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数列通项公式 高频考点梳理
专题练 2026届高考数学复习备考
一、单选题
1．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
2．记为等差数列的前n项和.若则（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列的前项和为，前项积为，若，则使取得最大值时的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．已知数列满足，且，则的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列的首项，且满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在数列中，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．如图，有一列曲线，已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到的：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记为曲线所围成图形的面积，则（ ）
A．的边数为128 B．
C．的边数为 D．
8．已知为数列的前项和，若，则（ ）
A． B．数列为等比数列
C． D．
9．已知数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．数列是等差数列
C． D．
三、填空题
10．记为数列的前n项和．已知，，则数列的通项公式是 ．
11．已知数列满足，且，则 .
12．数列的前项和记为，若，，则数列的通项公式为 ，若，则数列的前项和为 .
13．对于一个给定的数列，把它的连续两项与的差记为，得到一个新数列，把数列称为原数列的一阶差数列.若数列为原数列的一阶差数列，数列为原数列的一阶差数列，则称数列为原数列的二阶差数列.已知数列的二阶差数列是等比数列，且，则数列的通项公式 ；数列的通项公式 .
四、解答题
14．设为数列的前n项和，当时，，已知，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求．
15．已知数列满足：，且，其中为的前项和．
(1)令，求证：为等差数列；
(2)求的通项公式．
16．设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）当时，记，求数列的前项和．
17．已知数列满足，数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)求的通项公式；
(3)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求.
18．在等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式：
(2)设，其中，求数列的前n项和．
19．设是等差数列，是等比数列.已知.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中.
（i）求数列的通项公式；
（ii）求.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C B C C A B BCD BCD ACD
1．C
【分析】由累加法及等比数列前和公式可得，即可得到.
【详解】由，知，
所以，即，
故，又适合上式，故．
故选：C.
2．B
【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解.
【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ，
所以.
故选：B.
3．C
【分析】根据，利用的关系求出通项公式，再求出，利用判断的单调性，从而得到答案．
【详解】①，
当时，1000，即；
当时，②．
①－②得，即．
故数列为首项是500，公比为的等比数列，则．
∴，
∵，因，
故当时，；
当时，，
即，
∴使取得最大值时的值为9．
故选：C．
4．C
【分析】给两边同时加一个数，构造成等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解的通项公式即可.
【详解】设，即，
所以，解得，
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以．
故选：C.
5．A
【分析】利用取倒法证得是等差数列，进而求得，从而得解.
【详解】因为，，易知，
所以，即，
又，所以，
故是以为首项，为公差的等差数列，
则，故，
所以.
故选：A.
6．B
【分析】根据给定的递推公式求出即可求解.
【详解】依题意，，则，而，
因此数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，，所以当时，.
故选：B.
7．BCD
【分析】根据给定信息，归纳可得的边数判断AC；依次计算归纳得所围图形的面积判断BD.
【详解】依题意，令图形的边长为，，边数是3；
根据图形规律，图形边长为，边数为边数的4倍，即；
图形边长为，边数为；依此类推，图形边长为，边数为，C正确；
的边数为，A错误；
由图形规律知曲线所围图形的面积等于曲线所围面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积，
而每一个边增加的小等边三角形面积为，
则，整理得，
数列是等比数列，图形的面积，
，D正确；
，B正确.
故选：BCD
8．BCD
【分析】当时，，解得；根据，可得当时，，从而得，即；根据B可求得；从而可求出.
【详解】A：当时，，解得，故A错误；
B：因为，当时，，
将两式相减可得，即，
则，因，则，
数列为首项为，公比为的等比数列，故B正确；
C：由B可得，所以，故C正确；
D：，故D正确.
故选：BCD.
9．ACD
【分析】令直接代入计算可得A正确，根据的关系式以及等比数列定义即可求得数列为等比数列，可得B错误，再求得数列的通项公式可得C正确，结合分组求和以及等比数列前项和公式计算可得D正确.
