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等比数列 高频考点梳理 专题练
2026届高考数学复习备考
一、单选题
1．已知等比数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知等比数列前3项的积为27，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列的各项均不为0，设甲：；乙：数列是等比数列，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知等比数列的前项和为，则（ ）
A．1 B． C． D．
5．已知为正项等比数列的前项和，，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．数列中，，对任意 ，若，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．在等比数列中，，，且数列的前项和，则此数列的项数等于（ ）
A． B． C． D．
8．设等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A． B．7 C．63 D．7或63
二、多选题
9．记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ）
A． B．
C． D．
10．设为等比数列前项和，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．是和的等比中项
B．或4
C．若数列的各项为正，则数列的前5项和为57
D．若数列的各项为正，则
三、填空题
11．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4= ．
12．已知等比数列的前项和为，满足，.则为 ；满足的最小的整数为 .
13．等比数列的公比，其前项和为，且，则 .
14．记为数列的前项和，若，则 ．
四、解答题
15．已知数列的首项，．
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的前项和；
(3)令，求数列的最大项．
16．已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
17．已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
18．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
19．已知在数列中，，，设.
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)设，将数列和数列的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求数列的前50项和.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B D C C B B AD BCD
1．A
【分析】化简表达式，求出首项和公比，即可求出.
【详解】由题意，，
在等比数列中，，
设公比为q，
，解得，
∴，
当时，，解得：，
∴是以2为首项，3为公比的等比数列，
∴.
故选：A.
2．D
【分析】根据等比数列的性质可得，即可根据基本不等式求解.
【详解】设等比数列的公比为，已知前项的积为，即.
因为，所以，解得.
所以，.
所以 .
当且仅当，即时取等号.
所以的最小值为.
故选：D
3．B
【分析】先验证甲是否能推出乙，再验证乙是否能推出甲求解.
【详解】验证甲是否能推出乙，甲的意思是该数列隔项成等比数列，
甲可构造数列，
显然甲推不出乙，验证乙是否能推出甲，
因为数列是等比数列，所以，，
所以，
所以乙能推出甲，所以甲是乙的必要不充分条件.
故选：B.
4．D
【分析】设出公比，根据题目条件得到方程组，求出，，由等比数列通项公式基本量计算得到答案.
【详解】设公比为，则，
故，其中，，
则
故选：D
5．C
【分析】等比数列的性质可得，即，再结合题干条件，利用等比数列求和公式，得到关于的一元二次方程，解出公比即得的值.
【详解】由题意，设正项等比数列的公比为，其中，
由等比数列的性质可知，由题干可得，即，
若，则，不合题意，故，
所以，
解得或（舍去），故.
故选：C.
6．C
【分析】取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值.
【详解】在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.
7．B
【分析】根据等差数列性质，，解得和的取值，再求公比，利用前项和求得的取值.
【详解】因为是等比数列，所以，又，
所以和是方程，的两根，解得或，
若递增数列，则，，因为，
所以，解得，
所以，解得；
若是递减数列，则，，
因为，所以，解得，
所以，解得，
综上，数列的项数等于
故选：B
8．B
【分析】根据等比数列片段和的性质有求，注意验证结果.
【详解】由等比数列片段和的性质知，、、成等比数列，
所以，则，
所以，则或，
等比数列的公比为，
若时，则，而，显然等式不成立；
若时，则，满足题设；
所以.
故选：B
9．AD
【分析】对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算分析即可.
【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确；
对B，则，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，，
则，故D正确；
故选：AD.
10．BCD
【分析】根据给定的等式求出数列的公比，再结合前项和逐项判断即可.
【详解】设等比数列的公比为，显然，否则，矛盾，
则，整理得，解得或，
对于A，当，为偶数时，，A错误；
对于B，，因此或，B正确；
对于C，，，数列的前5项和为，C正确；
对于D，，，当且仅当时取等号，
，D正确.
故选：BCD
11．.
【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】详解：设等比数列的公比为，由已知
，即
解得，
所以．
【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．
一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算，避免繁分式计算．
12．
【分析】将赋值可求得，即可求得；根据，及是等比数列可求得公比，求出，进而解不等式即可求解.
【详解】，，
当时，，则，，
；
是等比数列，设公比为，，
，令，则，
化简得，两边取自然对数并整理得，，故最小整数，
当时，，满足条件.
故答案为：；.
13．/
【分析】由题意可得，可得，解方程即可得出答案.
【详解】因为，所以，
所以，解得：，，
.
故答案为：.
14．
【分析】首先根据题中所给的，类比着写出，两式相减，整理得到，从而确定出数列为等比数列，再令，结合的关系，求得，之后应用等比数列的求和公式求得的值.
【详解】根据，可得，
两式相减得，即，
当时，，解得，
所以数列是以-1为首项，以2为公比的等比数列，
所以，故答案是.
点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.
15．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得；
（3）由（2）可得，利用作差法判断数列的单调性，即可求出最大项.
【详解】（1）因为，
所以，
又，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）可得，
所以，
所以
.
（3）由（2）可得，
则，
所以当时，当时，
即，
所以数列的最大项为；
16．（1）；（2）
【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.
【详解】(1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则，
整理可得：，
，
数列的通项公式为：.
(2)由于：，故：
.
【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用分组求和法即可求.
【详解】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据全概率公式即可求出；
（2）设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出；
（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．
【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
所以，
.
（2）设，依题可知，，则
，
即，
构造等比数列，
设，解得，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，
即．
（3）因为，，
所以当时，，
故．
【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解．
19．(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）变形给定的递推公式，利用等比数列的定义推理得证，进而求出通项公式.
（2）由（1）确定数列前50项中数列的项数，再利用分组求和法求解.
【详解】（1）由，，得，则，
即，又，于是，而，
所以数列 为首项为3公比为3的等比数列，.
（2）由（1）知，数列，都是递增数列，
，即，
因此数列的前50项包含中的前46项与中的前4项，
所以.
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