，
由及，解得，
综上所述，的取值范围是.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)的最小值为，无最大值
【分析】（1）已知，要求，可直接令，代入等式求解.
（2）要证明数列是等比数列，可先根据与的关系，用表示出，再通过变形得到与的关系，根据等比数列的定义进行证明.
（3）先根据（2）求出的的通项公式，再结合求出的表达式，最后通过分析的单调性来确定其最值.
【详解】（1）已知，则当时，有.
，，即，解得．
（2）由可得，当时，.
得.
，，即，进一步变形可得.
当时，.
又，数列是以为首项，为公比的等比数列.
（3）由（2）可知，则，即.
，，则.
由于，所以是递增数列，的最小值为，无最大值.
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