【详解】对于A，由可得，
即，所以，因此A正确，
对于B，由可得，即，
显然不是定值，
因此数列不是等差数列，即B错误；
对于C，结合B分析由可知，
即数列是以为首项，公比为2的等比数列，
因此可得，所以，即C正确；
对于D，
，即D正确.
故选：ACD
10．
【分析】对原式化简得，再降下标作差即可得，结合等差数列定义即可得到其通项.
【详解】，①，
当时，②，
①-②得，，
，，，
是等差数列，
又，
故答案为：
11．
【分析】利用构造法，构造等比数列求通项公式.
【详解】设，解得：，
所以，
又，则，
故是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
故答案为：.
12．
【分析】（1）根据，分步计算，即可得到答案；
（2）利用裂项相消法可求数列的前n项和.
【详解】（1）由得，
当时，，所以，则，
当时，①，
②，
由①-②得，得，
当时，适合上式，
故.
（2），
所以
，
所以数列的前项和为.
故答案为：；.
13． /
【分析】由题意可得，，根据等比数列的定义可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则，即，利用累加法和等比数列前n项求和公式求得，进而，再次利用累加法和等比数列前n项求和公式计算即可求解.
【详解】由题意，设数列是数列的一阶差数列，数列是数列的二阶差数列，
数列的二阶差数列是等比数列，数列是等比数列，
，，
，，
则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，
故，则，，
各项相加得，
当时，也满足上式，；
故，
则，，各项相加，得
.
故答案为：；.
14．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）将变为，则，整理得，利用等比数列的概念证明即可.
（2）根据等比数列通项公式求得，变形为，然后根据等差数列的定义及通项公式求解即可.
（3）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）当时，，
即，
则，而，则，
于是时，，整理得，
又，
所以数列是首项和公比都是2的等比数列．
（2）由（1）知，数列是首项和公比都是2的等比数列，
则，因此，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，，
所以数列的通项公式．
（3）由（2）知，，
，
两式相减得，，
则．
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）借助与的关系，可得，结合等差数列定义即可得；
（2）由等差数列性质可得，即可得，再由计算即可得.
【详解】（1）当时，有，即，
则，即，又，
故数列是以为首项，为公差的等差数列；
（2）由（1）知，，即，
当时，，
当时，，符合上式，故.
16．(1)见解析 (2)
【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；
（2）当d＞1时，由（1）知cn，写出Tn、Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．
【详解】解：（1）设a1＝a，由题意可得，
解得，或，
当时，an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1；
当时，an（2n+79），bn＝9 ；
（2）当d＞1时，由（1）知an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1，
∴cn，
∴Tn＝1+3 5 7 9 （2n﹣1） ，
∴Tn＝1 3 5 7 （2n﹣3） （2n﹣1） ，
∴Tn＝2（2n﹣1） 3，
∴Tn＝6．
【点睛】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
17．(1)
(2)
(3)12182
【分析】（1）构造数列为等比数列，通过等比数列通项公式即可求的通项公式；
（2）易知是常数列，即可求的通项公式；
（3）根据新数列的形成规则，判断其前100项中数列，分别有多少项，再分组求和可求.
【详解】（1）由可得，又，
所以是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，即.
（2）方法一：由已知得，所以，
所以，又，
等式两边同时相乘，可得，
得，该式对也成立.
故.
方法二：由可知是常数列，
所以，
即.
（3）设在的前100项中，来自的有项.
若第100项来自，则应有，
整理可得，该方程没有正整数解，不满足题意.
若第100项来自，则应有，整理可得.
易知在时单调递增，
当时，，不满足题意，当时，，满足题意，
故，所以的前100项中有10项来自，有90项来自，
所以.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式列式可解得，，从而可得数列的通项公式；
（2）求出，再根据等差数列与等比数列的前项和公式可求得结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则有
解得，.
所以数列的通项公式为.
（2）.
因为数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
19．（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii）
【分析】(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n项和公式可得的值.
【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
依题意得，解得，
故，.
所以，的通项公式为，的通项公式为.
(Ⅱ)(i).
所以，数列的通项公式为.
(ii)
.
【点睛】本题主要考查等差数列 等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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