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数列与不等式 高频考点梳理
专题练 2026届高考数学复习备考
一、单选题
1．已知等差数列满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．数列的通项为，且为单调递增数列，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知等比数列的公比为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．已知实数构成公差为的等差数列，若，，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知等差数列的公差，等比数列的公比，且，.设为的前项和（），则下列结论中正确的是（ ）
A．存在唯一的公比，使得
B．存在，使得恒成立
C．若，当时，恒成立
D．当时，恒成立
7．已知数列满足，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．是递增数列
二、多选题
8．已知数列满足，，且，则（ ）
A． B．
C．当时， D．
9．（多选）已知数列的前n项和为，设，数列的前n项和为，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……设第层有个球，则（ ）
A． B．是等差数列
C．为偶数 D．
11．已知等比数列中，，，为数列的前项和．下列说法正确的是（ ）
A．或 B．或
C．若，则 D．若，则
12．设数列满足，记数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知数列满足：，数列是递增数列，则实数的取值范围为 ．
14．对数列，，对于任意的，都有，若对于任意的恒成立，则的最大值为 ．
四、解答题
15．已知数列的各项均为正数，其前n项和记为，满足，，其中为非零常数.
(1)若数列为等差数列
（ⅰ）求；
（ⅱ）记数列的前n项和为，若对恒成立，求实数t的取值范围；
(2)若，求数列的通项公式及.
16．如图所示，，是抛物线上的一系列点，其中，，记直线、的斜率分别为，，.
(1)证明是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)记的面积为，求；
(3)若，，.求证：.
注：中，若，，则面积.
17．已知数列，若，且．
(1)求证：是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)若，且数列的前n项和为，不等式对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．
18．已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式．
(2)记，证明：．
(3)记（），证明：．
19．已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)设是等比数列，且对任意的，当时，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及前项和．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A A A D B ACD BD ABD
题号 11 12
答案 AC ABD
1．C
【分析】由已知可推得，根据方程有解得，即可得范围.
【详解】若数列公差为，，
即，所以，
由题，关于的一元二次方程有解，则，解得或，
故的取值范围为.
故选：C
2．B
【分析】根据数列的单调性建立不等式，结合一次函数的单调性，可得答案.
【详解】由数列是递增的，则对恒成立，
即，
整理可得，对恒成立，
因函数在时单调递增，则得.
故选：B
3．A
【分析】根据题意，利用等比数列的通项公式与不等式的性质，分析出成立的充要条件，进而判断即可.
【详解】根据题意，成立时，有，
结合，得，即，
①当时，可得，所以，即；
②当时，为偶数时，，可得，所以，
为奇数时，，可得，所以，
因此不存在满足成立，
综上所述，成立的充要条件是，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4．A
【分析】由题意设，，求出，构造函数，求导判断其单调性，可得值域．
【详解】由实数构成公差为的等差数列，所以设，
则，所以，
构造函数，，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以的最小值为，
当时，，当从负方向趋近于时，，
所以，所以或，
所以的取值范围为．
故选：A．
5．A
【分析】由数列是单调递增数列可知当时，单调递增，当时，单调递增，且，列出不等式，解不等式即可.
【详解】数列是单调递增数列，
可知当，时，单调递增，即或，解得；
当时，单调递增恒成立，
且，即；
解得，
所以若数列是单调递增数列，则，
故选：A.
6．D
【分析】对于A，列出方程组求出判断；对于B，根据题意可知存在，使得即可判断；对于C，求得，易得即可判断；对于D，根据题意，时，可证得，即，得到，再利用即可判断.
【详解】对于A，由题得，解得不符合题意，故A错误；
对于B，，又，则，
当时，即，解得，
又，所以存在，使得，故B错误；
对于C，，则，，
时，，则，故C错误；
对于D，，
，
，
又，所以当时，
，
即时，，又，，则，
所以，
即，故D正确；
故选：D.
7．B
【分析】由题意，，两式相减求出数列的通项公式，再结合对数的运算性质判断ABD，设，记，利用导数可得在上恒成立，进而利用放缩判断C.
【详解】因为，
所以,
两式相减得，则，
则，所以，A说法错误；
，，而，故B说法正确；
设，记，则
故，即在上恒成立，
所以，故C错误；
，
所以，故不是递增数列，D说法错误；
故选：B
8．ACD
【详解】根据三角恒等变换计算得，再利用累乘法求得数列的通项公式为判断AB；根据三角函数单调性判断C；由同角三角函数之间的基本关系，结合函数单调性推理D.
【分析】对于B，由，
得，
即，整理得，
当时，，
满足上式，因此，B错误；
对于A，，即，又，解得，A正确；
对于C，当时，，又，因此，即，C正确；
对于D，由，得，又，，
因此，令函数，求导得，
函数在上单调递增，，即，
因此，即，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用三角函数恒等变换以及累乘法得出数列满足，再根据三角函数单调性以及平方关系计算可得相应结论.
9．BD
【分析】先由题设结合依次求出、、，由基本不等式即可计算判断A；由数列单调性即可计算判断B；构造函数，并利用导数工具研究该函数性质得到即可分析计算判断C；先由C得到则，接着构造函数并利用导数工具研究函数性质得到即可判断D.
【详解】因为的前n项和为，
所以当时，
当时，，
满足，故，则，，
对于A，，当且仅当时，等号成立，A错误；
对于B，因为，均单调递增，所以，B正确；
对于C，设，则，
所以在上单调递减，故，故，
故，
故，C错误；
对于D，由C选项的分析可知，则，
设，则，故在上单调递增，
故，即，
故，故，D正确．
故选：BD
10．ABD
【分析】根据题意，利用累加法得即可判断ABC选项，对于D，，再根据裂项相消法可得的和，接着简单放缩即可判断.
【详解】根据题意，当时，，
累加得，
，易知也满足，所以，
，故A正确；
，故B正确；
为奇数，故C错误；
，，
，
，
即，故D正确；
故选：ABD.
11．AC
【分析】根据等比数列通项公式计算得出通项，再分类讨论应用通项公式及求和公式计算求解判断各个选项.
【详解】等比数列中，，，设为数列的公比．
所以，所以或.
当时，；
当时，，所以A选项正确，B选项错误；
若，则，则，C选项正确；
若，则当，则，D选项错误；
故选：AC.
12．ABD
【分析】结合二次函数的性质可判断A；由放缩法可得即可判断B；由放缩法可得，再由累乘法可得，可判断C；由累加法可得，即可判断D.
【详解】对于A，，因为，
根据二次函数的性质，所以，所以，故A正确；
对于B，，
所以，
，，所以，故B正确；
对于C，，
，
所以，累乘可得：，
所以，
所以，故C错误；
对于D，因为，
所以，
所以，
所以，数列的前项和为，
所以
，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题C选项的关键是通过由放缩法得到，对不等式两边取对数可得，再由累乘法得到，进而证得.
13．
【分析】根据递增数列的定义列不等式组求解即得.
【详解】因为，且为递增数列，
所以，即，解得，
故答案为：
14．
【分析】先求数列的通项公式，再分析数列的单调性，求其最小值即可.
【详解】根据题意，令，则，所以数列为等比数列，且，公比，
所以.
对数列，由.
随着的增大，的值越来越大.
且当时，；当时，.
所以数列的最小值为：.
由对于任意的恒成立，则的最大值为.
故答案为：
15．(1)（ⅰ）；（ⅱ）
(2)，
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解（ⅰ），利用裂项求和化简，进而分离参数，利用对勾函数的单调性求解最值，即可求解（ⅱ），
（2）根据的关系作差可得数列的奇偶项均为等差数列，进而可求解通项，利用等差数列求和公式结合分类讨论即可求解.
【详解】（1）当时，，而，解得，
当时，，解得
（ⅰ）由数列为等差数列，得，
则，解得，
则，，公差为2，.
（ⅱ）记
则
则对恒成立，即对恒成立，
因在上单调递增，故时，取到最小值，
所以的取值范围是.
（2）当时，有，，
两式相减，整理得，
而，故得，
当时，，解得，
故数列的奇数项是首项，公差为3的等差数列，
；
数列的偶数项是首项，公差为3的等差数列，
，
时，数列的通项公式是；
当为偶数时，
，
当为奇数时，，
时，数列的前项和为：.
16．(1)证明见解析；
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）由已知可得,由累加法可得的通项公式;
（2）利用（1）的结论求得,可求;
（3）放缩法可得,可证结论.
【详解】（1），同理,
由，得，又,
所以，则是首项为,公比为的等比数列,
所以,
（2）由(1)可得
令，则，同理可得
所以，即
（3）由(2)可得,，由，
可得，则
所以
【点睛】关键点点睛：第三问关键点在于利用放缩法可得进而可求证.
17．(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据得到是首项为2，公比为2的等比数列，据此即可得到数列的通项公式；
（2）根据与（1）求出，进而求出，求出，要使不等式对任意正整数n恒成立，即求出最大值，解出不等式组即可.
【详解】（1），，
又，是首项为2，公比为2的等比数列，
，；
（2），且结合（1）得，
，
，
要使不等式对任意正整数n恒成立，
只要，即，
由题意可得，解得，只需，解得，
综上所述，实数a的取值范围是．
18．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据与关系即可求得答案；
（2）由（1）求出，将放缩，和再求和得证；
（3）由，从第3项开始放缩求和，得证.
【详解】（1）由，可得．
当时，，解得，
当时，，整理得（），
∴数列是以2为首项、2为公比的等比数列，
∴.
（2）∵，
∴．
又，
∴．结论得证.
（3）由题意知，
，得证.
19．(1)，；
(2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)，前项和为.
【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前项和公式计算可得.
(2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当时，，
取，当时，，取，即可证得题中的不等式；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前项和公式即可计算其前项和.
【详解】（1）由题意可得，解得，
则数列的通项公式为，
求和得
.
（2）(Ⅰ)由题意可知，当时，，
取，则，即，
当时，，
取，此时，
据此可得，
综上可得：.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，
则数列的公比满足，
当时，，所以，
所以，即，
当时，，所以，
所以数列的通项公式为，
其前项和为：.
【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前项和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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